文档内容
押上海高考 17 题
三角函数、立体几何
考点 4年考题 考情分析
三角函数 2024年春考 三角函数周期性
近四年考查方向求体积、面积，线面、面面平行，线
立体几何 2020年~2023年
线、线面、面面所成的角
一．三角函数的周期性（共1小题）
1．（2024•上海）已知 ， ．
（1）设 ，求解： ， ， 的值域；
（2） ， 的最小正周期为 ，若在 ， 上恰有3个零点，求 的取值范围．
【分析】（1）由题意，根据正弦函数的单调性，求出函数的最值，可得结论．
（2）由题意，根据正弦函数的周期性和零点，求出 的取值范围．
【解答】解：（1）当 时， ．
因为 ， ，所以令 ，
根据 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数的最大值为 ，最小值为 ．
因此函数的值域为 ， ．（2）由题知 ，所以 ， ．
当 时， ，即 ．
当 时， ，所以 ，即 ．
因此， 的取值范围为 ， ．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
二．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题）
2．（2020•上海）已知四棱锥 ，底面 为正方形，边长为3， 平面 ．
（1）若 ，求四棱锥 的体积；
（2）若直线 与 的夹角为 ，求 的长．
【分析】（1）利用已知条件求出，棱锥的高，然后求解棱锥的体积即可．
（2）由已知中四棱锥 的底面是边长为3的正方形， 平面 ．异面直线 与 所成
角为 ，可得 为直角三角形，且 ， ，代入求出 后，解直角 可得答案．
【解答】解：（1） 平面 ， ．
， ， ，
，
所以四棱锥 的体积为12．
（2） 是正方形， 平面 ，
，
又
平面
异面直线 与 所成角为 ，
在 中， ，故
在 中，
【点评】本题考查几何体的体积，空间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力，
是中档题．
3．（2022•上海）如图所示三棱锥，底面为等边 ， 为 边中点，且 底面 ，
．
（1）求三棱锥体积 ；
（2）若 为 中点，求 与面 所成角大小．
【分析】（1）直接利用体积公式求解；
（2）以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，求得平面 的法
向量，即可求解．
【解答】解：（1）在三棱锥 中，因为 底面 ，所以 ，
又 为 边中点，所以 为等腰三角形，
又 ．所以 是边长为2的为等边三角形，
，三棱锥体积 ，
（2）以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ， ， ，
， ， ，
平面 的法向量 ，0， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 与面 所成角大小为 ．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，
考查运算求解能力，是中档题．
三．直线与平面所成的角（共4小题）
4．（2021•上海）四棱锥 ，底面为正方形 ，边长为4， 为 中点， 平面 ．
（1）若 为等边三角形，求四棱锥 的体积；
（2）若 的中点为 ， 与平面 所成角为 ，求 与 所成角的大小．
【分析】（1）由 ，代入相应数据，进行运算，即可；（2）由 平面 ，知 ，进而有 ， ，由 ，知 或
其补角即为所求，可证 平面 ，从而有 ，最后在 中，由 ，得解．
【解答】解：（1） 为等边三角形，且 为 中点， ，
，
又 平面 ，
四棱锥 的体积 ．
（2） 平面 ，
为 与平面 所成角为 ，即 ，
为等腰直角三角形，
， 分别为 ， 的中点，
，
，
，
或其补角即为 与 所成角，
平面 ， ，
又 ， ， 、 平面 ，
平面 ， ，
在 中， ，
故 与 所成角的大小为 ．
【点评】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到
异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
5．（2020•上海）已知 是边长为1的正方形，正方形 绕 旋转形成一个圆柱．
（1）求该圆柱的表面积；
（2）正方形 绕 逆时针旋转 至 ，求线段 与平面 所成的角．【分析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为 、宽为1的矩形组成，依次求出圆
面和矩形的面积，相加即可；
（2）先利用线面垂直的判定定理证明 平面 ，连接 ，则 即为线段 与平面
所成的角，再利用三角函数的知识求出 即可．
【解答】解：（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为 、宽为1的矩形组成，
．
故该圆柱的表面积为 ．
（2） 正方形 ， ，
又 ， ，
，且 、 平面 ，
平面 ，即 在面 上的投影为 ，
连接 ，则 即为线段 与平面 所成的角，
而 ，
线段 与平面 所成的角为 ．
【点评】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题，熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键，考查
学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．6．（2022•上海）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为 、 ， 为圆柱的母线，底面半径长为
1．
（1）若 ， 为 的中点，求直线 与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）若圆柱过 的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．
【分析】（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解．
【解答】解：（1）因为 为圆柱的母线，所以 垂直于上底面，
所以 是直线 与上底面所成角， ，
所以 ．
（2）因为圆柱过 的截面为正方形，所以 ，
所以圆柱的体积为 ，
圆柱的侧面积为 ．
【点评】本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题．
7．（2021•上海）如图，在长方体 中，已知 ， ．（1）若 是棱 上的动点，求三棱锥 的体积；
（2）求直线 与平面 的夹角大小．
【分析】（1）直接由三棱锥的体积公式求解即可；
（2）易知直线 与平面 所成的角为 ，求出其正弦值，再由反三角表示即可．
【解答】解：（1）如图，在长方体 中， ；
（2）连接 ，
，
四边形 为正方形，则 ，
又 ， ，
平面 ，
直线 与平面 所成的角为 ，
．
直线 与平面 所成的角为 ．【点评】本题考查三棱锥体积的求法，考查线面角的求解，考查推理能力及运算能力，属于中档题．
四．二面角的平面角及求法（共1小题）
8．（2023•上海）已知直四棱柱 ， ， ， ， ， ．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角 的大小．
【分析】（1）先证明平面 平面 ，再根据面面平行的性质，即可证明；
（2）先根据体积建立方程求出 ，再利用三垂线定理作出所求二面角的平面角，最后再解三角形，
即可求解．
【解答】解：（1）证明：根据题意可知 ， ，且 ，
可得平面 平面 ，又直线 平面 ，
直线 平面 ；
（2）设 ，则根据题意可得该四棱柱的体积为 ，， 底面 ，在底面 内过 作 ，垂足点为 ，
则 在底面 内的射影为 ，
根据三垂线定理可得 ，
故 即为所求，
在 中， ， ， ，
，又 ，
，
二面角 的大小为 ．
【点评】本题考查线面平行的证明，面面平行的判定定理与性质，二面角的求解，三垂线定理作二面角，
化归转化思想，属中档题．
五．点、线、面间的距离计算（共1小题）
9．（2023•上海）已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为
中点，过点 分别作平行于平面 的直线交 、 于点 ， ．
（1）求直线 与平面 所成角的大小；
（2）证明：平面 平面 ，并求直线 到平面 的距离．【分析】（1）连接 ， ， 为直线 与平面 所成的角，在 中，求解即可；
（2）先证明 平面 ，可得 为直线 到平面 的距离．进则求 的长即可．
【解答】解：（1）连接 ， ，
平面 ，
为直线 与平面 所成的角，
在 中， ， ，
为 中点， ，
，即直线 与平面 所成角为 ；
（2）由 平面 ， 平面 ， ，
平面 平面 ，
平面 ， 平面 ，
， ， ， ， 平面 ，
平面 ， 为直线 到平面 的距离，
平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
， 为 中点， 为 中点， ，
直线 到平面 的距离为2．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查直线与平面的距离的求法，属中档题．一、三角函数的周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之
间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
二．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S ＝ 2π rl S ＝ π rl S ＝ π( r ＋ r ) l
圆柱侧 圆锥侧 圆台侧 1 2
三．柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
表面积 体积
几何体
柱体 S ＝S ＋2S V＝Sh
表 侧 底
锥体 S ＝S ＋S V＝Sh
表 侧 底
S ＝S ＋S ＋S
表 侧 上
台体 V＝(S ＋S ＋)h
上 下
下
球 S ＝ 4π R 2 V＝πR3
表
四．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此
判定定理 平面内的一条直线平行， ⇒a∥α
那么该直线与此平面平行
一条直线与一个平面平
行，如果过该直线的平面
性质定理 ⇒a∥b
与此平面相交，那么该直
线与交线平行
五．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言如果一个平面内的两条相
判定定理 交直线与另一个平面平 ⇒β∥α
行，那么这两个平面平行
两个平面平行，如果另一
性质定理 个平面与这两个平面相 ⇒a∥b
交，那么两条交线平行
六．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′
所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：.
七.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂
直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.
(2)范围：.
八．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别
作 垂直于棱 l 的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范围： [0 ， π] ．
九．点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP＝a，则向量AP在直
线l上的投影向量AQ＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝.
十．点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交
平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度，
因此PQ＝＝＝.一．函数y＝Asin（ x+ ）的图象变换（共1小题）
ω φ
1．（2024•浦东新区校级模拟）设函数 ，其中 ，已知 ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平
移 个单位，得到函数 的图象，求 在 ， 上的最小值．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数 为正弦型函数，根据 求出 的值；
（Ⅱ）写出 解析式，利用平移法则写出 的解析式，求出 ， 时 的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数
，
又 ，
， ，
解得 ，
又 ，
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图
象；再将得到的图象向左平移 个单位，得到 的图象，
函数 ；
当 ， 时， ， ，
， ，
当 时， 取得最小值是 ．
【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．
二．由y＝Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式（共2小题）
ω φ
2．（2024•长宁区二模）某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图像时，
列表并填入了部分数据，如下表：
0
△
0 1 △ 0
（1）请在答题卷上将上表△处的数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
（2）设 ，求函数 的值域．
【分析】（1）先求出 ， ，即可得函数解析式，再由五点作图法可将表格补充完整；
（2）求出 解析式，再由正弦函数的性质可得函数值域．
【解答】解：（1）根据表中的数据，得 ，
，
又 ，
，
函数的解析式为 ，令 ，解得 ，
可得 ，
数据补全如下表：
0
0 1 0 0
（2）若 ， ，则 ，
， ， ，
， ， ， ，
， ．
【点评】本题主要考查五点作图法，三角函数的图像和性质，考查运算求解能力，属于中档题．
3．（2024•松江区二模）设 ，函数 图像的两条相邻对称轴
之间的距离为 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）在 中，设角 、 及 所对边的边长分别为 、 及 ，若 ， ， ，求
角 ．
【分析】（1）先对函数化简，然后由函数 图像相邻两条对称轴之间的距离为 ，可求周期，进而可求 ，即可求解函数解析式；
（2）先由已知求出 ，结合正弦定理求出 ，然后结合三角形内角和即可求解 ．
【解答】解：
，
因为函数 的图像相邻两条对称轴之间的距离为 ，
所以 ，
所以 ，得 ，
所以 ；
（2）由 ，得 ，
所以 ，
因为 ，则 ，
所以 ，解得 ，
因为 ， ，
由正弦定理得 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦定理在求解三角形
中的应用，属于中档题．
三．三角函数中的恒等变换应用（共3小题）4．（2024•青浦区二模）对于函数 ，其中 ， ．
（1）求函数 的单调增区间；
（2）在锐角三角形 中，若 （A） ， ，求 的面积．
【分析】（1）先对 恒等变换，再结合正弦函数的性质，即可求解；
（2）根据已知条件，先求出 ，再结合平面向量的数量积运算，以及三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：（1）
，
由 ，得 ，
故函数 的单调增区间是 ．
（2） ，
则 ，
在锐角三角形 中，
则 ，
故 ，即 ，所以 ，
又 ，所以， ，
故 的面积 ．
【点评】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．
5．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数 ．
（Ⅰ）求 的单调递增区间；（Ⅱ）在 中， ， ， 为角 ， ， 的对边，且满足 ，且 ，
求角 的值，进而再求 （B）的取值范围．
【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整
体思想求出函数的单调区间．
（Ⅱ）首先利用正弦定理求出相应的角，进一步利用三角函数的关系式求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）由题知 ，
，
由 ，
解得 ，
所以 单调递增区间为 ．
（Ⅱ）由正弦定理得 ，
因为在三角形中 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
当 时，
；
当 时，
．
由于 ，
所以 ．则 ．
则 ．
又 ，
所以 ．
由 ，
则 （B）的取值范围是 ．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理的应用．
6．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数 ．
（1）当 ， 时，求 的增区间；
（2）在 中，角 所对边 ，角 所对边 ，若 （A） ，求 的面积．
【分析】（1）利用二倍角公式得到 ，利用换元法求出单增区间；
（2）先求出 ，利用余弦定理求出 ，即可求出三角形的面积．
【解答】解：（1） ，
令 ，则由 ， ，可得 ， ，
因为 在 ， 单调递增，
所以 在 上单调递增，
即 的单调递增区间为 ；
（2）由 （A） ，可得 ，因为 ，所以 ，故 或 ，
当 时， ，
因为 ，则 ，所以 ，
即 ，不符合三角形内角和定理，舍去，
所以在 中， ，即 ，
由余弦定理及 可得：
，即 ，
解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的面积为 或 ．
【点评】本题考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质，考查解三角形，属中档题．
四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题）
7．（2024•浦东新区校级模拟）如图，在直三棱柱 中， ， ，异面直
线 与 所成的角为 ．
（1）求该三棱柱的体积；
（2）设 是 的中点，求 与平面 所成角的正弦值．【分析】（1）以 点为原点， 为 ， ， 轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能
求出该三棱柱的体积．
（2）法一：求出平面 的法向量，利用向量法能求出 与平面 所成角的正弦值．
法二：根据异面直线所成角的定义，结合棱柱的性质证出 （或其补角）是异面直线 与 所成
的角，得到 △ 中 ，由 算出 ，由此在 △ 中算出 ．过
点作 于点 ，则 平面 ，在 △ 中算出 ，得点 到平面 的距
离等于 ，从而得出点 到平面 的距离 ，最后算出 ，利用直线与平面所成角的定
义与性质即可算出直线 与平面 所成角的正弦值．
【解答】解：（1）在直三棱柱 中， ， ，
异面直线 与 所成的角为 ，
如图，以 点为原点， 为 ， ， 轴正方向，建立空间直角坐标系，设 ，则 ，0， ， ，1， ， ，0， ，
则 ，
直线 与 所成的角为 ，
，解得 ．
该三棱柱的体积为 ．
（2）解法一： 是 的中点，
由（1）知 ．
设平面 的法向量 ，
可取 ．
又 ，
设 与平面 所成角为 ，
于是 ，
与平面 所成角的正弦值为 ．
解法二： 四边形 为平行四边形，得 ，
（或其补角）是异面直线 与 所成的角．
， ， ．由此可得 △ 中， ，
， ，
△ 中， ，可得 ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ，
过 点作 于点 ，则 平面 ，
△ 中， ，即点 到平面 的距离等于 ．
是 的中点， 点 到平面 的距离 ，
△ 中， ，
△ 中，
设 与平面 所成角为 ，则
即直线 与平面 所成角的正弦值等于 ．
【点评】本题着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明、异面直线所成角的定义及求法、直线与平面所
成角的定义及性质和解直角三角形等知识，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
8．（2024•静安区二模）如图1所示， 是水平放置的矩形， ， ．如图2所示，将
沿矩形的对角线 向上翻折，使得平面 平面 ．
（1）求四面体 的体积 ；
（2）试判断与证明以下两个问题：
①在平面 上是否存在经过点 的直线 ，使得 ；
②在平面 上是否存在经过点 的直线 ，使得 ．【分析】（1）过点 作 ，垂足为 ．可知 为三棱锥的高，利用等面积法求得 ，再由棱锥
体积公式求解；
（2）①过点 作 ，垂足为 ，由直线与平面垂直的判定与性质证明；
②利用反证法证明在平面 上不存在经过点 的直线 ，使得 ．
【解答】解：（1）过点 作 ，垂足为 ．
平面 平面 ， 平面 ，由等面积法可得 ．
；
（2）①在平面 上存在经过点 的直线 ，使得 ．
证明：过点 作 ，垂足为 ．
平面 ， ，
又 ， 平面 ，可得 ，
即存在 ；
②在平面 上不存在经过点 的直线 ，使得 ，
证明：假设存在 ，
不在平面 内，则 平面 ，与 平面 矛盾．
不存在 ．
【点评】本题考查多面体体积的求法，考查直线与平面平行、垂直的判定与性质，是中档题．
五．异面直线及其所成的角（共2小题）9．（2024•浦东新区校级模拟）如图，已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，高为3，底面半径为2．
（1）求该圆锥侧面展开图的圆心角；
（2）设 、 为该圆锥的底面半径，且 ， 为线段 的中点，求直线 与直线 所
成的角的大小．
【分析】（1）由圆锥的高和底面半径求出母线长，利用扇形圆心角公式即可求得侧面展开图的圆心角；
（2）作出异面直线 与 所成角的平面角，即可求出直线 与直线 所成的角的大小．
【解答】解：（1）根据题意，由圆锥性质可知 平面 ，
易知高 ，底面半径 ，
可得母线长 ，
所以圆锥的侧面展开图的圆心角大小 ．
（2）取 的中点为 ，连接 ， ，
如下图所示：
因为 为线段 的中点，所以 ，因此 （或其补角）就是直线 与直线 所成的角，
又 ，即 ， ，且 ， 平面 ， ，即 平面 ，
所以 平面 ，即 ；在直角 中，易知 ， ， ， ，
因此 ；
即直线 与直线 所成的角的大小为 ．
【点评】本题考查圆锥的结构特征，涉及异面直线所成的角，属于基础题．
10．（2024•宝山区二模）如图，已知点 在圆柱 的底面圆 的圆周上， 为圆 的直径．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，圆柱的体积为 ，求异面直线 与 所成角的大小．
【分析】（1）根据圆柱的几何特征及圆周角定理，我们易根据已知中点 在圆柱 的底面圆周上，
为圆 的直径，得到 ， ，结合线面垂直的判定定理得到 平面 后，易进一步得
到 ；
（2）延长 交圆 于点 ，连接 ， ，结合圆柱的体积为 ， ， ，我们
易得 即为异面直线 与 所成角，利用余弦定理求出其余弦值，即可得到答案．
【解答】解：（1）证明：易知 ，
又由 平面 ，得 ，从而 平面 ，故 ；
（2）延长 交圆 于点 ，连接 、 、 ，
易知 ， （或其补角）即为所求的角，
由题知 ，
解得 ，
△ 中， ，
由余弦定理得 ，
从而 ，
所以异面直线 与 所成角的大小为 ．
【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质及异面直线及其所成的角，其中熟练掌握圆柱的几何
特征，并从中分析出相关直线之间的位置关系是解答本题的关键，是中档题．
六．直线与平面平行（共2小题）
11．（2024•嘉定区二模）如图，在三棱柱 中， 平面 ， 是 的中点， ，
，
（1）求证： 平面（2）求直线 与 的所成角的大小．
【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量 的坐标，可得 ，再由
平面 ，可证得结论；
（2）分别求出直线 与 的方向向量的坐标，可得两个向量的夹角的余弦值，进而可得两条直线所成
的角的大小．
【解答】（1）证明：因为 ，
可得 ，三棱柱 中， 平面 ，
可得 平面 ，
取 ， 的中点 ，则 ，
以 为坐标原点，以 ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，0， ，
，1， ， ，1， ，
因为 为 的中点，所以 ， ， ，
则 ，0， ， ， ， ， ，1， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，即 ，令 ，
可得 ，2， ，
所以 ，
即 ，而 平面 ，
所以 平面 ；
（2）解：取直线 的方向向量 ，1， ，
直线 的方向向量 ，0， ，
， ， ，
所以 ，
因为直线 与 的所成角为 ， ， ，
所以直线 与 的所成角为 ．
【点评】本题考查用空间向量的方法求异面直线的夹角，及证明直线与平面平行，属于中档题．
12．（2024•黄浦区校级模拟）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面
， ， ， 为 的中点．
（1）求证： ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？请说明理由．【分析】（1）易知 ，由面面垂直的性质定理知 平面 ，进而得 ；
（2）取 中点为 ，可证四边形 为平行四边形，从而有 ，再利用线面平行的判断定理，
即可证明．
【解答】（1）证明：因为 ， 为 中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ．
（2）解：当 为 中点时， 平面 ，理由如下：
取 中点为 ，连接 ， ， ，
因为 为 中点，所以 ，且 ，
在矩形 中， 为 中点，所以 ，且 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
因为 面 ， 面 ，
所以 面 ．
【点评】本题考查空间中线与面的位置关系，熟练掌握线面平行的判断定理，线面、面面垂直的性质定理
是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力，属于中档题．
七．直线与平面所成的角（共6小题）
13．（2024•虹口区二模）如图，在三棱柱 中， ， 为 的中点， ，．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 平面 ，点 在棱 上，且 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【分析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，利用三角形中位线定理证出 ，进而根据线
面平行的判定定理证出 平面 ；
（2）根据题意可知 是直线 与平面 的所成角，然后利用三角形相似求出 长，在
中利用锐角三角函数的定义算出 ，即可得到本题的答案．
【解答】（1）证明：连接 ，交 于点 ，连接 ，
为 的中点，平行四边形 中， 为 的中点，
是 的中位线，可得 ，
平面 ， 平面 ，
平面 ；（2）解： 平面 ， 三棱柱 是直三棱柱，
中， ， 为 的中点， ，
，
△ 中， ，
平面 ， 平面 ， ，
矩形 中， ，可得 ，即 ，解得 ．
平面 ， 为 在平面 内的射影，
是直线 与平面 的所成角，
中， ，
，即直线 与平面 所成角的正弦值等于 ．
【点评】本题主要考查三棱柱的结构特征、线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角的定义与求法等知
识，属于中档题．
14．（2024•松江区二模）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， 为
的中点．
（1）设平面 与直线 相交于点 ，求证： ；
（2）若 ， ， ，求直线 与平面 所成角的大小．【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证出 平面 ，然后根据平面 平面 ，
利用线面平行的性质定理证出 ；
（2）连接 ，取 中点 ，连接 、 ，根据线面垂直的判定定理，证出 平面 ，可得
是直线 与平面 的所成角，然后在 中利用锐角三角函数的定义算出答案．
【解答】（1）证明： 平面 与直线 相交于点 ， 平面 平面 ，
四边形 是菱形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，平面 平面 ， ；
（2）解：连接 ，取 中点 ，连接 、 ，
菱形 中， ， ， 是等边三角形，
是 中点， ，
平面 ， 平面 ， ，
、 平面 ， ， 平面 ．
是直线 与平面 的所成角，
是 中点， ， ．
平面 ， 平面 ， ，
为 中点， ， 中， ，等边 中，高 ，
中， ，可得 ，即直线 与平面 的所成角等于 ．
【点评】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角的定义与求法
等知识，属于中档题．
15．（2024•虹口区模拟）在如图所示的圆锥中， 是顶点， 是底面的圆心， 、 是圆周上两点，且
， ．
（1）若圆锥侧面积为 ，求圆锥的体积；
（2）设圆锥的高为2， 是线段 上一点，且满足 ，求直线 与平面 所成角的正切值．
【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式，算出母线 ，然后利用勾股定理算出圆锥的高，进而求得圆锥
的体积；
（2）取 中点 ，连接 、 ，可证出 平面 ，则 是直线 与平面 所成的
角，进而在 中利用锐角三角函数定义算出答案．
【解答】解：（1）设圆锥底面半径为 ，母线长为 ， ，
可得圆锥的侧面积 ，解得 ，圆锥的高 ，
因此，圆锥的体积 ；
（2）因为 中， ， ，所以点 是线段 中点，
取 中点 ，连接 、 ，则 为 的中位线，可得 ，又因为 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ， ，
因为 、 是平面 内的相交直线，所以 平面 ，
因此直线 是 在平面 内的射影，可知 是直线 与平面 所成的角，
因为 ，所以 ，
中， ，可得 ，
即直线 与平面 所成的角的正切值为 ．
【点评】本题主要考查圆锥的结构特征、线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角等知识，考查了计算
能力、图形的理解能力，属于中档题．
16．（2024•徐汇区模拟）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面圆的圆心， 为圆 的直径，且
， 是底面圆 的内接正三角形， 为线段 上一点，且 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【分析】（1）由勾股定理可得 ， ，由此即可证明；（2）利用体积相等即可得 与平
面 所成角．【解答】（1）证明：由题意得 ， ，
， ，
，
在 中，由 ，得 ，
同理可得 ，又 ，故 平面
（2）解： ， ，
则 ， ．
记点 到平面 的距离为 ，因为 ，
所以 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ， ，
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【点评】本题考查线面垂直的判定，考查线面所成的角，属于中档题．
17．（2024•普陀区模拟）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， ，
、 分别是 、 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的大小．
【分析】（1）取线段 、 的中点分别为 、 ，可得 ，由此可证明；（2） 平面 ， 是直线 与平面 所成角，由此计算即可．
【解答】（1）证明：取线段 、 的中点分别为 、 ，连接 、 、 ，
则 ， ， ， ，又底面 是正方形，
则 ， ，即四边形 为平行四边形，
则 ，又 ， 平面 ，则 平面 ．
（2） 为 中点，连接 、 ，
又 ，底面 是边长为1的正方形，
则 ，且 ， ，
又二面角 的大小为 ，即平面 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
则 平面 ，则 是直线 与平面 所成角，
在 中， ，即 ，
则直线 与平面 所成角的大小为 ．
【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面所成的角，属于中档题．
18．（2024•徐汇区校级模拟）如图，在圆柱中，底面直径 等于母线 ，点 在底面的圆周上，且
， 是垂足．（1）求证： ；
（2）若圆柱与三棱锥 的体积的比等于 ，求直线 与平面 所成角的大小．
【分析】（1）欲证 ，先证 平面 ，根据线面垂直的判定定理可知只需证 ，
，且 ，即可证得线面垂直；
（2）点 作 ， 是垂足，连接 ，易证 是 与平面 所成的角，在三角形
中求出此角即可．
【解答】证明：（1）根据圆柱性质， 平面 ．
平面 ，
．
是圆柱底面的直径，点 在圆周上，
，又 ，
故得 平面 ．
平面 ，
．
又 ，且 ，
故得 平面 ．
平面 ，
．
解：（2）过点 作 ， 是垂足，连接 ．
根据圆柱性质，平面 平面 ， 是交线．且 平面 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 是 在平面 上的射影，从而 是 与平面 所成的角．
设圆柱的底面半径为 ，则 ，
于是 圆柱 ， ．由 ，得 ，可知 是圆柱底面的圆心， ，
．
【点评】本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
八．二面角的平面角及求法（共7小题）
19．（2024•长宁区二模）如图，在长方体 中， ， ．
（1）求二面角 的大小；
（2）若点 在直线 上，求证：直线 平面 ．
【分析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，证明 平面 ，得出 ，由
，得出 是二面角 的平面角，利用△ 求出 的大小即可．
（2）连 ， ，证明平面 平面 ，即可得出 平面 ．
【解答】（1）解：连接 ，交 于点 ，连接 ，因为 ， ，且 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ；
又 ，所以 是二面角 的平面角，
由 平面 ，所以△ 是直角三角形．
所以 ，所以 ，
即二面角 的大小为 ．
（2）证明：连 ， ，则 ，且 ， ，且 ，
所以 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
同理， ，且 ， ，所以平面 平面 ，
又点 在 上，所以 平面 ，所以 平面 ．
【点评】本题考查了二面角的大小计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．
20．（2024•黄浦区二模）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，点 是棱 上的一点，
平面 ．
（1）求证：点 是棱 的中点；
（2）若 平面 ， ， ， 与平面 所成角的正切值为 ，求二面角
的大小．【分析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，由 平面 ，证明 ，由 ，得
出 即可．
（2）根据题意知 是直线 于平面 所成的角，求出 、 ，建立空间直角坐标系，利用
坐标表示向量，求出平面的法向量，利用法向量求二面角的大小．
【解答】（1）证明：连接 ，交 于点 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
又因为 是矩形，所以 ，
所以 ， 为 的中点．
（2）解：因为 平面 ，所以 是直线 于平面 所成的角，
又因为 平面 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
分别以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ，0， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，0， ， ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，即 ，
所以 ，令 ，得 ， ，所以 ， ， ，
， ，由图形知，二面角 所成的角为锐角，
所以二面角的大小为 ．【点评】本题考查了空间轴的平行关系应用问题，也考查了二面角的大小计算问题，是中档题．
21．（2024•金山区二模）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 （及其内部）以 边所在直
线为旋转轴旋转 得到的，点 是 的中点，点 在 上，异面直线 与 所成的角是 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求二面角 的大小．
【分析】（1）证明 ， ，得出 平面 ，即可证明 ．
（2）解法一：取 的中点 ，连接 ， ， ，取 的中点 ，连接 ， ， ，判断
为所求二面角的平面角，利用余弦定理求出 ，从而求出二面角的大小．
解法二：建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面一个法向量，利用法向量求二面角的大小．
【解答】解：（1）证明：因为 ，所以 是直线 与 所成角，为 ，
所以 ，得 ，
又因为 ，且 ，
所以 平面 ，
由 平面 ，得 ．
（2）解法一：取 的中点 ，连接 ， ， ．
因为 ，
所以四边形 为菱形，所以 ．
取 中点 ，连接 ， ， ．
则 ， ，
所以 为所求二面角的平面角．
又 ，所以 ．
在 中，由于 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，因此 为等边三角形，
故所求的角为 ．
解法二：以 为坐标原点，分别以 、 、 的方向为 、 、 轴的正方向，建立如图所示的空间
直角坐标系．
由题意得 ，0， ， ，0， ， ， ， ， ， ， ，
故 ，0， ， ， ， ， ，0， ，
设 是平面 的一个法向量．
由 ，可得 ，
取 ，可得平面 的一个法向量 ．
设 是平面 的一个法向量．
由 ，可得 ，
取 ，可得平面 的一个法向量 ．所以 ．
因此所求的角为 ．
【点评】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了二面角的大小计算问题，是中档题．
22．（2024•闵行区校级二模）在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ， ，
．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）由 证明 ，再由 ，证明 平面 ，即可证明平面
平面 ．
（Ⅱ）取 的中点 ，在平面 内作 ，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立
空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 ，再求 ， 即可．
【解答】（Ⅰ）证明： 中， ， ， ，所以 ，所以
；
又 ， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
又 平面 ，所以平面 平面 ．
（Ⅱ）解：取 的中点 ，在平面 内作 ，
以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示：
则 ，0， ， ， ， ， ，1， ， ，0， ，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
由 ，2， ， ， ， ，
得 ，即 ，
令 ，得 ， ，所以 ，2， ；所以 ， ，
所以二面角 的平面角的余弦值为 ．
【点评】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了利用空间向量求二面角的余弦值应用问题，也
可以直接利用二面角的定义求二面角的余弦值，是中档题．
23．（2024•闵行区二模）如图，已知 为等腰梯形， ， ， 平面 ，
．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的大小．
【分析】（1）连接 ，利用勾股定理可证 ，由 平面 ，知 ，从而有
平面 ，再由线面垂直的性质定理，即可得证；
（2）取 的中点 ，连接 、 ，先证 ， ，从而知 即为所求，再由三角
函数的知识，求解即可．
【解答】（1）证明：连接 ，
为等腰梯形， ， ， ，，
，即 ，
平面 ，且 平面 ，
，
又 ， 平面 ，
平面 ， ．
（2）解：取 的中点 ，连接 、 ，则 ，
， ，
为二面角 的平面角，
平面 ，且 平面 ，
，
由（1）知 ，
又 ，
平面 ，
平面 ， ，
在 中， ， ，
，
二面角 的大小为 ．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，二面角的定义与求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
24．（2024•青浦区二模）如图，三棱柱 是所有棱长均为2的直三棱柱， 、 分别为棱
和棱 的中点．
（Ⅰ）求证：面 面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值大小．
【分析】（Ⅰ）由线面垂直的判定定理即可求得；
（Ⅱ）方法一：由二面角的定义，结合解三角形知识计算即可；
方法二：建立空间直角坐标系，由向量法计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为 为棱 中点， 为正三角形，
所以 ；
又因为三棱柱 是直三棱柱，
所以 面 ，所以 ，
因为 ，
所以 面 ，
因为 面 ，
所以面 面 ；（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得 面 ，所以 ， ，
所以 是二面角 的平面角，
因为 中， ，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
方法二：以 为原点，建立直角坐标系如图，
则 ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，所以 ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 所以 ，0， ，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 ．【点评】本题考查线面垂直的证明和二面角的求法，属于中档题．
25．（2024•浦东新区二模）在四棱锥 中，底面 为等腰梯形，平面 底面 ，
其中 ， ， ， ，点 为 中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的大小．
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，由三角形中位线的性质可平行的传递性可证四边形
为平行四边形，从而得到 ，再由线面平行的判定的定理即可证明；
（2）取 中点 ，过 作 ，由三垂线定理的逆定理可证 ，由二面角的定义可得
为二面角 所成的平面角，求出 即可．
【解答】（1）取 中点 ，连接 ， ，
因为 为 中点，所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）取 中点 ，过 作 ，连接 ，
因为 ， 为 中点，所以 ，
平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
所以 为 在平面 的投影，
因为 ，所以由三垂线定理的逆定理可得： ，
所以 为二面角 所成的平面角，
在 中， ，
因为底面 为等腰梯形， ， ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以二面角 的大小为 ．
【点评】本题考查线面平行的证明和二面角的求法，属于中档题．九．点、线、面间的距离计算（共4小题）
26．（2024•杨浦区二模）如图， 为圆锥顶点， 为底面中心， ， ， 均在底面圆周上，且
为等边三角形．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若圆锥底面半径为2，高为 ，求点 到平面 的距离．
【分析】（1）利用空间线面垂直的性质与判定定理，即可证明；
（2）先证 平面 ，则 就是点到平面 的距离，即可求解．
【解答】解：（1）证明：连结 交 于点 ，
因为 为圆锥顶点， 为底面中心，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ，
因为 为等边三角形， 为中心，
所以 ，
因为 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以平面 平面 ．
（2）作 ，又 ， ，
则 平面 ，
又 ， ， ，
得 ，所以点 到平面 的距离为 ．
【点评】本题考查空间线面垂直与点到平面的距离，属于中档题．
27．（2024•嘉定区校级模拟）已知，四棱锥 的底面 是矩形， 平面 ，
， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
【分析】（1）只需证明 ， 即可证明 平面 ；
（2）利用等体积法可求得结果．
【解答】证明：（1）在直角三角形 中， ，
所以底面 为正方形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ；
解：（2）由题意可知点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，设为 ，由（1）可得 ，所以 ，
由 得 ，即 ，
所以 ，
所以点 到平面 的距离等于 ．
【点评】本题考查了线面垂直的证明、点到平面的距离计算，属于简单题．
28．（2024•浦东新区校级模拟）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，
， 的中点为 ．
（1）求直线 与平面 所成角；
（2）求点 到平面 的距离．
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出直线的方向向量，求出平面 的一个法
向量．
（1）根据直线和平面所成角的向量法求出即可；
（2）根据点到平面的距离的空间向量法求出即可．
【解答】解：一点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，1， ，
则 ，1， ， ，0， ，设 ， ， 是平面 的一个法向量，
则 ，令 ，则 ，
所以 ，1， ．
（1） ，0， ， ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ， ，
所以直线 与平面 所成角为 ．
（2） ，1， ， ，
点 到平面 的距离 ．
【点评】本题考查利用空间向量求空间角和距离，属中档题．
29．（2024•崇明区二模）如图，在三棱锥 中， ， ， 为的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离．
【分析】（1）证明：可得 ，即 是直角三角形，
又 ，可得 ，即可证明 平面 ；
（2）设点 到平面 的距离为 ．由 ，解得 即可
【解答】（1）证明： ， ， ，即 是直角三角形，
又 为 的中点， ，
， ， ，
， ， ， 平面 ；
（2）解：由（1）得 平面 ， ，
在 中， ．
，
．
设点 到平面 的距离为 ．由 ，
解得 ，
点 到平面 的距离为 ．
【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求距离，属于中档题．
