文档文本内容
重难点突破 01 三角函数中有关 ω 的取值范围与最值问题
目录
01 方法技巧与总结..............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结..............................................................................................................................3
题型一：零点问题................................................................................................................................3
题型二：单调问题................................................................................................................................4
题型三：最值问题................................................................................................................................5
题型四：极值问题................................................................................................................................6
题型五：对称性问题............................................................................................................................7
题型六：性质的综合问题....................................................................................................................8
03 过关测试..........................................................................................................................................9T
{
⇒¿ |b−a|≤ ¿ {kπ≤aω+ϕ<π+kπ¿¿¿
2
1、 在 区间 内没有零点
T kπ ϕ
{ { −
b a a
⇒¿| − |≤ ¿ ≥ ¿¿¿
2 ω
同理， 在区间 内没有零点
T kπ ϕ
{ { −
T
{
b a a
⇒¿| − |< ¿ > ¿¿¿
⇒¿ |b−a|≤ ¿ {kπ<aω+ϕ<π+kπ¿¿¿
2 ω
2
在区间 内有 个零点
2、
{T b a 2T {kπ aω ϕ π kπ
⇒¿ <| − |≤ ¿ ≤ + < + ¿¿¿
在区间 内有 个零点
同理
T 3T
{
⇒¿ ≤|b−a|< ¿ {kπ<aω+ϕ≤π+kπ¿¿¿
2 2
3、 在区间 内有 个零点同理 在区间 内有 个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 ，则
．
5、已知单调区间 ，则 .
题型一：零点问题
【典例1-1】已知函数 ，且 ，则下列陈述不正确的是（ ）
A．若函数 的相邻对称轴之间的距离为 ，则函数 的最小正周期为π
B．若函数 的相邻对称轴之间的距离为 ，则 为 的一条对称轴
C．若函数 在区间 上有三个零点，则 的范围为
D．若函数 在 无零点，则 的范围为【典例1-2】（2024·陕西·模拟预测）已知函数 在 上有且只有5
个零点，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知函数 在区间 恰有6个零点，若 ，则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知 （其中 ），若方程 在区间 上恰有4个实根，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】函数 ，（ ， ）满足 ，且 在区间 上
有且仅有3个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2024·湖北武汉·模拟预测）设 ，已知函数 在 上
恰有6个零点，则 取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型二：单调问题
【典例2-1】若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【典例2-2】（2024·四川成都·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】已知函数 ，若对任意的实数m， 在 的值域均为 ，且
在 上单调递减，则ω的范围为 .
【变式2-2】（2024·宁夏银川·三模）函数 的图像是由函数 （ 大于零）的图像向左
平移 个单位所得，若函数 在 范围内单调，则 的范围是 .
【变式2-3】已知函数 ，若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
题型三：最值问题
【典例3-1】函数 在区间 上有50个最大值，则 的范围 ．
【典例3-2】若函数 在 内存在最小值但无最大值，则 的范围是
【变式3-1】（2024·江西鹰潭·三模）已知函数 ，若 且
，则 的最小值为（ ）
A．11 B．5 C．9 D．7【变式3-2】函数 在 内恰有两个最小值点，则ω的范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型四：极值问题
【典例4-1】记函数 的最小正周期为T．若 为 的
极小值点，则 的最小值为__________．
【典例4-2】已知函数 ， ，函数 在 上有且仅有
一个极小值但没有极大值，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·山西运城·高三统考期中）已知函数 在区间 内有且仅有
一个极小值，且方程 在区间 内有3个不同的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·全国·校联考三模）已知函数 ， .若函数
只有一个极大值和一个极小值，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】函数 在 上有唯一的极大值，则 （ ）A． B． C． D．
题型五：对称性问题
【典例5-1】已知函数 ，若 的图象的任意一条对称轴与 轴交点的横
坐标均不属于区间 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例5-2】已知 ，（ ），若函数在区间 内不存在对称轴，
则 的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】已知函数 在区间[0， ]上有且仅有3条对称轴，则 的取值范围是
（ ）
A．（ ， ] B．（ ， ] C．[ ， ） D．[ ， ）
【变式5-2】函数 在区间 上恰有两条对称轴，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知函数 在 内有且仅有三条对称轴，则
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
题型六：性质的综合问题
【典例6-1】已知函数 （ ）， ，下述五个结论：
①若 ，且 在 有且仅有5个零点，则 在 有且仅有3个极大值点；
②若 ，且 在 有且仅有4个零点，则 在 有且仅有3个极小值点；
③若 ，且 在 有且仅有5个零点，则 在 上单调递增；
④若 ，且 在 有且仅有4个零点，则 的范围是 ；
⑤若 的图象关于 对称， 为它的一个零点，且在 上单调，则 的最大值为11.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．②③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④
【典例6-2】已知 ，下列结论错误的个数是（ ）
①若 ，且 的最小值为 ，则 ；②存在 ，使得 的图像向右平
移 个单位长度后得到的图像关于 轴对称；③若 在 上恰有7个零点，则 的取值范围是
；④若 在 上单调递增，则 的取值范围是 .
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-1】（2024·天津·二模）已知函数 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．若 相邻两条对称轴的距离为 ，则 ；B．若 ，则 时， 的值域为 ；
C．若 在 上单调递增，则 ；
D．若 在 上恰有2个零点，则 .
【变式6-2】已知奇函数 在 上有2个最值点和1个零
点，则 的范围是 .
【变式6-3】（2024·安徽合肥·三模）已知函数 在区间 上只有
一个零点和两个最大值点，则 的取值范围是 ．
【变式6-4】已知函数 ，且 ， 在区间 上恰有4
个不同的实数 ，使得对任意 都满 ，且对任意角 ， 在区间
上均不是单调函数，则 的取值范围是 .
1．已知函数 ，若 在区间 有三个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 在 上有且仅有两个零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．3．若函数 在 上恰好存在2个不同的 满足 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，在定义域
内存在唯一 ，使得 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）（2024·河北·模拟预测）已知函数 在 上有且仅有两个对称中
心，则下列结论正确的是（ ）
A． 的范围是
B．函数 在 上单调递增
C． 不可能是函数 的图像的一条对称轴
D． 的最小正周期可能为
6．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知“ ”表示小于 的最大整数，例如 .若
恰好有四个解,那么 的范围是 .
7．已知函数 在区间 上有且仅有2个不同的零点，则 的范围为 .
8．若函数 ，且 ，则 的范围是 .
9．已知 ， 同时满足：
（1） ， 或 ﹔
（2） ﹐ ，
则 的范围为 ．
xoy
10．（2024·高三·四川成都·开学考试）函数 ，已知 在区间 恰有
三个零点，则 的范围为 .11．（2024·天津河北·二模）已知函数 的最小正周期为 ，若
， 时函数 取得最大值，则 ， 的最小值为 .
12．（2024·四川·三模）已知函数 对任意的 ，都有 ，
则 的最小值为 .
13．已知函数 在区间 内恰有3个零点，则 的取值范围是 ．
14．设 ，已知函数 在区间 恰有6个零点，则ω的取值范围为
15．若函数 在 上严格减，则正实数 的取值范围是 ．
16．若函数 在 上单调递增则 的取值范围为 .
17．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 （ ）在区间 上有且仅有3个极值点，
则 的取值范围是 .
18．（2024·江西九江·三模）已知函数 在区间 上有且仅有三个零点，则
的取值范围是 .
19．已知函数 （其中 在区间 上单调递增，且在区间 上有3个零点，则
的取值范围为 .
20．（2024·湖北·二模）已知函数 （ ， ）的最小正周期为T，
，若 在 内恰有10个零点则 的取值范围是 ．
21．已知函数 ，若沿 轴方向平移 的图象，总能保证平移后的曲线与直线
在区间 上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数 的取值范围为 （建议：作答写成区
间．）
22．设常数 ， ，若函数 在区间 上的最小值为0，
则 的最大值为
23．（2024·福建南平·二模）函数 在区间 上单调递增，且在区间 上恰
有两个极值点，则 的取值范围是 .
