2023届高考数学三轮冲刺卷：三角函数线的含义与运用
一、选择题（共20小题；）
1. 下图中角 α 的正弦线、余弦线和正切线分别是 ()
A. OM，MP，AT B. OM，MP，AʹTʹ
C. MP，OM，AT D. MP，OM，AʹTʹ
1
2. 在 [0,2π) 上满足 sinx≥ 的 x 的取值范围是 ()
2
[ π] [π 5π] [π 2π] [5π ]
A. 0, B. , C. , D. ,π
6 6 6 6 3 6
π π
3. 如果 <α< ，那么下列不等式成立的是 ()
4 2
A. cosα<sinα<tanα B. tanα<sinα<cosα
C. sinα<cosα<tanα D. cosα<tanα<sinα
π π
4. 若 2kπ+ ≤α≤2kπ+ ，k∈Z，则 sinα 与 cosα 的大小关系是 ()
4 2
A. sinα>cosα B. sinα<cosα C. sinα≥cosα D. sinα≤cosα
5. 设 α 是第四象限的角，则 sinα 和 tanα 的大小关系是 ()
A. sinα>tanα B. sinα<tanα C. sinα≥tanα D. 不确定
√2
6. 当 x∈[0,2π] 时，使得不等式 cosx≥ 成立的 x 的取值范围是 ()
2
[π ] [ π]
A. ,2π B. 0,
4 4
[ π π] [ π] [7π ]
C. − , D. 0, ∪ ,2π
4 4 4 4
7. 已知角 α 的余弦线是单位长度的有向线段，那么角 α 的终边在 ()
A. x 轴上 B. y 轴上
C. 直线 y=x 上 D. 直线 y=−x 上
8. 若 45∘<α<90∘，则下式中正确的是 ()
A. cosα<sinα<tanα B. tanα<sinα<cosα
C. sinα<tanα<cosα D. sinα<cosα<tanα9. 如图，已知单位圆 O 与 y 轴相交于 A 、 B 两点，角 θ 的顶点为坐标原点，始边在 x 轴
的正半轴上，终边在射线 OM 上．过点 A 作直线 AC 垂直于 y 轴且与角 θ 的终边 OM
交于点 C，则有向线段 AC 表示的函数值是 ()
1
A. sinθ B. cosθ C. tanθ D.
tanθ
10. 已知函数 f (x) 的定义域为 R，且满足下列三个条件：
f (x )−f (x )
①对任意的 x ,x ∈[5,10]，且 x ≠x ，都有 1 2 <0；
1 2 1 2 x −x
1 2
② f (x+10)=f (x)；
③ f (x+5) 是偶函数．
若 a=f (2020)，b=f (3)，c=f (−18)，则 a，b，c 的大小关系正确的是 ()
A. a<b<c B. b<a<c C. a<c<b D. c<b<a
11. 满足 tanα≥cotα 的角 α 的一个取值区间是 ()
[π π] [ π] ( π) (π π)
A. , B. 0, C. 0, D. ,
4 2 4 4 4 2
12. 已知 α 是第二象限角，下列四个不等式可能成立的是 ()
α α α
① tan >sin >cos ；
2 2 2
α α α
② sin >cos >tan ；
2 2 2
α α α
③ tan >cos >sin ；
2 2 2
α α α
④ cos >tan >sin ．
2 2 2
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
13. 若点 P(sinα−cosα,tanα) 在第一象限，则在 [0,2π) 内 α 的取值范围是 ()
(π 3π) ( 5π) (π π) ( 5π)
A. , ∪ π, B. , ∪ π,
2 4 4 4 2 4
(π 3π) (5π 3π) (π 3π) (3π )
C. , ∪ , D. , ∪ ,π
2 4 4 2 2 4 4
14. 设 θ 是第二象限的角，则必有 ()θ θ θ θ θ θ θ θ
A. tan >cot B. tan <cot C. sin >cos D. sin <cos
2 2 2 2 2 2 2 2
15. 如果 α 、 β 都是第二象限角，且 α>β，那么 ()
A. sinα>sinβ B. sinβ>sinα C. sinα≥sinβ D. 不能确定
( √3 1)
16. 已知角 α 的终边与单位圆交于点 − ,− ，则 sinα 的值为 ()
2 2
√3 1 √3 1
A. − B. − C. D.
2 2 2 2
π π
17. 设 <α< ，sinα=a，cosα=b，tanα=c，则 a，b，c 的大小关系为 ()
4 2
A. a<b<c B. b>a>c C. a>b>c D. b<a<c
18. 给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
④若 sinα=sinβ，则 α 与 β 的终边相同；
⑤若 cosθ<0，则 θ 是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是 ()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1+cosα
19. 若 =2，则 cosα−3sinα= ()
sinα
9 9
A. −3 B. 3 C. − D.
5 5
3π
20. 如果 MP，OM 分别是角 α= 的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是 ()
16
A. MP<OM<0 B. MP<0<OM C. MP>OM>0 D. OM>MP>0
二、填空题（共5小题；）
21. 已知角 α 的终边经过点 (√2,−√2)，则 sinα= ， cosα=
， tanα= ．
22. 三角函数线
如图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM⊥x 轴，垂足为 M，过 A(1,0) 作
单位圆的切线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T．23. sin1，cos1，tan1 的大小顺序为 ．（按从大到小的顺序排列）
α α α
24. 设角 α 是第三象限角，且 ∣sin ∣=−sin ，则角 是第 象限角.
2 2 2
25. 设函数 f (x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中 a，b，α，β 都是非零实数，且满足
f (2019)=−1，则 f (2020) 的值为 ．
三、解答题（共5小题；）
1
26. 利用三角函数线求出满足 sinα< 的角 α 的范围．
2
√ 1
27. 求函数 f (x)= sinx− 的定义域．
2
28. 已知 0<α<π，试利用三角函数线讨论 sinα+cosα 值的变化规律．
29. 已知 0<α<π，试利用三角函数线讨论 sinα+cosα 值的变化规律．
tan(−3)
30. （1）确定 的符号；
cos8⋅tan5
（2）已知 α∈(0,π)，且 sinα+cosα=m(0<m<1)，试判断式子 sinα−cosα 的符号．答案
1. D
2. B
3. A 【解析】如图所示，在单位圆中分别作出 α 的正弦线 MP 、余弦线 OM 、正切线 AT，
很容易地观察出 OM<MP<AT，即 cosα<sinα<tanα．
4. C
5. A
6. D
7. A 【解析】如图，
根据余弦线的定义可知 α 的余弦线是 ⃗OM，进而可知当角 α 的终边和 x 轴正半轴或负半轴重合时，
余弦线是单位长度的有向线段．
8. A 【解析】
由图可知，OM<MP<AT，所以 cosα<sinα<tanα．
9. D
10. C
【解析】①因为对于对任意的 x ,x ∈[5,10]，且 x ≠x ，
1 2 1 2
f (x )−f (x )
都有 1 2 <0，即函数 f (x) 在 [5,10] 上单调递减；
x −x
1 2
②由 f (x+10)=f (x) 可得函数的周期 T=10；
③由 f (x+5) 是偶函数可得函数的图象关于 x=5 对称，所以 a=f (2020)=f (0)=f (10)，b=f (3)=f (7)，c=f (−18)=f (2)=f (8)，
所以 f (10)<f (8)<f (7)，则 a<c<b．
1
11. D 【解析】提示：将原不等式转化成 tanα≥ ，解得 tanα≥1 或 tanα≤−1，此时
tanα
( π π ] [π π )
α∈ − +kπ,− +kπ ∪ +kπ, +kπ ,k∈Z.
2 4 4 2
12. B
13. B
θ
14. A 【解析】提示：θ 是第二象限的角，则 在图中阴影区域，利用三角函数线判断．
2
15. D
1
−
16. B 【解析】 2 1．
sinα= =−
1 2
17. D 【解析】在单位圆中作出角 α 的正弦线、余弦线、正切线，如图，
sinα=∣MP∣，cosα=∣OM∣，tanα=∣AT∣，∣OM∣<∣MP∣<∣AT∣，所以
b<a<c．
18. A 【解析】由于第一象限角 370∘ 不小于第二象限角 100∘，故 ① 错；当三角形的内角为 90∘
π 5π π
时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故 ② 错；③ 正确；由于 sin =sin ，但 与
6 6 6
5π
的终边不相同，故 ④ 错；当 θ=π，cosθ=−1<0 时既不是第二象限角，又不是第三象限角，
6
故 ⑤ 错．综上可知只有 ③ 正确．
1+cosα
19. C 【解析】因为 =2，
sinα所以 cosα=2sinα−1，
又 sin2α+cos2α=1，
所以 sin2α+(2sinα−1) 2=1，
即 5sin2α−4sinα=0，
4
解得 sinα= 或 sinα=0（舍去），
5
9
所以 cosα−3sinα=−sinα−1=− ．
5
故选C．
20. D
√2 √2
21. − ， ，−1
2 2
22. MP，OM，AT
23. tan1>sin1>cos1
24. 四
3π
【解析】由 α 是第三象限角，知 2kπ+π<α<2kπ+ (k∈Z) ，
2
π α 3π α α α
所以 kπ+ < <kπ+ (k∈Z) ，则 是第二或第四象限角，又 ∣sin ∣=−sin ，所以
2 2 4 2 2 2
α
只能是第四象限角.
2
25. 1
( 5π 13π)
26. 2kπ+ ,2kπ+ (k∈Z)．
6 6
1
27. 因为 sinx− ≥0，
2
1
所以 sinx≥ ，
2
1 π 5π
当 sinx= ，x=2kπ+ 或 x=2kπ+ ，k∈Z，
2 6 6
在单位圆中，标记出这两类角的终边位置，
如图所示，根据正弦线的变化情况，
1 [ π 5π]
我们得到 sinx≥ 时，x∈ 2kπ+ ,2kπ+ ，k∈Z．
2 6 6π π
28. 当 0<α< 时，sinα+cosα>1；α= 时，sinα+cosα=1；
2 2
π 3π 3π
当 <α< 时，0<sinα+cosα<1；α= 时，sinα+cosα=0；
2 4 4
3π
当 <α<π 时，−1<sinα+cosα<0．
4
π
29. 当 0<α< 时，sinα+cosα>1；
2
π
当 α= 时，sinα+cosα=1；
2
π 3
当 <α< π 时，0<sinα+cosα<1；
2 4
3
当 α= π 时，sinα+cosα=0；
4
3
当 π<α<π 时，−1<sinα+cosα<0．
4
30. （1） 因为 −3，5，8 分别是第三、第四、第二象限角，
所以 tan(−3)>0，tan5<0，cos8<0，
所以原式大于 0．
π
（2） 若 0<α< ，则如图所示，在单位圆中，OM=cosα，MP=sinα，
2
所以 sinα+cosα=MP+OM>OP=1．
π
若 α= ，则 sinα+cosα=1．
2
(π )
由已知 0<m<1，故 α∈ ,π ．
2
于是有 sinα−cosα>0．
