5.1 任意角和弧度制
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：任意角 ..........................................................................2
考点二：象限角 ..........................................................................2
考点三：轴线角 ..........................................................................3
考点四：终边相同的角的集合 ........................................................3
考点五：角度制与弧度制的概念 .....................................................4
考点六：扇形中的弧长公式和面积公式 .............................................4
模块二：题型分类 .........................................................................4
题型一：任意角的概念 .................................................................4
题型二：终边相同的角 .................................................................5
题型三：象限角的判定 .................................................................7
题型四：终边在某条直线上的角的集合 .............................................9
题型五：区域角 ........................................................................10
题型六：角的终边的对称问题与垂直问题 ........................................11
题型七：弧度制的概念 ...............................................................13
题型八：角度与弧度的互化 .........................................................14
题型九：用弧度表示角或范围 .......................................................15
题型十：弧长公式 .....................................................................16
题型十一：扇形面积公式 ............................................................17
题型十二：扇形中的最值问题 .......................................................19
模块三：综合巩固 .......................................................................21
5.1 任意角和弧度制
模块一：基础知识
考点一：任意角
1.角的概念:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
2.角的表示如图：①始边：射线的起始位置OA；②终边：射线的终止位置OB；③顶点：射线的端点O；④
记法：图中的角可记为“角”或“
”或“
AOB”.
3.角的表示
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定：
名称
定义
图形
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角.
负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角.
零角
一条射线没有做任何旋转.
这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.
4.角的相等
设角由射线OA 绕端点O 旋转而成，角
由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且
旋转量相等，那么就称=
.
5.角的加、减法
①角的加法:设,
是任意两个角.我们规定，把角的终边旋转角
，这时终边所对应的角是+
.
②相反角的概念:我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角
的相反角记为- .
③角的减法:像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有-
= +(-
).这样，角
的减法可以转化为角的加法.
考点二：象限角
1、定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几
象限,就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
2、象限角的常用表示：
第一象限角
{ | 360
360
90 ,
}
k
k
k
Z
第二象限角
{ | 360
90
360
180 ,
}
k
k
k
Z
第三象限角
{ | 360
180
360
270 ,
}
k
k
k
Z
或
{ | 360
180
360
90 ,
}
k
k
k
Z
第四象限角
{ | 360
270
360
360 ,
}
k
k
k
Z
或
{ | 360
90
360
,
}
k
k k
Z
考点三：轴线角
1、定义：轴线角是指以原点为顶点，x 轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角.
2、轴线角的表示：
①
终边落在x 轴非负半轴
{
|
360
,
}
k k
Z
②
终边落在y 轴非负半轴
{
|
360
90 ,
}
k
k
Z
③
终边落在x 轴非正半轴
{
|
360
180 ,
}
k
k
Z
或{
|
360
180 ,
}
k
k
Z
④
终边落在y 轴非正半轴
{
|
360
270 ,
}
k
k
Z
或{
|
360
90 ,
}
k
k
Z
⑤
终边落在x 轴
{
|
180
,
}
k k
Z
⑥
终边落在y 轴
{
|
180
90 ,
}
k
k
Z
或{
|
180
90 ,
}
k
k
Z
⑦
终边落在坐标轴
{
|
90
,
}
k k
Z
考点四：终边相同的角的集合
1.所有与角终边相同的角为
|
360
k
k
Z
，
2.区间角、区域角
区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如
.终边介于某两
角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角.
3.角的终边的对称问题与垂直问题
角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当两个角的终边具有对称关系或垂直关系时，对于的角
就有一定的关系.一般地，我们有如下结论：
角α,β 终边的位置关系
α,β 的关系
α 与β 的终边关于x 轴对称
α 与β 的终边关于y 轴对称
α 与β 的终边关于原点对称
α 与β 的终边在一条直线上
α 与β 的终边垂直
α 与β 的终边关于直线y=x 对称
α 与β 的终边关于直线y=-x 对称
考点五：角度制与弧度制的概念
1、弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度角，记作1 rad ，或1 弧度，或1(单位可以省略不写).
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式： 180
rad
0
180
1
57.30
57 18
rad
，1
180 rad
3、常用的角度与弧度对应表
角度制
0
30
45
60
90
120
135
150
180
弧制度
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
考点六：扇形中的弧长公式和面积公式
弧长公式：
r
l
|
|
(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：
2
|
|
2
1
2
1
r
r
l
S
.
模块二：题型分类
题型一：任意角的概念
1.经过2 个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（ ）.
A．60°，720°
B．－60°，－720°
C．－30°，－360°
D．－60°，720°
【答案】B
【详解】钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，
而2
12 ×360°＝60°，2×360°＝720°，
故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.
故选：B
2.（多选）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运
行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（ ）
A．小赵同学说：“经过了5 h，时针转了
5π
6
．”
B．小钱同学说：“经过了40 min，分针转了
7π
6
．”
C．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12:35 时，时针与分针所夹的钝角为67π
72 ．”
D．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22 次．”
【答案】ACD
【详解】解：经过了5 h，时针转过的角度对应的弧度数为
2π
5π
5
12
6
，故A 正确．
经过了40 min，分针转过的角度对应的弧度数为
2π
4π
8
12
3
，故B 错误．
时钟显示的时刻为12:35，该时刻的时针与分针所夹的钝角为
2π
7
2π
67π
5
12
12
12
72
，故C 正确．
分针比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了t min，第n 次和时针重合，则2π
2π
2π
60
12 60
t
t
n
，得
11
0
1440
720
n
t
t
，故
max
11
1440
22
720
n
，故D 正确．
故选：ACD
3.亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2 小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数
为
.
【答案】4
【详解】因为钟表的分针转了两圈，且是按顺时针方向旋转，所以钟表的分针转过的弧度数为4
.
故答案为：4
.
4.时钟走了3 小时20 分，则时针所转过的角的度数为
，分针转过的角的度数为
．
【答案】
100
1200
【详解】因为时针每小时转30，分针每小时转360，
又因为时针、分针都按顺时针方向旋转，
故时针转过的角度数为
1
3
30
100
3
，
分针转过的角度数为
1
3
360
1200
3
．
故答案为：100
；1200
题型二：终边相同的角
1.下列各角中，与2183角终边相同的是（ ）
A．23
B．23
C．47
D．47
【答案】B
【详解】对于B，因为2183
23
6 360
，所以角2183与角23的终边相同，B 正确；
对于A，因为
2183
23
2206
不是360的整数倍，所以它们的终边不同，A 错误；
对于C，因为
2183
47
2230
不是360的整数倍，所以它们的终边不同，C 错误；
对于D，因为2183
47
2136
不是360的整数倍，所以它们的终边不同，D 错误.
故选：B.
2.（多选）与457
角终边相同的角的集合是（ ）
A．
360
457 ,
k
k
Z
B．
360
97 ,
k
k
Z
C．
360
263 ,
k
k
Z
D．
360
263 ,
k
k
Z
【答案】AC
【详解】与457
终边相同的角可写为：
360
457
k
k
Z
，
97
360
457
k
k
Z
，263
2 360
457
，
263
360
457
k
k
Z
，
与457
角终边相同的角的集合为：
360
457 ,
k
k
Z
，A 正确；
360
263 ,
k
k
Z
，C
正确.
故选：AC.
3.下列角的终边与60角的终边关于x 轴对称的是（ ）
A．660
B．660
C．690
D．690
【答案】A
【详解】由题意知，与60角的终边关于x 轴对称的角为
60
360
,
.
k k
Z
当
2
k
时，
60
720
660
，A 正确.
经验证，其他三项均不符合要求.
故选：A .
4.已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α 与120°角终边相同，则α= ．
【答案】﹣960°．
【详解】试题分析：α 与120°角终边相同，可表示为α=k•360°+120°，k∈Z，结合角的范围，可得结论．
解：α 与120°角终边相同，∴α=k•360°+120°，k∈Z．
∵﹣990°＜k•360°+120°＜﹣630°，
∴﹣1110°＜k•360°＜﹣750°．又k∈Z，
∴k=﹣3，此时α=（﹣3）×360°+120°=﹣960°．
故答案为﹣960°．
5.若角𝛼、𝛽的终边相同，则𝛼−𝛽的终边在（ ）．
A．x 轴的正半轴上
B．x 轴的负半轴上
C．y 轴的正半轴上
D．y 轴的负半轴上
【解题思路】结合终边相同的角的概念可得𝛼−𝛽= 𝑘·360°，进而即得.
【解答过程】因为角α，β 的终边相同，
所以𝛼−𝛽= 𝑘·360°，𝑘∈Z，
所以𝛼−𝛽的终边落在x 轴的正半轴上.
故选：A.
6.若𝛼与𝛽的终边互为反向延长线，则有（ ）
A．𝛼= 𝛽± 180°
B．𝛼= −𝛽
C．𝛼= 𝛽+ 𝑘⋅180°,𝑘∈Z
D．𝛼= 𝛽+ 𝑘⋅360° + 180°,𝑘∈Z
【解题思路】根据题意，可得𝛼−𝛽= 180° + 𝑘⋅360°，𝑘∈Z，进而求解.
【解答过程】因为𝛼与𝛽的终边互为反向延长线，
所以𝛼−𝛽= 180° + 𝑘⋅360°，𝑘∈Z，
即𝛼= 𝛽+ 𝑘⋅360° + 180°，𝑘∈Z.
故选：D.
题型三：象限角的判定
1.给出下列四个命题：①−
π
3是第四象限角；②
5π
4 是第三象限角；③−
13π
6 是第二象限角；④
7π
2 是第一象限
角．其中正确命题的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解题思路】根据任意角的相关知识，对每一项进行逐一判断和分析，即可选择.
【解答过程】对①：−
π
3是第四象限角，故①正确；
对②：π <
5π
4 <
3π
2 ，故其为第三象限角，故②正确；
对③：−
13π
6 = −2π−
π
6，又−
π
6是第四象限角，故−
13π
6 是第四象限角，③不正确；
对④：
7π
2 = 2π +
3π
2 ，又
3π
2 是𝑦轴的负半轴，故
7π
2 不是象限角，④不正确.
故正确的有2 个.
故选：B.
2.若𝛼是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ）
A．90°−𝛼
B．180°−𝛼
C．270°−𝛼
D．−𝛼
【解题思路】根据象限角的概念判断即可.
【解答过程】若𝛼是第一象限角，则𝑘⋅360° < 𝛼< 90° + 𝑘⋅360°,𝑘∈Z，
−90°−𝑘⋅360° < −𝛼< −𝑘⋅360°,𝑘∈Z，则−𝛼是第四象限角，故D 错误；
−𝑘⋅360° < 90°−𝛼< 90°−𝑘⋅360°,𝑘∈Z，则90°−𝛼是第一象限角，故A 错误；
90°−𝑘⋅360° < 180°−𝛼< 180°−𝑘⋅360°,𝑘∈Z，则180°−𝛼是第二象限角，故B 错误；
180°−𝑘⋅360° < 270°−𝛼< 270°−𝑘⋅360°,𝑘∈Z，则270°−𝛼是第三象限角，故C 错误.
故选：C.
3.设𝛼是第二象限角，则
𝛼
3的终边在（ ）
A．第一、二、三象限
B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限
D．第一、二、四象限
【解题思路】由2𝑘π +
π
2 < 𝛼< 2𝑘π + π,𝑘∈Z ，得到
2𝑘π
3 +
π
6 <
𝛼
3 <
2𝑘π
3 +
π
3,𝑘∈Z，对k 赋值判断.
【解答过程】解：因为𝛼是第二象限角，
所以2𝑘π +
π
2 < 𝛼< 2𝑘π + π,𝑘∈Z ，
2𝑘π
3 +
π
6 <
𝛼
3 <
2𝑘π
3 +
π
3,𝑘∈Z，
当 𝑘= 0时，
π
6 <
𝛼
3 <
π
3，在第一象限；
当 𝑘= 1时，
5π
6 <
𝛼
3 < π，在第二象限；
当 𝑘= 2时，
3π
2 <
𝛼
3 <
5π
3 ，在第四象限；
故选：D.
4.已知为第二象限角，则2
所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第二或第四象限
D．第一或第三象限
【答案】D
【详解】因为为第二象限角，则
90
360
180
360
k
k
k
Z
，
所以，
45
180
90
180
2
k
k
k
Z
，
①当k 为奇数时，设
2
1
k
n
n
Z ，则
45
2
1 180
90
2
1 180
2
n
n
k
Z
，
即
225
360
270
360
2
n
n
n
Z
，此时2
为第三象限角；
②当k 为偶数时，设
2
k
n n
Z ，则
45
360
90
360
2
n
n
k
Z
，
此时2
为第一象限角.
综上所述，2
为第一或第三象限角.
故选：D.
题型四：终边在某条直线上的角的集合
1.写出终边在如图所示的直线上的角的集合．
【答案】答案见解析
【详解】（1）在0°～360°范围内，终边在直线y＝0 上的角有两个，即0°和180°，
又所有与0°角终边相同的角的集合为
1
β β 0
360
Z
{
}
S
k·
k
|
=
=
，
，
所有与180°角终边相同的角的集合为
2
β β
180
360
Z
{
}
S
k
k
|
=
+
，
，
于是，终边在直线y＝0 上的角的集合为
1
2
β β
{
8
Z}
1 0
S S
S
k·
k
|
=
=
=
，
．
（2）由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x 上的角有两个，即135°和315°，
因此，终边在直线y＝－x 上的角的集合为
{
}
{
β β 135
360
Z
β β 315
360
Z
β β 13
}
5
80
{
1
}
S
|
|
k·
k
k·
k
k·
|
=
=
+
，
=
+
，
=
=
+
，．
（3）结合（2）知所求角的集合为
β β
45
180
Z
β β 135
180
Z = β β 4
{
}
{
} {
5
2 90
S
k·
k
k·
k
k
|
|
·
|
=
+
，
=
+
，
=
+
，
同理可得终边在直线y＝x、y=-x 上的角的集合为β β=45
}
180
Z
{
k·
|
k
+
，
，
Z
β β 45
2
1 90
Z
β β 45
90
Z
}
{
} {
}
k
k
·
k
k·
k
|
|
=
+
,
=
=
+
,
．
2.若角α 的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线
3
y
x
上，则角α 的取值集合是
【答案】
π
{
|
π
,
Z}
3
k
k
【详解】直线
3
y
x
的倾斜角是2
3
，所以终边落在直线
3
y
x
上的角的取值集合为
π
{
|
π
,
Z}
3
k
k
故答案为：
π
{
|
π
,
Z}
3
k
k
3.在直角坐标系中写出下列角的集合：
(1)终边在x 轴的非负半轴上；
(2)终边在
0
y
x x
上．
【答案】(1)
360 ,
k
k
Z
；
(2)
360
45 ,
k
k
Z
.
【详解】（1）在0°～360°范围内，终边在x 轴的非负半轴上的角有一个，它是0°，
所以终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为
360 ,
k
k
Z
.
（2）在0°～360°范围内，终边在y=x(x≥0)上的角有一个，它是45°，
所以终边在y=x(x≥0)上的角的集合为
360
45 ,
k
k
Z
.
题型五：区域角
1.写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．
(1)
(2)
【答案】(1)
360
135
360
300 ,
k
k
k
Z
(2)
180
60
180
45 ,
k
k
k
Z
【详解】（1）在0 ~ 360
范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为135，终边在第四象限
的区域边界线所对应的角为300，
因此，阴影部分区域所表示的集合为
360
135
360
300 ,
k
k
k
Z
；
（2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为
60
360
45
360 ,
k
k
k
Z
2
180
60
2
180
45 ,
k
k
k
Z
，
图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为
120
360
225
360 ,
k
k
k
Z
2
1 180
60
2
1 180
45 ,
k
k
k
Z
，
因此，阴影部分区域所表示角的集合为
2
180
60
2
180
45 ,
k
k
k
Z
2
1 180
60
2
1 180
45 ,
k
k
k
Z
180
60
180
45 ,
k
k
k
Z
.
2.集合
π
π
π
π
,
Z
4
2
k
k
k
中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
2 (
Z)
k
n n
时，
π
π
2 π
2 π
,
Z
4
2
n
n
n
，此时表示的范围与π
π
4
2
表示的范围一样；
当
2
1(
Z)
k
n
n
时，
π
π
2 π
π
2 π
π
,
Z
4
2
n
n
n
，此时表示的范围与π
π
π
π
4
2
表示的范
围一样，
故选：C．
3.已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角2
的取值范围是
．
【答案】
15
90
52.5
90 ,
Z
2
2
k
k
k
【详解】终边在30角的终边所在直线上的角的集合为
1
30
180 ,
Z
S
k
k
，
终边在180
75
105
角的终边所在直线上的角的集合为
2
105
180 ,
Z
S
k
k
，
因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是
30
180
105
180 ,
Z
k
k
k
，
所以角2
的取值范围是
15
90
52.5
90 ,
Z
2
2
k
k
k
，
故答案为：
15
90
52.5
90 ,
Z
2
2
k
k
k
4.用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.
【答案】（1）
3π
π
2 π
2 π
,
Z
4
3
k
k
k
；（2）
π
π
π
,
Z
6
2
n
n
n
【详解】（1）
3π
π
2 π
2 π
,
Z
4
3
k
k
k
；
（2）
π
π
π
π
2 π
2 π
,
Z
2 π
π
2 π
π
,
Z
6
2
6
2
k
k
k
k
k
k
π
π
π
,
Z
6
2
n
n
n
.
题型六：角的终边的对称问题与垂直问题
1.列角的终边与60°角的终边关于𝑥轴对称的是（ ）
A．660°
B．−660°
C．690°
D．−690°
【解题思路】根据已知角，利用周期性写出终边相同角，再结合选项判断即可.
【解答过程】由题意知，与60°角的终边关于𝑥轴对称的角为𝜃= −60° + 360° ⋅𝑘,𝑘∈𝐙.
当𝑘= 2时，𝜃= −60° + 720° = 660°，A正确.
经验证，其他三项均不符合要求.
故选：A.
2.𝛼是一个任意角，则𝛼的终边与3𝜋−𝛼的终边（ ）
A．关于坐标原点对称
B．关于𝑥轴对称
C．关于𝑦轴对称
D．关于直线𝑦= 𝑥对称
【解题思路】根据角终边位置的周期性判断出𝜋−𝛼的终边与3𝜋−𝛼的终边相同，从而得出答案.
【解答过程】因为𝜋−𝛼的终边与3𝜋−𝛼的终边相同，而𝜋−𝛼的终边与𝛼的终边关于𝑦轴对称，
所以𝛼的终边与3𝜋−𝛼的终边关于𝑦轴对称.
故选：C.
3.若2𝜋< 𝛼< 4𝜋，且角𝛼的终边与角−
7𝜋
6 的终边垂直，则𝛼= （ ）
A．
7𝜋
3
B．
10𝜋
3
C．
4𝜋
3 或
7𝜋
3
D．
7𝜋
3 或
10𝜋
3
【解题思路】先得到角−
7𝜋
6 的终边相同的角的集合为𝐵= 𝛽|𝛽= 5
6 𝜋+ 2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍,因为角𝛼的终边与角−
7𝜋
6 的
终边垂直,所以角𝛼的终边相同的角的集合为𝐴= 𝛼|𝛼= 4
3 𝜋+ 2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍或𝐴= 𝛼|𝛼= 𝜋
3 + 2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍,再根
据2𝜋< 𝛼< 4𝜋确定角𝛼的值
【解答过程】由题,设角−
7𝜋
6 的终边相同的角的集合为
𝐵= 𝛽|𝛽= −7
6 𝜋+ 2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍= 𝛽|𝛽= 5
6 𝜋+ 2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍,
因为角𝛼的终边与角−
7𝜋
6 的终边垂直,则𝛼= 𝛽+
𝜋
2或𝛼= 𝛽−
𝜋
2
所以角𝛼的终边相同的角的集合为
𝐴= 𝛼|𝛼= 4
3 𝜋+ 2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍或𝐴= 𝛼|𝛼= 𝜋
3 + 2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍,
因为2𝜋< 𝛼< 4𝜋,所以当𝑘= 1时,𝛼=
10𝜋
3 或
7𝜋
3 ,
故选：D.
4.若𝛼= 2𝑘π +𝜃,𝛽= (2𝑘+ 1)π−𝜃,其中𝑘∈𝑍,则角𝛼与𝛽的终边（ ）
A．关于原点对称
B．关于𝑥轴对称
C．关于𝑦轴对称
D．关于𝑦= 𝑥对称
【解题思路】根据角度的终边周期性分析即可.
【解答过程】根据角度的性质有𝛼= 2𝑘π +𝜃与𝜃的终边相同, 𝛽= (2𝑘+ 1)π−𝜃与𝜋−𝜃的终边相同,且𝜃的终
边与𝜋−𝜃的终边关于𝑦轴对称,故角𝛼与𝛽的终边关于𝑦轴对称.
故选：C.
题型七：弧度制的概念
1.下列与45终边相同角的集合中正确的是（ ）
A．
|
2 π
45 ,
k
k
Z
B．
π
|
360
,
4
k
k
Z
C．
7
|
2 π
π,
4
k
k
Z
D．
π
|
π
,
4
k
k
Z
【答案】C
【详解】因为角度值和弧度制不能混用，故A、B 错误；
因为
π
π
7π
45
2π
4
4
4
，故C 正确；
对于选项D：因为
π
π
π
π
π
2 π,
4
4
4
k
k
k
k
Z ，
则
π
π
,
4
k
k
Z 与45终边不相同，故D 错误；
故选：C.
2.若
5rad
，则角的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【详解】由于
3
2
5
2
，
故角的终边在第一象限，
故选：A
3.自行车的大链轮有88 齿，小链轮有20 齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是（ ）
A．5
11
B．44
5
C．5
22
D．22
5
【答案】B
【详解】由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过88
20 周，小链轮转过的弧度是88
44
2
20
5
.
故选B.
4.列说法正确的是（ ）
A．弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中弧度的圆心角比小圆中弧度的圆心角大
C．所有圆心角为弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
【答案】A
【详解】对于A，根据弧度的定义知，“1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A 正确；对于B，大圆中
1 弧度的圆心角与小圆中1 弧度的圆心角相等，故B 错误；对于C，不在同圆或等圆中，1 弧度的圆心角所
对的弧长是不等的，故C 错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D 错误．
考点：弧度制的概念.
题型八：角度与弧度的互化
1.把下列各角从度化为弧度：
(1)120；
(2) 25
．
【答案】(1) 2π rad
3
(2)17π rad
120
【详解】（1）
π
2π
120
120
rad
rad
180
3
；
（2）
π
17π
25 30
25.5
25.5
rad
rad
180
120
．
2.（多选）下列各角中，与角495终边相同的角为（ ）
A．3π
4
B．
5π
4
C．
9π
4
D．13π
4
【答案】AB
【详解】对于A，495
360
135
，
3π
135
4
，故A 正确；
对于B，与3π
4 终边相同的角为
3
2
4
k
，k Z ，当
1
k 时，
5π
4
，故B 正确；
对于C，令3π
9π
2 π
4
4
k
，解得
3
2
k
Z ，故C 错误；
对于D，令3π
13π
2 π
4
4
k
，解得
5
4
k
Z ，故D 错误．
故选：AB.
3.设r 为圆的半径，弧长为1
2
r
的圆弧所对的圆心角为（ ）
A．90
B．180
C．270
D．360
【答案】A
【详解】由弧长、圆心角、半径的关系：l
r
，
弧长为1 π
2 r 的圆弧所对的圆心角：
1 π
1
2
π
90
2
r
l
r
r
.
故选：A.
4. 5π
12 化为角度是（ ）
A．60
B．75
C．115
D．135
【答案】B
【详解】5π
5
180
75
12
12
.
故选：B
题型九：用弧度表示角或范围
1.将－1485°化成
2
0
2 ,
k
k
Z 的形式是（ ）
A．π
8π
4
B．7
8
4
C．
10
4
D．7
10
4
【答案】D
【详解】因为1485
5 360
315
，360
2 rad
，
7
315
rad
4
，所以－1485°可化成7
10
4
．
故选：D．
2.写出一个与角1280
终边相同的正角：
（用弧度数表示）.
【答案】8π
9 （答案不唯一，符合8π
2 π
9
k
，k N 即可）
【详解】与角1280
终边相同的角：
1280
360
,
Z,
k k
又题目要求正角，
4,
Z,
k
k
可取160，化为弧度数为8π
9 .答案不唯一
故答案为：8π
9 （答案不唯一，符合8π
2 π
9
k
，k N 即可）
3.已知
1520
.
(1)将写成
2 π
,0
2π
k
k
Z
的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求与终边相同的角，满足4π
0
．
【答案】(1)
14 π
10π
9
=
-
，是第四象限角；
(2)
22 π
9
或
4π
9
.
【详解】（1）因为
1520
360
5
280
,
280
14
280
π
π
180
9
，
所以
14 π
10π
9
=
-
.
因为3π
14 π
2π
2
9
，所以是第四象限角.
（2）
14
4
4
π
10π
π
2π
10π
π
8π
9
9
9
=
-
=-
+
-
=-
-
，
所以与终边相同的角可表示为
(
)
4 π
2 π
9
k
k
Z
=-
+
Î
,
令
4
4π
π
2 π
0
9
k
，解得
16
2
9
9
k
k
Z ，
所以
1,0
k
.
当
1
k 时，
4π
22
2π
π
9
9
；
当
0
k
时，
4π
9
.
所以
22 π
9
或
4π
9
.
4.已知角
1200
.
(1)将改写成
2 π
Z,0
2π
k
k
的形式，并指出是第几象限的角；
(2)在区间
2π,2π
上找出与终边相同的角．
【答案】(1)
2π
6π
3
，第二象限角
(2) 2π
3 和
4π
3
【详解】（1）
1200
2π
1200
π
6π
180
3
，
因为2π
3 为第二象限，所以是第二象限角；
（2）与终边相同的角可以写出
2π
2 π,
Z
3
k
k
，
由
2π
2 π
2π,2π
3
k
，
得当
0
k
时，
2π
3
，
当
1
k 时，
4π
3
，
所以在区间
2π,2π
上与终边相同的角为2π
3 和
4π
3
．
题型十：弧长公式
1.若扇形的圆心角为120，半径3
2 .则它的弧长为
.
【答案】π
【详解】因为
2π
120
3
，又扇形的圆心角为120，半径为3
2 ，
所以它的弧长为
2π
3
π
3
2
l
，
故答案为：π
2.已知扇形面积3π
8 ，半径是1，则扇形的周长是（ ）
A．3π
1
16
B．3π
2
8
C．3π
2
4
D．3π
1
2
【答案】C
【详解】设扇形的弧长为l ，由扇形的面积公式可得，
1
2
S
l r
，即3
1
π
1
8
2 l
，所以
3 π
4
l
，
则扇形的周长为
3
2
2
π
4
r
l
.
故选：C
3.若扇形的面积是
2
4cm ，它的周长是10cm ，则扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A．
1
2
B．π
2
C．1
4
D．π
4
【答案】A
【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为
(0
2π)
，由题意，得
2
1
4
2
2
10
r
r
r
，
由2
10
r
r
得，
10
2
r
，代入
2
1
4
2 r
，
得
2
2
17
8
0
，解得
1
2
或
8
（舍去）．
故扇形圆心角的弧度数为
1
2 ．
故选：A
4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为
.
【答案】4 2
【详解】设扇形的半径为r ，由题意可得
2
1
2
2
2
r
，解得
2
r
，
所以扇形的周长为2
2
2
2
4 2
.
故答案为：4 2 .
题型十一：扇形面积公式
1.已知扇形弧长为π
3 ，圆心角为2，则该扇形面积为（ ）
A．
2
π
18
B．
2
π
36
C．π
3
D．1
【答案】B
【详解】设扇形所在圆的半径为r ，
因为扇形弧长为π
3 ，圆心角为2 ，可得
π
2
3
r
，可得
π
6
r
，
由扇形的面积公式，可得
2
1
1
π
π
π
2
2
3
6
36
S
lr
.
故选：B.
2.圆心角为2 的扇形的周长为4，则此扇形的面积为
.
【答案】1
【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，则
2
4
l
r
，又
2
l
r
，所以
1
r ，
2
l ，扇形的面积
1
1
2
S
l r
.
故答案为：1.
3.于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻
中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇
形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分，已知
1m
AD
，弧
π m
3
AB
，弧
2π m
3
CD
，则此扇环形砖雕的面
积为
2
m ．
【答案】π
2
【详解】设圆心角为，则
CD
AB
OD
OA
，
所以
2π
π
3
3
1
OA
OA
，解得
1
OA
m ，所以
2m
OD
，
所以此扇环形砖雕的面积为
1
1
2
2
CD OD
AB OA
2
1
2π
1
π
2
1
2
3
2
3
π
2
m .
故答案为：π
2
4.工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，已知扇面展开的中
心角为2π
3 ，外圆半径为40cm，内圆半径为20cm，那么制作这样一面扇面至少需要用布料为
cm2
【答案】400π
【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：
制作这样一面扇面需要的布料为1
2π
1
2π
40 40
20 20
400π
2
3
2
3
.
故答案为：400π
题型十二：扇形中的最值问题
1.已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．
(1)若
60
，
6
R
，求扇形的弧长l；
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．
【答案】(1) 2π
(2)扇形周长的最小值为16 ，此时
2
【详解】（1）因为
π
60
3
，
6
R
，
所以扇形的弧长
2π
l
R
；
（2）由扇形面积
2
1
1
16
2
2
S
R
lR
，得
32
l
R
，
则扇形周长为
32
32
2
2
2
2
16
l
R
R
R
R
R
，
当且仅当32
2R
R
，即
4
R
时，取等号，
此时，
2
1
4
16
2
，所以
2
，
所以扇形周长的最小值为16 ，此时
2
.
2.已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．3
2
D．2
【答案】D
【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，由已知得2
8
r
l
+ =
，
扇形面积为
2
4
1
1 8
2
4
4
2
2
4
r
r
S
lr
r r
r r
，
当且仅当4
r
r
，即
2
r
时等号成立，此时
4
l =
，则圆心角
2
l
r
=
=
，
故选：D.
3.已知扇形的圆心角是
0
，半径为R .
（1）若
60
，
10cm
R
求扇形的弧长l .
（2）若扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）
10
cm
3
；（2）
2
，扇形的面积取得最大值25.
【详解】解：（1）
60
rad
3
，
10
10
cm
3
3
l
R
.
（2）由已知得，
2
20
l
R
，所以
2
2
1
1 20
2
10
5
25
2
2
S
lR
R R
R
R
R
，
所以当
5
R
时，S 取得最大值25，此时
10
l
，
2
.
4.已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为.r
(1)若
60
，
3
r ，求扇形的弧长;
(2)若扇形的周长为16 ，当为多少弧度时，该扇形面积最大? 并求出最大面积．
【答案】(1)
(2)当
2
时，扇形的面积最大，最大面积是16 ．
【详解】（1）设扇形的弧长为l ．
60
，即
3
，
3
r
3
3
l
r
.
（2）由题设条件知，
2
16,
16
2
0
8
l
r
l
r
r
,
因此扇形的面积
2
2
1
1 16
2
8
4
16
2
2
S
lr
r r
r
r
r
当
4
r
时，S 有最大值16 ，此时
16
2
8,
2
l
l
r
r
,
当
2
时，扇形的面积最大，最大面积是16 ．
5.已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．
(1)若
150 ,
10
r
，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．
【答案】(1) 25 π
3
(2)
max
2,
36
S
【详解】（1）设扇形的弧长为l．
因为
150
，即
5π ,
10
6
r
，
所以
5π
25
10
π
6
3
l
r
．
（2）由题设条件，知
2
24
l
r
，则
24
2 (0
12)
l
r
r
，
所以扇形的面积
2
2
1
1 24
2
12
6
36
2
2
S
lr
r r
r
r
r
．
当
6
r
时，S 有最大值36，
此时
24
2
12,
2
l
l
r
r
，
所以当
2
时，扇形的面积最大，最大面积是36．
6.知一扇形的圆心角为
(
0)
，所在圆的半径为R.
（1）若
60
，
10
R
cm
，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?
【答案】（1）10
3 cm
，
2
50
25 3
3
cm
；（2）
2rad
.
【详解】（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则
60
3
，
10
R
，
10
10
3
3
l
cm
，
2
2
1
10
3
50
10
10
25 3
2
3
4
3
S
cm
.
（2）设扇形弧长为l，则
2
20
l
R
，即
10
20
2
10
1
l
R
R
，
∴扇形面积
2
2
1
1 (20
2 )
10
(
5)
25
2
2
S
IR
R
R
R
R
R
，
∴当
5
R
cm
时，S 有最大值
2
25cm ，此时
10
l
cm
，
2rad
l
R
.
因此当
2rad
时，这个扇形面积最大.
模块三：综合巩固
1.若角α＝30°，把角α 逆时针旋转20°得到角β，则β＝
.
【答案】50°
【详解】因为由逆时针旋转得到，所以
30
20
50
.
故答案为：50
2.下列各角中，与43角终边重合的是（ ）
A．137
B．143
C．317
D．343
【答案】C
【详解】与43角终边重合的角为：
43
360
k
k
Z
，则当
1
k 时，
317
，故C 正确.
经检验，其他选项都不正确.
故选：C.
3.下列各角中，与43∘角终边重合的是（ ）
A．137∘
B．143∘
C．−317∘
D．−343∘
【解题思路】根据角的终边相同的集合判断选择即可.
【解答过程】与43∘角终边重合的角为：𝛼= 43∘+𝑘⋅360∘(𝑘∈Z)，则当𝑘= −1时，𝛼= −317∘，故C 正确.
经检验，其他选项都不正确.
故选：C.
4.下列各组中，终边相同的是（ ）
A．(2𝑘+ 1)𝜋与
4𝑘+ 1
2
𝜋(𝑘∈𝑍)
B．𝑘𝜋+
𝜋
3与𝑘𝜋−
𝜋
3(𝑘∈𝑍)
C．𝑘𝜋+
𝜋
2与𝑘𝜋−
𝜋
2(𝑘∈𝑍)
D．2𝑘𝜋+
2𝜋
3 与2𝑘𝜋−
2𝜋
3 (𝑘∈𝑍)
【解题思路】分别求出各选项在[0,2π)范围内终边相同的角，比较即可.
【解答过程】对A，(2𝑘+ 1)𝜋= 2𝑘π + π与π终边相同，
4𝑘+ 1
2
𝜋= 2𝑘π +
π
2与
π
2终边相同，A 错；
对B，𝑘𝜋+
𝜋
3与
π
3、
4π
3 终边相同，𝑘𝜋−
𝜋
3 = (𝑘−1)𝜋+
2𝜋
3 与
2π
3 、
5π
3 终边相同，B 错；
对C，𝑘𝜋+
𝜋
2与
π
2、
3π
2 终边相同，𝑘𝜋−
𝜋
2 = (𝑘−1)𝜋+
𝜋
2与
π
2、
3π
2 终边相同，C 对；
对D，2𝑘𝜋+
2𝜋
3 与
2π
3 终边相同，2(𝑘−1)𝜋+
4𝜋
3 = 与
4π
3 终边相同，D 错.
故选：C.
5.已知角的顶点与原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，855°是第几象限角（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【解题思路】利用终边相同的角之间的关系将855°转化为135°，进而判断即可.
【解答过程】因为855° = 2 × 360° + 135°，
所以855°是第二象限角.
故选：B.
6.若角的终边在函数y
x
的图象上，试写出角的集合为
．
【答案】{
|
180
135 ,
}
k
k
Z
【详解】解：函数y
x
的图象是第二、四象限的平分线，在0～360范围内，以第二象限射线为终边的
角为135，以第四象限射线为终边的角为315，
∴的集合为{ |
360
135
k
或
360
315 ,
}
k
k
Z
{ |
180
135 ,
}
k
k
Z
．
故答案为：{ |
180
135 ,
}
k
k
Z
．
7.用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说
明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）
【答案】图1
3π
π
2 π
2 π
,
Z
4
3
k
k
k
；图2
π
π
π
π
,
Z
6
2
k
k
k
【详解】（1）225角的终边可以看作是135
角的终边，化为弧度，即
3π
4
，60角的终边即π
3 的终边，
所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
3π
π
2 π
2 π
,
Z
4
3
k
k
k
．
（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
π
π
π
π
2 π
2 π
,
Z
2 π
π
2 π
π
,
Z
6
2
6
2
k
k
k
k
k
k
π
π
π
π
,
Z
6
2
k
k
k
．
8.已知是第一象限角，那么（ ）
A．2
是第一、二象限角
B．2
是第一、三象限角
C．2
是第三、四象限角
D．2
是第二、四象限角
【答案】B
【详解】因为是第一象限角，
所以
360
90
360
k
k
，
Z
k
，
所以
180
45
180
2
k
k
，
Z
k
，
当k 为偶数时，2
是第一象限角，
当k 为奇数时，2
是第三象限角，
综上所述，2
第一、三象限角.
故选：B.
9.若角是第二象限角，试确定角2，3
是第几象限角．
【答案】2可能是第三象限角、第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角；3
可能是第一象限角、第二
象限角或第四象限角
【详解】因为是第二象限角，所以90
360
180
360 (
Z)
k
k
k
，
可得180
2
360
2
360
2
360 ,
Z
k
k
k
，
所以2可能是第三象限角、第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．
又由
120
30
120
60 ,
Z
3
k
k
k
，
当
3 ,
Z
k
n k
时，
360
30
360
60 ,
Z
3
n
n
k
，此时3
是第一象限角；
当
3
1,
Z
k
n
k
时，
360
150
360
180 ,
Z
3
n
n
k
，此时3
是第二象限角；
当
3
2,
Z
k
n
k
时，
360
270
360
300 ,
Z
3
n
n
k
，此时3
是第四象限角．
综上所述，3
可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．
10.将−315∘化为弧度制，正确的是（ ）
A．−
5π
3
B．−
5π
4
C．−
7π
4
D．
π
4
【解题思路】利用角度与弧度的换算关系可得结果.
【解答过程】−315∘= −315 ×
π
180 = −
7π
4 .
故选：C.
11.将－1485°化成𝛼+ 2𝑘𝜋(0 ≤𝛼< 2𝜋,𝑘∈𝑍)的形式是（ ）
A．
π
4−8π
B．
7
4𝜋−8𝜋
C．
𝜋
4−10𝜋
D．
7
4𝜋−10𝜋
【解题思路】由360° = 2𝜋rad或180° = 𝜋rad转换．
【解答过程】因为−1485° = −5 × 360° + 315°，360° = 2𝜋rad，315° =
7
4𝜋rad，
所以－1485°可化成
7
4𝜋−10𝜋．
故选：D．
12.下列结论错误的是（ ）
A．－150°化成弧度是−
7𝜋
6 rad
B．−
10𝜋
3 rad化成度是－600°
C．67°30′化成弧度是
3𝜋
8 rad
D．
𝜋
12rad化成度是15°
【解题思路】利用弧度和度的互化公式对选项进行逐一验证即可得出答案.
【解答过程】对于A，−150° = −150 ×
𝜋
180 = −
5𝜋
6 ，A 错误；
对于B，−
10𝜋
3 = −10𝜋
3
×
180°
𝜋= −600°，B 正确；
对于C，67°30′ = 67.5 ×
𝜋
180 =
3𝜋
8 ，C 正确；
对于D，
𝜋
12 =
𝜋
12 ×
180°
𝜋= 15°，D 正确．
故选：A.
13.玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是
一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为（ ）
A．
2
2700cm
B．
2
3500cm
C．
2
4300cm
D．
2
4800cm
【答案】A
【详解】如图，设
AOB
，OB
r
，
由弧长公式可得
60
120
(
30)
r
r
，
解得
2
，
30
r
，
设扇形COD ，扇形AOB 的面积分别为
1S ，
2
S ，
则该壁画的扇面面积约为
2
1
2
1
1
120
(30
30)
60
30
2700(cm )
2
2
S
S
．
故选：A
故答案为：π .
14.如图，半径为1 的圆M 与直线l 相切于点A，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M 时，圆M 与
直线l 相切于点B，点A 运动到点A，线段AB 的长度为3π
2 ，则点M 到直线BA的距离为 ．
【答案】
2
2
/ 1
2
2
【详解】根据条件可知圆周长为2π，
∵
3π
3
2π
2
4
AB
，故可得圆旋转了3
4 圆周，A位置如图：
则
90
A M B
，则A M B
是等腰直角三角形，
则M 到BA的距离
2
2
2
2
d
r
，
故答案为：
2
2
．
15.写出终边在下图所示的直线上的角的集合．
【答案】（1）
45
180 ,
n
n
Z
∣
；（2）
45
90 ,
n
n
Z
∣
【详解】（1）由题图易知，在0
360
范围内，终边在直线y
x
上的角有两个，即135和315，
因此，终边在直线y
x
上的角的集合为
135
360 ,
315
360 ,
S
k
k
k
k
Z
Z
∣
∣
45
(2
1) 180 ,
45
2(
1) 180 ,
k
k
k
k
Z
Z
∣
∣
45
180 ,
n
n
Z
∣
；
（2）同理可得终边在直线y
x
上的角的集合为
|
45
180 ,
|
45
2
90 ,
k
k
k
k
Z
Z ，
终边在直线y
x
上的角的集合为
45
180 ,
S
n
n
Z
∣
|
45
2
90 ,
k
k
Z
|
45
(2
1) 90 ,
k
k
Z ，
所以终边在直线y
x
上和在直线y
x
上的角的集合为
|
45
2
90 ,
|
45
(2
1) 90 ,
S
k
k
k
k
Z
Z
|
45
90 ,
n
n
Z .
16.已知一扇形的圆心角为
0
，周长为C ，面积为S ，弧长为l ,所在圆的半径为r ．
(1)若
30
，
8
r ，求扇形的弧长；
(2)若
16
C
，
16
S
，求扇形的半径和圆心角．
【答案】(1) 4π
3
(2)扇形半径为4，圆心角为360
π
【详解】（1）由已知得
π
4π
8 30 180
3
l
；
（2）由已知得
2
16
1
16
2
C
r
l
S
lr
，解得
4
8
r
l
180
8
180
360
π
4
π
π
l
r
，
即扇形的半径为4，圆心角为360
π
.
