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5.1 平面向量的线性运算及基本定理（精练）（基础版）
题组一 概念辨析
1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若 ， 满足 且 与 同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且 ” “四边形ABCD是平行四边形”
【答案】AD
【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且 ，
可得 ，且 ，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知 ，且 ，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且 ，故D正确.故选：AD.
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．对于任意两个向量 ，若 ，且 同向，则
B．已知 ， 为单位向量，若 ，则 在 上的投影向量为
C．设 为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的充分不必要条件
D．若 ，则 与 的夹角是钝角
【答案】BC
【解析】选项A：向量是既有大小又有方向的量，但不能比较大小，故选项A错误；选项B： 在单位向量 上的投影向量为 ，故选项B正确；
选项C：若存在负数 ，使得 ，则 ；
若 ，则向量 与 的夹角为钝角或 ，故选项C正确；
选项D：若 ，则 与 的夹角是钝角或 角，故选项D错误；故选：BC.
3．（2022·江苏）（多选）设 是已知的平面向量，向量 ， ， 在同一平面内且两两不共线，其中真命
题是（ ）
A．给定向量 ，总存在向量 ，使 ；
B．给定向量 和 ，总存在实数 和 ，使 ；
C．给定单位向量 和正数 ，总存在单位向量 和实数 ，使 ；
D．若 ，存在单位向量 ， 和正实数 ， ，使 ，则 ．
【答案】ABD
【解析】对于选项A，给定向量 和 ，只需求得其向量差 即为所求的向量 ，故总存在向量 ，使
，故A正确；
对于选项B，当向量 ， 和 在同一平面内且两两不共线时，向量 ， 可作基底，由平面向量基本定理
可知结论成立，故B正确；
对于选项C，取 ，无论 取何值，向量 都平行于x轴，而向量 的模恒等于
2，要使 成立，根据平行四边形法则，向量 的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量
使等式成立，故C错误；
对于选项D， ，又 ， 不共线，，即 ，即 ，
（当且仅当 时等号成立），
，得 ，故D正确
故选：ABD．
4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设 是已知的平面向量且 ，向量 ， 和 在同一平面内且
两两不共线，关于向量 的分解，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量 ，总存在向量 ，使 ；
B．给定向量 和 ，总存在实数 和 ，使 ；
C．给定单位向量 和正数 ，总存在单位向量 和实数 ，使 ；
D．给定正数 和 ，总存在单位向量 和单位向量 ，使 ．
【答案】AB
【解析】对于A，给定向量 ，总存在向量 ，使 ，故A正确；
对于B，因为向量 在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：
总存在实数 和 ，使 ，故B正确；
对于C，设 ，给定 ，则不存在单位向量 和实数 ，使 ，故C错误；
对于D， 设 ，给定 ，则不存在单位向量 和单位向量 ，使 ，故D错误．
故选：AB．
5．（2022·东莞高级中学）（多选）关于平面向量 ，下列说法中错误的是（ ）
A．若 且 ，则 B．C．若 ，且 ，则 D．
【答案】ACD
【解析】A.若向量 ，则 不一定平行，故错误；
B.根据向量的运算律可知，B正确；
C. ，且 ，所以 或 ，故错误；
D. 表示与向量 共线的向量， 表示与向量 共线的向量， 与 不一定相等，
故错误.
故选：ACD
6．（2022·全国高三专题练习）（多选）已知 是三个平面向量，则下列叙述错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，且 ，则
C．若 ∥ ， ∥ ，则 ∥
D．若 ，则
【答案】ABC
【解析】对A， 不一定共线，故A错误；
对B，平面向量的数量积没有消去律，故B错误；
对C，若 ，则 的方向是任意的，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：ABC.
7．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①若 ，则 ；②若 是不共线的四
点，则 是四边形 为平行四边形的充要条件；③若 ， ，则 ；④ 的充要条件是 且 ；⑤若 ， ，则 ．其中正确命题的序号是________ ．
【答案】②③
【解析】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于 且 ，即等价于四边形
ABCD为平行四边形，故②正确；
对于③，若 , ，则 ，显然正确，故③正确；
对于④，由 可以推出 且 ，但是由 且 可能推出 ，故“ 且
”是“ ”的必要不充分条件，故④不正确，
对于⑤，当 时， ， ，但推不出 ，故⑤不正确.故答案为：②③
题组二 共线定理
1．（2022·广东）已知向量 和 不共线，向量 ， ， ，若 ､ ､
三点共线，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【解析】因为 ､ ､ 三点共线，
所以存在实数λ，使得 ，
，
所以 ，
∴ ，解得 .
故选：A.
2．（2022·河南省杞县）已知向量 ， 不共线， ， ，若 ，则 ______．
【答案】6【解析】因为 ， 且 ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
因为 ， 不共线，所以 解得 ， ．故答案为：6.
3．（2021·全国）设两个非零向量 与 不共线，
（1）若 ， ， ，求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使 和 共线．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）证明： ， ， ，
， 共线，
又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
（2） 和 共线，
∴存在实数λ，使 ，
即 ， .
， 是两个不共线的非零向量，
， .
题组三 平面向量的基本定理
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中） 中， 是边 上靠近 的三等分点，则向量 （ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为点 是 边上靠近 的三等分点，所以 ，
所以 ；故选：C.
2．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形 中，设 ， ， 为 的中点， 与 交
于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示，连接 与 交于 ，则 为 的中点，因为 为 的中点，
所以 为三角形 的重心，所以 .故选：B.
3（2022·全国·高三专题练习）如图平面四边形ABCD中， ，则 可表示为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，
∴ ，
∵ ，
又 ，
∴ ，即 .故选：D.
4．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形 中， 分别是 的中点， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，设 ，且 ，
则 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，所以 .故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．故选：B．
6．（2022·全国·高三专题练习）在等边 中，O为重心，D是 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】O为 的重心，延长AO交BC于E，如图，
E为BC中点，则有 ，而D是 的中点，
所以 .故选：D
7．（2022·河南）在 ABC中， ，M为AD的中点， ，则 =（ ）
△
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取 为基底.利用向量的线性运算可得：
，
所以 ，所以 = .故选：A
8．（2022·全国·高三专题练习）已知点 是 所在平面内一点，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意， , ，而 ，
所以 ，又 ，即 ，
所以 .故选：D.
9．（2022·云南·一模（理））在 中， 是直线 上的点.若 ，记 的面积为 ，
的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
依题意作上图，
设 ，
由条件 ，
∴ ， ， ，
∴点D在AB的延长线上，并且 ，
∴ ，
故选：D. .
10．（2022·辽宁沈阳·二模）（多选）如图，在 方格中，向量 ， ， 的始点和终点均为小正方形的
顶点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】如图所示，向量 与向量 方向不同，所以 ，故A不正确，作向量 与向量 ，可得 ，且 ，故B与C正确，
连接BD，则AC与BD互相垂直，所以向量 与向量 在向量 上的射影的数量是相同的，
所以 ，故D不正确．
故选：BC.
11．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）（多选）在 中， 为 中点，且 ，
则（ ）
A． B．
C． ∥ D．
【答案】BC
【解析】因为 ，则 三点共线，且 ，
又因为 为中线，所以点 为 的重心，
连接 并延长交 于 ，则 为 的中点，
所以 ，所以 ∥ 故选：BC．12．（2022·全国·模拟预测）（多选）如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是
BE的中点，直线AG分别与BD， BC交于点F，H设 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】以A为坐标原点，分别以 ， 的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
设 ， ，则 ， ， ， ， ， ．
又F为 的重心，则 ，直线AG的方程为 ，直线BC的方程为 ，
联立解得 ，则 ， ， ，
因为 ， ，
所以 ， ， ， ．
故选：ACD．13．（2022·全国·高三专题练习）在三角形ABC中，点D在边BC上，若 ，
，则 ______．
【答案】
【解析】由已知 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ．故答案为：
14．（2022·全国·高三专题练习）在边长为 的等边 中，已知 ，点 在线段 上，且
，则 ________.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，又 ，
即 ，因为点 在线段 上，
所以 ， ， 三点共线，由平面向量三点共线定理得， ，即 ，
所以 ，又 是边长为 的等边三角形，
所以，故 .
故答案为： .
15．（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形 中， ，E、F是边 ， 上的点，
， ，若 ，则平行四边形的面积为_________．
【答案】
【解析】如图，
， ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以平行四边形的面积为 .
故答案为： ．
16．（2022·全国·高三专题练习）等腰直角 ABC中，点P是斜边BC边上一点，若 = + ，则
ABC的面积为______
【答案】【解析】
如图，由于 = + ，所以 ，
则 ，所以在等腰直角 中， ， ，所以 ，
即腰长为5，故 的面积 .
故答案为： .
17．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 与 的面积之比为_______
【答案】
【解析】 ，
点 在 的边 上：
有 ， ．
故答案为： ．
题组四 数量积1．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）在 中， ， ．若 ，则
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ,
即 ,
即 ，即 ，
解得 ，故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC中， ，AB=4，AC=6，且 ， ，则
（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解析】 ，
且
所以： ．故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知菱形 的边长为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
则 .故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）如图， 中， ， ，P为CD上一点，且满足
，若AC＝3，AB＝4，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
三点共线， ，又
故选：C
5．（2022·陕西·交大附中）已知在平行四边形 中， ，则
值为__________．
【答案】
【解析】由题设可得如下图： ，而 ，所以 ，
又 ，
所以 ，则 ，
故 ，可得 ，即 .
故答案为：
6．（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）已知等边 的边长为6，平面内一点P满足 ，
则 ____________．
【答案】
【解析】因 ，则 ，
等边 的边长为6，则 ，
所以 .故答案为：
7．（2022·天津·模拟预测）已知菱形 的边长为 ， 是 的中点，则 ______．
【答案】
【解析】依题意 ， ，因为菱形
的边长为4．所以 ．故答案为：
8．（2022·全国·高三专题练习）如图， ，则 _________
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，故答案为：
题组五 取值范围
1．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任一点，若
，则 的最大值为（ ）A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设 ，则 ，
∵BC//EF，∴设 ，则
∴ ，
∴
∴
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）边长为2的正三角形 内一点 （包括边界）满足：
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点M在 内部（包括边界），所以 ，由
.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】在△ABC中，M为边BC上任意一点，则 ，
于是得 ，而 ，且 与 不共线，
则 ，即有 ，因此， ，
当且仅当 时取“=”，此时M为BC中点，
所以 的最小值为 .
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 的半径为2，A为圆内一点， ，B，C为圆 上任意两点，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】
如图，连接 ， ，
设 为 和 的夹角.
则
且 ，
由 ，当 时， 有最小值 ；
当 时， 有最大值为10.
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知线段 是圆 的一条动弦，且 ，若点 为直
线 上的任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取 中点为 ，连接 ， ，
因为 是圆 的一条动弦，且 ，所以 ，
又 ， ，即
因此， 取最小值，即是 取最小值，所以只需 取最小，
又点 为直线 上的任意一点，
所以点 到直线 的距离，即是 ，
即 ，
因此 ，
即 .
故选：C.
6（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ， .D是BC边上的动点，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】设 ，所以
又 ，可知
所以
化简可得
又 ， ， 所以
则 即 ，
又 在 递增所以
故 故选：A
7．（2022·天津·高三专题练习）如图，在菱形 中， ， ， 分别为 上的
点， ，若线段 上存在一点 ，使得 ，则 _______，若点
为线段 上一个动点，则 的取值范围为_______.
【答案】
【解析】由题意，设 ，根据向量的线性运算，
可得
，则 ，解得 ，所以 ，
若点 为线段 上一个动点，如图，
设 ， ， ，
，
，
，
因为 ，所以 ．故答案为： ； .
8．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）如图，在 中， ，点 在线段 上移动（不含
端点），若 ，则 ___________， 的最小值为___________.【答案】 2
【解析】因为在 中， ，所以 ,
即 .因为点 在线段 上移动（不含端点），所以设 .
所以 ，对比 可得 .代入 ，得 ；
代入 可得 ，根据二次函数性质知当 时，
.故答案为：
题组六 平面向量与其他知识的综合运用
1．（2022·全国·高三专题练习）若 是 的各边中线交点， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，
若 ，则角 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 是 的各边中线交点， 是 的重心， ，
，则有 ，
设 ，则 ， ，则有 ，则 ，故选： .
2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知点G是 的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边
交于M，N两点 点N与点C不重合 ，设 ， ，则 的最小值为（ ）A．2 B．
C． D．
【答案】A
【解析】 为 的重心，
又 在线段 上，
故选： ．
3．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）如图所示， 的面积为 ，其中 ，
AD为BC边上的高，M为AD的中点，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，所以 ，
因为AD为BC边上的高，所以 ，因为M为AD的中点，所以
，
又因为 ，所以 ，所以 .故选：C.
4．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）在边长为2的等边 中， 为线段 上的动点， 且
交 于点 ， 且交 于点 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】
如图，作 交 于点 ，则 为等边三角形，又 ，则 ，又 ，
则四边形 为平行四边形，则 ，则 .
故选：C.
5（2022·全国·高三专题练习）在△ 中，点D满足 = ，直线 与 交于点 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】设 ,
则 ,
，且 ， 共线，则 ，
所以
所以 ，解得 ，此时 ，所以 ，故 .故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知 是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的
是（ ）
A．若角 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 ， 的夹角为
D．若 ，则 为圆O的一条直径
【答案】BC
【解析】对于A，作OD垂直于AB.垂足为D，则 ,
由正弦定理得 ，故 ,故A错误；
对于B,由 得， ，
即 ,则点O为BC的中点，即BC为圆的直径，故 ，B正确；
对于C，设 ， 的夹角为 ，
由 得， ，即 ，
解得 或 ，
由于 ，故 ，故 ，
则 ， 的夹角为 ，C正确；
对于D,由 得 ，
即 ，则 为圆O的一条直径，D错误，
故选:BC
7．（2022·江苏·高三专题练习）（多选）若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且
(λ，μ∈R)，则下列说法正确的有（ ）
A．若λ+μ=1且λ>0，则点P在线段BC的延长线上
B．若λ+μ=1且λ<0，则点P在线段BC的延长线上
C．若λ+μ>1，则点P在△OBC外
D．若λ+μ<1，则点P在△OBC内
【答案】BC【解析】因为
若λ+μ=1且λ>0，则 ，
故 ，即 ，又λ>0，则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误；
若λ+μ=1且λ<0，同上可得 ，而λ<0，则点P在线段BC的延长线上，B正确；
若λ+μ>1， ，同上可得 ，当λ+μ>1时，λ+μ
﹣1>0，根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外，C正确；
若λ+μ<1，不妨令λ=0，μ=﹣1则 ，很显然此时点P在线段CO的延长线上，不在△OBC内，D
错误.故选：BC.
8．（2022·山西大附中三模（理））如图，已知点 是平行四边形 的边 的中点，点 在
线段 上，且满足 ，其中数列 是首项为1的数列，则数列 的通项公
式为_____________
【答案】
【解析】 为 中点， ， ，
又 、 、 三点共线， ，又 ，
，化简可得 ， ，又
数列 是首项为4、公比为2的等比数列. ， .
故答案为：
