4.5 等比数列的前n 项和公式
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：等比数列前n 项和公式....................................................2
考点二：等比数列前n 项和的性质.................................................2
考点三：错位相减法求数列的和.................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：等比数列前n 项和的基本量计算........................................ 2
题型二：等比数列前n 项和的片段和性质........................................ 4
题型三：等比数列奇、偶项和的性质...............................................4
题型四：等比数列前n 项和与an 的关系.........................................5
题型五：等比数列前n 项和的其他性质........................................... 6
题型六：分组求和法求和............................................................. 6
题型七：错位相减法求和............................................................. 7
题型八：等差数列与等比数列的综合问题.........................................8
题型九：等比数列求和在传统文化中的应用.................................... 10
模块三：综合巩固....................................................................... 11
4.5 等比数列的前n 项和公式
模块一：基础知识
考点一：等比数列前n 项和公式
若等比数列的首项为
1a ,公比为q ,则它的前n 项和
1
1
1
(1
) ,
1
1
n
n
na
q
S
a
q
q
q
考点二：等比数列前n 项和的性质
公比为q 的等比数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ,关于
n
S 的性质常考的有以下四类:
(1)数列
m
S ，
2m
m
S
S
，
3
2
m
m
S
S
，
4
3
m
m
S
S
,…组成公比为
m
q （
1
q ）的等比数列
(2)当n 是偶数时, S
S
q
奇
偶
;当n 是奇数时,
1
S
a
S
q
奇
偶
(3)
m
n
n m
m
n
n
m
S
S
q S
S
q S
(4)若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n 项和Sn＝a1
1－q
(1－q
n)＝A(q
n－1)．其中A＝a1
q－1
.
考点三：错位相减法求数列的和
推导等比数列前n 项和的方法叫做错位相减法,一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项的积所
构成的数列的前n 项和.
模块二：题型分类
题型一：等比数列前n 项和的基本量计算
1.已知数列
na
为等比数列，前n 项和为
n
S ．
(1)如果
6
189
4
S
，
1
2
q
，求
1a ；
(2)如果
3
14
S
，
1
2
a
，求q；
(3)如果
5
15
S
，
10
60
S
，求
15
S ．
2.求下列等比数列
na
的前n 项和．
(1)
1
1
a ，
3
q
，
10
n
；
(2)
1
1
2
a
，
1
3
q
，
6
n
；
(3)
1
1
3
a
，
1
3
q
，
1
6561
na
；
(4)
1
6
a
，
2
q =
，
192
na
．
3.已知等比数列
na
的前n 项和
2n
n
S
a
.
(1)求实数a 的值；
(2)若
127
m
S
，求m .
4.已知数列
na
是等比数列.
(1)若
1
1
2
a
，
1
2
q
，求
8
S ；
(2)若
1
27
a
，
9
1
243
a
，
0
q
，求
8
S ；
(3)若
1
8
a ，
1
2
q
，
31
2
n
S
，求n.
5．若数列
na
满足
1
1
a ，
1
2n
n
n
a
a
，则
10
a
（
）
A．511
B．1023
C．1025
D．2047
6．已知
1
1
a ，
2
1
a ，
1
2
2
1
n
n
n
a
a
a
（
3
n
，
*
N
n
），
n
S 为其前n 项和，则
60
S
（
）
A．
30
2
31
B．
30
4
31
C．
30
2
30
D．
30
4
30
题型二：等比数列前n 项和的片段和性质
知识点：数列
m
S ，
2m
m
S
S
，
3
2
m
m
S
S
，
4
3
m
m
S
S
,…组成公比为
m
q （
1
q ）的等比数列
1.已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
1
3
S
S
，则
4
12
S
S
（
）
A．3
2
B．1
3
C．2
3
D．1
7
2.设等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
10
20
10,
20
S
S
，则
30
S
（
）
A．20
B．30
C．35
D．40
3.已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
1
4
S
S
，则
16
4
8
S
S
S
（
）
A．8
B．9
C．16
D．17
4.已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ．若
4
8
1
4
S
S
，则
12
4
S
S
（
）
A．13
B．16
C．9
D．12
5．已知
n
S 是等比数列
na
的前n项和，且
2
3
S ，
6
4
5
12
S
S
，则
4
S （
）
A．11
B．13
C．15
D．17
题型三：等比数列奇、偶项和的性质
1．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（
）.
A．8
B．2
C．4
D．2
2．在数列
na
中，
1
1
a ，
1
2n
n
n
a a
，若
1
9
248
m
m
m
a
a
a
，则m （
）
A．3
B．4
C．5
D．6
3.已知一个项数为偶数的等比数列
na
，所有项之和为所有偶数项之和的4 倍，前3 项之积为64 ，则
1a
（
）
A．1
B．4
C．12
D．36
4.已知等比数列
na
的前10项中，所有奇数项的和为
1
85 4 ，所有偶数项的和为
1
170 2 ，则
3
6
9
12
S
a
a
a
a
的值为
．
5.在等比数列
na
中，若
1
3
99
150
a
a
a
，且公比
2
q =
，则数列
na
的前100 项和为
．
6.已知数列
na
的前n 项和
1
2
1
n
n
S
，则数列
na
的前10 项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为
（
）
A．1
2
B．2
C．172
341
D．341
172
7.已知项数为奇数的等比数列{
}
na
的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项
数为（
）
A．5
B．7
C．9
D．11
8.已知等比数列
na
中，
1
1
a ，
1
3
2
1
85
k
a
a
a
，
2
4
2
42
k
a
a
a
，则k （
）
A．2
B．3
C．4
D．5
9.在等比数列
na
中，
1
2
q
，
100
150
S
，求
2
4
6
100
a
a
a
a
的值.
题型四：等比数列前n 项和与an 的关系
1．已知数列{
na }满足：
*
1
1
1,
N
n
n
a
S
a
n
，则
2022
S
（
）
A．
2020
2
B．
2021
2
C．
2022
2
D．
2023
2
2．在等比数列
na
中，若
1
2
2
1
n
n
a
a
a
＝
，则
2
2
2
1
2
...
n
a
a
a
（
）
A．
2
2
1
n
（
）
B．1 (4
1)
3
n
C．1 (2
1)
3
n
D．4
1
n
3．设
n
S 为数列
na
的前n 项和，若
1
2
a
，
1
3
2
n
n
S
S
，则下列各选项在正确的是（
）
A．
1
1
2
3
n
na
B．
1
3n
na
C．
2 3
4
n
n
S
D．
3
1
n
n
S
题型五：等比数列前n 项和的其他性质
1．在等比数列
na
中，
2
2
a
，
5
16
a
．设t 为实数，
2n
S
为该数列的前2n 项和，
nT 为数列
2
na
的前n 项
和，且
2n
n
S
tT
，则t 的值为（
）
A．2
B．2
C．3
D．4
2．设
na
是等比数列，且
1
2
4
a
a
a
，下列正确结论的个数为（
）
①数列
na
具有单调性；
②数列
na
有最小值为
1a ；
③前n 项和Sn 有最小值
④前n 项和Sn 有最大值
A．0
B．1
C．2
D．3
3．已知数列
na
的各项均为实数，
n
S 为其前n 项和，若对任意
2022
k
，都有
1
k
k
S
S
，则下列说法正
确的是（
）
A．
1
3
5
2
1
,
,
,
,
n
a a a
a
为等差数列，
2
4
6
2
,
,
,
,
n
a a a
a
为等比数列
B．
1
3
5
2
1
,
,
,
,
n
a a a
a
为等比数列，
2
4
6
2
,
,
,
,
n
a a a
a
为等差数列
C．
1
2
3
2022
,
,
,
,
a a a
a
为等差数列，
2022
2023
2024 ,
,
,
,
n
a
a
a
a
L
为等比数列
D．
1
2
3
2022
,
,
,
,
a a a
a
为等比数列，
2022
2023
2024 ,
,
,
,
n
a
a
a
a
L
为等差数列
题型六：分组求和法求和
【后面章节会细讲】
1.已知数列
na
满足:
*
1
1
3,
3
4
2,
N
n
n
a
a
a
n
n
.
(1)证明:
2
n
a
n 是等比数列;
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S .
2.已知数列
na
的首项为
1
1
3
a
，且满足
1
2
n
n
n
a
a
a
.
(1)求证：数列
1
1
na
为等比数列；
(2)若
1
2
1
1
1
2024
n
a
a
a
，求满足条件的最大整数n .
3.已知数列
na
满足
1
2
0
a
a
，且
na
n
为等比数列，
*
nN .
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)求满足
1
2
2024
n
a
a
a
的最大整数n .
4.已知等比数列
na
中，
2
2
a
，
5
16
a
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
2
1
n
n
b
a
n
，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
题型七：错位相减法求和
1.已知等差数列
na
满足
2
4
a
，
4
5
2
7
a
a
，公比不为1
的等比数列
nb
满足
3
4
b
，
4
5
1
2
8
b
b
b
b
.
(1)求
na
与
nb
的通项公式；
(2)设
n
n
n
c
a b
，求
nc
的前n 项和
n
S .
2.已知数列
na
的前n 项和为
*
1
1
,
1,
1
1
N ,
2
n
n
n
S
a
a
S
n
且
1
2
3
3 ,4
,
13
a
a a
成等差数列.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
4
1
log
n n
n
a b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
3.在等差数列
na
中，
4
7
a
，
3
8
2
35
a
a
，数列
nb
的前n 项和为
n
S ，且3
2
1
n
n
b
S
.
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)若
n
n
n
a
c
b
，求数列
nc
的前n 项和
nT .
4.已知各项均为正数的数列
na
，
nb
满足：
1
1
a ，
2
2
1
2
1
n
n
a
a
n
，
3
log
n
n
a
b
．
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)求数列
n n
a b
的前n 项和
n
S ．
题型八：等差数列与等比数列的综合问题
1.（多选）已知
na
为等比数列，
n
S 是其前n 项和.若
3
7
5
4
16
,
a a
a a
与
5
2a 的等差中项为20，则（
）
A．
1
1
a
B．公比
2
q
C．
1
2n
na
D．
2
1
n
n
S
2.已知数列
na
是以3 为首项，公差不为0 的等差数列，且
1a ，
3
a ，
9a 成等比数列．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
27
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
3.在数列
na
中，
1
2
0,
2
a
a
，若
2
1
2
2
1
,
,
n
n
n
a
a
a
成等差数列，
2
2
1
2
2
,
,
n
n
n
a
a
a
成等比数列，则
8a
.
4.已知等差数列
na
中，
2
3
a
，公差
0
d
;等比数列
nb
中，
3
1
b
a
，
1 b 是
2a 和
3
a 的等差中项，
2b 是
1a 和
2a 的等差中项．
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)求数列{
}
n
n
a
b
的前n 项和
n
S ；
(3)记
,
n
n
n
c
a
b
比较
1
nc 与
nc 的大小.
5.已知等差数列
na
公差为2，且
1a ，
2a ，
4a 恰为等比数列
nb
的前三项．
(1)求数列
nb
的通项公式；
(2)若数列
nc
满足
1
n
n
n
n
c
a
b
，求
nc
的前n 项和
n
S ．
6.设
na
是公差不为0 的等差数列，
3
8
a
，
1
3
11
,
,
a a a 成等比数列．
(1)求
na
的通项公式：
(2)设
1
3
n
n
n
b
a a
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
题型九：等比数列求和在传统文化中的应用
1.某书院数科考试中有这样一道题：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，
复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒．故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，
如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山．问：夫子切了六斤桃花一共饮了几壶酒？（
）
A．15
8
B．47
16
C．23
8
D．
31
16
2.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六
日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走
的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后3天共走的里程数为（
）
A．6
B．12
C．18
D．42
3.南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列
na
本身不是等差数列，
但从
na
数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列
nb （则称数列
na
为一阶等差数列），
或者
nb
仍旧不是等差数列，但从
nb
数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列
nc
（则
称数列
na
为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定
义高阶等比数列，设数列
na
：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则
10
3
1
log
n
n
a
的值为（参考公式：
2
2
2
1
2
1
2
1
6
n
n
n
n
）（
）
A．60
B．120
C．240
D．480
4．（1）《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其
数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是一个整数除以三余二、除以五余三、
除以七余二，求这个整数.设这个整数为a ，当
10
2,2
a
时，试求符合条件的a 的个数.
（2）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠“壮壮”日二尺，小鼠'果果
'亦二尺.大鼠·壮壮'日自三分之二，小鼠‘果果'日自半.问:何日相逢?各穿几何?”意思就是说，有一堵十尺厚的
墙，两只老鼠从两边向中间打洞，大老鼠“壮壮”第一天打二尺，小老鼠“果果”也是二尺.大老鼠“壮壮”每天
的打洞进度是前一天的2
3 倍，小老鼠“果果”每天的进度是前一天的
1
2 倍.问第300 天结束时，两只老鼠“壮
壮”与“果果”是否能喜相逢?请说明理由.
模块三：综合巩固
1．等比数列
na
中，
3
9
a
，且前三项和为
3
27
S
，则公比q 的值是（
）
A．1
B．
1
2
C．1 或
1
2
D．－1 或
1
2
2．设等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
10
5
1
2
S
S
，则
15
5
S
S
（
）
A．1
3
B．
1
2
C．2
3
D．3
4
3．若等比数列
na
中的
5a ，2019
a
是方程
2
4
3
0
x
x
的两个根，则
3
1
3
2
3
3
3
2023
log
log
log
log
a
a
a
a
等
于（
）
A．2024
3
B．1011
C．2023
2
D．1012
4.设
n
S 为公比为q的等比数列
na
的前n 项和，且
3
2
2
7
S
a
，则q （
）
A．15
2
B．2
C．
1
2 或15
4
D．
1
2 或2
5.已知数列
na
是递增的等比数列,且
1
4
9
a
a
,
2
3
8
a a
,则数列
na
的前n 项和为（
）
A．2
1
n
B．
1
16 1
2
n
C．
1
2
1
n
D．
1
1
16 1
2
n
6.大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项依次是0 、2 、4、
8、12、18、24 、32、40 、50.其通项公式为
2
2
1,
2
,
2
n
n
n
a
n
n
为奇数
为偶数
如果把这个数列{
}
na
排成如下图形状，
并记
( , )
A m n 表示第m 行中从左向右第n 个数，则
(11,8)
A
的值为（
）
A．1984
B．2048
C．5724
D．5832
7.若
1 3
9
3 n
f n
，则
f n 的值为（
）
A．3
1
n
B．3
1
2
n
C．
1
3
1
2
n
D．
1
3
1
2
n
8.在等比数列
na
中，
2
4
32
a
a
，
6
8
16
a
a
，则
10
12
14
16
a
a
a
a
（
）
A．8
B．10
C．12
D．14
9.已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
1
4
S
S
，则
16
4
8
S
S
S
（
）
A．8
B．9
C．16
D．17
10．已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
8
1
3
S
S
，则
4
12
S
S
（
）
A．3
2
B．1
3
C．2
3
D．1
7
11.数列
1
2n
na
，其前n 项和为
nT ，若不等式
2
log
4
1
2
3
n
n
T
n
n
对一切
*
nN 恒成立，则实数
的取值范围为（
）
A．3
4
B．
2 2
C．
2 2
3
D．
1
12.(多选)已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
3
2
a
，
3
42
S
，则数列
na
的公比可能是（
）
A．
1
4
B．1
4
C．
1
5
D．1
5
13.(多选)等差数列
na
的公差为d ，前n 项和为
n
S ；等比数列
nb
的各项均为正数，公比为q，前n项和
为
nT ，下列说法正确的是（
）
A．
2 n
a
是等比数列，公比为2d
B．
2
log
nb
是等差数列，公差为
2
log q
C．若
*
N
k
，则
kS ，
2k
k
S
S
，
3
2
k
k
S
S
成等差数列，公差是kd
D．若
*
k N ，则
kT ，
2k
k
T
T
，
3
2
k
k
T
T
成等比数列，公比是
k
q
14．已知数列
na
是等比数列，且
1
1
a ，
8
7
5
4
27
a
a
a
a
，则
1
na
的前n 项和为（
）
A．
2
3
1
n
B．3
1
1
2 3n
C．3
1
1
4
3
n
D．
3
1
4
n
15．在等比数列{
na }中，
1
4
8,
1
a
a
．记
1
2
1,2,
n
n
T
a a
a
n
，则数列{
nT }（
）
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
16.在等比数列
na
中，
2
5
2,
16
a
a
，则
1
1
2
3
( 1)n
n
a
a
a
a
.
17.已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
1
5 3n
n
S
t
，则t
.
18.已知等差数列
na
中，
2
3
a
，公差
0
d
;等比数列
nb
中，3
1
b
a
，
1 b 是
2a 和
3
a 的等差中项，2b 是
1a 和
2a 的等差中项．
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)求数列{
}
n
n
a
b
的前n 项和
n
S ；
(3)记
,
n
n
n
c
a
b
比较
1
nc 与
nc 的大小.
19.已知公差为正数的等差数列
na
满足
1
1
3
4
1,2 ,
1,
1
a
a a
a
成等比数列．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
2
5
,
a a 分别是等比数列
nb
的第1 项和第2 项，求使数列
2
nb
的前n 项和
299
300
nT
的最大正整数n ．
