文档内容
培优点 05 三角函数中有关ω的范围问题（4 种核心题型
+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，
涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点．
【核心题型】
题型一 三角函数的单调性与ω的关系
确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围．
【例题1】（2024·广东湛江·一模）已知函数 在区间 上
单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 的范围可求得 的范围，结合正弦函数单调性，采用整体代换的方式即
可构造不等式组求得结果.
【详解】当 时， ，
在 上单调递增， ，
解得： ，又 ， ，
解得： ，又 ， ， ，即 的取值范围为 .
故选：D.
【变式1】（多选）（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数
在区间 上单调，且满足 ，下列结论正
确的有（ ）
A．
B．若 ，则函数 的最小正周期为
C．关于 方程 在区间 上最多有4个不相等的实数解
D．若函数 在区间 上恰有5个零点，则 的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对A：利用对称性直接求得；
对B：根据对称中心与对称轴可得周期表达式，结合区间 上单调求出函数的最小正
周期，即可判断；
对C：先判断出周期 ，结合周期越大， 的根的个数越少，解出
在区间 上最多有3个不相等的实数根，即可判断.
对D：由题意分析 ，建立关于 的不等式组，求出 的取值范围.
【详解】函数 满足 .
对A：因为 ，所以 ，故A正确；对B：由于 ，所以函数 的一条对称轴方程为 .又 为一
个对称中心，
由正弦图像和性质可知，所以函数的最小正周期满足 ，即
.
又区间 上单调，故 ，即 ，故 ，故B正确；
对C：函数 在区间 上单调，且满足 ，
可得： ，所以周期 ，
又周期越大， 的根的个数越少.
当 时， ，又 ， ，得 .
所以 在区间 上有3个不相等的实数根： ， 或 ，
故至多3个不同的实数解，故C错误.
对D：函数 在区间 上恰有5个零点，所以 ，
所以 ，解得： ，且满足 ，即 ，即
，故 .故D正确.
故选：ABD【变式2】（2024·福建南平·二模）函数 在区间 上单调递增，
且在区间 上恰有两个极值点，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用正弦型函数的单调性可得 ，利用正弦型函数的极值点可得 .
【详解】由 在区间 上单调递增，
可得 ， ， ，
即 ， ， ，即 ，
又 在区间 上恰有两个极值点，
可得 ，即 .
综上， .
故答案为： .
【变式3】（23-24高三下·甘肃·阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若函数 的导函数为 ，且 在 上为减函数，求ω的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入 ，依次求得 ， 即可得解；（2）原题等价于 在 上恒成立，进一步结合复合函数单调
性、值域即可列出不等式组求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
故 ，且 ，从而 ，
此时函数 在点 处的切线方程 ，即 .
（2） ， ，
因为 在 上为减函数，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
也就是 在 上恒成立，
注意到 ，且当 时，有 ，
所以当且仅当 满足题意，解得 ，
也就是说ω的取值范围为 .
题型二 三角函数的对称性与ω的关系
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和
对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期
性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于 ω的不等式组，进而可以研究
“ω”的取值范围．【例题2】（2023·内蒙古赤峰·三模）已知函数 的一条对称
轴是 ，若存在 使直线 与函数 的图像相切，则当 取最小正
数时，实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数的对称性求 ，再由导数的几何
意义求m的取值范围.
【详解】 ，
∵ 是 的一条对称轴，
∴ ， ，
∴ ，又 ，
∴ 的最小正整数值为2．
∴ ，
∴ ，
若 使 与 相切，
则 ，且 ，解得 或
故选：D.
【变式1】（2023·四川成都·模拟预测）已知函数 的图象在上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据两角和的正弦公式和二倍角公式化简 ，再根据正弦函数的对称轴和对称
中心可求出结果.
【详解】
,
当 时， 为常数，不合题意，
当 ， 时， ，
要使 在 上恰有一条对称轴和一个对称中心，
则 ，即 ，
当 ， 时， ，
要使 在 上恰有一条对称轴和一个对称中心，
则 ，即 .
故答案为：
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若
的图象在 上有且仅有两条对称轴，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】运用正余弦二倍角公式及辅助角公式化简 ，由已知条件结合正弦函数性质可
得结果.【详解】因为 ，
因为 的图象在 上有且仅有两条对称轴，所以 ，
解得 ，所以 的取值范围是 ．
故答案为： .
【变式3】（2023·上海普陀·三模）设函数 ，其中 .
(1)若 的最小正周期为 ，求 的单调增区间；
(2)若函数 图象在 上存在对称轴，求 的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，然后根据最小正周期公式算出 ，然后
利用正弦函数的单调性求解；
（2）利用正弦函数 的对称轴公式求参数的范围.
【详解】（1）由题意，
，
又 ，于是 ，则 ，则 ，
根据正弦函数的单调递增区间，令 ，解得 ， ,即为 的单调递增区间.
（2）当 ， ，
注意到题干 ，则 ，
根据正弦函数 的对称轴 ，
显然只有 时一条对称轴 ，
于是 ，解得 ，
结合 可得
题型三 三角函数的最值与ω的关系
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于 ω的不等式(组)，进而求出ω
的值或取值范围．
【例题 3】（23-24 高三上·广东·阶段练习）已知函数 在区间
内有最大值，但无最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据正弦型函数的单调性，结合数形结合思想进行求解即可.
【详解】因为 ，所以当 时，
则有 ，因为 在区间 内有最大值，但无最小值，
结合函数图象，得 ，
解得 ，
故选：A
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 满足 ，
且 在区间 上恰有两个最值，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据 是函数的最小值求出 与 间的等量关系，进行消元，再结合在给
定区间上恰有两个最值的条件建立不等关系，建立不等关系时，要注意结合三角函数的图
像，特别注意端点值的取舍．
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ， ，即 ， ，
所以 ．
当 时， ．因为 在区间 上恰有两个最值，且 ，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知条件建立不等关系，特别注意端点值的取舍
【变式2】（23-24高三下·广东·阶段练习）已知函数 的图象关于原点对
称，其中 ， ，且在区间 上有且只有一个最大值和一个最小值，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据余弦函数的对称性求出 ，再根据正弦函数的图象和性质求解即可.
【详解】因为函数 的图象关于原点对称，
所以 ，
又因 ，所以 ，
所以 ，
由 且 ，得 ，有且只有一个最大值和一个最小值，
由正弦函数的图象与性质可得 ，解得 ，所以 的取值范围为 .
故答案为： .
【变式3】（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，若存在实数
，使得对于任意 都存在 满足 ，则称函数 为“自均值函
数”.
(1)判断函数 是否为“自均值函数”，并说明理由；
(2)若函数 ， 为“自均值函数”，求 的取值范围.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
【分析】（1）假设满足条件得到 ，分别计算函数 ，
的值域，不满足条件，得到答案.
（2）变换得到 ， 的值域是 ，根据值域关系排除
的情况，得到 ，计算函数最值得到 ，解得答案.
【详解】（1） ， ，若 是“自均值函数”，
则存在实数 ，使得对于任意 都存在 满足 ，
即 ，即 ，
函数 的值域为 ， 的值域为 ，不满足条件，故函数 不是为“自均值函数”.
（2）存在 ，对于 ，存在 ，有 ，
即 ，
当 时， 的值域是 ，
在 值域包含 ，
当 时， ，则 ，
若 ，则 ， ，
此时 值域的区间长度不超过 ，而区间 长度为 ，不符合题意，
于是得 ， ，
要使 在 的值域包含 ，
则 在 的最小值小于等于 ，
又 时， 递减且 ，而有 ，解得 ，
此时取 ， 的值域是 ，
而 ， ，故 在 的值域包含 ，
所以 的取值范围是 .
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，意在考查学生的计算能力，转化能力和综
合应用能力，其中将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，再求解是解题的
关键，这种转化思想是常用的思想，需要熟练掌握.
题型四 三角函数的零点与ω的关系
三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的取值．
【例题4】（2023·河南开封·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位长度
后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到函数 的图象，若在
区间 内有5个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得 ，再根据余弦函数的图象
可得 ，求解即可.
【详解】将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到
的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到函数 的
图象.
时， ，
在 轴右方的零点为
因为函数 的图象在区间 内有5个零点，
所以 ，解得 .故选:D.
【变式1】（2023·全国·三模）将函数 的图像先向右平移 个单位长度，再把
所得函数图像的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，若函
数 在 上没有零点，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据无零点列出不等式组，解出取值范围
即可.
【详解】将函数 的图像先向右平移 个单位长度，得到函数
的图像，
再把所得函数图像的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数
的图像，
当 时， .由 在 上没有零点，得
，
即 ，解得 或 .故答案为： .
【变式2】（22-23高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 ，
将 的图像上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图像.已
知 在 上恰有5个零点，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】求得 ，换元转化为 在 上恰有5
个不相等的实根，结合 的性质列出不等式求解.
【详解】 ，令 ，
由题意 在 上恰有5个零点，
即 在 上恰有5个不相等的实根，
由 的性质可得 ，解得 ．
故答案为： ．
【变式3】（21-22高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，函数 的图象关于直线 对称，求 在 上
的单调递增区间；
(2)若 的图像向右平移 个单位得到的函数 在 上仅有一个零点，求ω的取值
范围．【答案】(1) 和
(2)
【分析】（1）化简函数 ，得到 ，结合三角函数的性
质，求得 ，得到 ，得出 ，进而求得 的单
调增区间.
（2）令 ，求得 ，根据 在 上仅有一个零点，列出不
等式组，即可求解.
【详解】（1）解：因为 ，
所以
，
由 的图象关于直线 对称，可得 ，
所以 解得 ，
又因为 ，所以当 时， .
所以 ，令 ，
解得 ，
又由 ，所以， 或 ，即 在 上的单调递增区间为 和 .
（2）解：由已知得 ，令 得 ，
即 ，因为 在 上仅有一个零点，
所以 ，
由于 ，所以 得 ，
解得 因为 ，所以 ，所以
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数 在区间 上有且
仅有两条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 的取值范围求出 ，再结合题意及正弦函数的性质得到 ，解得即可.
【详解】当 ，则 ， ，
依题意可得 ，解得 ，
故选：A
2．（2023·浙江杭州·一模）已知函数 （ω＞0），若f（x）在区间
上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据三角函数恒等变换将三角函数化简成余弦型函数，根据自变量 的取值
范围求解出 的取值范围，进而根据已知条件结合三角函数图像求得 的取值范围
【详解】函数
，
因为 ，
所以 ，
由于函数 在区间 上有且仅有3个零点和2条对称轴，根据函数的图像：
所以 ，整理得： ．
故选：D．
3．（2024·河南郑州·一模）已知函数 在 上的值域为 ，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得 ，再利用值域可限定 ，解
得 的取值范围为 .
【详解】由 及 可得 ，
根据其值域为 ，且 ，
由正弦函数图象性质可得 ，
即可得 ，解得 .
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上单调，且在区间 上有5个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复合型三角函数最小正周期的计算公式，结合其单调性和零点，可得答案.
【详解】因为 ，所以函数 的最小正周期 ．
因为 在区间 上单调，所以 ，可得 ；
因为 在区间 上有5个零点，所以 ，即 ，可得
；
综上， ．
故选：D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象
如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若 ，则函数 的对称中心为
C．若函数 在 内单调递增，则 的取值范围为
D．若函数 在 内没有最值，则 的取值范围为
【答案】ACD
【分析】借助图象可得 的值，再结合正弦型函数的性质逐项判断即可得.
【详解】对A：由题意可知， ，由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，故选项A正确；
对B：若 ，则 ，令 ，则 ，
所以函数 的对称中心为 ，故选项B不正确；
对C：因为 ，令 ，
得 ，根据 的部分图象可知 ，
所以 ，即 ，因为 ，所以 ，故选项C正确；
对D：由选项C可知， ， 在 上单调递增．
因为 在 内没有最值，所以 ,又 ，可得 ，故选项D正确.
故选：ACD．
6．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知 ，函数 ，下列选项
正确的有（ ）
A．若 的最小正周期 ，则 ；
B．当 时，函数 的图象向右平移 后得到 的图象；
C．若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是 ；
D．若 在区间 上有两个零点，则 的取值范围是 ；
【答案】AC
【分析】利用周期公式可判断A正确；由平移规则可求判断B错误；由余弦函数图像性质
可得 ，解不等式可判断C正确；根据零点个数可求得
，即可得 的取值范围是 ，可得D错误.
【详解】对于A，若 的最小正周期 ，可得 ，可得 ，即A正确；
对于B，当 时，可得 ， 的图象向右平移 后得到，即B错误；
对于C，由 可知若 在区间 上单调递增，可得 ，
因此需满足 ，解得 ；
显然当 时符合题意，即可得 ，所以C正确；
对于D，当 时， ，
若 在区间 上有两个零点，可得 ，解得 ；
即 的取值范围是 ，所以D错误；
故选：AC
三、填空题
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数 在区间 有且仅有1个零
点，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先由周期与所给区间长度关系得出 ，据此可得 的范围，根据原题可转
化为讨论 在区间内， 在区间内两种情况得出 的取值范围.
【详解】 在 有且仅有1个零点，即方程 在 上有且只有1个根，
由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
由 知 ，
当 时，即 时，方程 在 上有且只有1个根，
则需 ，解得 ，所以 ；
当 时，即 时，方程 在 上有且只有1个根，
则需 ，解得 ，所以 ，满足 ，
综上， 的取值范围为 .
故答案为：
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上不单调，
且在区间 上单调，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数在区间 上不单调，可得 ，解得 ；由函数在区间上单调，可得 ，列出不等式组求解即可.
【详解】解：因为 ，所以当 时， ．
因为函数 在区间 上不单调，
所以 ，解得 ．
当 时， ．
因为函数 在区间 上单调，
所以 ，
（易错：在区间上单调需要考虑单调递增或单调递减两种情况），
所以 ，其中 ，
解得 ．
由 ，得 ，
又因为 ，所以 ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
又因为 ，
所以 的取值范围是 ．故答案为：
9．（2024·山西晋城·一模）若函数 在 上至少有两个极大
值点和两个零点，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求出极大值点表达式，利用题干条件列不等式赋值求解.
【详解】令 ， ，得 的极大值点为 ， ，则存在整数 ，使得
，
解得 ．
因为函数 在两个相邻的极大值点之间有两个零点，
所以 ．
当 时， ．当 时， ．
当 时， ．又 ，
所以 的取值范围为 ．
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的图象及其性质，求出 并赋值计
算是解决问题关键.四、解答题
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)若 的图象经过点 ， ，且点 恰好是 的图象中距离点 最近
的最高点，试求 的解析式；
(2)若 ，且 在 上单调，在 上恰有两个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得函数 的周期求出 ，又过点B取最值求 ；
（2）根据 求 ，由已知条件及正弦函数的性质求 的取值范围.
【详解】（1）依题意可知： ，即 ，所以 ，
又过点 ，所以 ,即 ，
又 ，所以 ，即 .
（2）因为 ，且 ，所以 ，即 ，
又当 时 恰有两个零点， ，
依题意： ，即 ，又 在 上单调，所以 ，
依题意;若 ，即 ，所以 ，因 ，故不合题意；
若 ，即 ，所以 ，因 ，故 ；
若 ，即 ，显然不等式组无解；
综上 的取值范围为 .
11．（2023·河北承德·模拟预测）已知 ，函数 .
(1)当 时，求 的单调递增区间；
(2)若 在区间 上单调，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令 求 的范围，即可得增区间；
（2）由题意 在 上单调，讨论分别为递减区间、递增区间求
的取值范围.
【详解】（1）由题设 ，令 ，
所以 ，故 的单调递增区间为 .（2）由 ，则 ，
所以 在 上单调，又 ，
若 ， ，则 ， ，
所以 ， ，故 时 ，满足题设；
若 ， ，则 ， ，
所以 ， ，此时没有满足题设的k值；
综上，
【综合提升练】
一、单选题
1．（2023·河南·模拟预测）若函数 在 上恰有两个零点，且在
上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】有函数在 区间上有两个零点可知 ，由 在 上
单调递增可求出 的取值范围，然后联立即可求出答案.
【详解】解：由题意得：
函数 在 上恰有两个零点，
，解得： ①，
又 在 上单调递增，
，解得： ②，
由①②式联立可知 的取值范围是 .
故选：B
2．（2023·贵州黔东南·三模）已知函数 在 有且仅有两个零
点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.
【详解】因为 ，且在 仅有两个零点， ，
故 ，所以 ，解得 .
故选：C.
3．（2022·湖南长沙·模拟预测）已知函数 ，若 在区间
内单调递减，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】转化为 在区间 内单调递增，根据正切函数的单调区
间求出 的单调递增区间，再根据区间 是
的单调递增区间的子集列式可求出结果.
【详解】因为 在区间 内单调递减，所以 ， 在区间
内单调递增，
由 ， ，得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ，
依题意得 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
由 得 ，由 得 ，
所以 且 ，
所以 或 ，
当 时， ，又 ，所以 ，
当 时， .综上所述： .
故选：C.
4．（23-24高三上·河北·期末）函数 的部分图象如下图
所示，若 在区间 恰有一条对称轴和一个对称中心，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象求出 ，由 的取值范围求出 的取值范围，再结合正弦函数
图象得到不等式组，解得即可.
【详解】由图可知函数过点 ，所以 ，即 ，又 ，
所以 或 ，依题意可得 ，
若 则靠近 轴的最大值的横坐标不可能为负数，故舍去；
所以 ，即 ，因为 ，所以 ．
又 ， 的图象如下所示：
要使函数 在区间 恰有一条对称轴和一个对称中心，
则 ，解得 ，即 的取值范围是 .
故选：C．
5．（2023·吉林长春·一模）将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不变，所得图象在区间 上恰有两个零点，且在 上单调
递减，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据题目的要求伸缩变换得到解析式，然后结合函数在 上恰有两个零点
以及在 上单调递减，列出不等式组，即可求得本题答案.
【详解】依题意可得 ，
因为 ，所以 ，因为 在 恰有2个零点，且 ， ，
所以 ，解得 ，
令 ， ，得 ， ，
令 ，得 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，又 ，解得 ．
综上所述， ，故 的取值范围是 ．
故选：C.
6．（2024·贵州贵阳·一模）将函数 的图像先向右平移 个单位长度，再把所得
函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的 倍，得到函数 的图
像.若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求函数 的解析式，再根据 ，代入函数的解析式，结合正弦导
函数的图像和性质，即可求解.【详解】由三角函数的图像变换规律可知， ，
， ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，且 ，
得 .
故选：B
7．（2024·四川雅安·三模）已知函数 ，则下列说法中正确的
个数是（ ）
①当 时，函数 有且只有一个零点；
②当 时，函数 为奇函数，则正数 的最小值为 ；
③若函数 在 上单调递增，则 的最小值为 ；
④若函数 在 上恰有两个极值点，则 的取值范围为 .
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由
极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.
【详解】依题意， ，函数 ，
对于①： ，令 ，即 ，
作出函数 和函数 的图象，如图，观察图象知，两个函数在 上只有一个零点， ，
当 时， ，
当 时， ，
因此函数 与函数 的图象有且只有一个交点，①正确；
对于②： 为奇函数，则 ，
，即正数 的最小值为 ，②正确；
对于③：当 时， ，由 在 上单调递增，
得 ，解得 ，正数 有最大值 ，③错误；
对于④：当 时， ，而 在 上恰有两个极值点，
由正弦函数的性质得 ，解得 ，因此 的取值范围是 ，④
错误.
综上，共2个正确，
故选：B.
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数结构特征利用三角恒等变换公式将函数解析式化为一角一函数形式，再
结合三角函数的图象与性质进行求解即可.
【详解】法一:由题
，令 ， ，
因为 ，所以 ， ，
因为 在 上单调递增，所以 且 ，
得 ．由 ，得 ，
又 且 ，所以 ， .
故选:C.
法二:由题
，
由 ，得 ，
设 的最小正周期为T，则由题意得 ，所以 ，
从而 ，结合函数 在 上单调递增， 在 上单调递增，得 ，且 ，解得 .
故选:C.
二、多选题
9．（2023·吉林·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A．若函数 的图象关于直线 对称，则 的值可能为3
B．若关于x的方程 在 上恰有四个实根，则 的取值范围为
C．若函数 的图象向右平移 个单位长度，再向下平移B个单位长度，得到的函数
为奇函数，则 的最小值是1
D．若函数 在区间 上单调，则
【答案】BC
【分析】根据函数的对称轴代入得出 判断A，由根的个数可确定
，据此判断B，平移后由函数为奇函数可得 ，可判断C，
特殊值检验可判断D.
【详解】对于A，因为函数 的图象关于直线 对称，所以 ，则
，因为 ，则 的值不可能为3，故A错误；
对于B，当 时， ，若 在 上恰有四个实根，
则 ，解得 ，故B正确；对于C，由已知得 ，因为函数 为奇函数，
所以 ，即 ，因为 ，所以 的最小值是1，故C
正确；
对于D，当 时， ，因为 ，
所以 ，所以函数 在区间 上不单调，故D错误．
故选：BC．
10．（23-24高三上·山东滨州·期末）已知函数 ，下列选项中正确的
有（ ）
A．若 的最小正周期 ，则
B．当 时，函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象
C．若 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
D．若 在区间 上只有一个零点，则 的取值范围是
【答案】ACD
【分析】利用最小正周期公式可得 ，可判断A；利用三角函数图象的平移可得 ，可
判断B；利用余弦函数的减区间列不等式组求 的取值范围，可判断C；结合 在区
间 上只有一个零点，列不等式组可求 的取值范围，可判断D.
【详解】对于A：由 的最小正周期 可得 ，又 ，解得 ，故A正
确；对于B：当 时， ，将其图象向右平移 个单位长度后，得
的图象，故B错误；
对于C：由 得 ，令 ，
则 在区间 上单调递减，
于是 ，解得 ，即 ，故C正确；
对于D：因为 在区间 上只有一个零点，
所以 在区间 只有一个零点，
于是 ，解得 ，即 ，故D正确.
故选：ACD.
11．（2023·安徽·模拟预测）已知函数 ，下列说法正确的是
（ ）
A．函数 的值域为
B．若存在 ，使得对 都有 ，则 的最小值为C．若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为
D．若函数 在区间 上恰有3个极值点和2个零点，则 的取值范围为
【答案】ACD
【分析】化简 的解析式，根据三角函数的值域、最值、周期、单调性、极值点等知识
对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】已知函数 ，可知其值域为 ，故选项A正确；
若存在 ，使得对 都有 ，
所以 的最小值为 ，故选项B错误；
函数 的单调递增区间为 ，
，
所以 ，令 ，则 的取值范围为 ，故选项C正确；
若函数 在区间 上恰有3个极值点和2个零点， ，
由如图可得： ，的取值范围为 ，故选项D正确；
故选：ACD
三、填空题
12．（2023·山东·模拟预测）已知函数 在区间 上单调
递增，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将 变形，求出 单调递增区间，将 包含于 单调递增区间列式即
可.
【详解】解： ，
令 ， ，所以 ， ．即 单调递增区
间为 ， ，
所以只需 ， ，解得 ， ，
则 ，解得 ，又 ，所以 ，所以 ，即 的取值范围
是 ．故答案为： .
13．（2024·广西贺州·一模）已知函数 ，且
，将 的图象向右平移 个单位长度后，与函数
的图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且 ，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】求出函数 的值域，由给定不等式求出 ，求出 的图象平移后的函数
解析式，作出图形，数形结合求解即得.
【详解】依题意，函数 的值域为 ， 的值域为 ，
由 ，得 ，且 ，解得 ，
，将 的图象向右平移 个单位长度后，
得 ，在同一坐标系内作出函数 的图象，
观察图象知， ，取 中点 ，连接 ，由对称性知 ， ，
由 ，得 ，即 ， ，
由 ，得 ，则 ，
解得 ，于是 ，则 ，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解决两个正余弦型函数图象交点问题，利用诱导公式化成同名函数，
作出对应图象是解题的关键.
14．（2024·浙江·模拟预测）设函数 ，若存在 使
成立，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意确定 时， ，结合正弦函数的图象和性质找
到当 时，离 最近且使得 的x值，由此列出不等式，即可求得答案.
【详解】由于函数 ，
当 时， ，
根据正弦函数 的性质可知当 时，离 最近且使得 的x值为 ,
故存在 ，使 成立，需满足 ，
即 的取值范围为 ，
故答案为：
四、解答题15．（22-23高三上·安徽阜阳·期中）已知向量 ， ， ，
函数 ．
(1)若 ，求 在 上的单调递减区间；
(2)若关于 的方程 在 上有3个解，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】(1)化简得 ，由正弦函数的性质可得函数 的单调递减区
间为 ，进而可得在 上的单调递减区间；
(2)由题意可得 ，从而可得 ，结合题意可得
，求解即可.
【详解】（1）解：依题意，
，
当 时， ．令 ，
得 ，
当 时， ，
故 在 上的单调递减区间为 ；
（2）解：依题意， ，
则 或 ，
则 或 ．
则 ，
则 ，解得 ，
即 的取值范围为 ．
16．（2023·湖南长沙·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，已知边
，且 ．
(1)求 面积的最大值；
(2)设当 的面积取最大值时的内角C为 ，已知函数 在区间
上恰有三个零点和两个极值点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：由正弦定理可得 ，推出顶点C的轨迹是以 为焦点的椭圆，利用椭圆的几何性质结合三角形面积可求得答案；法二：由正弦定理可得 ，
利用余弦定理求得 ，进而求出 ，利用三角形面积公式结合基本不等式
可求得答案；
（2）由条件可确定 ，根据函数的零点个数以及极值点个数列出相应不
等式可求得答案.
【详解】（1）法一：由题意知 ，
由 得： ，即 ，
则顶点C的轨迹是以 为焦点的椭圆（除去长轴的两个端点），
当顶点C为椭圆的短轴的端点时 的面积最大，
此时 ， 是等边三角形， ，
所以 ．
法二：由 得： ，
，
，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
此时 是等边三角形， ， 的面积的最大值为 .
（2）由（1）有 ，
当 时， ，函数 在区间 上恰有三个零点和两个极值点，
则 ，解得 ．
17．（2023·江苏盐城·三模）已知函数 的值域为
.
(1)求 的单调递增区间；
(2)若 在 上恰有一个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 的解析式，利用函数 的值域可得出关
于 、 的方程组，解出这两个量的值，可得出函数 的解析式，，利用正弦型函数的
单调性可求得函数 的递增区间；
（2）由（1）可得出 的表达式，由 ，则 ，根
据已知条件可得出关于 的不等式，解之即可.
【详解】（1）解：，
因为 ，且函数 的值域为 ，则 ，解得 ，
所以， ，
由 可得 ，
因此，函数 的增区间为 .
（2）解：因为 ，
由于 ，则 ，
由 可得 ，
因为 在 上恰有一个零点，则 ，解得 .
因此， 的取值范围是 .
18．（23-24高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数
．
(1)化简函数 ；
(2)已知常数 ，若函数 在区间 上是增函数，求 的取值范围
【答案】(1)(2) ．
【分析】（1）由二倍角公式、诱导公式、平方关系化简可得；
（2）利用正弦函数性质求得函数的单调增区间，然后利用集合的包含关系得出不等关系后
可得参数范围．
【详解】（1）
；
（2）∵ ，
由 得： ，
∴ 的递增区间为 ，
∵ 在 上是增函数，∴当 时， ，
∴ 解得 的取值范围是
19．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 .
(1)若点 是函数 图像的一个对称中心，且 ，求函数 在 上的值
域；
(2)若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用整体代入法求 ，从而得到 ，进而利用正弦函数的性
质，结合 的取值范围即可得解；
（2）利用整体代入法求得 的单调性，从而利用数轴法得到关于 的不等式，结合
正弦函数的周期性先确定 的值，再得到 的取值范围，由此得解.
【详解】（1）由题意得:
，
，
故函数 在 上的值域为 .
（2）令 ，解得 ，
函数 在 上单调递增，
，
即
又 ，，
所以 的取值范围为 .
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2023·广西·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递减，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得 的初步范围，然后结合余弦函
数的单调性进一步确定 的范围，得到答案.
【详解】由题意有 ，可得 ，又由 ，必有 ，
可得 .
故选：A
2．（2023·陕西商洛·模拟预测）若函数 在区间 上单调递减，则
正数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】由题意知 ，可得 的大致范围，由此可得 的取值范围，
再由 的单调递减区间列出不等式组，即可解出答案.
【详解】根据函数 在区间 上单调递减，
得 ，可得 ，
又由 ，
必有 ，
可得 .
故选：A
3．（2023·四川泸州·一模）已知函数 在 上存在最值，且
在 上单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用整体法，结合三角函数图像性质对 进行最值分析，对区间
上进行单调分析；
【详解】当 时，因为 ，则 ，
因为函数 在 上存在最值，则 ，解得 ，
当 时， ，因为函数 在 上单调，
则 ，
所以 其中 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，则 ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
又因为 2，因此 的取值范围是 ．
故选：C．
【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心.
4．（2023·河南·二模）已知函数 ，其中 ，若函数满足以下条
件：
①函数 在区间 上是单调函数；② 对任意 恒成立；
③经过点 的任意直线与函数 恒有交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】根据题意得到函数的周期为 ，由②得到 是函数的一条对称轴，结合①可
知 ， ，再结合②和③即可求解.
【详解】由函数 可知，函数的周期为 ，
由条件② 对任意 恒成立，可知 是函数的一条对称轴，
结合条件①函数 在区间 上是单调函数，则有
，又 ，解得 ，即 ，
又因为 ，故 ，解得 ，又 ，
从而 或 .
当 时， ；当 时， ，
由② 对任意 恒成立， ，则
，由③经过点 的任意直线与函数 恒有交
点，得 ，解得 ，易知 ， ， ，
此时由 ，可得 ，从而 ，
由 或 ，得 或 ，所以 或 ，
故选：A.
【点睛】根据三角函数的单调性和对称轴求参数，研究三角函数的性质基本思想将函数看
成 的形式，根据整体思想来研究相关性质.
二、多选题
5．（2022·山东聊城·一模）已知函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．若对于任意的 ，都有 成立，则
B．若对于任意的 ，都有 成立，则
C．当 时，若 在 上单调递增，则 的取值范围为
D．当 时，若对于任意的 ，函数 在 上至少有两个零点，则
的取值范围为
【答案】ACD
【分析】由题可得 恒成立，利用三角函数的性质可判断A，利用函数的
周期的含义可判断B，利用正弦函数的单调性可判断C，由题可得 ，进而可
判断D.
【详解】对于A，对于任意的 ，都有 成立，
所以 恒成立，又 ， ，
∴ ，故A正确；
对于B，由题可得 是函数的周期，但不能推出函数的最小正周期为 ，故B错误；对于C，当 时，当 时， ，
则 ， ，故 ，故C正确；
对于D，当 时，当 时， ，
由 在 上至少有两个零点，
则 ，即 ，故D正确.
故选：ACD.
6．（2023·广东湛江·一模）已知 ，函数 ，下列选项正确的有
（ ）
A．若 的最小正周期 ，则
B．当 时，函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象
C．若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
D．若 在区间 上只有一个零点，则 的取值范围是
【答案】ACD
【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A正确；利用三角函数的图象变换，可判定B错
误；根据 在区间 上单调递增，列出不等式组，求得 的范围，得到当 时，
不等式有解，可判定C正确；由 在区间 上只有一个零点，列出不等式组，求得
的范围，可判定D正确．【详解】解：由余弦函数图象与性质，可得 ，得 ，所以A正确；
当 时，可得 ，
将函数 的图象向右平移 个单位长度后得
，所以B错误；
若 在区间 上单调递增，则 ，
解得 ，
又因为 ，所以只有当 时，此不等式有解，即 ，所以C正确；
若 在区间 上只有一个零点，则 ，解得 ，所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题
7．（2024·山东烟台·一模）若函数 在 上恰有5个零点，且
在 上单调递增，则正实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数 ，再利用正弦函数的性质求解即得.
【详解】依题意，函数 ，由 ，得 ，
则 或 ，
由 ，得 ，由 在 上恰有5个零点，得 ，解得 ，
由 ，得 ，即函数 在 上单调递增，
因此 ，即 ，且 ，解得 ，
所以正实数 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：求函数 的单调区间时，可把 看成
一个整体，由 求得函数的单调递减区间，由
求得函数的单调递增区间．
8．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数 在区间 上
单调递减，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题可得 ，由于 的单调递减区间为
，可得 ，从而求得 的取值范围.
【详解】当 时， ，
又 的单调递减区间为 ，所以 ，
解得 ，且 ，解得 ，又 ，
所以 0，所以 的取值范围为 .
故答案为：
9．（2024·广东茂名·一模）函数 （ ）在区间 上有且只有
两个零点，则 的取值范围是 .
【答案】
【详解】利用三角函数的性质分析求解即可.
由于 在区间 上有且只有两个零点，所以 ，
即 ，由 得， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用整体法得到 ，再根据零
点个数得到不等式组，解出即可.
四、解答题10．（22-23高三上·上海黄浦·期中）已知函数 ， ；
(1)当 时，求 在 的值域；
(2)若至少存在三个 使得 ，求 的取值范围；
(3)若 在 上是增函数，且存在 ，使得 成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得 ,据此即可求得函数的值域；
（2）由题意得到 ,列出关于 的不等式，求解不等式即可确定 的取
值范围；
（3）由题意列出关于 的不等式，求解不等式即可确定 的取值范围．
【详解】（1）当 时， ,
由 ，可得 ，
故 的值域为 ．
（2）∵对于函数 ，至少存在三个 ，使得 ，
即函数 的图象在 至少有3个最低点，，所以 ，
故 ，即有 ，
即 的取值范围是 .
（3）由题意 在 是增函数，则 ， ，所以 ，
，而 ，
故 ，即 ，
由于存在 使得 ，即 成立，
即 成立，而 ，又 ，
故 ，即 ，
综上可得， ，即 的取值范围是 .
11．（22-23高三上·辽宁·阶段练习）已知函数 在区间 内是增函
数．
(1)求 的取值范围；
(2)将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到的图像与将其向右平移 个单位
长度后所得到的图像重合．求 的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）确定 ，根据单调性得到 ，解得答案.
（2）根据三角函数的平移法则得到 ，结合 的范围得到答案.【详解】（1）因为 ， ，则 ，
已知 在区间 内是增函数，则 ，解得 ．
（2）由已知可得 ，即 ，
所以 ，即 ， ，当且仅当 时， ，符合 ．
故 ．
