2024年高考数学一轮复习（新高考版）第4章　§4.7　三角函数中有关ω的范围问题[培优课]_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）

§4.7 三角函数中有关 ω 的范围问题 在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂， 涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点． 题型一 三角函数的单调性与ω的关系 例1 已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 方法一 由题意得 则又ω>0，所以 所以k＝0，则0<ω≤. 方法二 取ω＝1，则f(x)＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 当k＝0时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合 四个选项可知选B. 思维升华 确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求 ω的取 值范围． 跟踪训练1 (2023·宜昌模拟)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω>0，若f ＝3，f(π)＝0，f(x)在上 单调递减，那么ω的取值共有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案 D 解析 ∵f ＝3，f(π)＝0， ∴π－＝·T(n∈N*)， T＝， ∵f(x)在上单调递减， ∴≥－＝，∴T≥， 即≥，∴2n－1≤10， ∴n＝1,2,3,4,5， 即周期T有5个不同取值， ∴ω的取值共有5个． 题型二 三角函数的对称性与ω的关系 例2 (多选)(2023·大同质检)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数 g(x)的图象，若F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点对称，则ω可取的值为( )A. B. C．1 D．4 答案 CD 解析 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin ＝sin＝cos， 又因为F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点对称， 所以F(x)＝sincos ＝sin的图象关于点对称， 则2ω·＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝，k∈Z， 又因为ω>0，所以ω的最小值为1，故ω可取的值为1,4. 思维升华 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对 称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其 周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于 ω的不等式组，进而可以研 究“ω”的取值范围． 跟踪训练2 已知函数f(x)＝2sin，若f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不 属于区间(3π，4π)，则ω的取值范围是( ) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 答案 C 解析 因为f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，所以 ×≥4π－3π，所以<ω≤1，故排除A，B； 又kπ＋≤3ωπ－，且kπ＋π＋≥4ωπ－，解得≤ω≤，k∈Z， 当k＝0时，≤ω≤，不满足<ω≤1， 当k＝1时，≤ω≤，符合题意， 当k＝2时，≤ω≤，符合题意， 当k＝3时，≤ω≤，此时ω不存在，故C正确，D不正确． 题型三 三角函数的最值与ω的关系 例3 将函数f(x)＝sin(2ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0,2π])图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到 函数g(x)，函数g(x)的部分图象如图所示，且g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值 (其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是( ) A. B. C. D.答案 C 解析 由已知得函数g(x)＝sin(ωx＋φ)，由g(x)图象过点以及点在图象上的位置， 知sin φ＝，φ＝，∵0≤x≤2π， ∴≤ωx＋≤2πω＋， 由g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值， ∴≤2πω＋<， ∴≤ω<. 思维升华 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进 而求出ω的值或取值范围． 跟踪训练3 (2023·青岛质检)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤，－为f(x)的零点， 且f(x)≤恒成立，f(x)在区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是( ) A．11 B．13 C．15 D．17 答案 C 解析 由题意，直线x＝是f(x)的一条对称轴， 所以f ＝±1，即ω＋φ＝kπ＋，k∈Z，① 1 1 又f ＝0，所以－ω＋φ＝kπ，k∈Z，② 2 2 由①②，得ω＝2(k－k)＋1，k，k∈Z， 1 2 1 2 又f(x)在区间上有最小值无最大值， 所以T≥－＝， 即≥，解得ω≤16. 综上，先检验ω＝15， 当ω＝15时，由①得×15＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，又|φ|≤， 1 1 1 1 所以φ＝－，此时f(x)＝sin，当x∈时，15x－∈， 当15x－＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值，无最大值，满足题意． 故ω的最大值为15. 题型四 三角函数的零点与ω的关系 例4 将函数f(x)＝cos x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原 来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上没有零点，则ω的取值 范围是( ) A.∪ B. C.∪ D．(0,1] 答案 A 解析 将函数f(x)＝cos x的图象先向右平移个单位长度，得到y＝cos的图象， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝cos(ω>0)的图象，周期T＝， 因为函数g(x)在上没有零点，所以－≤，得T≥2π，即≥2π，得0<ω≤1， 假设函数g(x)在上有零点， 令g(x)＝0，得ωx－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z， 则<＋<，得＋<ω<＋2k，k∈Z， 又0<ω≤1，所以<ω<或<ω≤1， 又函数g(x)在上没有零点，且0<ω≤1， 所以0<ω≤或≤ω≤. 思维升华 三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究 “ω”的取值． 跟踪训练4 (2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点， 则ω的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由题意可得ω>0，故由x∈(0，π)，得ωx＋∈. 根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知<πω＋≤，得<ω≤. 根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω＋≤3π，得<ω≤. 综上，ω的取值范围为. 课时精练 1．已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有( ) A．最小值2 B．最大值2 C．最小值1 D．最大值1 答案 A 解析 ∵函数的对称中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，∴对称中心 点到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥， 又∵T＝，∴≤，∴ω≥2，∴ω有最小值2. 2．函数f(x)＝cos(ω>0)在区间内单调递减，则ω的最大值为( ) A. B. C. D．6 答案 B 解析 ∵x∈，则－≤ωx－≤－， 因为函数f(x)在区间内单调递减，则⊆[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，所以(k∈Z)，解得6k＋≤ω≤3k＋(k∈Z)， 由6k＋≤3k＋(k∈Z)，可得k≤， 因为k∈Z且ω>0，则k＝0，≤ω≤. 因此，正数ω的最大值为. 3．(2023·芜湖模拟)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(0,2π)) 的一条对称轴为直线x＝－， 且f(x)在上单调，则ω的最大值为( ) A. B．3 C. D. 答案 D 解析 函数y＝sin(ωx＋φ)的对称轴可表示为x＝－(k∈Z)， 由f(x)在上单调，可得∃k∈Z，使得 0 解得k≤ω≤(k＋1)， 0 0 又∵ω>0，∴k＝0,1,2,3， 0 ∴当k＝3时，ω可取最大值为. 0 4．已知函数f(x)＝2sin cos ＋2sin2－1(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图 象关于坐标原点对称，则ω的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 ∵f(x)＝2sin cos ＋2sin2－1 ＝sin ωx－cos ωx＝2sin， ∴g(x)＝2sin＝2sin. 又g(x)的图象关于坐标原点对称， ∴－＝kπ，k∈Z， ∴ω＝12k＋2(k∈Z)，ω>0， ∴当k＝0时，ω ＝2. min 5．函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，且存在唯一x∈，使得f(x)＝1，则ω的取值范 0 0 围为( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 由正弦函数性质，得2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，即－≤x≤＋(k∈Z)， ∵f(x)在上单调递增， ∴(k∈Z)，则(k∈Z)， 又ω>0，则0<ω≤， 又存在唯一x∈，使得f(x)＝1，而此时ωx＋∈， 0 0 0 ∴≤＋<，得≤ω<，综上，有≤ω≤. 6．(2022·焦作模拟)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)，若方程|f(x)|＝1在区间(0,2π)上恰有5个实根， 则ω的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 由方程|f(x)|＝＝1， 可得sin＝±， 所以ωx＋＝kπ±(k∈Z)， 当x∈(0,2π)时，ωx＋∈， 所以ωx＋的可能取值为，，，，，，…， 因为原方程在区间(0,2π)上恰有5个实根， 所以<2ωπ＋≤， 解得<ω≤，即ω的取值范围是. 7．(多选)(2023·郑州模拟)已知f(x)＝1－2cos2(ω>0)．则下列判断正确的是( ) A．若f(x)＝1，f(x)＝－1，且|x－x| ＝π，则ω＝2 1 2 1 2min B．存在ω∈(0,2)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 C．若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为 D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为 答案 CD 解析 因为f(x)＝1－2cos2 ＝－cos＝sin， 所以周期T＝＝.对于A，由条件知，周期为2π，所以ω＝，故A错误； 对于B，函数图象向右平移个单位长度后得到的函数为y＝sin， 其图象关于y轴对称，则－＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－1－3k(k∈Z)， 故对任意整数k，ω∉(0,2)，所以B错误； 对于C，由条件得7π≤2ω·2π＋<8π， 解得≤ω<，故C正确； 对于D，由条件得解得ω≤，又ω>0，所以0<ω≤，故D正确． 8．(2023·衡水调研)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数 g(x)的图象，点A，B，C是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点，若△ABC是钝角三角形， 则ω的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案 D解析 由条件可得，g(x)＝cos，又f(x)＝sin＝cos ωx，作出两个函数图象，如图， A，B，C为连续三个交点，不妨设B在x轴下方，D为AC的中点． 由对称性可得△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，AC＝T＝＝2CD， 由cos ωx＝cos，整理得cos ωx＝sin ωx，得cos ωx＝±， 则y ＝－y ＝，所以BD＝2|y |＝， C B B 要使△ABC为钝角三角形，只需∠ACB<即可， 由tan∠ACB＝＝<1，所以0<ω<. 9．函数y＝sin(ω>0)在[0，π]上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围是________． 答案 解析 令ωx－＝kπ，k∈Z， 则函数的零点为x＝，k∈Z， 所以函数在y轴右侧的四个零点分别是，，，， 函数y＝sin(ω>0)在[0，π]上有且仅有3个零点， 所以解得ω∈. 10．(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为 f(x)的零点，则ω的最小值为________． 答案 3 解析 因为T＝，f ＝， 所以cos(2π＋φ)＝， 即cos φ＝. 又0<φ<π，所以φ＝. 所以f(x)＝cos. 因为x＝为f(x)的零点， 所以ω＋＝＋kπ(k∈Z)， 解得ω＝9k＋3(k∈Z)． 又ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值， 且最小值为3. 11．(2023·黄冈模拟)已知函数y＝f(x)的图象是由函数y＝cos ωx(ω>0)的图象向左平移个单 位长度所得，若函数y＝f(x)在区间(π，2π)上单调，则ω的取值范围是________________． 答案 ∪解析 y＝f(x)的图象是由y＝cos ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度所得，故f(x)＝cos， ∵当x∈(π，2π)， 即ωx＋∈时，函数y＝f(x)单调， ∴kπ≤ωπ＋<2ωπ＋≤kπ＋π，k∈Z， ∴ ∴ 由＋>k－，得k<， 又k∈Z，得k＝0或k＝1， ∴0<ω≤或≤ω≤， 综上，ω的取值范围为∪. 12．若函数y＝f(x)的定义域存在x ，x(x≠x)，使＝1成立，则称该函数为“互补函数”． 1 2 1 2 函数f(x)＝cos－sin(ω>0)，则当ω＝3时，f ＝________；若f(x)在[π，2π]上为“互补函数”， 则ω的取值范围为________． 答案 0 ∪ 解析 由函数f(x)＝cos－sin＝cos＝sin ωx， 当ω＝3时，f(x)＝sin 3x，可得f ＝sin π＝0； 令t＝ωx，则函数y＝sin t在区间[ωπ，2ωπ]上存在两个极大值点，则≤π，可得ω≥2， 当2T＝2×≤π时，即ω≥4，显然符合题意； 当ωπ≤时，即ω≤时，2ωπ≥，即ω≥，所以≤ω≤； 当4π>ωπ>，即<ω<4时，2ωπ≥，即ω≥，所以≤ω<4， 综上，ω的取值范围是∪.