文档内容
培优点 05 三角函数中有关ω的范围问题（4 种核心题型
+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，
涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点．
【核心题型】
题型一 三角函数的单调性与ω的关系
确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围．
【例题1】（2024·广东湛江·一模）已知函数 在区间 上
单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（多选）（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数
在区间 上单调，且满足 ，下列结论正
确的有（ ）
A．
B．若 ，则函数 的最小正周期为
C．关于 方程 在区间 上最多有4个不相等的实数解
D．若函数 在区间 上恰有5个零点，则 的取值范围为【变式2】（2024·福建南平·二模）函数 在区间 上单调递增，
且在区间 上恰有两个极值点，则 的取值范围是 .
【变式3】（23-24高三下·甘肃·阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若函数 的导函数为 ，且 在 上为减函数，求ω的取值范围．
题型二 三角函数的对称性与ω的关系
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和
对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期
性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于 ω的不等式组，进而可以研究
“ω”的取值范围．
【例题2】（2023·内蒙古赤峰·三模）已知函数 的一条对称
轴是 ，若存在 使直线 与函数 的图像相切，则当 取最小正
数时，实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023·四川成都·模拟预测）已知函数 的图象在
上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数 的取值范围为 .【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若
的图象在 上有且仅有两条对称轴，则 的取值范围是 ．
【变式3】（2023·上海普陀·三模）设函数 ，其中 .
(1)若 的最小正周期为 ，求 的单调增区间；
(2)若函数 图象在 上存在对称轴，求 的取值范围.
题型三 三角函数的最值与ω的关系
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于 ω的不等式(组)，进而求出ω
的值或取值范围．
【例题 3】（23-24 高三上·广东·阶段练习）已知函数 在区间
内有最大值，但无最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 满足 ，且 在区间 上恰有两个最值，则实数 的取值范围为 ．
【变式2】（23-24高三下·广东·阶段练习）已知函数 的图象关于原点对
称，其中 ， ，且在区间 上有且只有一个最大值和一个最小值，则
的取值范围为 ．
【变式3】（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，若存在实数
，使得对于任意 都存在 满足 ，则称函数 为“自均值函
数”.
(1)判断函数 是否为“自均值函数”，并说明理由；
(2)若函数 ， 为“自均值函数”，求 的取值范围.
题型四 三角函数的零点与ω的关系
三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的
取值．
【例题4】（2023·河南开封·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位长度
后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到函数 的图象，若在
区间 内有5个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【变式1】（2023·全国·三模）将函数 的图像先向右平移 个单位长度，再把
所得函数图像的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，若函
数 在 上没有零点，则 的取值范围是 .
【变式2】（22-23高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 ，
将 的图像上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图像.已
知 在 上恰有5个零点，则 的取值范围是 .
【变式3】（21-22高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，函数 的图象关于直线 对称，求 在 上
的单调递增区间；
(2)若 的图像向右平移 个单位得到的函数 在 上仅有一个零点，求ω的取值
范围．【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数 在区间 上有且
仅有两条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江杭州·一模）已知函数 （ω＞0），若f（x）在区间
上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河南郑州·一模）已知函数 在 上的值域为 ，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上单调，且在区
间 上有5个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象
如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则函数 的对称中心为
C．若函数 在 内单调递增，则 的取值范围为
D．若函数 在 内没有最值，则 的取值范围为
6．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知 ，函数 ，下列选项
正确的有（ ）A．若 的最小正周期 ，则 ；
B．当 时，函数 的图象向右平移 后得到 的图象；
C．若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是 ；
D．若 在区间 上有两个零点，则 的取值范围是 ；
三、填空题
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数 在区间 有且仅有1个零
点，则 的取值范围为 ．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上不单调，
且在区间 上单调，则 的取值范围是 ．
9．（2024·山西晋城·一模）若函数 在 上至少有两个极大
值点和两个零点，则 的取值范围为 ．
四、解答题
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)若 的图象经过点 ， ，且点 恰好是 的图象中距离点 最近
的最高点，试求 的解析式；
(2)若 ，且 在 上单调，在 上恰有两个零点，求 的取值范围.11．（2023·河北承德·模拟预测）已知 ，函数 .
(1)当 时，求 的单调递增区间；
(2)若 在区间 上单调，求 的取值范围.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2023·河南·模拟预测）若函数 在 上恰有两个零点，且在
上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·贵州黔东南·三模）已知函数 在 有且仅有两个零
点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南长沙·模拟预测）已知函数 ，若 在区间内单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·河北·期末）函数 的部分图象如下图
所示，若 在区间 恰有一条对称轴和一个对称中心，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·吉林长春·一模）将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不变，所得图象在区间 上恰有两个零点，且在 上单调
递减，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·贵州贵阳·一模）将函数 的图像先向右平移 个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的 倍，得到函数 的图
像.若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·四川雅安·三模）已知函数 ，则下列说法中正确的
个数是（ ）
①当 时，函数 有且只有一个零点；
②当 时，函数 为奇函数，则正数 的最小值为 ；
③若函数 在 上单调递增，则 的最小值为 ；
④若函数 在 上恰有两个极值点，则 的取值范围为 .
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在
上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·吉林·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A．若函数 的图象关于直线 对称，则 的值可能为3B．若关于x的方程 在 上恰有四个实根，则 的取值范围为
C．若函数 的图象向右平移 个单位长度，再向下平移B个单位长度，得到的函数
为奇函数，则 的最小值是1
D．若函数 在区间 上单调，则
10．（23-24高三上·山东滨州·期末）已知函数 ，下列选项中正确的
有（ ）
A．若 的最小正周期 ，则
B．当 时，函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象
C．若 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
D．若 在区间 上只有一个零点，则 的取值范围是
11．（2023·安徽·模拟预测）已知函数 ，下列说法正确的是
（ ）
A．函数 的值域为
B．若存在 ，使得对 都有 ，则 的最小值为
C．若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为D．若函数 在区间 上恰有3个极值点和2个零点，则 的取值范围为
三、填空题
12．（2023·山东·模拟预测）已知函数 在区间 上单调
递增，则 的取值范围是 ．
13．（2024·广西贺州·一模）已知函数 ，且
，将 的图象向右平移 个单位长度后，与函数
的图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且 ，则 的取值范围是
．
14．（2024·浙江·模拟预测）设函数 ，若存在 使
成立，则 的取值范围是 .
四、解答题
15．（22-23高三上·安徽阜阳·期中）已知向量 ， ， ，
函数 ．
(1)若 ，求 在 上的单调递减区间；
(2)若关于 的方程 在 上有3个解，求 的取值范围．16．（2023·湖南长沙·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，已知边
，且 ．
(1)求 面积的最大值；
(2)设当 的面积取最大值时的内角C为 ，已知函数 在区间
上恰有三个零点和两个极值点，求 的取值范围．
17．（2023·江苏盐城·三模）已知函数 的值域为
.
(1)求 的单调递增区间；
(2)若 在 上恰有一个零点，求 的取值范围.
18．（23-24高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数
．
(1)化简函数 ；
(2)已知常数 ，若函数 在区间 上是增函数，求 的取值范围19．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 .
(1)若点 是函数 图像的一个对称中心，且 ，求函数 在 上的值
域；
(2)若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2023·广西·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递减，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．2．（2023·陕西商洛·模拟预测）若函数 在区间 上单调递减，则
正数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川泸州·一模）已知函数 在 上存在最值，且
在 上单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河南·二模）已知函数 ，其中 ，若函数满足以下条
件：
①函数 在区间 上是单调函数；② 对任意 恒成立；
③经过点 的任意直线与函数 恒有交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2022·山东聊城·一模）已知函数 ，则下列结论正确的是
（ ）A．若对于任意的 ，都有 成立，则
B．若对于任意的 ，都有 成立，则
C．当 时，若 在 上单调递增，则 的取值范围为
D．当 时，若对于任意的 ，函数 在 上至少有两个零点，则
的取值范围为
6．（2023·广东湛江·一模）已知 ，函数 ，下列选项正确的有
（ ）
A．若 的最小正周期 ，则
B．当 时，函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象
C．若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
D．若 在区间 上只有一个零点，则 的取值范围是
三、填空题
7．（2024·山东烟台·一模）若函数 在 上恰有5个零点，且
在 上单调递增，则正实数 的取值范围为 .
8．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数 在区间 上
单调递减，则 的取值范围是 .9．（2024·广东茂名·一模）函数 （ ）在区间 上有且只有
两个零点，则 的取值范围是 .
四、解答题
10．（22-23高三上·上海黄浦·期中）已知函数 ， ；
(1)当 时，求 在 的值域；
(2)若至少存在三个 使得 ，求 的取值范围；
(3)若 在 上是增函数，且存在 ，使得 成立，求实数
的取值范围.
11．（22-23高三上·辽宁·阶段练习）已知函数 在区间 内是增函
数．
(1)求 的取值范围；
(2)将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到的图像与将其向右平移 个单位
长度后所得到的图像重合．求 的值．
