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备战 2024 中考数学一轮复习
第四章三角形
第 5 讲几何测量
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 5 讲几何测量
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一全等测距
考向二中位线测距
考向三相似测距
考向四锐角三角函数测距
第 5 讲几何测量
→➋真题精讲←
题型一全等测距
1．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径 的卡钳，
卡钳交叉点O为 、 的中点，只要量出 的长度，就可以道该零件内径 的长度．
依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短
【答案】A
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【分析】根据题意易证 ，根据证明方法即可求解．
【详解】解：O为 、 的中点，
， ，
（对顶角相等），
在 与 中，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．
2.（2020•陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼
对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，
由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来
到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．
已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高
MN．
【分析】过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，可得四边形AMEC和四边形
AMFB均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，进而可得商业大厦的高MN．
【解析】如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，
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∴∠CEF＝∠BFE＝90°，
∵CA⊥AM，NM⊥AM，
∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，
∴CE＝BF，ME＝AC，
∠1＝∠2，
∴△BFN≌△CEM（ASA），
∴NF＝EM＝31+18＝49，
由矩形性质可知：EF＝CB＝18，
∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．
答：商业大厦的高MN为80m．
3.要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝
BC，再定出 BF 的垂线 DE，使 A，C，E 在一条直线上（如图所示），可以说明
△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，请你运用自己所学知识说
明他们的做法是正确的．
证明：∵BF⊥AB，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠BDE
又∵CD＝BC，∠ACB＝∠DCE
∴△EDC≌△ABC（ASA），
∴DE＝BA．
【总结】：本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐
含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．
题型二中位线测距
4．（2023·云南·统考中考真题）如图， 两点被池塘隔开， 三点不共线．设
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的中点分别为 ．若 米，则 （ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解∶∵ 的中点分别为 ，
∴ 是 的中位线，
∴ 米 ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第
三边的一半是解题的关键．
5．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，把两根钢条 的一个端点连在一起，点
分别是 的中点．若 ，则该工件内槽宽 的长为__________ ．
【答案】8
【分析】利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵点 分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”
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是解题的关键．
题型三相似测距
6．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同
学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到
她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为 ，同时量得小菲与镜
子的水平距离为 ，镜子与旗杆的水平距离为 ，则旗杆高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据镜面反射性质，可求出 ，再利用垂直求 ，最后
根据三角形相似的性质，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，
由图可知， ， ，
.
根据镜面的反射性质，
∴ ，
∴ ，
，
，
.
小菲的眼睛离地面高度为 ，同时量得小菲与镜子的水平距离为 ，镜子与旗杆的
水平距离为 ，
， ， .
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.
.
故选：B.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和
相似三角形的性质.
7．（2023·江西·统考中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在
古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的 ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，
可测量物体的高度如图，点 ， ， 在同一水平线上， 和 均为直角，
与 相交于点 ．测得 ，则树高 ______m．
【答案】
【分析】根据题意可得 ，然后相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵ 和 均为直角
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
8.（2022年陕西中考）（6分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的
高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物 OB的影长OC为16米，
OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线
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上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，
求旗杆的高AB．
【 答 案 】 解 ： ∵ AD∥ EG ， ∴ ∠ ADO ＝ ∠ EGF ， ∵ ∠ AOD ＝ ∠ EFG ＝ 90° ，
AO OD AO 20
∴△AOD∽△EFG∴ ＝ ，即 ＝ ，∴AO＝15，同理得△BOC∽△AOD，
EF FG 1.8 2.4
BO OC BO 16
∴ ＝ ，即 ＝ ，∴BO＝12，∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米）。
AO OD 15 20
答：旗杆的高AB是3米．
9.（2019·陕西）（7分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天
下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到
达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点 D，并在点D处安
装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG
＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点
F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛
与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直
线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不
计）
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5．解Rt△ACH，得出AH＝
CH＝BD，那么AB＝AH+BH＝BD+0.5．再证明△EFG∽△ABG，根据相似三角形对应边成
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比例求出BD＝17.5，进而求出AB即可．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5．
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由题意，易知∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴ ＝ 即 ＝ ，
解之，得BD＝17.5，
∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．
∴这棵古树的高AB为18m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，解题的关
键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．
题型四锐角三角函数测距
10．（2023·河南·统考中考真题）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量
树高，测高仪 为正方形， ，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高
的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线 交 于点H．经测量，
点A距地面 ，到树 的距离 ， ．求树 的高度（结果精确到
）．
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【答案】树 的高度为
【分析】由题意可知， ， ，易知 ，可得
，进而求得 ，利用 即可求解．
【详解】解：由题意可知， ， ，
则 ，
∴ ，
∵ ， ，
则 ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
答：树 的高度为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到 是解决问题的关键．
11．（2023·辽宁·统考中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要
登顶 高的山峰，由山底A处先步行 到达 处，再由 处乘坐登山缆车到达山顶
处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡 的坡角为 ，缆车行驶路线
与水平面的夹角为 （换乘登山缆车的时间忽略不计）
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(1)求登山缆车上升的高度 ；
(2)若步行速度为 ，登山缆车的速度为 ，求从山底A处到达山顶 处大
约需要多少分钟（结果精确到 ）
（参考数据： ）
【答案】(1)登山缆车上升的高度
(2)从山底A处到达山顶 处大约需要
【分析】（1）过B点作 于C， 于E，则四边形 是矩形，在
中，利用含30度的直角三角形的性质求得 的长，据此求解即可；
（2）在 中，求得 的长，再计算得出答案．
【详解】（1）解：如图，过B点作 于C， 于E，则四边形 是矩
形，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
答：登山缆车上升的高度 ；
（2）解：在 中， ， ，
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∴ ，
∴从山底A处到达山顶 处大约需要：
，
答：从山底A处到达山顶 处大约需要 .
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关
键．
12.（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——
“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，
屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过
程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处
测得 、 ， ．求“龙”字雕塑 的高度．（B，C，D三
点共线， ．结果精确到0.1m）（参考数据： ， ，
， ， ， ）
【答案】“龙”字雕塑 的高度为 ．
【分析】在 和 中，分别求得 和 的长，据此求解即可.
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ,
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答：“龙”字雕塑 的高度为 ．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记
锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东 方向，距
离灯塔 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东 方
向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：
．）
【答案】B处距离灯塔P大约有 ．
【分析】在 中，求出 的长，再在 中，求出 即可．
【详解】解：设 与灯塔P的正东方向相交于点C，
根据题意，得 ， ， ；
在 中，
∵ ，
∴ ；
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
答：B处距离灯塔P大约有 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直
角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
14．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知
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， ，点 关于点 的仰角为 ，则楼
的高度为多少 ？（结果保留整数．参考数据：
）
【答案】楼 的高度为
【分析】延长 交 于点 ，依题意可得 ，在 ，根据
，求得 ，进而根据 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长 交 于点 ，
∵ ，
∴
在 中， ， ，
∵ ，
∴
∴ ，
答：楼 的高度为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
15．（2023·四川成都·统考中考真题）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社
区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，
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遮阳篷 长为 米，与水平面的夹角为 ，且靠墙端离地高 为 米，当太阳光线
与地面 的夹角为 时，求阴影 的长．（结果精确到 米；参考数据：
）
【答案】 米
【分析】过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是矩形，在
中，求得 ，进而求得 ，根据 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形
是矩形，
依题意， ， （米）
在 中， （米），
（米），则 （米）
∵ （米）
∴ （米）
∵ ，
∴ （米）
∴ （米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．（2023·内蒙古·统考中考真题）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定
向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为 点和 点，行进
路线为 ． 点在 点的南偏东 方向 处， 点在A点的北偏东
方向，行进路线 和 所在直线的夹角 为 ．
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(1)求行进路线 和 所在直线的夹角 的度数；
(2)求检查点 和 之间的距离（结果保留根号）．
【答案】(1)行进路线 和 所在直线的夹角为
(2)检查点 和 之间的距离为
【分析】（1）根据题意得， ， ，再由各角之
间的关系求解即可；
（2）过点A作 ，垂足为 ，由等角对等边得出 ，再由正弦函数及正切
函数求解即可．
【详解】（1）解：如图，根据题意得， ， ，
，
．
在 中， ，
．
答：行进路线 和 所在直线的夹角为 ．
（2）过点A作 ，垂足为 ．
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，
，
．
,
在 中，
，
．
,
在 中， ，
，
．
答：检查点 和 之间的距离为 ．
【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．
17．（2023·山东·统考中考真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用
无人机测最大楼的高度 ，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处
俯角为 ，楼顶C点处的俯角为 ，已知点A与大楼的距离 为70米（点A，B，
C，P在同一平面内），求大楼的高度 （结果保留根号）
【答案】大楼的高度 为 ．
【分析】如图，过 作 于 ，过 作 于 ，而 ，则四边形
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是矩形，可得 ， ，求解 ，
，可得 ， ，可得
．
【详解】解：如图，过 作 于 ，过 作 于 ，而 ，
则四边形 是矩形，
∴ ， ，
由题意可得： ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴大楼的高度 为 ．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的
含义是解本题的关键．
18．（2023·四川内江·统考中考真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角 的斜坡
，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼 的楼顶C的仰角 ，离B点4米
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远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角 ， 的延长线交水平线 于点
D，求 的长（结果保留根号）．
【答案】 的长为 米
【分析】作 于点 ，首先根据坡度求出 ，并通过矩形的判定确定出
，然后通过解三角形求出 ，即可相加得出结论．
【详解】解：如图所示，作 于点 ，则由题意，四边形 为矩形，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
由题意， ， ， ， ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，即： ，
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解得： ，经检验， 是上述方程的解，且符合题意，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键．
19．（2023·天津·统考中考真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔 前有一座高为 的观景台，已知 ，点E，C，A在同一
条水平直线上．
某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为 ，在观景台D处测得塔顶部B的仰角
为 ．
(1)求 的长；
(2)设塔 的高度为h（单位：m）．
①用含有h的式子表示线段 的长（结果保留根号）；
②求塔 的高度（ 取0.5， 取1.7，结果取整数）．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）①分别在 和 中，利用锐角三角函数定义求得 ， ，
进而可求解；
②过点 作 ，垂足为 ．可证明四边形 是矩形，得到
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， ．在 中，利用锐角三角函数定义得到
，然后求解即可．
【详解】（1）解：在 中， ，
∴ ．
即 的长为 ．
（2）解：①在 中， ，
∴ ．
在 中，由 ， ， ，
则 .
∴ ．
即 的长为 ．
②如图，过点 作 ，垂足为 ．
根据题意， ，
∴四边形 是矩形．
∴ ， ．
可得 ．
在 中， ， ，
【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ．即 ．
∴ ．
答：塔 的高度约为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与
性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．
20．（2023·四川广安·统考中考真题）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三
角形花园 边上修建一个四边形人工湖泊 ，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点
在点 的正东方向170米处，点 在点 的正北方向，点 都在点 的正北方向，
长为100米，点 在点 的北偏东 方向，点 在点 的北偏东 方向．
(1)求步道 的长度．
(2)点 处有一个小商店，某人从点 出发沿人行步道去商店购物，可以经点 到达点 ，
也可以经点 到达点 ，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位）
（参考数据： ）
【答案】(1)200米
(2) 这条路较近，理由见解析
【分析】（1）根据矩形的性质和锐角三角函数中的正弦值即可求出答案．
（2）根据矩形的性质和锐角三角函数中的正切值、余弦值分别求出 和 的长度，比
较 和 即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意得，过点 作 垂直 的延长线于点 ，如图所示，
【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
点 在点 的正东方向170米处，点 在点 的正北方向，点 都在点 的正北方向，
， ，
，
，
为矩形.
.
米，
米.
在 中， 米.
故答案为：200米.
（2）解： 这条路较近，理由如下：
， ，
.
米， ，
在 中， 米.
米.
为矩形， 米，
米.
在 中， 米.
米.
结果精确到个位，
米.
米.
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.
从 这条路较近.
故答案为： 这条路较近.
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到锐角三角函数正弦、余弦、正切，
矩形的性质，解题的关键在于构建直角三角形利用三角函数求边长.
21．（2023·安徽·统考中考真题）如图， 是同一水平线上的两点，无人机从 点竖直
上升到 点时，测得 到 点的距离为 点的俯角为 ，无人机继续竖直上升到
点，测得 点的俯角为 ．求无人机从 点到 点的上升高度 （精确到 ）．参
考数据： ，
．
【答案】无人机从 点到 点的上升高度 约为 米
【分析】解 ，求得 ， ，在 中，求得 ，根据 ，即
可求解．
【详解】解：依题意， ， ， ，
在 中， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴
（米）
答：无人机从 点到 点的上升高度 约为 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
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