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§4.7 三角函数中有关 ω 的范围问题
重点解读 在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其
求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点．
题型一 三角函数的单调性与ω的关系
例1 已知ω>0，函数f(x)＝cos ωx－sin(π－ωx)在上单调递增，则ω的取值范围是( )
A．[2,6] B．(2,6)
C. D.
答案 C
解析 由已知得f(x)＝cos ωx－sin(π－ωx)
＝cos ωx－sin ωx
＝sin ωxcos ＋cos ωxsin
＝sin，
又f(x)在上单调递增，
所以k∈Z，
解得6k－4≤ω≤4k－，k∈Z，
由6k－4≤4k－，得k≤，k∈Z，
又ω>0，k∈Z，
因此k＝1，所以2≤ω≤.
思维升华 确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范
围．
跟踪训练1 (2023·宜昌模拟)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω>0，若f ＝3，f(π)＝0，f(x)在上
单调递减，那么ω的取值共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案 D
解析 ∵f ＝3，f(π)＝0，
∴π－＝·T(n∈N)，T＝，
∵f(x)在上单调递减，
∴≥－＝，∴T≥，
即≥，∴2n＋1≤10，n∈N，
∴n＝0,1,2,3,4，
即周期T有5个不同取值，
∴ω的取值共有5个．题型二 三角函数的对称性与ω的关系
例2 (2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω>0)，若f(x)在区间(0,2π)上有且仅有2
个极值点，则ω的取值范围是________．
答案
解析 函数f(x)＝cos ωx－sin ωx
＝2＝2cos，
因为x∈(0,2π)，ω>0，
所以ωx＋∈，
由于函数f(x)在区间(0,2π)上有且仅有2个极值点，所以f(x)在(0,2π)上有且仅有2条对称轴，
则2π<2πω＋≤3π，
解得ω∈.
思维升华 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对
称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其
周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于 ω的不等式组，进而可以研
究“ω”的取值范围．
跟踪训练2 (2024·大庆模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间上仅有一条对称轴及一
个对称中心，则ω的取值范围为( )
A．(5,8) B．(5,8] C．(5,11] D．[5,11)
答案 B
解析 由题意，函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，ω>0，
因为x∈，所以<ωx＋<(1＋ω)，
要使得函数f(x)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，
则需满足π<(1＋ω)≤，解得5<ω≤8，
所以ω的取值范围为(5,8]．
题型三 三角函数的最值与ω的关系
例3 已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
答案 (－∞，－2]∪
解析 由题意，显然ω≠0.
若ω>0，当x∈时，ωx∈，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，
所以－ω≤－，解得ω≥；
若ω<0，当x∈时，ωx∈，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2.
综上所述，ω的取值范围是(－∞，－2]∪.思维升华 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于 ω的不等式(组)，进
而求出ω的值或取值范围．
跟踪训练3 为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值
为( )
A．98π B. C. D．100π
答案 B
解析 由题意，在[0,1]上至少出现50次最大值即在[0,1]上至少需要49个周期，即个周期，
所以T＝·≤1，
所以ω≥，ω的最小值为.
题型四 三角函数的零点与ω的关系
例4 (2023·开封统考)若函数g(x)＝cos在区间[0，π)内有5个零点，则ω的取值范围是( )
A.≤ω< B.<ω≤
C.≤ω< D.<ω≤
答案 D
解析 g(x)＝cos，
当x∈[0，π)时，2ωx－∈，
y＝cos x在y轴右方的零点为x＝，，，，，，…，
因为函数g(x)的图象在区间[0，π)内有5个零点，
所以<2ωπ－≤，解得<ω≤.
思维升华 三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究
“ω”的取值．
跟踪训练4 (2024·株洲模拟)已知f(x)＝sin ωx(ω∈N*)，若在区间上存在两个不相等的实数
a，b，满足f(a)＋f(b)＝2，则ω可以为________．(填一个值即可)
答案 5(答案不唯一)
解析 f(x)＝sin ωx≤1，ω∈N*，
若在区间上存在两个不相等的实数a，b，满足f(a)＋f(b)＝2，
则在区间上f(x)至少存在两个最大值，
∴≥，
∴ω≥5，
又ω∈N*，∴ω可以为5.
课时精练
一、单项选择题1．(2024·达州模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，若f(x)在区间上单调，且f(0)＝f ＝－f
，则ω的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由于f(x)在区间上单调，且f ＝－f ，所以≤，且f ＝0，
又因为f(0)＝f ，且<，
所以直线x＝为f(x)图象的对称轴，
又－＝<，所以＝，故ω＝2.
2．(2024·南昌模拟)已知函数f(x)＝sin＋sin ωx(ω>0)，f(x)＝0，f(x)＝，且|x －x|＝π，则ω
1 2 1 2
的最小值为( )
A. B. C．1 D．2
答案 A
解析 因为f(x)＝sin＋sin ωx＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx＝sin ωx＋cos ωx＝sin，
f(x)＝0，f(x)＝，且|x－x|＝π，
1 2 1 2
所以函数f(x)的最小正周期T满足T＝π(k∈N)，则T＝(k∈N)，
所以ω＝＝(k∈N)，
又ω>0，故当k＝0时，ω取最小值.
3．若直线x＝是曲线y＝sin(ω>0)的一条对称轴，且函数y＝sin在区间上不单调，则ω的最
小值为( )
A．9 B．7 C．11 D．3
答案 C
解析 因为直线x＝是曲线y＝sin(ω>0)的一条对称轴，
则ω－＝kπ＋，k∈Z，
即ω＝4k＋3，k∈Z，
当x∈时，ωx－∈，
因为f(x)在上不单调，
所以π－>，解得ω>9，
所以ω的最小值为11.
4．(2023·开封模拟)已知将函数f(x)＝2sin ·(ω>0)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)
的图象，若g(x)在(0，π)上有3个极值点，则ω的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 f(x)＝2sin ＝2sin cos －2sin2＝sin ωx－(1－cos ωx)＝sin ωx＋cos ωx－＝2sin－，
令g(x)＝f ＝2sin－＝－2cos－，因为ω>0，
所以当x∈(0，π)时，ωx＋∈，
又因为g(x)在(0，π)上有3个极值点，则由余弦函数的性质可得3π<ωπ＋≤4π，解得<ω≤.
5．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)，若方程|f(x)|＝1在区间(0,2π)上恰有5个实根，则ω的取值范
围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由方程|f(x)|＝＝1，
可得sin＝±，
所以ωx＋＝kπ±(k∈Z)，
因为ω>0，
所以当x∈(0,2π)时，ωx＋∈，
所以ωx＋的可能取值为，，，，，，…，
因为原方程在区间(0,2π)上恰有5个实根，
所以<2ωπ＋≤，
解得<ω≤，即ω的取值范围是.
6．(2023·青岛质检)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤，x＝－为f(x)的零点，且
f(x)≤恒成立，f(x)在区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是( )
A．11 B．13 C．15 D．17
答案 C
解析 由题意，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，
所以f ＝±1，即ω＋φ＝kπ＋，k∈Z，①
1 1
又f ＝0，所以－ω＋φ＝kπ，k∈Z，②
2 2
由①②，得ω＝2(k－k)＋1，k，k∈Z，
1 2 1 2
又f(x)在区间上有最小值无最大值，
所以T≥－＝，
即≥，解得ω≤16.
综上，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由①得×15＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，又|φ|≤，
1 1 1 1
所以φ＝－，此时f(x)＝sin，当x∈时，15x－∈，
当15x－＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值，无最大值，满足题意．
故ω的最大值是15.
二、多项选择题7．(2024·海淀区模拟)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，那么常数ω的一个取值可
以为( )
A. B. C. D．1
答案 ABC
解析 f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
则ω·≤，ω·≥－，
∴0<ω≤，
∴选项ABC符合题意．
8．(2023·郑州模拟)已知f(x)＝1－2cos2(ω>0)．则下列判断正确的是( )
A．若f(x)＝1，f(x)＝－1，且|x－x| ＝π，则ω＝2
1 2 1 2min
B．存在ω∈(0,2)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
C．若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为
D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为
答案 CD
解析 因为f(x)＝1－2cos2
＝－cos＝sin，
所以周期T＝＝.
对于A，由条件知，周期为2π，所以＝2π，
解得ω＝，故A错误；
对于B，函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝sin的图象，
若其关于y轴对称，则－＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－1－3k(k∈Z)，
故对任意整数k，ω∉(0,2)，故B错误；
对于C，由条件得7π≤2ω·2π＋<8π，
解得≤ω<，故C正确；
对于D，由条件得解得ω≤，又ω>0，所以0<ω≤，故D正确．
三、填空题
9．(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点，
则ω的取值范围是________．
答案 [2,3)
解析 因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)＝cos ωx－1＝0，
则cos ωx＝1有3个根，
令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]，
结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3.
10．(2024·杭州模拟)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ).若x＝－为函数f(x)的零点，x＝为函数f(x)的图
象的对称轴，且f(x)在区间上单调，则ω的最大值为________．
答案
解析 由题意得k，k∈Z，
1 2
则
又f(x)在上单调，
则－＝≤＝，解得0<ω≤5，
即0<＋≤5，k，k∈Z，
1 2
则－
