5.11 三角函数中w 取值范围问题
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：与y＝Asin(ωx＋φ)的对称性有关 ......................................2
考点二：对称性与周期性在其他函数中拓展 .......................................2
考点三：与单调性有关 .................................................................2
考点四：与平移相关 ....................................................................2
考点五：与零点相关 ....................................................................2
考点六：与最值相关 ....................................................................2
模块二：题型分类 .........................................................................3
题型一：单调性中ω取值范围问题 ...................................................3
题型二：对称轴中ω取值范围问题 ...................................................7
题型三：对称轴中心与ω取值范围问题 ...........................................10
题型四：平移伸缩中ω 取值范围问题 .............................................16
题型五：零点与ω取值范围问题 ....................................................21
题型六：最值与ω 取值范围问题 ...................................................27
题型七：极值与ω 取值范围问题 ...................................................33
模块三：综合巩固 .......................................................................35
5.11 三角函数中w 取值范围问题
模块一：基础知识
考点一：与y＝Asin(ωx＋φ)的对称性有关
𝑓(𝑥) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+ 𝜑)的最小正周期是𝑇=
2𝜋
|𝜔|，所以𝜔=
2𝜋
𝑇，也就是说只要确定了周期T，就可以确定𝜔的
取值.
1.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离为𝑇
2；
2.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离为𝑇
2；
3.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离为𝑇
4；
4.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个最大值（或最小值）之间在x 轴上距离为T；
5.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个最值之间在x 轴上距离为𝑇
2；
考点二：对称性与周期性在其他函数中拓展
1.若f(x)同时关于直线x=a、直线x=b 对称，则函数f(x)的一个周期是2|b-a|；
2.若f(x)同时关于点(a,0)、点(b,0)中心对称，则函数f(x)的一个周期是2|b-a|；
3.若f(x)同时关于直线x=a、、点(b,0)中心对称，则函数f(x)的一个周期是4|b-a|.
考点三：与单调性有关
已知函数𝑦= 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+ 𝜑)(𝐴> 0,𝜔> 0)，在[𝑥1,𝑥2]上单调递增（或递减），求𝜔的取值范围
第一步：根据题意可知区间[𝑥1,𝑥2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，
即𝑥2−𝑥1 ≤
1
2𝑇=
𝜋
𝜔，求得0 < 𝜔≤
𝜋
𝑥2−𝑥1.
第二步：以单调递增为例，利用[𝜔𝑥1 + 𝜑,𝜔𝑥2 + 𝜑] ⊆[−
𝜋
2 +2𝑘𝜋,
𝜋
2 +2𝑘𝜋]，解得𝜔的范围；
第三步：结合第一步求出的𝜔的范围对𝑘进行赋值，从而求出𝜔（不含参数）的取值范围.
考点四：与平移相关
1、平移后与原图象重合
思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；
思路2：平移前的函数
( )
f x =平移后的函数
( )
g x .
2、平移后与新图象重合：平移后的函数
( )
f x =新的函数
( )
g x .
3、平移后的函数与原图象关于y 轴对称：平移后的函数为偶函数；
4、平移后的函数与原函数关于x 轴对称：平移前的函数
( )
f x =平移后的函数-
( )
g x ；
5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
考点五：与零点相关
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k 个零点，需要确定含有k 个零点的区间长度，一般和
周期相关，若在在区间至多含有k 个零点，需要确定包含k+1 个零点的区间长度的最小值．
考点六：与最值相关
三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就
是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.
模块二：题型分类
题型一：单调性中ω取值范围问题
1.已知函数
sin
0
6
f x
x
在区间
,
2
内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．2 ,1
3
B．2 4
,
3 3
C．
1,2
D．3 ,2
2
【答案】B
【详解】解：依题意2
2
2
T
，即T
，又
2
T
，所以
2
0
，解得0
2
，
又
,
2
x
，所以
,
2
6
6
6
x
，所以
7
6
6
6
2
，
要使函数在
,
2
内单调递减，所以
2
2
6
3
6
2
，解得2
4
3
3
，即
2 4
,
3 3
；故选：B
2.若直线
π
4
x
是曲线
π
sin
(
0)
4
y
x
的一条对称轴，且函数
π
sin(
)
4
y
x
在区间[0，π
12 ]上不单调，
则的最小值为（ ）
A．9
B．7
C．11
D．3
【答案】C
【详解】因直线
π
4
x
是曲线
π
sin
(
0)
4
y
x
的一条对称轴，则π
π
π ,
N
4
4
2
k
k
，即
4
3,
N
k
k
，
由
π
π
π
2
4
2
x
得
π
3π
4
4
x
，则函数
π
sin(
)
4
y
x
在
π
3π
[
,
]
4
4
上单调递增，
而函数
π
sin(
)
4
y
x
在区间
π
[0,
]
12 上不单调，则3π
4
12
，解得
9
，
所以的最小值为11.
故选：C
3.设
0
，若函数
π
( )
2cos
2
f x
x
在
π π
,
4 2
上单调递增，则的取值范围是（ ）
已知函数𝑦= 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+ 𝜑)(𝐴> 0,𝜔> 0)，在[𝑥1,𝑥2]上单调递增（或递减），求𝜔的取值范围
第一步：根据题意可知区间[𝑥1,𝑥2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，
即𝑥2−𝑥1 ≤
1
2𝑇=
𝜋
𝜔，求得0 < 𝜔≤
𝜋
𝑥2−𝑥1.
第二步：以单调递增为例，利用[𝜔𝑥1 + 𝜑,𝜔𝑥2 + 𝜑] ⊆[−
𝜋
2 +2𝑘𝜋,
𝜋
2 +2𝑘𝜋]，解得𝜔的范围；
第三步：结合第一步求出的𝜔的范围对𝑘进行赋值，从而求出𝜔（不含参数）的取值范围.
A．
1
0, 2
B．
3
1, 2
C．
3
0, 2
D．(0,1]
【答案】D
【详解】
π
( )
2cos
2sin
2
f x
x
x
，
由
,
4 2
x
，
0
，可得
,
4
2
x
，
根据正弦函数的单调性，可得：
4
2
2
2
，又
0
，
所以0
1
，即
(0,1]
.
故选：D.
4.若函数
3sin
cos
0
5
5
f x
x
x
在
2
0, 3
上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．
0,1
B．
4
0, 5
C．4 ,1
5
D．1 4
,
2 5
【答案】B
【详解】
3sin
cos
2sin(
)
2sin(
)
5
5
5
6
30
f x
x
x
x
x
，
2
0, 3
x
时，
2
[
,
]
30
30
3
30
x
，
因为函数
f x 在
2
0, 3
上单调递增，所以有2
3
30
2
，
解得
4
5
，因为
0
，所以的取值范围是
4
0, 5
，
故选：B.
5.已知函数
sin
0
f x
x
的一个对称中心为
,0
3
，
f x 在区间5
,
6
上不单调，则的
最小正整数值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】由函数
sin
0
f x
x
的一个对称中心为
,0
3
，
可得
(
)
sin(
)
0
3
3
f
，
所以
1
3
k
，
1k
Z
，
1
3
k
，
1k
Z
，
cos
f
x
x
，
由
f x 在区间5
,
6
上不单调，
所以
cos
0
f
x
x
在区间5
,
6
上有解，
所以
2
2
(
)
2
x
k
k
Z
，在区间5
,
6
上有解，
所以
1
2
2
(
)
3
2
x
k
k
k
Z
，
所以
2
3
k
x
，
2
1
k
k
k
Z
，
又
5
,
6
x
，所以
7
4
(
,
)
3
6
3
x
，
所以
3
6
3
6
2
(
,
)
8
7
3
k
k
k
x
，
当
2
k
时，
15 15
(
,
)
8
7
，
此时的最小正整数为2 .
故选：B
6.若函数f(x) = sin(ωx +
π
6 )(ω > 0)在0,
2π
3 上恰有两个零点，且在−
π
12 ,
π
12 上单调递增，则ω的取
值范围是（ ）
A．11
4 ,4
B．11
4 ,4
C．11
4 ,
17
4 D．11
4 ,
17
4
【答案】B
【分析】有函数在𝟎,
𝟐π
𝟑区间上有两个零点可知𝟐π ≤𝝎⋅
𝟐π
𝟑
+
π
𝟔< 𝟑π，由𝒇(𝒙)在−
π
𝟏𝟐,
π
𝟏𝟐上单调递增
可求出𝝎的取值范围，然后联立即可求出答案.
【详解】解：由题意得：
∵函数𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒙+
π
𝟔)(𝝎> 𝟎)在𝟎,
𝟐π
𝟑上恰有两个零点，
∴ 𝟐π ≤𝝎⋅
𝟐π
𝟑
+
π
𝟔< 𝟑π，
解得：
𝟏𝟏
𝟒≤𝝎<
𝟏𝟕
𝟒①，
又∵𝒇(𝒙)在−
π
𝟏𝟐,
π
𝟏𝟐上单调递增，
∴
−π
𝟏𝟐𝝎+ π
𝟔≥−π
𝟐
π
𝟏𝟐𝝎+ π
𝟔≤π
𝟐
𝝎> 𝟎
，解得：𝟎< 𝝎≤𝟒②，
由①②式联立可知𝝎的取值范围是𝟏𝟏
𝟒,𝟒.
故选：B
7.已知函数f(x) = sin ωx−
π
4
+1(ω > 0)在0,
π
6 上单调递增，在π
3 ,
π
2 上单调递减，则ω的取值范
围是（ ）
A．9
4 ,
7
2 B．7
2 ,
9
2 C．7
4 ,
9
4 D．7
4 ,
9
2
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的单调性及已知区间单调性求参数范围即可.
【详解】当𝒙∈𝟎, π
𝟔时，𝝎𝒙−
π
𝟒∈
−
π
𝟒,
π
𝟔𝝎−π
𝟒，
因为𝒇(𝒙)在𝟎, π
𝟔上单调递增，所以
π
𝟔𝝎−
π
𝟒≤
π
𝟐，解得𝟎< 𝝎≤
𝟗
𝟐.
当𝒙∈
π
𝟑,
π
𝟐时，𝝎𝒙−
π
𝟒∈
π
𝟑𝝎−π
𝟒,
π
𝟐𝝎−π
𝟒，
因为𝟎< 𝝎≤
𝟗
𝟐，所以𝝎𝒙−
π
𝟒∈
−
π
𝟒,𝟐π .
因为𝒇(𝒙)在π
𝟑,
π
𝟐上单调递减，所以
π
𝟑𝝎−
π
𝟒≥
π
𝟐且
π
𝟐𝝎−
π
𝟒≤
𝟑π
𝟐，解得
𝟗
𝟒≤𝝎≤
𝟕
𝟐，
又𝟎< 𝝎≤
𝟗
𝟐，所以𝝎的取值范围是𝟗
𝟒,
𝟕
𝟐.
故选：A
8.已知函数f(x) = |sinωx| + |cosωx|(ω > 0)在区间(
π
4 ,π)上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A．0，
1
4 B．1
4 ，1
C．0，
1
2 D．1
2 ，1
【答案】A
【分析】根据题意，化简𝒇(𝒙) =
𝟏+
𝟏−𝐜𝐨𝐬𝟒𝝎𝒙
𝟐
，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数𝒇(𝒙) = |𝐬𝐢𝐧𝝎𝒙| + |𝐜𝐨𝐬𝝎𝒙| =
(|𝐬𝐢𝐧𝝎𝒙| + |𝐜𝐨𝐬𝝎𝒙|)𝟐=
𝟏+ 𝟐|𝐬𝐢𝐧𝝎𝒙||𝐜𝐨𝐬𝝎𝒙| =
𝟏+ 𝟐|𝐬𝐢𝐧𝝎𝒙𝐜𝐨𝐬𝝎𝒙| =
𝟏+ |𝐬𝐢𝐧𝟐𝝎𝒙| =
𝟏+
𝟏−𝐜𝐨𝐬𝟒𝝎𝒙
𝟐
，
令𝟐𝒌π ≤𝟒𝝎𝒙≤𝟐𝒌𝝅+ 𝝅,𝒌∈Z，解得
𝒌π
𝟐𝝎≤𝒙≤
(𝟐𝒌+ 𝟏)π
𝟒𝝎
,𝒌∈Z，且𝝎> 𝟎，
即函数𝒇(𝒙)的单调递增区间为[
𝒌π
𝟐𝝎,
(𝟐𝒌+ 𝟏)π
𝟒𝝎
],𝒌∈Z且𝝎> 𝟎，
要使得𝒇(𝒙)在区间(
π
𝟒,π)上单调递增，
则满足
𝒌π
𝟐𝝎≤π
𝟒
(𝟐𝒌+ 𝟏)π
𝟒𝝎
≥π
,𝒌∈Z，解得𝟐𝒌≤𝝎≤
𝟐𝒌+ 𝟏
𝟒
,𝒌∈Z，其中𝝎> 𝟎，
又由
𝟐𝒌≤
𝟐𝒌+ 𝟏
𝟒
𝟐𝒌+ 𝟏
𝟒
> 𝟎
，解得−
𝟏
𝟐< 𝒌≤
𝟏
𝟔，因为𝒌∈Z，所以𝒌= 𝟎，
所以𝟎< 𝝎≤
𝟏
𝟒，即实数𝝎的取值范围为𝟎，
𝟏
𝟒.
故选：A.
题型二：对称轴中ω取值范围问题
1.函数
cos
(
0)
3
f
x
x
的图像关于直线
2
x
对称，则可以为（ ）
A．1
3
B．
1
2
C．2
3
D．1
【答案】C
【详解】
( )
cos(
)(
0)
3
f x
x
对称轴为：
2
2
(
0)(
)
3
2
3
3
x
k
k
k
k
Z
当
0
k
时，取值为2
3 .
故选:C.
2.已知函数
2
1
3sin
cos
cos
(
0,
)
2
f x
x
x
x
x
R
在
0,内有且仅有三条对称轴，则的取值范
围是（ ）
A．2 7
3 6
,
B．7 5
,
6 3
C．5 13
,
3 6
D．13 8
,
6 3
【答案】B
【分析】把
f x 先降幂，再辅助角公式化简成
sin
f x
A
x
，根据
0,π
x
求出
x
的范围，
根据图像观察再确定右端点的取值范围.
【详解】解：
0,π
x
时，函数
𝑓(𝑥) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+ 𝜑)的最小正周期是𝑇=
2𝜋
|𝜔|，所以𝜔=
2𝜋
𝑇，也就是说只要确定了周期T，就可以确定
𝜔的取值.
1.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离为𝑇
2；
2.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离为𝑇
2；
3.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离为𝑇
4；
4.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个最大值（或最小值）之间在x 轴上距离为T；
5.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个最值之间在x 轴上距离为𝑇
2；
2
1
3
1
1
π
3sin
cos
cos
sin2
1 cos2
sin 2
,
0,π
2
2
2
2
6
f x
x
x
x
x
x
x
x
，则
π
π
π
2
,2 π
6
6
6
x
，函数
f x 在
0,π 内有且仅有三条对称轴，则：满足5π
π
7π
2 π
2
6
2
，解得
7
5
6
3
，即实数的取值范围是7 5
,
6 3
.
3.若定义在R上的函数f(x) = sinωx + cosωx(ω > 0)的图象在区间[0,π]上恰有5 条对称轴，则ω的取
值范围为（ ）
A．17
4 ,
21
4 B．17
4 ,
25
4 C．17
4 ,
25
4 D．33
4 ,
41
4
【答案】A
【分析】求出函数的对称轴方程为𝒙=
(𝟏+ 𝟒𝒌)π
𝟒𝝎
，𝒌∈𝒁，原题等价于𝟎≤
(𝟏+ 𝟒𝒌)π
𝟒𝝎
≤π有5 个整数k 符合，
解不等式𝟒× 𝟒+ 𝟏≤𝟒𝝎< 𝟒× 𝟓+ 𝟏即得解.
【详解】由已知，𝒇(𝒙) =
𝟐𝐬𝐢𝐧𝝎𝒙+
𝛑
𝟒，
令𝝎𝒙+
𝛑
𝟒= 𝒌𝛑+
𝛑
𝟐，𝒌∈𝒁，得𝒙=
(𝟒𝒌+ 𝟏)𝛑
𝟒𝝎
，𝒌∈𝒁，
依题意知，有5 个整数k 满足𝟎≤
(𝟒𝒌+ 𝟏)𝛑
𝟒𝝎
≤𝛑，即𝟎≤𝟒𝒌+ 𝟏≤𝟒𝝎，
所以𝒌= 𝟎,𝟏,𝟐,𝟑,𝟒，则𝟒× 𝟒+ 𝟏≤𝟒𝝎< 𝟒× 𝟓+ 𝟏，故
𝟏𝟕
𝟒≤𝝎<
𝟐𝟏
𝟒，
故选：A．
4.已知函数
( )
cos
(
0)
4
π
f x
x
在区间[0, ]
上恰有两条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．7 11
,
4 4
B．5 9
,
4 4
C．7 11
,
4 4
D．5 9
,
4 4
【答案】A
【解析】因为0
π
x
，所以π
π
π
π
4
4
4
x
，
因为函数
π
( )
cos
(
0)
4
f x
x
在区间[0, ]
恰有两条对称轴，
所以
π
2π
π
3π
4
，解得7
11
4
4
，故选：A
5.若函数
3cos
sin
0
y
x
x
在区间
π ,0
3
上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A．1
2 ,7
2 B．1
3 ,7
6 C．1
3 ,7
3 D．1
2 ,7
2
【答案】D
【解析】
π
3 cos
sin
2cos
6
y
x
x
x
，
因为
π ,0
3
x
，
0
，所以
π
π
π π
,
6
3
6 6
x
，
因为
π
2cos
6
y
x
区间
π ,0
3
上恰有唯一对称轴，
故
π
π
π,0
3
6
，解得
1 7
,
2 2
，故选：D
6．已知函数
π
( )
cos(
)
0,0
2
f x
x
的最小正周期为T，若
1
( )
2
f T
，且函数
( )
f x 的图象关于
直线
7π
3
x
对称，则的最小值为（ ）
A．3
B．5
3
C．2
7
D．1
7
【答案】C
【分析】先根据
1
( )
2
f T
，求得，再根据余弦函数的对称性即可得出答案.
【详解】
2π
T
，
1
( )
cos 2π
cos
2
f T
，
因为
π
0
2
，所以
π
3
，
则
π
( )
cos
0
3
f x
x
，
又因函数
( )
f x 的图象关于直线
7π
3
x
对称，
所以7π
π
π,
Z
3
3
k
k
，所以
3
1,
Z
7
k
k
，
又因为
0
，
所以当
1
k 时，
min
2
7
.
故选：C.
7．若存在实数
π
0, 2
，使得函数
π
sin
0
3
y
x
的图象关于直线x
对称，则的取值范围
为（ ）
A．1 ,
3
B．1 ,
6
C．1 ,
3
D．
1
0, 6
【答案】C
【分析】以
π
3
为整体结合正弦型函数的性质求出结果.
【详解】因为
π
0, 2
，且
0
，则
π
π π
π
,
3
3 2
3
，
若函数
π
sin
0
3
y
x
的图象关于直线x
对称，
则π
π
π
2
3
2
，解得
1
3
.
故选：C.
8．若存在唯一的实数
π
0, 2
t
，使得曲线
π
cos
0
4
y
x
关于直线x
t
对称，则的取值范围
是（ ）
A．3 7
,
4 4
B．3 7
,
4 4
C．3 7
,
2 2
D．3 7
,
2 2
【答案】C
【分析】利用诱导公式可得
π
sin
0
4
y
x
，根据由题意知
2
π
π
π,
4
t
k
k
Z 在
π
0, 2
t
上有唯
一的实根，结合正弦函数性质即可求解的取值范围.
【详解】
π
π
cos
sin
0
4
4
y
x
x
,
因为曲线关于直线x
t
对称，
所以
2
π
π
π,
4
t
k
k
Z ，得
4
3π
π,
t
k
k
Z ，
π
0, 2
t
.
因为存在唯一的实数
π
0, 2
t
,使得曲线
π
π
cos
sin
0
4
4
y
x
x
关于直线x
t
对称,所以
3π
π,
4
k
k
Z只有唯一的值落在
π
0, 2
0
中,
故有
3π
π
0
3
7
4
2
7π
π
2
2
4
2
.
故选:C.
题型三：对称轴中心与ω取值范围问题
1．已知函数
2sin
y
x
，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点
1,0 是函数的一个对称点，
则和的值可能是（ ）
A．
π
π
,
3
3
B．
π
2π
,
3
3
C．
π
π
,
3
3
D．
π
2π
,
3
3
【答案】D
【分析】由题意首先得
π
3
，进一步由
π,
Z
k k
，对比选项即可得解.
【详解】由题意函数的周期T 满足，
2
2
2π
5
4
3
2
2
T
，所以
π
3
，
又点
1,0 是函数的一个对称点，所以
π,
Z
k k
，
所以
π
3
π
π
,
Z
3
k
k
或
π
3
π
π
,
Z
3
k
k
，对比选项可知，只有当
π
3
2π
3
=1
k
时满足题意.
故选：D.
2.已知函数f(x) = 3tan ωx
2 +
π
3 （ω > 0）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为
π
4 ，则ω =
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【分析】由正切函数的性质得出𝑻=
π
𝟐，继而由周期公式得出𝝎.
【详解】解：设𝒇(𝒙)的最小正周期为𝑻，由函数𝒇(𝒙) = 𝟑tan
𝝎𝒙
𝟐+
π
𝟑（𝝎> 𝟎）的图象上相邻两
个对称中心之间的距离为
π
𝟒，知
𝑻
𝟐=
π
𝟒，𝑻=
π
𝟐，
又因为𝑻=
π
𝝎
𝟐，所以
π
𝟐=
π
𝝎
𝟐，即
𝝎
𝟐=
π
π
𝟐= 𝟐，则𝝎= 𝟒．
故选：B．
3.若存在实数φ ∈(−
π
2 ,0)，使得函数y = sin ωx +
π
6 (ω>0)的图象的一个对称中心为(φ，0)，则ω
的取值范围为（ ）
A．1
3 , + ∞ B．1
3 ,1
C．1
3 , + ∞
D．1,
4
3
【答案】C
【分析】根据正弦型函数的对称性进行求解即可.
【详解】由于函数𝒚= sin 𝝎𝒙+ π
𝟔(𝝎> 𝟎)的图象的一个对称中心为(𝝋,𝟎)，所以𝝎𝝋+
π
𝟔= 𝒌π(𝒌∈Z)，
所以𝝋=
𝒌π−
π
𝟔
𝝎
，
由于𝝋∈−
π
𝟐,𝟎，则−
π
𝟐<
𝒌π−
π
𝟔
𝝎
< 𝟎，
因为𝝎> 𝟎，所以可得：
𝒌π < π
𝟔
𝝎> −𝟐𝒌+
𝟏
𝟑> 𝟎
𝒌∈𝐙
⇒
𝒌<
𝟏
𝟔
𝝎> −𝟐𝒌+
𝟏
𝟑
𝒌∈Z
⇒𝝎>
𝟏
𝟑，
故选：C
4.已知函数f(x) = sin(ωx + φ) (ω > 0)的图象的一个对称中心为π
2 ,0 ，且f π
4
=
1
2，则ω的最小值
为
A．
2
3 B．1
C．
4
3 D．2
【答案】A
【分析】由函数图象的对称中心为𝝅
𝟐，𝟎列方程，由𝒇𝝅
𝟒
=
𝟏
𝟐整理出方程并求解，联立方程组表示出𝝎，
结合𝒌∈𝒛及𝝎> 𝟎得到𝝎的范围，从而求解．
【详解】因为函数𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒙+ 𝝓)(𝝎＞𝟎)的图象的一个对称中心为𝝅
𝟐，𝟎，所以𝒇𝝅
𝟐= 𝟎，整理得：
𝐬𝐢𝐧𝝎
𝝅
𝟐+ 𝝓= 𝟎，
所以𝝎
𝝅
𝟐+𝝓= 𝒌𝝅(𝒌∈𝒛)，
又𝒇𝝅
𝟒
=
𝟏
𝟐，即：𝐬𝐢𝐧𝝎
𝝅
𝟒+ 𝝓
=
𝟏
𝟐，
所以𝝎
𝝅
𝟒+𝝓= 𝟐𝒌𝟏𝝅+
𝝅
𝟔(𝒌∈𝒛)或𝝎
𝝅
𝟒+𝝓= 𝟐𝒌𝟏𝝅+
𝟓𝝅
𝟔(𝒌∈𝒛)
由
𝝎
𝝅
𝟐+ 𝝓= 𝒌𝝅(𝒌∈𝒛)
𝝎
𝝅
𝟒+ 𝝓= 𝟐𝒌𝟏𝝅+
𝝅
𝟔(𝒌∈𝒛)
𝝎> 𝟎
得：𝝎= 𝟒(𝒌−𝟐𝒌𝟏)−
𝟐
𝟑≥
𝟏𝟎
𝟑，
由
𝝎
𝝅
𝟐+ 𝝓= 𝒌𝝅(𝒌∈𝒛)
𝝎
𝝅
𝟒+ 𝝓= 𝟐𝒌𝟏𝝅+
𝟓𝝅
𝟔(𝒌∈𝒛)
𝝎> 𝟎
得：𝝎= 𝟒(𝒌−𝟐𝒌𝟏)−
𝟏𝟎
𝟑≥
𝟐
𝟑，
所以的最小值为
𝟐
𝟑
故选A
【点睛】本题主要考查了三角函数性质，及解三角方程，注意𝒌∈𝒛及𝝎> 𝟎这个要求
5.已知函数
π
sin
(
0)
4
f x
x
图象关于直线
π
4
x
对称，且关于点
π ,0
12
对称，则的值可能是
（ ）
A．5
B．9
C．13
D．15
【答案】B
【分析】根据正弦型函数的对称轴和对称中心求出的表达式，然后结合选项判断.
【详解】函数
π
sin
(
0)
4
f x
x
图象关于直线
π
4
x
对称，且关于点
π ,0
12
对称，
则有
π
π
π
π
Z
4
4
2
k
k
且
π
π
π
Z
12
4
m
m
，
解得
1
4
Z
k k
且
12
3
Z
m
m
，
选项中只有
9
符合条件.
故选：B
6.若函数
sin
4
f x
x
在区间
,0
12
内单调，且
,0
8
P
是
f x 的一个对称中心，则的值可以
是（ ）
A．6
B．10
C．9
D．4
【答案】A
【详解】
π
π
sin ω
0
8
4
,解得
π
π
ω
8
4
k
,ω
8
2
k
(k∈Z)
若
0
,则
π
ω 12
4
2
，解得
9
；
若
0
，则
π
ω 12
4
2
，解得
3
；故
2
，或
6
，
如图所示，经检验符合题意.
故选：A.
7.已知函数
π
( )
sin
(
0)
6
f x
x
，对任意的xR ，都有
(
1)
(
)
f x
f
x
，且
( )
f x 在区间
π
π
,
4 12
上单
调，则的值为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．5π
6
D．2π
3
【答案】D
【分析】根据
(
1)
(
)
f x
f
x
，得函数
( )
f x 的对称轴为
1
2
x
，所以有
1
π
sin
1
2
6
，可得
1
π
π
π,
2
6
2
k
k
Z ，解得
2π
2 π,
3
k
k
Z ，再分类讨论又
( )
f x 在区间
π
π
,
4 12
上单调递增和递减两
种情况，对每一种情况列出关于的不等式组，解之可求得的值.
【详解】因为
(
1)
(
)
f x
f
x
，所以函数
( )
f x 的对称轴为
1
2
x
，
所以
1
π
sin
1
2
6
，即1
π
π
π
2
6
2
k
，k Z ，
解得
2π
2 π
3
k
，k Z ，
0
，
0
k
，k Z ，
①若
( )
f x 在区间
π
π
,
4 12
上单调递增，则
π
π
π
2 π
2 π
2
6
2
k
x
k
，k Z
0
，
1
2π
1
π
2 π
2 π
3
3
k
x
k
，k Z ，
π
1
2π
2 π
4
3
π
1
π
2 π
12
3
k
k
，即
1
1
2
2
4
3
1
1
1
2
12
3
k
k
，解得
8
8
3
k
，k Z ，
所以
8
0
8
3
k
，k Z ，且
2π
2 π
3
k
，k Z ，所以当
0
k
时，
2π
3
满足题意；
②若
( )
f x 在区间
π
π
,
4 12
上单调递减，则π
π
3π
2 π
2 π
2
6
2
k
x
k
，k Z
0
，
1
π
1
4π
2 π
2 π
3
3
k
x
k
，k Z ，
π
1
π
2 π
4
3
π
1
4π
2 π
12
3
k
k
，即
1
1
1
2
4
3
1
1
4
2
12
3
k
k
，解得
4
8
3
k
，k Z ，
所以
4
0
8
3
k
，k Z ，且
2π
2 π
3
k
，k Z ，此时无解，综上可得
2π
3
.
故选：D.
8．记函数
π
2cos
0,
2
f x
x
b
的最小正周期为T，若
2
4
T
f
，且函数
f x 的图象关
于点π , 3
6
对称，则当取得最小值时，
π
4
f
（ ）
A．2
B．
3
C．
3
3
D．
3
【答案】C
【分析】由
2
4
T
f
及
f x 的图象关于π , 3
6
对称列出关系式，求出
3
b ，
π
6
，再由
f x 的
图象关于π , 3
6
对称，可求的最小值，从而可求
π
4
f
的值．
【详解】由已知得
2
T
，
π
2cos
2sin
2
4
2
T
f
b
b
，
因为函数
f x 的图象关于π , 3
6
对称，所以
3
b ，
所以2sin
2sin
3
2
b
，所以
1
sin
2
，
又因为
π
2
，所以
π
6
，
π
2cos
3
6
f x
x
，
由
f x 的图象关于π , 3
6
对称得
π
π
cos
0
6
6
，
所以π
π
π
=
π,
Z
6
6
2
k
k
，即有
4
6
Z
k k
,
，
又因为
0
，所以当最小时，
4
ω=
，此时
π
2cos 4
3
6
f x
x
，
所以
π
π
2cos π
3
3
3
4
6
f
，
故选：C．
9．已知函数
sin
cos
f x
x
x
图象两个相邻的对称中心的间距为π
4 ，则下列函数为偶函数的是（ ）
A．
π
16
f
x
B．
π
8
f
x
C．
π
16
f
x
D．
π
8
f
x
【答案】C
【分析】求出
f x 的解析式后逐项计算，根据正弦型函数和余弦型函数的性质可判断各选项中的函数是
否为偶函数.
【详解】
π
sin
cos
2 sin
4
f x
x
x
x
，由题可知函数
f x 的最小正周期为π
2 ，
则
2π
π
2
T
，解得
4
ω=
，即
π
2 sin 4
4
f x
x
，
所以
π
π
π
2 sin 4
2 cos4
16
4
4
f
x
x
x
为偶函数.
因为
2 cos 4 0
2
，所以
π
16
f
x
为偶函数，故C 正确.
而
π
π
π
2 sin 4
2 sin 4
16
4
4
f
x
x
x
为奇函数，
因为
2 sin 4 0
0
，所以
π
16
f
x
为奇函数，故A 错误.
π
π
π
π
2 sin 4
2 sin 4
8
2
4
4
f
x
x
x
，
设
π
2 sin 4
4
g x
x
，则
0
1
g
，故
0
0,
0
2
g
g
，
故
π
8
f
x
为非奇非偶函数，故B 错误.
设
π
3π
2 sin 4
8
4
h x
f
x
x
，
则
0
1
h
，故
0
0,
0
2
h
h
，
故
π
8
f
x
为非奇非偶函数，故D 错误.
故选：C.
10.已知函数
sin
cos
0
f x
x
x
的图象的一个对称中心的横坐标在区间π π
,
4 2
内，且两个相邻对
称中心之间的距离大于π
3 ，则的取值范围为（ ）
A．
0,3 B．3 ,3
2
C．
3
0, 2
D．
1,3
【答案】B
【解析】因为
π
sin
cos
2 sin
0
4
f x
x
x
x
，
因为函数
f x 的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于π
3 ，
所以，函数
f x 的最小正周期T 满足
2π
3
T
，即2π
2π
3
，则0
3
，
由
π
π
4
x
k
k
Z 可得
4
1 π
4
k
x
k
Z ，
因为函数
f x 的图象的一个对称中心的横坐标在区间π π
,
4 2
内，
则
4
1 π
π
π
4
4
2
k
，可得4
1
4
1
2
k
k
，
又因为0
3
且存在，则
4
1
0
4
1
3
2
k
k
，解得1
7
4
4
k
，
因为k Z ，则
1
k ，所以，3
3
2
，故选：B.
11.已知函数
π
( )
sin
(
0)
3
f x
x
在(π,2π) 内不存在对称中心，则的取值范围为（ ）．
A．1 2
,
3 3
B．
2
0, 3
C．
1
0, 6
D．
1
1 2
0,
,
6
3 3
【答案】D
【解析】因为在(π,2π) 内不存在对称中心，故
2
2
2
2
T
，解得
1
，
又
(π,2π)
x
，
,2
3
3
3
x
，
故
3
2
(
1)
3
k
k
Z
k
，解得
1
2
3
2
3
k
k
k
Z
，
又0
1
，所以
0
k
，1
2
3
3
或
1
k ，
1
0
6
，
故的取值范围为
1
1 2
0,
,
6
3 3
，故选：D.
题型四：平移伸缩中ω 取值范围问题
1.将函数
( )
cos
,(
0)
f x
x
的图象向右平移3
个单位长度后，所得到的图象与原图象关于x 轴对称，则
的最小值为（ ）
A．1
3 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【解析】将函数
( )
cos
,(
0)
f x
x
的图象向右平移π
3 个单位长度后，得到函数
π
cos
y
x
3
的图象，
所以该图像与
( )
cos
,(
0)
f x
x
的图象关于
轴对称，
即
π
cos
cos
cos(
π)
x
x
x
3
恒成立，
则
π
(
)π,
Z
k
k
2
1
3
，即
(
),
Z
k
k
3 2
1
，
当
0
k
时，的最小正值为3，故选：B．
2.将函数
π
cos
(
0)
4
f x
x
的图象向右平移π
4个单位长度后得到函数
g x 的图象，若函数
y
g x
在区间
3π
0, 4
上单调递增，则的最大值为（ ）
A．1
3
B．2
3
C．1
D．3
【答案】B
【分析】先根据图象的平移变换得到
g x 的解析式，再根据
y
g x
在区间
3
0, 4
上单调递增，即可得
到的最大值.
【详解】根据题意得
π
π
π
cos
cos
sin
4
4
2
g x
x
x
x
，
又因为函数
y
g x
在区间
3π
0, 4
上单调递增，此时
3π
0,
4
x
，
所以3π
π
4
2
，解得
2
0
3
，所以的最大值为2
3 .
故选：B.
3.将函数
π
sin
6
f x
x
（
0
）的图象向右平移π
3 个单位长度后与函数
cos
g x
x
的图象重合，
则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题意可得
sin
s
3
π
π
π
π
3
3
6
6
π
in
y
f
x
x
x
cos
sin
2
π
x
x
，
∴
π
π
π
π
2
3
6
2
k
，k Z ，解得
6
1
k
，k Z ，
又
0
，∴当
1
k 时，取得最小值为5．故选：D.
4.将函数
π
4sin
(
0)
2
y
x
的图象分别向左、向右各平移π
6 个单位长度后，所得的两个图象对称轴
重合，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】将函数
π
4sin
(
0)
2
y
x
的图象分别向左、向右各平移π
6 个单位长度后，
得到
π
π
4sin
6
2
y
x
，
π
π
4sin
6
2
y
x
.
由两图象的对称轴重合，可得
π
π
π
π
π
π
Z
6
2
6
2
3
x
x
k
k
，
所以
=3
Z
k k
.
又
0
，故的最小值为3.故选：A.
5.已知函数
tan
0,
0
3
f x
A
x
A
的图象向左平移3
4
个单位长度后与原图象重合，则实数的
最小值是（ ）
A．4
3
B．8
3
C．16
3
D．8
【答案】A
【详解】由题可知，3
4
是该函数的周期的整数倍，即3
,
4
k k
Z ，解得
4 ,
3
k k
Z ，又
0
，故
其最小值为4
3 ．
故选：A．
6.已知函数
sin 2
cos2
1 0
1
f x
x
x
，将
f x 的图象先向左平移π
4 个单位长度，然后再向下平
移1 个单位长度，得到函数
g x 的图象，若
g x 图象关于π ,0
4
对称，则为（ ）
A．1
4
B．
1
2
C．2
3
D．3
4
【答案】A
【详解】
π
2 sin 2
1
4
f x
x
，
f x 的图象先向左平移π
4 个单位长度，然后再向下平移1 个单位长度，
得到函数
π
π
2
1
2 sin 2
2 sin 2
π
4
4
4
g x
x
x
，
故
2 π
2
1
4
1
2 sin
π
2 sin
π
0
4
π
4
4
4
g
，
所以4
1
1
π
π,
,
Z
4
4
k
k
k
，
由于0
1
，所以
1
4
.
故选：A
7.将函数
sin
f x
x
(其中
0
)的图像向右平移π
2 个单位长度，所得图像关于
π
6
x
对称，则的最小值
是
A．6
B．2
3
C．9
4
D．3
4
【答案】D
【详解】将
sin
f x
x
的图象向左平移π
2 个单位，可得
sin
sin
2
2
y
x
x
所得图象关于
π
6
x
，所以
,
6
2
2
k
k
Z
所以2
1 ,
3
2
k
k
Z
，即
3
3 ,
2
4
k
k
Z
由于
0
，故当
0
k
时取得最小值3
4 .
故选：D
8.将函数
π
cos
0
6
f x
x
的图象向左平移π
9 个单位长度得到函数
g x 的图象.若函数
g x 的图
象关于点π ,0
3
对称，则的最小值为
.
【答案】3
2
【详解】由题可得
6
π
π
π
π
cos
c s
9
9
6
o
g x
x
x
，
( )
g x 的图象关于点π ,0
3
对称，
所以π
π
π
π
π
,
Z
9
2
6
3
k
k
，解得
9
3 ,
Z
4
2
k
k
，
0
，故的最小值为3
2 .
故答案为：3
2 .
9.将函数
π
sin 2
3
y
x
的图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的
*
2 (
N
倍后，所得函数
( )
g x 的图像在区间(0,π) 上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，则的值为
．
【答案】2
【详解】由题可知
π
π
( )
sin 2
sin
2
3
3
g x
x
x
．
因为
π
(
)
0,
x
，所以
π
π
π
,
π
3
3
3
x
．
所以
π
sin ,
,3π
3
y
x x
的图像大致如图所示，
要使( )
g x 的图像在区间(0,π) 上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，
则
π
5π
2π
π
3
2
，解得5
13
3
6
，
因为
*
N ，所以
2
．
故答案为：2
10.将函数
sin
2cos
2 3sin
3
2
2
2
x
x
x
f x
(
0
)的图象向左平移π
3 个单位长度,得到曲线C .若
C 关于y 轴对称,则的最小值是
．
【答案】1
2 /0.5
【详解】
sin
2cos
2 3sin
3
2
2
2
x
x
x
f x
2
2sin
cos
2 3sin
3
2
2
2
1 cos
sin
2 3
3
2
sin
3 cos
2sin
.
3
x
x
x
x
x
x
x
x
设曲线C 所对应的函数为
g x ,则
2sin
3
3
3
g x
f
x
x
,
g x 的图像关于y 轴对称,
3
3
2
k
, k Z,
解得:
1
3
2
k
k Z ,
0
,
的最小值是
1
2 .
故答案为: 1
2 .
11.将函数f(x) = cos2x的图象向右平移
π
6 个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
1
ω
(ω > 1)，得到函数g(x)的图象，若在区间[0,π)内有5 个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．
23
12 ≤ω <
29
12 B．
23
12 < ω ≤
29
12
C．
29
12 ≤ω < 35
12 D．
29
12 < ω ≤35
12
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得𝒈(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬𝟐𝝎𝒙−π
𝟑，再根据余弦函数的图象可得
9π
𝟐< 𝟐𝝎π
−
π
𝟑≤
𝟏𝟏π
𝟐，求解即可.
【详解】将函数𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙的图象向右平移
π
𝟔个单位长度，得到𝒇𝒙−π
𝟔
= 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙−π
𝟔
= 𝐜𝐨𝐬
𝟐𝒙−π
𝟑的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
𝟏
𝝎(𝝎> 𝟏)，得到函数𝒈(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬𝟐𝝎𝒙−π
𝟑的图象.
𝒙∈[𝟎,π)时，𝟐𝝎𝒙−
π
𝟑∈
−
π
𝟑,𝟐𝝎π−
π
𝟑，
𝒚= 𝐜𝐨𝐬𝒙在𝒚轴右方的零点为𝒙=
π
𝟐,
𝟑π
𝟐,
𝟓π
𝟐,
𝟕π
𝟐,
𝟗π
𝟐,
𝟏𝟏π
𝟐,⋯
因为函数𝒈(𝒙)的图象在区间[𝟎,π)内有5 个零点，
所以
9π
𝟐< 𝟐𝝎π−
π
𝟑≤
𝟏𝟏π
𝟐，解得
𝟐𝟗
𝟏𝟐< 𝝎≤
𝟑𝟓
𝟏𝟐.
故选:D.
题型五：零点与ω取值范围问题
1.设函数
cos
f x
x
，其中
0
，若对任意的
,
6 4
，
f x 在
0,2上有且仅有4 个零点，
则下列的值中不满足条件的是（ ）
A．
13
6
B．
11
6
C．
5
4
D．
3
4
【答案】B
【详解】解：设t
x
，则
2
t
，所以
cos
y
t
在[，2
]
上有4 个零点，
可知7
9
2
2
2
，所以
9
7
4
2
4
2
，
又
[
,
]
6 4
，所以
9
7
6
4
4
2
2
4
，即5
3
8
17
，满足的只有B ，
故选：B ．
2.已知函数
sin
sin
0
6
3
f x
x
x
，若函数
f x 在区间
0,上有且只有两个零点，则
的取值范围为（ ）
A．5 4
,
6 3
B．5 4
,
6 3
C．6 4
,
5 3
D．6 4
,
5 3
【答案】B
【详解】
1
( )
sin(
)sin(
)
sin(
)cos(
)
sin(2
)
6
3
6
6
2
3
f x
x
x
x
x
x
，
因为0
π
x
，所以
2
3
)
2
0
3
(
3
x
.
又因为函数
f x 在区间(0, )
上有且只有两个零点，
所以2
3
3
2
，解得：5
4
6
3
.
故选：B
3．已知函数
π
( )
sin
(
0)
3
f x
x
在
π
0, 2
上没有零点，则的最大值为（ ）
A．1
B．4
3
C．3
2
D．2
3
【答案】B
【分析】根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为函数
π
( )
sin
(
0)
3
f x
x
在
π
0, 2
上没有零点，
所以
π
2
2
T
，即
π
T
，所以
2π
π
0
，解得0
2
，
由
π
0, 2
x
，则
π
π π
π
,
3
3
2
3
x
，
所以π
π
π
2
3
，解得
4
3
，
综上可得
4
0
3
，所以的最大值为4
3 .
故选：B
4.已知函数
sin
0
f
x
x
在区间
2 ,
3
3
上单调递增，且
1
f x 在区间[0,2 ]
上有且仅有一解，
则的取值范围是（ ）
A．
3
0, 4
B．3 3
,
4 2
C．1 5
,
4 4
D．1 3
,
4 4
【答案】D
【详解】因为
sin
0
f
x
x
，令
2
2
2
2
k
x
k
，k
Z
，
即
2
2
2
2
k
k
x
，k
Z
，
所以函数
f x 的单调递增区间为
2
2
,
2
2
k
k
，k
Z
，
又因为函数
f x 在
2 ,
3
3
上单调递增，
所以
2
2
2
,
,
3
3
2
2
k
k
，得
2
2
3
，且3
2
，
又因为
0
，
所以
3
0
4
，又
1
f x 在区间
0,2上有唯一的实数解，
所以1
2
2
4
，且5
2
2
4
，可得
1 5
,
4 4
.
综上，
1 3
,
4 4
．
故选：D.
5.已知函数
π
sin
(
0)
3
f x
x
，将
f x 的图象向左平移π
6 个单位长度得到函数
g x 的图象，若
g x 在
π
0, 2
上恰有两个零点，则下列区间中，的一个取值区间可以为（ ）
A．
7
2, 2
B．
9
3, 2
C．
11
4, 2
D．
13
5, 2
【答案】C
【详解】依题意得
π
( )
(
)
6
g x
f x
π
π
sin
6
3
x
π
π
sin
(
0)
6
3
x
，
当
π
(0,
)
2
x
，
π
π
π
π 2 π
π
,
0
6
3
6
3
3
x
，
g x 在
π
0, 2
上恰有两个零点，
因为
0
，当
π
π
π
6
3
，即0
4
时，
2 π
π
2π
3π
3
，解得5
4
2
；
当
π
π
π
2π
6
3
，即4
10
时，
2 π
π
3π
4π
3
，解得
11
4
2
，
当
π
π
2π
6
3
，即
10
时，2 π
π
π
π
π
5π
3
6
3
2
，此时
g x 在
π
0, 2
上超过两个零点，不符合题
意.
综上所述：的取值范围是5
11
,4
4,
2
2
.
结合四个选项可知，C 正确.
故选：C
6.将函数
sin
0
f x
x
的图象向右平移π
2 个单位长度后得到函数
g x 的图象，若
π
0,
是
g x 的一
个单调递增区间，且
g x 在
0,π 上有5 个零点，则（ ）
A．1
B．5
C．9
D．13
【答案】B
【详解】解：因为函数
sin
0
f x
x
的图象向右平移π
2 个单位长度后得到函数
g x 的图象，
所以
π
sin
0
2
g x
x
，
因为
π
0,
是
g x 的一个单调递增区间，
所以，
1
0
π
sin
2
g
，即
π
π
2 π
2
2
k
，解得
1 4 ,
Z
k k
，
因为
g x 在
0,π 上有5 个零点，作出其草图如图，
所以，由上图可知，9π
11π
π
2
2
，解得9
11
2
2
，
所以，当
1
k 时
1
4
5
k
，
故选：B
7.已知函数
4cos
f x
x
，将函数
f x 的图象向左平移π
3 个单位长度，再将所得函数图象上所有点的纵坐
标不变，横坐标变为原来的
1
0
倍得到函数
g x 的图象，若函数
2
h x
g x
在
0,2π 上有且仅有
4 个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．
2,3
B．
8
2, 3
C．
1,3
D．8 ,3
3
【答案】B
【详解】方法一：由题意，函数
f x 的图象向左平移π
3 个单位长度，
可得
π
3
4cos
y
x
的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的
1
0
，得
π
4cos
3
g x
x
.
由
2
0
h x
g x
，得
π
1
cos
3
2
x
，所以
π
π
2 π
3
3
x
k
或
π
π
2 π
3
3
x
k
，
Z
k
﹐
解得
2π
2 π
3
k
x
或
2 π
k
x
，
Z
k
，
欲使函数
h x 在
0,2π 上有且仅有4 个零点，
则
16π
4π
3
2π
，解得
8
2
3
，
方法二：由方法一得
π
4cos
3
g x
x
.
由
2
0
h x
g x
，得
π
1
cos
3
2
x
.
令
π
3
x
t
，由
0,2π
x
，得
π
π
π
,2 π
3
3
3
x
，
即
π
π
,2 π
3
3
t
，
欲使方程
1
cos
2
t
在
π
π
,2 π
3
3
t
上有且仅有4 个实根，
则13π
π
17π
2 π
3
3
3
，所以
8
2
3
，
故选:B.
8．已知函数
π
sin
0
3
(
)
f x
x
，若
f x 在π 3π
,
2
2
上无零点，则的取值范围是（ ）
A．
2
8
0,
,
9
9
B．
2
2 8
0,
,
9
3 9
C．
2
8
0,
,1
9
9
D．
2 8
,
1,
9 9
【答案】B
【分析】由题可得3π
π
π
π
2
2
2
T
，且
π
π
π
2
3
3 π
π
(
1)π
2
3
k
k
，从而可求出的取值范围
【详解】由题意得3π
π
π
π
2
2
2
T
，得0
1
，
由
π 3π
,
2
2
x
，得
π
π
π 3 π
π
,
3
2
3
2
3
x
，
因为
f x 在π 3π
,
2
2
上无零点，
所以
π
π
π
2
3
3 π
π
(
1)π
2
3
k
k
（
Z
k
），解得3
4
1
2
3
2
3
k
（
Z
k
），
当
0
k
时，2
8
3
9
，当
1
k 时，
4
2
3
9
，当
1
k 时，无解，
因为0
1
，所以2
8
3
9
或
2
0
9
，
所以的取值范围是
2
2 8
0,
,
9
3 9
，
故选：B
9．已知函数
sin
3 cos
2
0
f x
x
x
在
0,π 内恰有一个零点，其图象在
0,π 内恰有一条对
称轴，则的取值范围是（ ）
A．
5
7
,
12 6
B．
5
5
,
12 4
C．
7
5
,
12 4
D．
7
7
,
12 6
【答案】A
【分析】由辅助角公式、化简函数式，然后求得整体
π
3
x
的范围，结合正弦函数的零点得出不等关系，
从而得参数范围．
【详解】由题意得：
π
sin
3 cos
2
2sin
2
0
3
f x
x
x
x
．
因为
0,π
x
，所以π
π
1 π
3
3
3
x
．由
0
f x
，得
π
2
sin
3
2
x
．
因为
f x 在区间
0,π 内恰有一个零点，则
π
3π
3
4
x
，它的图象在此区间内恰有一条对称轴，
则
π
π
3
2
x
，所以
3π
1
9π
π
,
4
3
4
π
1
3π
π
,
2
3
2
解得5
7
12
6
．故A 项正确.
故选：A.
10.已知函数f(x) = 2cos(ωx + φ) (ω > 0,0 < φ < π)的最小正周期为T，若f(T) =
3，且f(x)在
区间[0,1]上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．17π
6 ,
23π
6
B．17π
6 ,
23π
6
C．7π
3 ,
10π
3
D．7π
3 ,
10π
3
【答案】D
【分析】根据余弦函数的周期公式和𝒇(𝑻) =
𝟑求出𝝋=
π
𝟔，再根据余弦函数的图象可得结果.
【详解】由题意𝒇(𝒙) = 𝟐𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒙+ 𝝋)(𝝎> 𝟎,𝟎< 𝝋< π)的最小正周期为T，则𝑻=
𝟐π
𝝎，
又𝒇(𝑻) =
𝟑，可得𝐜𝐨𝐬(𝝎×
𝟐π
𝝎+𝝋) =
𝟑
𝟐，即𝐜𝐨𝐬𝝋=
𝟑
𝟐，
又𝟎< 𝝋< π，所以𝝋=
π
𝟔，
𝒇(𝒙) = 𝟐𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒙+
π
𝟔)在区间[𝟎,𝟏]上恰有3 个零点，
当𝒙∈[𝟎,𝟏]时，𝝎𝒙+
π
𝟔∈[
π
𝟔,𝝎+
π
𝟔]，
结合函数𝒚= 𝐜𝐨𝐬𝒙的图象如图所示：
则𝒚= 𝐜𝐨𝐬𝒙在原点右侧的零点依次为
π
𝟐，
𝟑π
𝟐，
𝟓π
𝟐，
𝟕π
𝟐，…，
所以
𝟓π
𝟐≤𝝎+
π
𝟔<
𝟕π
𝟐，解得
𝟕π
𝟑≤𝝎<
𝟏𝟎π
𝟑，即𝝎的取值范围为[
𝟕π
𝟑,
𝟏𝟎π
𝟑)．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：根据余弦函数的图象求解是解题关键.
题型六：最值与ω 取值范围问题
1.奇函数
cos
0,
0,π
f x
x
在区间
π π
,
3 6
上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值
范围是（ ）
A．
2,6
B．
9
2, 2
C．
9
3, 2
D．3 ,6
2
【答案】C
【详解】因为
cos
0,
0,π
f x
x
为奇函数，
所以
0
0
f
，即
π
2
，所以
sin
f x
x
，
当
π π
,
3 6
x
时，则
π
π
,
3
6
x
，
所以
3π
π
π
2
3
2
π
π
3π
2
6
2
，解得
9
3
2
，
故选：C.
2.若函数
sin
(
0)
3
f x
x
在区间
,2
内没有最值，则的取值范围是（ ）
A．
1
1 2
0,
,
12
3 3
B．
1
1 7
0,
,
12
6 12
C．
7
0,12
D．1 2
,
3 3
【答案】B
【详解】由
( )
f x 在区间
,2
内没有最值，知
( )
f x 在区间
,2
上单调，由
,2
x
可得
,2
3
3
3
x
，
当
( )
f x 在区间
,2
上单增时，可得
2
2
2
,
2
3
3
2
k
k
k
Z，解得
5
1
2
,
6
12
k
k k
Z ，
0
k
时无解，令
0
k
，得
5
1
6
12
，又
0
，故
1
0
12
；
当
( )
f x 在区间
,2
上单减时，可得
3
2
2
2
,
2
3
3
2
k
k
k
Z ，解得
1
7
2
,
6
12
k
k k
Z ，
0
k
时无解，令
0
k
，得1
7
6
12
，综上
1
1 7
0,
,
12
6 12
.
故选：B.
3.设函数
π
( )
sin(
)(
0)
4
f x
x
在π π
(
,
)
6 3 上恰有2 个零点，且
( )
f x 的图象在π π
(
,
)
6 3 上恰有2 个最高点，
则的取值范围是 .
【答案】51 27
(
,
)
4
2
【详解】因为
π π
(
,
),
0
6 3
x
，则
π
π
π
π
π
(
,
)
4
6
4
3
4
x
，
而函数
( )
f x 在π π
(
,
)
6 3 上恰有2 个零点，且
( )
f x 的图象在π π
(
,
)
6 3 上恰有2 个最高点，
因此
π
π
π
2 π
2 π
6
4
2
,
Z
5π
π
π
2 π
2 π
3π
2
3
4
k
k
k
k
k
，即
3
3
12
12
2
2 ,
Z
27
33
6
6
4
4
k
k
k
k
k
，
当
0
k
时，不符合题意，
当
0
k
时，不等式组为
3
3
2
2
27
33
4
4
，不等式组无解，
当
1
k 时，不等式组为
21
27
2
2
51
57
4
4
，解得51
27
4
2
，
当
2
k
时，不等式组无解，
所以的取值范围是51 27
(
,
)
4
2
.
故答案为：51 27
(
,
)
4
2
4.已知
2π
π
π
( )
sin
(
0),
3
6
3
f x
x
f
f
，且
( )
f x 在区间π π
,
6 3
上有最大值，无最小值，则的
值为（ ）
A．22
3
B．26
3
C．34
3
D．38
3
【答案】A
【详解】因为
2π
π
π
( )
sin
(
0),
3
6
3
f x
x
f
f
，
所以函数
f x 的图象关于
π
π
π
6
3
2
4
x
对称，
且
f x 在区间π π
,
6 3
上有最大值，无最小值，
所以
π
π
2π
sin
1
4
4
3
f
，
所以
π
2π
π
2 π,
Z
4
3
2
k
k
，
所以
8
2
8
2
=8
,
Z
3
3
k
k
k
，
当
1
k 时，
22
3
，
当
2
k
时，
46
2π
3π
π
π
,
46
3
23
3
6
3
T
，此时在区间π π
,
6 3
内已存在最小值;
当
2
k
时，
46
2π
3π
π
π
,
46
3
23
3
6
3
T
，此时在区间π π
,
6 3
内已存在最小值．
故选：A．
5.已知函数
sin
(
0)
f x
x
在区间
2π 5π
,
3
6
上是增函数，且在区间
0,π 上恰好取得一次最大值，则
的取值范围是
【答案】1 3
,
2 5
【详解】由
2π 5π
,
3
6
x
，可得
2π
5π
,
3
6
x
，
因为函数
sin
(
0)
f x
x
在区间
2π 5π
,
3
6
上是增函数，
所以
2π
π
3
2
5π
π
6
2
，解得
3
0
5
，
由
0,π
x
，得
0,π
x
，
因为函数
sin
(
0)
f x
x
在区间
0,π 上恰好取得一次最大值，
所以π
5π
π
2
2
，解得1
5
2
2
，
综上的取值范围是1 3
,
2 5
.
故答案为：1 3
,
2 5
.
6.已知函数
2sin
0
f x
x
在区间
,
4 3
上是增函数，若函数
f x 在0, 2
上的图像与直线
2
y
有且仅有一个交点，则的最小值为（ ）
A．4
3
B．3
4
C．3
2
D．1
【答案】D
【详解】解：因为函数
2sin
(
0)
f x
x
的图像关于原点对称，并且在区间
,
4 3
上是增函数，
所以2
4
3
2
3
T
T
，又
2
0
T
，得
3
0
2
，
令
2sin
2
f x
x
，得
2
Z
2
k
x
k
，
所以
f x 在
0,
上的图像与直线
2
y 的第一个交点的横坐标为2
，第二个交点的横坐标为
2
2
，
所以
2
2
2
2
，解得1
5
，
综上所述，
3
1
2
，故的最小值为1
故选：D
7.设函数
π
2sin
0
12
f x
x
，将函数
y
f x
图像上所有点的横坐标变为原来的
1
2 倍（纵坐标
不变），得到函数
y
g x
的图像，若对于任意的实数x ，
π
3
g x
g
恒成立，则的最小值等于
（ ）
A．11
8
B．7
8
C．5
8
D．1
8
【答案】C
【详解】将函数
y
f x
图像上所有点的横坐标变为原来的
1
2 倍（纵坐标不变），则可得
π
2sin 2
12
g x
x
，且对于任意的实数x ，
π
3
g x
g
恒成立，
则
π
π
π
2sin 2
2
3
3
12
g
，即2
π
π
π
2 π
3
12
2
k
，k Z ，
解得
5
3
8
k
，k Z ，且
0
，
所以当
0
k
时，
min
5
8
.
故选：C
8.将函数
π
2sin 3
6
f x
x
先向右平移π
18 个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的
3
0
倍
（纵坐标不变），则所得函数
g x 图象，若
g x 在区间
π π
3 4
，上的最小值为2
，则的最小值等于
（ ）
A．2
3
B．3
2
C．2
D．3
【答案】B
【详解】函数
π
2sin 3
6
f x
x
先向右平移π
18 个单位长度，得函数
π
π
2sin 3
2sin3
18
6
y
x
x
，
再将图象上各点的横坐标变为原来的
3
0
倍（纵坐标不变），得函数( )
2sin
g x
x
，
∵
π π
,
3 4
x
，则
,
π
4
π
3
x
∴由题意得：
π
π
3
2
或
π
3π
4
2
，解得
3
2
，则的最小值等于3
2 ，
故选：B．
9.将函数
( )
cos
f x
x
的图象向右平移2 π
3
个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的1 (
0)
，得到函数
g x 的图象，若
g x 在
π
0, 2
上的值域为
1 ,1
2
，则范围为（ ）
A．4 8
,
3 3
B．1 5
,
3 3
C．4 ,
3
D．8 ,
3
【答案】A
【详解】解：将函数
( )
cos
f x
x
的图象向右平移2
3个单位长度，可得
2
cos(
)
3
y
x
的图象；
再将各点的横坐标变为原来的1 (
0)
，得到函数
2
( )
cos(
)
3
g x
x
的图象．
若( )
g x 在[0,
]
2
上的值域为
1
[
,1]
2
，此时，
2
2
[
3
3
x
，
2 ]
2
3
，
2
2
0
2
3
3
，求得4
8
3
3
，
故选：A．
10.已知函数f(x) = 2sin ωx +
π
6 (ω > 0)在区间−
π
4 ,
π
3 上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实
数ω的取值范围为（ ）
A．8
3 ,7 B．8
3 ,4
C．4,
20
3
D．20
3 ,7
【答案】B
【分析】𝒇(𝒙)在区间−
π
𝟒,
π
𝟑上的最值点个数等价于𝒈(𝒕) = 𝟐𝐬𝐢𝐧𝒕在−
π
𝟒𝝎+ π
𝟔,
π
𝟑𝝎+ π
𝟔上的最值点个
数．利用正弦型函数的性质的应用求出结果即可．
【详解】因为𝒇(𝒙)在区间−
π
𝟒,
π
𝟑上恰有一个最大值点和一个最小值点，
所以
π
𝟑−−
π
𝟒
>
𝑻
𝟐，所以𝝎>
𝟏𝟐
𝟕．
令𝒕= 𝝎𝒙+
π
𝟔，当𝒙∈−
π
𝟒,
π
𝟑时，𝒕∈−
π
𝟒𝝎+ π
𝟔,
π
𝟑𝝎+ π
𝟔，
于是𝒇(𝒙) = 𝟐𝐬𝐢𝐧𝝎𝒙+ π
𝟔在区间−
π
𝟒,
π
𝟑上的最值点个数等价于𝒈(𝒕) = 𝟐𝐬𝐢𝐧𝒕在−
π
𝟒𝝎+ π
𝟔,
π
𝟑𝝎+ π
𝟔
上的最值点个数．
由𝝎>
𝟏𝟐
𝟕知，−
π
𝟒𝝎+
π
𝟔< 𝟎，
π
𝟑𝝎+
π
𝟔> 𝟎，
因为𝒈(𝒕)在−
π
𝟒𝝎+ π
𝟔,
π
𝟑𝝎+ π
𝟔上恰有一个最大值点和一个最小值点，
所以
−
𝟑π
𝟐
< −π
𝟒𝝎+ π
𝟔< −π
𝟐,
π
𝟐< π
𝟑𝝎+ π
𝟔<
𝟑π
𝟐,
解得
𝟖
𝟑< 𝝎< 𝟒．
答案：B.
11.已知f(x) = 2sin ωx +
π
3
+ (a−1)sinωx(a > 0,ω > 0)在(0,π)上存在唯一实数x0使f(x0) = −
3，
又φ(x) = f(x)−2
3，且φ(x)max = 0，则实数ω的取值范围是（ ）
A．1 < ω ≤5
3 B．1 ≤ω ≤5
3
C．5
6 < ω <
3
2
D．5
6 < ω ≤
3
2
【答案】A
【分析】由三角恒等变换化简函数式𝒇(𝒙)，利用条件得出𝒇(𝒙)的最大值，从而求得𝒂值，然后利用正弦函
数性质根据题中唯一解𝒙𝟎的条件求得𝝎的范围．
【详解】𝒇(𝒙) = 𝟐𝐬𝐢𝐧𝝎𝒙+ π
𝟑
+ (𝒂−𝟏)𝐬𝐢𝐧𝝎𝒙= 𝟐(𝐬𝐢𝐧𝝎𝒙𝐜𝐨𝐬
π
𝟑+ 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒙𝐬𝐢𝐧
π
𝟑) + (𝒂−𝟏)𝐬𝐢𝐧𝝎𝒙 = 𝒂𝐬𝐢𝐧
𝝎𝒙+
𝟑𝐜𝐨𝐬𝝎𝒙，∴𝒇(𝒙)𝐦𝐚𝐱=
𝒂𝟐+ 𝟑，
又𝝋(𝒙)𝐦𝐚𝐱= 𝟎，∴𝒇(𝒙)的最大值是𝟐
𝟑，
所以
𝒂𝟐+ 𝟑= 𝟐
𝟑，又𝒂> 𝟎，所以𝒂= 𝟑，
∴𝒇(𝒙) = 𝟑𝐬𝐢𝐧𝝎𝒙+
𝟑𝐜𝐨𝐬𝝎𝒙= 𝟐
𝟑(
𝟑
𝟐𝐬𝐢𝐧𝝎𝒙+
𝟏
𝟐𝐜𝐨𝐬𝝎𝒙) = 𝟐
𝟑𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒙+
π
𝟔)，
𝒙𝟎∈(𝟎,π)时，又𝝎> 𝟎，∴𝝎𝒙𝟎+
π
𝟔∈(
π
𝟔,𝝎π +
π
𝟔)，𝒇(𝒙𝟎) = 𝟐
𝟑𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒙𝟎+
π
𝟔) = −
𝟑，
𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒙𝟎+
π
𝟔) = −
𝟏
𝟐，𝒙𝟎是唯一的，因此有
𝟕π
𝟔< 𝝎π +
π
𝟔≤
𝟏𝟏π
𝟔，解得𝟏< 𝝎≤
𝟓
𝟑．
故选：A．
题型七：极值与ω 取值范围问题
1.将函数
( )
sin
(
0)
f x
x
的图象向右平移12
个单位长度得到函数
( )
y
g x
的图象，若3
为( )
g x 的一个
极值点，则实数的最小值为
A．7
4
B．3
2
C．2
D．5
4
【答案】C
【详解】分析：由三角函数的图象变换得到
sin[ (
)]
12
g x
w x
，在根据
3
x
是函数
g x 的一个极值点，
得到(
)
1
3
g
，即可求解．
详解：将函数
( )
sin
(
0)
f x
x
的图象向右平移12
个单位长度，
得到函数
sin[ (
)]
12
g x
w x
，
又由
3
x
是函数
sin[ (
)]
12
g x
w x
的一个极值点，
则(
)
sin[ (
)]
sin(
)
1
3
3
12
4
w
g
w
，所以
,
4
2
w
k
k
Z
，
解得
2
4 ,
w
k k
Z
，当
0
k
时，
2
w
，故选C．
2.若函数
2sin
0
y
x
的图象在区间
,
3 6
上只有一个极值点，则的取值范围为
A．
3
1
2
B．3
3
2
C．3
4
D．3
9
2
2
【答案】B
【详解】结合题意，函数唯一的极值点只能是
2
x
，所以有
3
2
6
2
得3
3
2
.
故选B.
3.若函数𝑓(𝑥) = sin(𝜔𝑥+
𝜋
6)(𝜔> 0)在(
𝜋
2,𝜋)单调，且在(0,
𝜋
3)存在极值点，则𝜔的取值范围为
【答案】𝟏< 𝝎≤
𝟒
𝟑
【解析】先通过函数𝒇(𝒙)在(𝟎,
𝝅
𝟑)存在极值点，求出𝝎的范围，再根据在(
𝝅
𝟐,𝝅)单调，求出𝒌和𝝎之间的不等
关系，再结合已求出的𝝎的范围，得最终𝝎的范围.
【详解】解：因为函数𝒇(𝒙)在(𝟎,
𝝅
𝟑)存在极值点，所以
𝝅
𝟑𝝎+
𝝅
𝟔>
𝝅
𝟐，即𝝎> 𝟏，
当𝒙∈
𝝅
𝟐,𝝅, 𝝎𝒙+
𝝅
𝟔∈
𝝎𝝅
𝟐+
𝝅
𝟔,𝝎𝝅+
𝝅
𝟔，又𝒇(𝒙)在(
𝝅
𝟐,𝝅)单调，
所以𝝎𝝅
𝟐+
𝝅
𝟔,𝝎𝝅+
𝝅
𝟔
⊆
𝝅
𝟐+ 𝒌𝝅,
𝟑𝝅
𝟐+ 𝒌𝝅(𝒌∈𝑵)，即
𝝎𝝅
𝟐+
𝝅
𝟔≥
𝝅
𝟐+ 𝒌𝝅
𝝎𝝅+
𝝅
𝟔≤
𝟑𝝅
𝟐+ 𝒌𝝅
，
解得
𝟐
𝟑+𝟐𝒌≤𝝎≤
𝟒
𝟑+𝒌，只能取𝒌= 𝟎，即
𝟐
𝟑≤𝝎≤
𝟒
𝟑，
综上，𝟏< 𝝎≤
𝟒
𝟑，
故答案为：𝟏< 𝝎≤
𝟒
𝟑.
【点睛】本题考查三角函数的单调性和极值问题，关键是要建立关于𝒌和𝝎之间的不等关系，是中档题.
4.设函数𝑓(𝑥) = sin(𝜔𝑥+ 𝜑)(𝜔> 0)，已知集合𝐴= {(𝑥0,𝑓(𝑥0))|𝑥0为𝑓(𝑥)的极值点}，𝐵{(𝑥,𝑦)|𝑥2
6 +
𝑦2
2 ≤1}，
若存在实数𝜑，使得集合𝐴∩𝐵中恰好有5个元素，则𝜔的取值范围是
A．[2
3
3 𝜋,5
3
6 𝜋) B．[2
3
3 𝜋,3
3
4 𝜋)
C．[3
3
4 𝜋,5
3
6 𝜋) D．[3
3
4 𝜋,11
3
12 𝜋)
【答案】A
【分析】先理解集合𝑨∩𝑩的含义，将问题转化为三角函数的周期进行求解．
【详解】集合𝑨∩𝑩表示函数𝒇(𝒙) = sin(𝝎𝒙+ 𝝋)在椭圆
𝒙𝟐
𝟔+
𝒚𝟐
𝟐= 𝟏的内部或边界上的最值点的集合，
而最值点一定在直线𝒚=± 𝟏上，且当𝒚=± 𝟏时，
由
𝒙𝟐
𝟔+
𝟏𝟐
𝟐≤𝟏得−
𝟑≤𝒙≤
𝟑，
𝒇(𝒙) = sin(𝝎𝒙+ 𝝋)的周期𝑻=
𝟐𝝅
𝝎，
因为存在实数𝝋，使得集合𝑨∩𝑩中恰好有𝟓个元素，
故{
𝟐𝑻≤𝟐
𝟑
𝟐𝑻+
𝑻
𝟐> 𝟐
𝟑，解得𝟐
𝟑
𝟑𝝅≤𝝎< 𝟓
𝟑
𝟔𝝅，
故选：A.
【点睛】思路点睛：对于三角函数有关的恒成立与有解问题，应根据问题的特征将前者转化为周期的性质
来处理.
5.定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥) = 2sin 𝜔𝑥+ π
3 (𝜔> 0)在区间−
π
6 ,
π
6 内恰有两个零点和一个极值点，则𝜔的取
值范围是 .
【答案】(𝟒,𝟓]
【分析】依题意首先求出𝝎的大致范围，进而确定𝝎𝒙+
π
𝟑的范围，根据题意结合正弦函数可得
−π
𝟐≤−π
𝟔𝝎+ π
𝟑< 𝟎
π < π
𝟔𝝎+ π
𝟑≤
𝟒
𝟑π
，即可求出ω的取值范围.
【详解】设函数𝒇(𝒙)的最小正周期为𝑻，
由正弦型函数可知：两个零点之间必存在极值点，两个极值点之间必存在零点，
则
π
𝟔−−
π
𝟔
=
π
𝟑≤𝑻，则𝑻=
𝟐π
|𝝎| ≥
π
𝟑，
注意到𝝎> 𝟎，解得𝟎< 𝝎≤𝟔，
∵𝒙∈−
π
𝟔,
π
𝟔，则−
𝟐π
𝟑
≤−
π
𝟔𝝎+
π
𝟑< 𝝎𝒙+
π
𝟑<
π
𝟔𝝎+
π
𝟑≤
𝟒π
𝟑，
由题意可得：
−π
𝟐≤−π
𝟔𝝎+ π
𝟑< 𝟎
π < π
𝟔𝝎+ π
𝟑≤
𝟒
𝟑π
，解得𝟒< 𝝎≤𝟓，
故𝝎的取值范围为(𝟒,𝟓].
故答案为：(𝟒,𝟓].
【点睛】关键点点睛：
（1）根据正弦型函数的性质估算𝝎的范围；
（2）求𝝎𝒙+ 𝝋的范围，结合正弦函数的图象与性质列式求解.
6.将函数𝑓(𝑥) = sin 1
2 𝜔𝑥−π
6 (𝜔> 0)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
4，纵坐标不变，得到函数𝑔(𝑥)
的图象．若𝑔(𝑥)在0, π
3 上有且仅有3 个极值点，则𝜔的取值范围为（ ）
A．5
2 ,
11
2
B．5
2 ,4 C．4,
11
2
D．11
2 ,7
【答案】C
【分析】先根据题意得出函数𝒈(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧𝟐𝝎𝒙−π
𝟔，当𝟎< 𝒙<
π
𝟑时，−
π
𝟔< 𝟐𝝎𝒙−
π
𝟔<
𝟐𝝎π
𝟑−
π
𝟔，要使𝒈(𝒙)
在𝟎, π
𝟑上有且仅有3 个极值点，需满足
𝟓π
𝟐
<
𝟐𝝎π
𝟑−
π
𝟔≤
𝟕π
𝟐，解不等式即可.
【详解】由题可知，𝒈(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧𝟐𝝎𝒙−π
𝟔，当𝟎< 𝒙<
π
𝟑时，−
π
𝟔< 𝟐𝝎𝒙−
π
𝟔<
𝟐𝝎π
𝟑−
π
𝟔．
因为𝒈(𝒙)在𝟎, π
𝟑上有且仅有3 个极值点，所以
𝟓π
𝟐
<
𝟐𝝎π
𝟑−
π
𝟔≤
𝟕π
𝟐，解得𝟒< 𝝎≤
𝟏𝟏
𝟐，
所以𝝎的取值范围为：𝟒,
𝟏𝟏
𝟐．
故选：C.
模块三：综合巩固
1.将函数
2sin 2
0
3
f x
x
的图象向左平移6
个单位，得到函数
y
g x
的图象，若
y
g x
在0, 4
上为增函数，则的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【详解】函数
2sin 2
0
3
f x
x
的图象向左平移6
个单位，
得到函数
2sin 2
2sin 2
6
3
y
g x
x
x
，
若
0, 4
x
，则
0 2
2
,
π
x
，所以
π
2
2
，即
1
，
所以的最大值为1.
故选：A.
2.函数
π
sin
(
0)
6
f x
x
在
2π
0, 3
单调递增，在2π ,2π
3
单调递减，则的值为（ ）
A．
1
2
B．1
C．2
D．7
2
【答案】A
【详解】依题意得：
2π
2π
π
2π
π
π
sin
1,
2 π
Z
3
3
6
3
6
2
f
k
k
，
1
3
Z
2
k k
，
又
f
x
在2π ,2π
3
单调递减，
2π
π
4π
2π
,
2
3
3
T
，
解得：
3
4
，
1
0,
2
，
故选：A.
3.已知函数
2
3sin
cos
cos
0
f x
x
x
x
，若函数f(x)在
,
2
π π
上单调递减，则实数ω 的取值范
围是（ ）
A．1 3
,
3 2
B．1 2
,
3 3
C．
1
0, 3
D．
2
0, 3
【答案】B
【详解】函数
2
3
1
3sin
cos
cos
0
sin 2
1
cos2
2
2
f x
x
x
x
x
x
3
1
1
sin 2
cos2
2
2
2
x
x
1
sin 2
6
2
x
，
由函数f(x)在
,
2
π π
上单调递减，且2
,2
6
6
6
x
，
得
2
6
2
3
2
2
6
2
k
k
，k Z ，解1
2
2
3
3
k
k
，k Z .
又因为ω>0，1
2
2
2
2
，所以k＝0，
所以实数ω 的取值范围是1 2
,
3 3
.
故选：B
4.已知函数
sin
f
x
x
π
2
0,
，
π
4
x
为
f x 的零点，
π
4
x
为
y
f x
图象的对称轴，
且
f x 在区间
π
π
,
10 5
上单调，则的最大值为（ ）
A．9
B．5
C．7
D．3
【答案】B
【详解】解：函数
sin
f
x
x
π
2
0,
，
π
4
x
为
f x 的零点，
π
4
x
为
y
f x
图象的对
称轴，
2
1
4
4
4
n
T
，即2
1 2
4
2
n
，
2
1
n
，n
N
，即为正奇数.
f x 在区间
π
π
,
10 5
上单调，
1
1
2
2
2
5
10
T
，即
10
.
①当
9
时，9
4
k
，k
Z
，
4
.
此时，
sin 9
4
f x
x
，在区间
π
π
,
10 5
上，
23
41
9
,
4
20
20
x
，
f x 在区间
π
π
,
10 5
上不单调，故不满足题意；
②当
7
时，7
4
k
，k
Z
，
4
.
此时，
sin 7
4
f x
x
，在区间
π
π
,
10 5
上，
9
23
7
,
4
20
20
x
，
f x 在区间
π
π
,
10 5
上不单调，故不满足题意；
③当
5
时，5
4
k
，k
Z
，
4
.
此时，
sin 5
4
f x
x
，在区间
π
π
,
10 5
上，
3
5
5
,
4
4
4
x
，
f x 在区间
π
π
,
10 5
上单调递减，故满足题意.
则的最大值为5 .
故选：B.
5.已知函数f(x) = cos ωx−
π
3 (ω > 0)在π
6 ,
π
4 上单调递增，且当x ∈
π
4 ,
π
3 时，f(x) ≥0恒成立，
则ω的取值范围为（ ）
A．0,
5
2
∪
22
3 ,
17
2 B．0,
4
3
∪
8,
17
2
C．0,
4
3
∪
8,
28
3
D．0,
5
2
∪
22
3 ,8
【答案】B
【分析】由已知，分别根据函数𝒇(𝒙)在区间π
𝟔,
π
𝟒上单调递增，在𝒙∈π
𝟒,
π
𝟑时，𝒇(𝒙) ≥𝟎恒成立，列出
不等关系，通过赋值，并结合𝝎的本身范围进行求解.
【详解】由已知，函数𝒇(𝒙) = cos 𝝎𝒙−π
𝟑(𝝎> 𝟎)在π
𝟔,
π
𝟒上单调递增，
所以𝟐𝒌𝟏π−π ≤𝝎𝒙−
π
𝟑≤𝟐𝒌𝟏π(𝒌𝟏∈Z)，解得：
𝟐𝒌𝟏π
𝝎−
𝟐π
𝟑𝝎≤𝒙≤
𝟐𝒌𝟏π
𝝎
+
π
𝟑𝝎(𝒌𝟏∈Z)，
由于π
𝟔,
π
𝟒
⊆
𝟐𝒌𝟏π
𝝎
−
𝟐π
𝟑𝝎,
𝟐𝒌𝟏π
𝝎
+
π
𝟑𝝎(𝒌𝟏∈Z)，所以
π
𝟔≥
𝟐𝒌𝟏π
𝝎
−
𝟐π
𝟑𝝎
π
𝟒≤
𝟐𝒌𝟏π
𝝎
+ π
𝟑𝝎
，解得：𝟏𝟐𝒌𝟏−𝟒≤𝝎≤𝟖𝒌𝟏+
𝟒
𝟑(𝒌𝟏∈Z)①
又因为函数𝒇(𝒙) = cos 𝝎𝒙−π
𝟑(𝝎> 𝟎)在𝒙∈π
𝟒,
π
𝟑上𝒇(𝒙) ≥𝟎恒成立，
所以𝟐𝒌𝟐π−
π
𝟐≤𝝎𝒙−
π
𝟑≤𝟐𝒌𝟐π +
π
𝟐(𝒌𝟐∈Z)，解得：
𝟐𝒌𝟐π
𝝎−
π
𝟔𝝎≤𝒙≤
𝟐𝒌𝟐π
𝝎
+ 5π
𝟔𝝎(𝒌𝟐∈Z)，
由于π
𝟒,
π
𝟑
⊆
𝟐𝒌𝟐π
𝝎
−
π
𝟔𝝎,
𝟐𝒌𝟐π
𝝎
+
5π
𝟔𝝎(𝒌𝟐∈Z)，所以
π
𝟒≥
𝟐𝒌𝟐π
𝝎
−π
𝟔𝝎
π
𝟑≤
𝟐𝒌𝟐π
𝝎
+ 5π
𝟔𝝎
，解得：𝟖𝒌𝟐−
𝟐
𝟑≤𝝎≤𝟔𝒌𝟐+
𝟓
𝟐
(𝒌𝟐∈Z)②
又因为𝝎> 𝟎，当𝒌𝟏= 𝒌𝟐= 𝟎时，由①②可知：
𝝎> 𝟎
−𝟒≤𝝎≤
𝟒
𝟑
−
𝟐
𝟑≤𝝎≤
𝟓
𝟐
，解得𝝎∈𝟎，
𝟒
𝟑；
当𝒌𝟏= 𝒌𝟐= 𝟏时，由①②可知：
𝝎> 𝟎
𝟖≤𝝎≤
𝟐𝟖
𝟑
𝟐𝟐
𝟑≤𝝎≤
𝟏𝟕
𝟐
，解得𝝎∈𝟖，
𝟏𝟕
𝟐.
所以𝝎的取值范围为𝟎,
𝟒
𝟑
∪
𝟖,
𝟏𝟕
𝟐.
故选：B.
【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组
对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.
6.已知函数
( )
sin
0
4
f x
x
在区间
0,π 恰有两条对称轴，则的取值范围（ ）
A．7 13
,
4
4
B．5 9
,
4 4
C．5 9
,
4 4
D．7 11
,
4 4
【答案】B
【解析】因为0
π
x
，所以π
π
π
π
4
4
4
x
，
因为函数
π
sin
0
4
f x
x
在区间
0,恰有两条对称轴，
所以3π
π
5π
π
2
4
2
，解得5
9
4
4
，故选：B
7.已知函数f(x) = 2
2cosωxsin(ωx +
π
4 )的图象在0,
1
2 上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数ω
的取值范围为 .
【答案】(−
𝟓π
𝟒,−
𝟑π
𝟒] ∪[
𝟑π
𝟒,
𝟓π
𝟒)
【分析】根据两角和的正弦公式和二倍角公式化简𝒇(𝒙)，再根据正弦函数的对称轴和对称中心可求出结果.
【详解】𝒇(𝒙) = 𝟐
𝟐𝐜𝐨𝐬𝝎𝒙𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒙+
π
𝟒) = 𝟐
𝟐𝐜𝐨𝐬𝝎𝒙(𝐬𝐢𝐧𝝎𝒙𝐜𝐨𝐬
π
𝟒+ 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒙𝐬𝐢𝐧
π
𝟒)
= 𝐬𝐢𝐧𝟐𝝎𝒙+ 𝐜𝐨𝐬𝟐𝝎𝒙+ 𝟏 =
𝟐𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝎𝒙+
π
𝟒) + 𝟏,
当𝝎= 𝟎时，𝒇(𝒙)为常数，不合题意，
当𝝎> 𝟎， 𝟎≤𝒙≤
𝟏
𝟐 时，
π
𝟒≤𝟐𝝎𝒙+
π
𝟒≤𝝎+
π
𝟒 ，
要使𝒇(𝒙)在𝟎,
𝟏
𝟐上恰有一条对称轴和一个对称中心，
则π ≤𝝎+
π
𝟒<
𝟑π
𝟐，即
𝟑π
𝟒≤𝝎<
𝟓π
𝟒，
当𝝎< 𝟎，𝟎≤𝒙≤
𝟏
𝟐 时，𝝎+
π
𝟒≤𝟐𝝎𝒙+
π
𝟒≤
π
𝟒，
要使𝒇(𝒙)在𝟎,
𝟏
𝟐上恰有一条对称轴和一个对称中心，
则−π < 𝝎+
π
𝟒≤−
π
𝟐，即−
5π
𝟒< 𝝎≤−3π
𝟒.
故答案为：(−
𝟓π
𝟒,−
𝟑π
𝟒] ∪[
𝟑π
𝟒,
𝟓π
𝟒).
8.设
R
，函数
2
2sin
,
0
6
3
1
4
,
0
2
2
x
x
f x
x
x
x
，
g x
x
，若
f x 在
1,
3 2
上单调递增，且函数
f x
与
g x 的图象有三个交点，则的取值范围（ ）
A．
4
1 2
,0
,
3
4 3
B．
3 2
,
3
3
C．1
3
,
4
3
D．
4
4
1 2
,0
,
3
3
【答案】B
【详解】因为
2
3
1
4
,
0
2
2
f x
x
x
x
，且
f x 在
1,
3 2
上单调递增，
所以
4
1
3
3
，所以
1
4
，
当
0, 2
x
时，
,
6
6
2
6
x
，
因为
( )
f x 在
1,
3 2
上单调递增，
所以
2
6
2
4
1
3
3
1
2sin 6
2
，解得1
2
4
3
，
若在
,0
x
上函数
f x 与( )
g x 的图象有两个交点，
即方程
2
3
1
4
2
2
x
x
x
在
,0
x
上有两个不同的实数根，
即方程
2
3
6
1
0
x
x
在
,0
x
上有两个不同的实数根，
所以
2
2
Δ
36
12
0
0
3
0
6
0 1
0
2
，解得
3
3
，
当
3 2
,
3
3
时，令
2sin
6
f x
g x
x
x
，
当
0
x
时，
1
0
f
x
g x
，
当
5
6
2
x
时，
7
3
x
，
7
2
0
3
f x
g x
，
结合图象可得
0
x
时，函数
f x 与( )
g x 的图象只有一个交点，
综上所述，当
3 2
,
3
3
时，函数
f x 与
g x 的图象有三个交点，满足题意，
故选：B.
9.已知函数
sin
0
4
f x
x
在
0,2上有且只有4 个零点，则取值范围是（ ）
A．15 19
,
4
4
B．15 19
,
8
8
C．17 21
,
4
4
D．17 21
,
8
8
【答案】B
【详解】由题意，
0,2
x
，
,2
4
4
4
x
，∴4
2
5
4
，解得15
19
8
8
≤
．
故选：B．
10.将函数
sin
0
f x
x
（）
（
）图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2 倍（纵坐标不变），再向左平移8
个
单位长度，得到函数g x
（）的图象，若g x
（）在2
（
，）上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．
1
0
]
4
（，
B．
5
0
]
8
（，
C．1 5
4 4
，
D．1 5
4 8
，
【答案】D
【详解】解：将函数
sin
0
f x
x
（）
（
）图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2 倍（纵坐标不变），得到
sin 2
y
x
，再向左平移8
个单位长度，得到函数g x
（）的图象，
即
π
sin 2
sin 2
8
4
g x
x
x
（）
，若g x
（）在2
（
，）上单调递减，
则g x
（）的周期
2
2
T
（
）
，即2
，得0
2
，
由
3
2
2
2
2
4
2
k
x
k
，k
Z
，得
5
2
2
2
4
4
k
x
k
，k
Z
，
即
5
2
2
4
4
2
2
k
k
x
，即g x
（）的单调递减区间为
5
2
2
4
4
2
2
k
k
，
，k
Z
，
若g x
（）在2
（
，）上单调递减，则
2
4
2
2
5
2
4
2
k
k
，
1
2
4
5
8
k
k
，
即
1
5
2
4
8
k
k
，k
Z
，当
0
k
时，1
5
4
8
，即的取值范围是1 5
4 8
，.
故选：D．
11.已知函数
( )
sin
(
0)
f x
x
在
2
5
[
,
]
3
6
上单调递增，且存在唯一
0
[0
x
，]
，使得
0
(
)
1
f x
，则实
数的取值范围为（ ）
A．1 3
[ , ]
2 5
B．1 3
[ , )
2 5
C．11 3
[
, ]
20 5
D．11 3
[
, )
20 5
【答案】A
【详解】解：因为函数
( )
sin
(
0)
f x
x
在
2
5
[
,
]
3
6
上单调递增，
又函数
( )
sin
(
0)
f x
x
在
2
2
[
,
]
2
2
k
k
，k
Z
内单调递增，
2
5
2
2
[
,
]
[
,
]
3
6
2
2
k
k
，
2
2
3
，
5
2
6
，
3
0
5
，
存在唯一
0
[0
x
，
]
，使得
0
(
)
1
f x
，
[0
x
，
]
时，
[0
x
，
]
，
5
[
,
)
2
2
，
1 3
[ , ]
2 5
．
故选：A ．
12.已知函数
π
( )
tan(
)(
0)
3
f x
A
x
，若f x
（）在区间π
π
2
，
内单调递减，则的取值范围是
（ ）
A．
1
0 6
，
B．1 7
( , )
3 6
C．
1
1 7
(0, ]
[ , ]
6
3 6
D．
1
1 7
(0, )
( , )
6
3 6
【答案】C
【详解】因为f x
（）在区间π
π
2
，
内单调递减，所以
0
A，
π
tan(
)(
0)
3
y
x
在区间π
π
2
，
内单调递
增，
由
π
π
π
π
π
2
3
2
k
x
k
，
Z
k
，得π
5π
π
π
6
6
k
k
x
，
Z
k
，
所以
π
tan(
)(
0)
3
y
x
的单调递增区间为
π
5π
π
π
,
6
6
k
k
，
Z
k
，
依题意得π
π
2
，
π
5π
π
π
,
6
6
k
k
，
Z
k
，
所以
π
5π
π
6
2
π
π
π
6
k
k
，
Z
k
，
所以
5
1
2
3
6
k
k
，
Z
k
，
由
5
1
2
3
6
k
k
得
11
6
k
，由
1
0
6
k
得
1
6
k
，
所以
1
11
6
6
k
且
Z
k
，
所以
0
k
或
1
k ，
当
0
k
时，
6
5
1
3
，又
0
，所以
1
0
6
，
当
1
k 时，1
7
3
6
.
综上所述：
1
1 7
(0, ]
[ , ]
6
3 6
.
故选：C.
13.已知函数
sin
6
f x
x
图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1
倍后，得到的函数在
0,2上恰
有5 个不同的x 值，使其取到最值，则正实数的取值范围是（ ）
A．13 8
6 3
，
B．13 8
6 3
，
C．31 8
12 3
，
D．31 8
12 3
，
【答案】A
【详解】解：∵函数
sin
6
f x
x
图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1
倍后，
得到的函数为
sin
6
y
x
在
0,2上恰有5 个不同的x 值，使其取到最值；
,2
6
6
6
x
，
∴
9
11
2
,
6
2
2
，
则正实数
13 8
6 3
，，
故选：A．
14.将函数
π
sin
0
3
f
x
x
向右平移1
4 个周期后所得的图象在
π
0, 2
内有3 个最高点和2 个最低
点，则的取值范围是 ．
【答案】28
34
3
3
【详解】函数
f x 的最小正周期为
2π
T
，
将函数
f x 向右平移4
T 后的解析式为
π
π
π
π
sin
sin
2
2
3
6
f
x
x
x
，
由
π
0, 2
x
，可得
π
π
π
π
,
6
6
2
6
x
，
要使得平移后的图象有3 个最高点和2 个最低点，则需：9π
π
π
11π
2
2
6
2
，解得28
34
3
3
．
故答案为：28
34
3
3
.
15．已知函数
π
sin
0
6
f x
x
在区间
5π π
,
6
2
上单调递增，且
f x 在区间
5π
0, 6
上只取得一
次最大值，则的取值范围为（ ）
A．1 1
,
5 2
B．2 1
,
5 2
C．1 4
,
5 5
D．2 2
,
5 3
【答案】D
【分析】先利用正弦函数的单调性推得
2
0
3
；再利用正弦函数的最大值推得2
14
5
5
，从而得解.
【详解】因为函数
π
sin
0
6
f x
x
在
5π π
,
6
2
上单调递增，
由
5π π
,
6
2
x
，
π
5π
π π
π
,
6
6
6 2
6
x
，
所以
5π
π
π
6
6
2
且π
π
π
2
6
2
，解得
4
5
且
2
3
，所以
2
0
3
；
又因为
f x 在区间
5π
0, 6
上只取得一次最大值，
即
5π
0, 6
x
时，
π
π 5π
π
,
6
6
6
6
x
；
所以π
5π
π
5π
2
6
6
2
，解得2
14
5
5
；
综上，2
5
2
3
，即的取值范围是2 2
,
5 3
．
故选：D.
16．若函数
π
2sin
,
0
3
f x
x
>
，
π
0, 2
x
的值域为
3,2
，则的取值范围是（ ）
A．
5,4
3
B．5 10
,
6
3
C．5 5
,
6 3
D．5 10
,
3
3
【答案】D
【分析】利用
π
0, 2
x
可得
π
π π
π
,
3
3 2
3
x
，再由三角函数图像性质可得π
π
π
π
π
3
3
2
2
，解不
等式即可求得的取值范围.
【详解】根据题意可知若
π
0, 2
x
，则可得
π
π π
π
,
3
3 2
3
x
；
显然当
0
x
时，可得
π
2sin
3
3
x
，
由
f x 的值域为
3,2
，利用三角函数图像性质可得π
π
π
π
π
3
3
2
2
，
解得5
10
3
3
，即的取值范围是5 10
,
3
3
.
故选：D
17．已知函数
π
sin
(
0)
3
f x
x
在区间π ,π
2
内不存在最值，且在区间π π
,
4 3
上，满足
3
2
f x
恒成立，则的取值范围是（ ）
A．
1
2 5
0,
,
3
3 6
B．
1
2
0,
,1
3
3
C．
1
1 5
0,
,
6
3 6
D．
1
1
0,
,1
6
3
【答案】D
【分析】由正弦型函数的区间最值情况得
1
7
2
3
6
k
k
，
Z
k
，进而有
1
0
6
或1
7
3
6
，讨论
结合已知恒成立确定最终的取值范围.
【详解】由
π ,π
2
x
，则
π
π
π
π
(
,π
)
3
2
3
3
x
内不存在最值，
即
π
π
π
π
2
3
2
π
3π
π
π
3
2
k
k
，则
1
7
2
3
6
k
k
，
Z
k
，则
1
0
6
或1
7···
3
6
，
由
π π
,
4 3
x
，则
π
π
π π
π
[
,
]
3
4
3 3
3
x
中
2
π
si
3
3
n
x
恒成立，
只需π
π
π
4
3
3
且π
π
2π
0
1
3
3
3
，
1
0
6
或1
1
3
；
所以的取值范围是
1
1
0,
,1
6
3
.
故选：D
18.把函数
2
1
cos
2
f x
x
的图象向左平移π
6 个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的
2
倍（
0
），纵坐标不变，得到函数
g x 的图象，若函数
g x 在
0,2 上有两个极值点、两个零点，
则的取值范围为（ ）
A．7π 4π
,
12
3
B．5π 4π
,
6
3
C．7π 13π
,
12
12
D．5π 13π
,
6
12
【答案】D
【详解】
2
2
1
2cos
1
1
cos
cos2
2
2
2
x
f x
x
x
，
f x 的图象向左平移π
6 个单位长度得
1
π
1
π
cos2
cos 2
2
6
2
3
y
x
x
的图象，
再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2
倍，得
1
π
cos
2
3
x
g x
的图象．
因为
0,2
x
，所以
π
π
π
,2
3
3
3
x
，
若
g x 有两个极值点，则
π
2
2π 3π
3
,
，解得
5π 4π
,
6
3
，
若
g x 有两个零点，则
π
3π 5π
2
,
3
2
2
，解得
12
1
7π
2
13π
,
．
综上，的取值范围为5π 13π
,
6
12
.
故选：D．
19.已知将函数
2sin
cos
3sin
(
0)
2
2
2
x
x
x
f x
的图象向右平移π
2个单位长度，得到函数
g x
的图象，若
g x 在
0,π 上有3 个极值点，则的取值范围为（ ）
A．5 ,
3
B．8 ,4
3
C．8 11
,
3 3
D．7 10
,
3
3
【答案】C
【详解】因为
( )
2sin
cos
3sin
2
2
2
x
x
x
f x
2
2sin
cos
2 3sin
2
2
2
x
x
x
sin
3(1 cos
)
x
x
sin
3 cos
3
x
x
π
2sin
3
3
x
又因为
π
π
π
π
( )
2sin
3
2cos
3
2
2
3
3
g x
f
x
x
x
，
令
π
3
t
x
，又因为
0
,当
π
(
)
0,
x
时,
π
π
π
,
π
,
3
3
3
t
x
g x 在
0,π 上有3 个极值点等价于( )
cos
h t
t
在
π
π
,
π
,
3
3
t
上有3 个极值点，
( )
cos
h t
t
的图象如图所示：
由余弦函数( )
cos
h t
t
的性质可得:
π
3π
π
4π
3
,
解得: 8
11
3
3
.
故选:C.
20.记函数f(x) = sin ωx +
π
6 （ω > 0）的最小正周期为T，给出下列三个命题：
甲：T > 3；
乙：f(x)在区间1
2 ,1 上单调递减；
丙：f(x)在区间(0,3)上恰有三个极值点．
若这三个命题中有且仅有一个假命题，则假命题是 （填“甲”、“已”或“丙”）；ω的取值范围
是 ．
【答案】 甲 𝟕π
𝟗,
𝟏𝟎π
𝟗
【分析】甲，利用三角函数的周期性求出𝝎<
𝟐π
𝟑；乙，利用三角函数的单调性求出
𝟐π
𝟑≤𝝎≤
𝟒π
𝟑；丙，利
用函数的极值点定义求出
𝟕π
𝟗< 𝝎≤
𝟏𝟎π
𝟗，结合已知可知甲是假命题，进而求解.
【详解】对于甲，𝑻> 𝟑，即
𝟐π
𝝎> 𝟑，解得𝝎<
𝟐π
𝟑；
对于乙，∵
𝟏
𝟐< 𝒙< 𝟏，∴
𝝎
𝟐+
π
𝟔< 𝝎𝒙+
π
𝟔< 𝝎+
π
𝟔，
由正弦函数的单调性得
𝝎
𝟐+ π
𝟔≥π
𝟐+ 𝟐𝒌π
𝝎+ π
𝟔≤3π
𝟐+ 𝟐𝒌π
,𝒌∈Z，解得
𝟐π
𝟑+𝟒𝒌π ≤𝝎≤
𝟒π
𝟑+𝟐𝒌π,𝒌∈Z，
又𝝎> 𝟎，故
𝟐π
𝟑+𝟒𝒌π > 𝟎，又𝒌∈Z，则𝒌≥𝟎，故𝝎≥
𝟐π
𝟑+𝟒𝒌π ≥
𝟐π
𝟑，且
𝟐𝛑
𝟑+𝟒𝒌𝛑≤𝒙≤
𝟒𝛑
𝟑+𝟒𝒌𝛑
,𝒌≥𝟎，
对于丙，∵𝟎< 𝒙< 𝟑，∴
π
𝟔< 𝝎𝒙+
π
𝟔< 𝟑𝝎+
π
𝟔，
由正弦函数的极值点得5π
𝟐< 𝟑𝝎+
π
𝟔≤
7π
𝟐，解得
𝟕π
𝟗< 𝝎≤
𝟏𝟎π
𝟗；
由这三个命题中有且仅有一个假命题，
假设乙是假命题，则甲、丙是真命题，但显然甲、丙矛盾，故该假设不成立；
假设丙是假命题，则甲、乙是真命题，但显然甲、乙矛盾，故该假设不成立；
所以假命题是甲，则乙、丙是真命题，取交集𝝎的取值范围是𝟕π
𝟗,
𝟏𝟎π
𝟗
.
故答案为：甲，𝟕π
𝟗,
𝟏𝟎π
𝟗
.
