5.5 正弦函数、余弦函数的图象与性质
模块一：基础知识 .........................................................................3
考点一：正弦函数的图象 ..............................................................3
考点二：正弦函数图象的画法 ........................................................3
考点三：余弦函数的图象 ..............................................................3
考点四：余弦函数图象的画法 ........................................................3
考点五：正弦函数、余弦函数的图象和性质 .......................................4
考点六：函数的周期性 .................................................................4
考点七：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 .................................5
考点八：正弦、余弦型函数的常用周期 .............................................5
模块二：题型分类 .........................................................................5
题型一：用“五点法”作三角函数的图象 ..........................................5
题型二：利用图象解三角不等式 .....................................................9
题型三：利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 .........................11
题型四：三角函数的周期问题及简单应用 ........................................15
题型五：三角函数的奇偶性及其应用 ..............................................17
题型六：函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题 ................18
题型七：求三角函数的单调区间 ....................................................21
题型八：利用单调性比较三角函数值的大小 .....................................23
题型九：已知三角函数的单调情况求参数问题 ..................................25
题型十：三角函数的对称性 .........................................................28
题型十一：利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值 ...........30
题型十二：换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型） ..........33
题型十三：分式型求值域或最大(小)值 ...........................................34
模块三：综合巩固 .......................................................................36
5.5 正弦函数、余弦函数的图象与性质
模块一：基础知识
考点一：正弦函数的图象
正弦函数
sin
y
x
, x
R
的图象叫做正弦曲线.
考点二：正弦函数图象的画法
(1)几何法:
①在单位圆上,将点A 绕着点O 旋转
0x 弧度至点B ,根据正弦函数的定义,点B 的纵坐标
0
0
sin
y
x
.由此,以
0x 为横坐标,
0y 为纵坐标画点,即得到函数图象上的点
0
0
(
,sin
)
T x
x
.
②将函数
sin
y
x
,
[0,2 ]
x
的图象不断向左、向右平行移动(每次移动2个单位长度).
(2)“五点法”:
在函数
sin
y
x
,
[0,2 ]
x
的图象上,以下五个点:
(0,0) ，(
,1)
2
，( ,0)
，3
(
, 1)
2
，(2 ,0)
在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数
sin
y
x
,
[0,2 ]
x
的图象形状就基本确定了.因此,在
精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.
考点三：余弦函数的图象
余弦函数
cos
y
x
, x
R
的图象叫做余弦曲线.
考点四：余弦函数图象的画法
(1)要得到
cos
y
x
, x
R
的图象,只需把
sin
y
x
, x
R
的图象向左平移2
个单位长度即可,这是因为
cos
sin(
)
2
x
x
.
(2)用“五点法”:画余弦函数
cos
y
x
在
[0,2 ]
x
上的图象时,所取的五个关键点分别为(0,1) ，(
,0)
2
，
( , 1)
，3
(
,0)
2
，(2 ,1)
再用光滑的曲线连接起来.
考点五：正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数
( )
sin
f x
x
( )
cos
g x
x
图象
定义域
定义域
R
R
值域
[ 1,1]
[ 1,1]
周期性
2
T
2
T
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在每一个闭区间[2
,2
]
2
2
k
k
(k
Z
)上
都单调递增;在每一个闭区间
3
[2
,2
]
2
2
k
k
(k
Z
上都单调递减
在每一个闭区间[2
,2
]
k
k
(k
Z
)上都单调递增;在每一个闭区
间[2
,2
]
k
k
(k
Z
)上都单调递
减
最值
当
2
2
x
k
(k
Z
)时，
max
1
y
;
当
2
2
x
k
(k
Z
)时，
min
1
y
;
当
2
x
k
(k
Z
)时，
max
1
y
;
当
2
x
k
(k
Z
)时，
min
1
y
;
图象的对称
性
对称中心为(
,0)
k
(k
Z
),
对称轴为直线
2
x
k
(k
Z
)
对称中心为(
,0)
2
k
(k
Z
),
对称轴为直线x
k
(k
Z
)
考点六：函数的周期性
1.周期函数的定义
一般地,设函数
( )
f x 的定义域为D ,如果存在一个非零常数T ,使得对每一个x
D
,都有x
T
D
,且
(
)
( )
f x
T
f x
,那么函数
( )
f x 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
2.最小正周期的定义
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做
( )
f x 的最小正周期.
考点七：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
奇偶性
( )
sin
f x
x
奇函数
( )
cos
f x
x
偶函数
( )
sin(
)
f x
A
x
当
x
k
时，
( )
sin(
)
f x
A
x
为奇函数；
当
2
x
k
时，
( )
sin(
)
f x
A
x
为偶函数；
( )
cos(
)
f x
A
x
当
2
x
k
时，
( )
cos(
)
f x
A
x
为奇函数；
当
x
k
时，
( )
cos(
)
f x
A
x
为偶函数；
考点八：正弦、余弦型函数的常用周期
函数
最小正周期
( )
sin(
)
f x
A
x
b
或( )
cos(
)
g x
A
x
b
（b
R
）
2
|
|
T
( ) |
sin(
) |
f x
A
x
或( ) |
cos(
) |
g x
A
x
|
|
T
( ) |
sin(
)
|
f x
A
x
b
或( ) |
cos(
)
|
g x
A
x
b
（
0
b
）
2
|
|
T
( )
sin |
|
f x
x
无周期
( )
cos |
|
g x
x
2
T
模块二：题型分类
题型一：用“五点法”作三角函数的图象
1.用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数
π
2sin 2
6
f x
x
在
0,π 上的大致图像.
【答案】答案见解析
【详解】列表：
x
0
π
6
5π
12
2π
3
11π
12
π
π
2
6
x
π
6
π
2
π
3π
2
2π
13π
6
y
1
2
0
2
0
1
描点，连线，画出
f x 在
0,π 上的大致图像如图：
2.（1）作出函数
2sin (0
2π)
y
x
x
的简图；
（2）作出函数
1 cos (0
2π)
y
x
x
的简图．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【详解】（1）列表：
x
0
π
2
π
3π
2
2π
sin x
0
1
0
1
0
2sin x
0
2
0
2
0
描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数
2sin (0
2π)
y
x
x
的图象，如图所示：
（2）列表：
x
0
π
2
π
3π
2
2π
cos x
0
1
1
0
1
1 cos x
0
1
2
1
0
描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数
1 cos (0
2π)
y
x
x
的图象，如图所示：
3.用五点法画出函数
1
2sin 2
3
π
y
x
一个周期的图象.
【答案】答案见解析
【详解】令
1
π
2
3
z
x
，则
2
3
π
x
z
.
列表：
z
0
π
2
π
3π
2
2π
x
2π
3
π
3
4π
3
7π
3
10π
3
y
0
2
0
2
0
函数
1
2sin 2
3
π
y
x
在一个周期内的图象如下图所示：
4.已知函数
π
2sin 2
4
f x
x
，xR ．在用“五点法”作函数
f x 的图象时，列表如下：
π
2
4
x
x
f x
完成上述表格，并在坐标系中画出函数
y
f x
在区间
0,π 上的图象；
【答案】填表见解析；作图见解析
【详解】由题意列出以下表格：
π
2
4
x
π
4
0
π
2
π
3π
2
7π
4
x
0
π
8
3π
8
5π
8
7π
8
π
f x
2
0
2
0
2
2
函数图象如图所示：
题型二：利用图象解三角不等式
1.不等式
2
sin
,
(0,2 )
2
x
x
的解集为（ ）
A．
,
6 2
B．
3
,
4
4
C．
4
2
3
,
D．
,
6 4
【答案】B
【详解】解：
2
sin
,
(0,2 )
2
x
x
sin
y
x
函数图象如下所示：
3
4
4
x
，
不等式的解集为：
3
,
4
4
．
故选：B ．
2.不等式
π
1
sin 2
3
2
x
的解集为
．
【答案】
π
π
|
π
π,
Z
12
4
x
k
x
k
k
【详解】画出
[0,2 ]
x
Î
时，
sin
y
x
的图象．
令
1
sin
2
，
0,2π
，解得
π
6
或
5π
6
又
sin
y
x
的周期为2π，所以
1
sin
2
的解集为
π
5π
|
2 π
2 π,
Z
6
6
k
k
k
．
用
π
2
3
x
代替解出x ．可得
π
π
π
π,
Z
12
4
k
x
k
k
则
π
1
sin 2
3
2
x
的解集为
π
π
|
π
π,
Z
12
4
x
k
x
k
k
.
故答案为：
π
π
|
π
π,
Z
12
4
x
k
x
k
k
.
3.不等式
1
si n
,
2
x
[0,2 ]
x
Î
的解集是（ ）
A．7
11
,
6
6
（
）
B．4
5
,
3
3
C．5
7
,
6
6
（
）
D．2
5
,
3
3
（
）
【答案】A
【详解】
如图所示，不等式
1
sin
2
x
，
0,2
x
的解集为7
11
,
6
6
故选：A
4.在(0，2π)内使sin x>|cos x|的x 的取值范围是（ ）
A．
π 3π
,
4
4
B．π π
5π 3π
,
,
4 2
4
2
C．π π
,
4 2
D．5π 7π
,
4
2
【答案】A
【详解】因为sinx>|cosx|且x∈(0，2π)，
所以sinx>0，
所以x∈(0，π)，
在同一平面直角坐标系中画出y=sinx，x∈(0，π)与y=|cosx|，x∈(0，π)的图象，
观察图象易得x∈
π 3π
4
4
，
．
故选：A.
题型三：利用图象求方程的解或函数零点的个数问题
1.函数
sin
10
x
f x
x
的零点个数为
．
【答案】7
【详解】依题意求函数
sin
10
x
f x
x
的零点个数，可以转化为求函数
sin
y
x
与
10
x
y
的交点个数，
sin
1,1
y
x
，
如图，对于函数
10
x
y
，当
0
x
时，
0
y
；当
10
x
时，
10
1
10
y
；当
10
x
时，
1
y ；当
8
x
时，
4
1
5
y
；
所以在x 轴非负半轴上两个函数图像有4 个交点，
当
10
x
时，
10
1
10
y
；当
8
x 时，
4
1
5
y
；所以在x 轴负半轴上两个函数图像有3 个交点，
综上，函数
sin
10
x
f x
x
的零点个数为7.
故答案为：7.
2.函数
3sin
f x
x
x
的零点个数为
.
【答案】3
【详解】由
0
sin
3
x
f x
x
，则函数
f x 零点个数为
3
si n ,
x
y
x y
图象交点个数，在同一坐标
系中画出两函数图象如下，则交点有3 个，即
f x 有3 个零点.
故答案为：3
3.已知函数
π
( )
5cos(
)(
0)
6
f x
x
在
2 2
,
上恰有2 个零点，则的取值范围为
．
【答案】π 2π
[
,
)
3
3
【详解】由
2,2
x
且
0
，得
π
π
π
[ 2
,2
]
6
6
6
x
，
若
f x 在
2,0
上无零点，则
f x 在
0,2 上恰有2 个零点，则
3π
π
5π
2
2
6
2
π
π
π
2
2
6
6
，无解；
若
f x 在
2,0
上恰有1 个零点，则
f x 在
0,2 上恰有1 个零点，则
π
π
3π
2
2
6
2
3π
π
π
2
2
6
2
，解得
π
2π
3
3
；
若
f x 在
2,0
上恰有2 个零点，则
f x 在
0,2 上无零点，则
π
π
π
2
6
6
2
5π
π
3π
2
2
6
2
，无解，
所以的取值范围为π 2π
[
,
)
3
3
.
故答案为：π 2π
[
,
)
3
3
4.已知函数
π
( )
cos 2
0
3
f x
x
在区间(0,2π) 上有且仅有10 个零点，则ω 的取值范围是
.
【答案】55 61
,
24 24
【详解】由
(0,2π)
x
，则
π
π
π
2
,4π
3
3
3
x
，
因为函数
π
( )
cos 2
0
3
f x
x
在区间(0,2π) 上有且仅有10 个零点，
所以由余弦函数的性质可知：19π
π
21π
4 π
,
2
3
2
解得
55 61
,
24 24
，
故答案为：55 61
,
24 24
.
5.方程
1
sin π
4
x
x
的解的个数是
．
【答案】7
【详解】由正弦函数值域可得
sin π
1,1
x
，
又因为当
4
x
时，
1
1
4
y
x
；
所以，分别画出
sin π
y
x
和
1
4
y
x
在
4,4
x
上的图象如下图所示：
根据图像并根据其对称性可知，在
4,4
x
上两函数图象共有7 个交点；
由函数与方程可知，方程
1
sin π
4
x
x
有7 个解.
故答案为：7
6.已知函数
π
( )
4cos 2
3
6
f x
x
，则
( )
f x 在
π 5π
,
12
6
上的零点个数为
．
【答案】2
【详解】令
π
( )
4cos 2
3
0
6
f x
x
，可得
π
3
cos 2
6
4
x
，
原题意等价于求
π
cos 2
6
y
x
与
3
4
y
在
π 5π
,
12
6
上的交点个数，
∵
π 5π
,
12
6
x
，则
π
11π
2
0,
6
6
x
，
且
3
11π
3
3
cos0
1
,cos
4
6
2
4
，
有余弦函数可知
cos
y
x
与
3
4
y
在
11π
0, 6
上有2 个交点
所以
π
cos 2
6
y
x
与
3
4
y
在
π 5π
,
12
6
上有2 个交点.
故答案为：2.
7.已知函数
π
sin
(
0)
6
f x
x
），若方程
2
[
]
1
f x
在
0,3π 上恰有5 个实数解，则实数的取
值范围为 ．
【答案】13 16
,
9
9
【详解】当0
3π
x
时，π
π
π
3 π
6
6
6
x
，
因为函数
π
sin
6
f x
x
在区间(0,3π) 上恰好有5 个x，使得
1
f x ，
故
( )
f x 在(0,3π) 上恰有5 条对称轴．令
π
π
π
3 π
6
6
6
x
t
t
，
则
sin
y
t
在π
π
,3
6
6
上恰有5 条对称轴，如图：
所以9π
π
11π
3 π
2
6
2
，解得
13 16
,
9
9
．
故答案为：13 16
,
9
9
.
8.已知函数
2
sin π ,
0,2
( )
log (
2) ,
(2,
)
x x
f x
x
x
，若存在实数k 满足
f a
f b
( ,
,
f c
f d
k a b c d
,
互不
相等) ，则
a
b
c
d 的取值范围是
.
【答案】
15
(7,
)
6
2
【详解】函数
2
sin π ,
0,2
( )
log (
2) ,
(2,
)
x x
f x
x
x
的图象如下图所示：
存在实数
0,1)
k
满足
f a
f b
( ,
,
f c
f d
k a b c d
,
互不相等) ，不妨设a
b
c
d
，则由图可知
,a b 关于
1
2
x
对称，所以
1
a
b
；
当
0
k
时，
2
c
，
3
d
，则
5
c
d
，此时
6
a
b
c
d
；
当0
1
k
时，因为
2
log (
2)
1
x
解得
5
2
x
或
4
x
，故而5
3
2
c
，3
4
d
，且由图可得
2
2
log (
2)
log (
2)
c
d
，即
1
2
2
d
c
，可得
1
2
2
d
c
，
所以
1
2
2
c
d
c
c
1
2
4
2
c
c
设
2
t
c
，则
1 ,1
2
t
，
1
4
c
d
t
t
在
1 ,1
2
t
上单调递减，所以
13
(6,
)
2
c
d
，所以
15
(7,
)
2
a
b
c
d
，综上所述
15
(7,
)
6
2
a
b
c
d
；
故答案为：
15
(7,
)
6
2
a
b
c
d
.
题型四：三角函数的周期问题及简单应用
1.下列函数，最小正周期为2π的是（ ）
A．
sin 2
x
y
B．
sin2
y
x
C．
sin 2
x
y
D．
sin2
y
x
【答案】C
【详解】函数
sin 2
x
y
的最小正周期为
2π
4π
1
2
T
，故A 不符合；
函数
sin2
y
x
，其最小正周期为
2π
π
2
T
，故B 不符合；
因为函数
sin 2
x
y
的最小正周期为
4π
T
，所以函数
sin 2
x
y
的最小正周期为2π，故C 符合；
因为函数
sin2
y
x
的最小正周期为
2π
π
2
T
，所以函数
sin2
y
x
的最小正周期为π
2 ，故D 不符合.
故选：C.
2.（多选）下列函数中是奇函数，且最小正周期是π 的函数是（ ）
A．
sin2
y
x
B．
sin
y
x
C．
3π
cos 2
2
y
x
D．
π
sin 2
2
y
x
【答案】AC
【详解】对于A，函数
=sin2
y
f x
x
满足
=sin
2
sin 2
y
f
x
x
x
f x
，
且
2sin
y
f x
x
的定义域为R 关于原点对称，即
2sin
y
f x
x
是奇函数，
且注意到其周期为
2π
2π
π
2
T
，故A 正确；
对于B：函数
sin
y
f x
x
满足
sin
sin
y
f
x
x
x
f x
，
且
sin
y
f x
x
的定义域为R 关于原点对称，
所以
sin
y
f x
x
是偶函数，不是奇函数，故B 错误；
对于C：
3π
π
cos 2
cos 2
sin2
2
2
y
x
x
x
，
由A 选项分析易知
=
sin2
y
f x
x
是奇函数，
同时也是最小正周期是π 的周期函数，故C 正确；
对于D：函数
π
=sin 2
cos2
2
y
f x
x
x
满足
=cos
2
cos 2
f
x
x
x
f x
，
且
=cos2
y
f x
x
的定义域为R 关于原点对称，
所以
=cos2
y
f x
x
是偶函数，不是奇函数，故D 错误．
故选：AC．
3.求下列函数的最小正周期．
(1)
π
sin 3
3
y
x
；
(2)
π
cos 2
6
y
x
.
【答案】(1) 2π
3
(2) π
2 .
【详解】（1）因为
2π
π
π
π
sin 3
sin
3
2π
sin 3
3
3
3
3
x
x
x
，
所以自变量x 至少要增加到
2π
3
x
，函数
π
sin 3
3
y
x
，xR 的值才能重复出现，
所以函数
π
sin 3
3
y
x
的最小正周期是2π
3 .
（2）因为
π
cos 2
6
y
x
的最小正周期为π，且函数
π
cos 2
6
y
x
的图象是将函数
π
cos 2
6
y
x
的图
象在x 轴下方的部分对折到x 轴上方，
并且保留在x 轴上方图象而得到的．
由此可知所求函数的最小正周期为
π
2
T
.
4.下列函数中，最小正周期为π 的函数是（ ）
A．
sin
y
x
B．
cos
y
x
C．
cos
y
x
D．
sin
y
x
【答案】B
【详解】对于A，函数
sin
y
x
的最小正周期为2π，故A 不符合题意；
对于B，作出函数
cos
y
x
的图象，
由图可知，函数
cos
y
x
的最小正周期为π ，故B 符合题意；
对于C，函数
cos
y
x
的最小正周期为2π，故C 不符合题意；
对于D，函数
sin ,
0
sin
sin ,
0
x x
y
x
x x
，其图象如图，
由图可知，函数
sin
y
x
不是周期函数，故D 不符合题意.
故选：B.
题型五：三角函数的奇偶性及其应用
1.（多选）已知函数
sin
0
f x
x
为偶函数，则的取值可以为（ ）
A．π
2
B．π
C．
3π
2
D．2023π
2
【答案】ACD
【详解】
sin
0
f x
x
为偶函数，因此
( )
cos
f x
x
或
( )
cos
f x
x
．所以
π
π,
Z
2
k
k
，
故A,C,D 正确，
故选：ACD.
2.已知函数
2
π
cos 2
3
f x
x
x
，
0,π
是奇函数，则的值为
．
【答案】5
6
/ 5
6
【详解】∵
2
y
x
为偶函数，所以
π
cos 2
3
g x
x
，
0,π
为奇函数，
∴
π
π
5π
π,
π
3
2
6
k
k
，k Z ，
∵
0,π
，∴
5π
6
．
故答案为：5π
6
3.已知函数
cos
f x
x
，则
2
是
f x 为奇函数的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
2
时，可得
π
cos
sin
2
f x
x
x
，定义域为R，
此时
sin
sin
f
x
x
x
f x
，
故
f x 为奇函数，故充分性成立，
而当
f x 为奇函数时，得
π
π
,
Z
2
k
k
，故不一定为2
，故必要性不成立，
2
是
f x 为奇函数的充分不必要条件.
故选：B
4.若函数
π
sin
e
e
6
x
x
f x
x
m
为偶函数，则m 的最小正值为
.
【答案】2
3
/ 2
3
【详解】函数
f x 的定义域为R ，
π
sin
e
e
6
x
x
f x
x
m
为偶函数，
则
f
x
f x
，即sin
e
e
sin
e
e
6
π
π
6
x
x
x
x
x
m
x
m
，
则
s
π
sin
6
π
in
6
x
m
x
m
，即
π
sin
6
y
x
m
是偶函数，
可知
π
π
π
6
2
m
k
，k Z ，即
3
π
2π
m
k
，k Z ，故m 取最小正值为2π
3 .
故答案为：2π
3 .
5.使函数
3sin 2
cos 2
f x
x
x
为奇函数，则的一个值可以是（
）
A．π
3
B．π
6
C．
π
3
D．
π
6
【答案】D
【详解】由函数
π
3sin 2
cos 2
2sin(2
)
6
f x
x
x
x
，
因为
f x 为奇函数，可得
π
π,
Z
6
k
k
，所以
π
π
,
Z
6
k
k
，
令
0
k
，可得
π
6
－
.
故选：D.
题型六：函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题
1.写出一个同时满足下列三个条件的函数
f x 的解析式
.
①
1
1
f
x
f
x
；②
3
3
2
2
f
x
f
x
；③
f x 在
0,1 上单调递增.
【答案】
cos π
f x
x
（答案不唯一，满足条件即可）
【详解】解：由①
1
1
f
x
f
x
可知，函数
f x 图像关于直线
1
x 对称；
由②
3
3
2
2
f
x
f
x
可知函数
f x 图像关于点3 ,0
2
对称；
所以，
2
1
1
f
x
f
x
f
x
，即
1
f
x
f
x
，
所以
2
1
f
x
f x
f x
，即函数
f x 的周期为2 ，
故考虑余弦型函数，不妨令
cos
f x
A
x
，
所以，
2π
π
T
，即
cos π
f x
A
x
，满足性质①②，
由③
f x 在
0,1 上单调递增可得
0
A，
故不妨取
1
A ，即
cos π
f x
x
，此时满足已知三个条件.
故答案为：
cos π
f x
x
2.已知
*
sin
,0
π
f x
x
N
是R 上的奇函数，且
f x 在区间
π
π
,
22 11
上是单调函数，则
的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【详解】函数
*
sin
,0
π
f x
x
N
是R 上的奇函数，
则sin
0
，所以
π
k
，
Z
k
，又0
π
，所以
π
，
则
sin
π
sin
f x
x
x
，当
π
π
,
22 11
x
，则
π
π
,
22
11
x
，
又
f x 在区间
π
π
,
22 11
上是单调函数，所以
π
π
2
22
π
π
11
2
，解得
11
2
，又
*
N ，
所以则的最大值为5 .
故选：C.
3.已知
π
cos
0,
2
f x
x
，且
y
f x
的最小正周期为2.若存在
0
m
，使得对于任意xR ，
都有
f x
m
mf
x
，则为（ ）
A．
π
4
B．π
4
C．
π
3
D．π
3
【答案】A
【详解】由已知条件可得
f x 的最小正周期为4，所以
2π
π
4
2
.
由
f x
m
mf
x
,得
cos
cos
x
m
m
x
，
因为存在
0
m
，使得对于任意xR ，都有
f x
m
mf
x
，所以
1
m ，
所以
1
f x
f
x
，得到函数
f x 关于直线
1
2
x
对称，
故
π
π
π
π
4
4
k
k
k
Z ，
又
π
2
，所以
π
4
.
故选:A.
4.已知
sin
0,0
f x
x
是R 上的奇函数，若
f x 的图象关于直线
4
x
对称，且
f x
在区间
,
22 11
内是单调函数，则
6
f
（ ）
A．
3
2
B．
1
2
C．
1
2
D．
3
2
【答案】A
【详解】因为
sin
0,0
f x
x
是R 上的奇函数，则
，
所以，
sin
sin
f x
x
x
，
因为
f x 的图象关于直线
4
x
对称，则
Z
4
2
k
k
，可得
4
2
k
，
当
,
22 11
x
时，
22
11
x
，
因为函数
f x 在区间
,
22 11
内是单调函数，则
11
2
22
2
，解得
11
0
2
，
所以，
0
k
，
2
，故
sin 2
f x
x
，因此，
3
sin
6
3
2
f
.
故选：A.
5.某函数
( )
f x 满足以下三个条件：
①( )
( ) 1
g x
f x
是偶函数；②(2
)
( )
0
g
x
g x
；③
( )
f x 的最大值为4．
请写出一个满足上述条件的函数
( )
f x 的解析式
．
【答案】
π
3cos
1
2
f x
x
（答案不唯一）
【详解】因为( )
( ) 1
g x
f x
是偶函数，所以
( )
f x 的图象关于y 轴对称，
因为(2
)
( )
0
g
x
g x
，所以
(2
) 1
( ) 1
0
f
x
f x
，即
(2
)
( )
2
f
x
f x
所以
( )
f x 的图象关于点(1,1) 对称，所以4 为
( )
f x 的一个周期，
又
( )
f x 的最大值为4，所以
π
3cos
1
2
f x
x
满足条件.
故答案为：
π
3cos
1
2
f x
x
（答案不唯一）
题型七：求三角函数的单调区间
1.用“五点法”作出函数
π
2sin
3
3
y
x
的图象，并指出它的最小正周期、最值及单调区间.
【答案】图象见解析，最小正周期为2π，最大值为5，最小值为1，减区间为
5
11
2 π
π,2 π
π
6
6
k
k
，
k Z ，增区间为
π
5
2 π
,2 π
π
6
6
k
k
，k Z
【详解】①列表如下：
x
π
3
5 π
6
4 π
3
11π
6
7 π
3
3
x
0
π
2
π
3 π
2
2π
y
3
5
3
1
3
②描点.
③连线成图，将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得
π
2sin
3
3
y
x
的图象.如图所示.
函数的最小正周期
2π
T
，最大值为5，最小值为1，
函数的减区间为
5
11
2 π
π,2 π
π
6
6
k
k
，k Z ，增区间为
π
5
2 π
,2 π
π
6
6
k
k
，k Z .
2.已知函数
π
2cos
3
4
f x
x
，
,
2 2
π π
x
，则
f x 的单调递增区间是（ ）
A．
π ,0
2
B．
π
π
,
4 12
C．
π
π
,
2
4
，
5π
,
12 12
π
D．
π
π
,
4 12
，5π π
,
12 2
【答案】D
【详解】
π
2cos
3
4
f x
x
可化为
π
2cos 3
4
f x
x
，故单调增区间：
π
2 π
π
3
2 π
4
k
x
k
，k Z ，
解得2
π
2
π
π
π
3
4
3
12
k
x
k
，k Z .
令
0
k
，
π
π
4
12
x
，令
1
k ，5
3
π
π
12
4
x
.
,
π π
2 2
x
，
所以
f x 的单调递增区间是
π π
5π π
,
,
,
4 12
12 2
.
故选：D
3.函数
2sin 2
,
[
,0]
6
y
x
x
单调减区间为
【答案】
5
,
6
3
【详解】正弦函数
sin
y
u
的单调递减区间为
3
2
,
2
2
2
k
k
k
Z
，
由
3
2
2
2
2
6
2
k
x
k
k
Z
，得
2
6
3
k
x
k
k
Z
，
记
2
,
6
3
A
k
k
k
Z
，则
5
,0
,
6
3
A
，
故答案为：
5
,
6
3
.
4.已知函数
π
sin 2
3
f x
x
，则
f x 在
π
0, 2
上的单调递增区间为（ ）
A．
π
0, 2
B．
5π
0, 12
C．5π π
,
12 2
D．π π
,
3 2
【答案】B
【详解】当
π
0, 2
x
时，
π
π 2π
2
,
3
3
3
x
，
所以当
π
π π
2
,
3
3 2
x
，即
5π
0,12
x
时，函数
f x 单调递增．
故选：B.
题型八：利用单调性比较三角函数值的大小
1.比较下列各组数的大小.
(1)
15π
cos 8 与
14π
cos 9 ；
(2)cos 1 与sin 2.
【答案】(1)
15π
14π
cos
cos
8
9
(2)sin2
cos1
【详解】（1）
15π
π
π
cos
cos 2π
cos
8
8
8
，
14π
4π
4π
cos
cos 2π
cos
9
9
9
，
因为
cos
y
x
在[0,π]上单调递减，且
π
4π
0
π
8
9
，
所以
π
4π
cos
cos
8
9
，所以
15π
14π
cos
cos
8
9
，
（2）因为
π
cos1
sin
1
2
，且
sin
y
x
在π 3π
,
2
2
上递减，π
π
3π
2
1
2
2
2
，
所以
π
sin 2
sin
1
2
，所以sin2
cos1
.
2.不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）sin250与sin 260° ；
（2）
15π
cos 8 与
14π
cos 9 .
【答案】（1）sin 250
sin 260
；（2）
15π
14π
cos
cos
8
9
【详解】解：（1）因为
sin 250
sin 180
70
sin 70
，
sin 260
sin 180
80
sin80
，
由于函数
sin
y
x
在0,90
范围内单调递增，所以sin80
sin 70
，
所以
sin80
sin 70
，所以sin 250
sin 260
（2）因为
15π
cos
cos 2
cos
cos
8
8
8
8
，
14π
4π
4π
4π
cos
cos 2
cos
cos
9
9
9
9
，
由于函数
cos
y
x
在
0,上单调递减，4π
9
8
，
所以
4π
cos
cos
9
8
，即
15π
14π
cos
cos
8
9
3.已知
6π
sin 7
a
，
4π
sin 7
b
，
2π
sin 7
c
，则（ ）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．c
a
b
D．b
c
a
【答案】D
【详解】由诱导公式知：
π
π
sin π
sin
7
7
a
，
3π
3π
sin π
sin
7
7
b
，
sin
y
x
在
π
0, 2
上单调递增，
3π
2π
π
sin
sin
sin
7
7
7
，即b
c
a
.
故选：D.
4.下列各式中正确的是（ ）
A．
3π
π
sin
sin
5
5
B．cos2
cos3
C．
17π
23π
cos
cos
4
5
D．
π
π
sin
sin
18
10
【答案】C
【详解】由于
sin
y
x
在
π
0, 2
上递增，
所以
3π
2π
2π
π
sin
sin π
sin
sin
5
5
5
5
，A 选项错误.
由于
cos
y
x
在π ,π
2
上递减，
所以
2
3
cos
cos
，B 选项错误.
17
17π
π
π
cos
co
π
s
cos 4π
cos
0
4
4
4
4
，
23
23
3π
3π
cos
cos
4π
cos
0
5
π
5
π
5
5
，
所以
17π
23π
cos
cos
4
5
，C 选项正确.
sin
y
x
在
π ,0
2
上递增，
所以
π
π
sin
sin
18
10
，D 选项错误.
故选：C
5.令
π
sin
10
a
，
π
sin
18
b
，判断a 与b 的大小关系是（ ）
A．a
b
B．a
b
C．a
b
D．无法判断
【答案】B
【详解】因为函数
sin
y
x
在
π ,0
2
上单调递增，且
π
π
π
0
2
10
18
，
所以
π
π
sin
sin
10
18
a
b
.
故选：B
6.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)
sin
1
，
sin
1.1
；
(2)
11π
cos 7 ，
12π
cos 7 ．
【答案】(1)
sin
1
sin
1.1
；
(2)
11π
12π
cos
cos
7
7
.
【详解】（1）由于
π
π
1.1
1
2
2
，且
sin
y
x
在区间
π π
[
,
]
2 2
上单调递增，
所以
sin
1
sin
1.1
．
（2）由于
11π
12π
π
2π
7
7
，且
cos
y
x
在区间
π,2π 上单调递增，
所以
11π
12π
cos
cos
7
7
．
题型九：已知三角函数的单调情况求参数问题
1.已知函数
π
( )
cos
(
0)
3
f x
x
在区间π 3
,
π
4 4
上单调递减，则实数的取值范围为
.
【答案】
8
0, 9
【详解】由题意有3
π
π
π
π
4
4
2
2
T
, 可得0
2
,
又由π
π
π
5π
3
4
3
6
，
cos
y
x
在
0,π 上为减函数，故必有3π
π
π
4
3
, 可得
8
0
9
.
故实数的取值范围为
8
0, 9
.
故答案为：
8
0, 9
2.已知函数
π
sin
3
f x
x
在
π
x
时有最大值，且
f x 在区间
π
0,18
上单调递增，则的最大值是
（ ）
A．11
6
B．1
6
C．13
6
D．19
6
【答案】C
【详解】
f x 在
π
x
时取得最大值，即sin
1
π
3
π
，可得
2
π
π
π
π,
3
2
k
k
Z ，
所以
1
2 ,
6
k k
Z，
因为要求的最大值，所以这里可只考虑
0
的情况，
又因为
f x 在
π
0,18
上单调递增，所以
π
π
π
18
3
2
，解得0
3
，
当
1
k 时，
13
6
，所以的最大值为13
6 ，
故选：C.
3.已知函数
π
( )
sin(
)
3
f x
x
，对于
R
x
，
π
f x
f
，且
f x 在区
π
0 18
，
上单调递增，则的最大
值是（ ）
A．11
6
B．1
6
C．13
6
D．19
6
【答案】C
【详解】因为对于
R
x
，
π
f x
f
，可得
f x 在
π
x
时取得最大值，
即
π
sin( π
)
1
3
，可得
π
π
π
2 π,
Z
3
2
k
k
，所以
1
2 ,
Z
6
k k
，
又因为
f x 在
π
0 18
，
上单调递增，所以
0
且
π
π
π
18
3
2
，解得0
3
，
当
1
k 时，
13
6
，所以的最大值为13
6 .
故选：C.
4.已知函数
π
sin
(
0)
3
f x
x
的周期为T ，且满足
2π
T
，若函数
f x 在区间
,
6 4
不单调，则
的取值范围是（ ）
A．3 ,1
4
B．
1 ,1
2
C．2 ,1
3
D．4 ,1
5
【答案】C
【详解】已知
π
sin
(
0)
3
f x
x
，
令
π
π
π
(
)
3
2
x
k
k
Z ，解得
π
π
6 ,(
)
k
x
k
Z
则函数
f x 对称轴方程为
π
π
6 ,(
)
k
x
k
Z
函数
f x 在区间
,
6 4
不单调，
π
π
π
π
6
,(
)
6
4
k
k
Z ，解得
2
4
6
1,
3
k
k
k
Z ，
又由
2π
T
，且
0
，得0
1
，
故仅当
0
k
时，2
1
3
满足题意.
故选：C.
5.若函数
2cos
y
x
在区间
2π
0, 3
单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（ ）
A．1
B．
1
2
C．2
D．1
3
【答案】A
【详解】当
0
时，
2cos
2cos
y
x
x
，
由
2π
0, 3
x
，得
2π
0,
3
x
，
因为函数
2cos
y
x
在区间
2π
0, 3
单调递减，且最小值为负值，
所以π
2π
π
2
3
，解得
3
3
2
4
，
当
0
时，由
2π
0, 3
x
，得
2π
0, 3
x
，
因为函数
2cos
y
x
在区间
2π
0, 3
单调递减，且最小值为负值，
所以π
2π
π
2
3
，解得3
3
4
2
，
综上所述
3
3
3 3
,
,
2
4
4 2
.
故选：A.
6.（多选）已知
0
，函数
π
( )
2sin
6
f x
x
在π 5π
2
6
，
上单调递减，则实数的取值可以是（ ）
A．1
B．4
3
C．5
3
D．2
【答案】AB
【详解】
π 5π ,
0
2
6
x
，
，
π
π
π 5π
π
,
6
2
6
6
6
x
，
由于函数
π
( )
2sin
6
f x
x
在π 5π
2
6
，
上单调递减，
π
π
π
2 π
2
6
2
5π
π
3π
2 π
6
6
2
k
k
，
Z
k
，解得2
8
12
4
3
5
5
k
k
，
Z
k
，
0
k
时，2
8
3
5
，
的值可以是
4
1, 3 ．
故选：AB．
题型十：三角函数的对称性
1.设函数
π
cos
,(
0)
4
f x
x
的最小正周期为π
5 ，则它的一条对称轴方程为（
）
A．
π
8
x
B．
π
8
x
C．
π
12
x
D．
π
12
x
【答案】A
【详解】因为的
( )
f x 最小正周期为π
5 ，
所以
2π
10
T
，
所以
π
cos 10
4
f x
x
，
令10
4
π
x
kπ
，
Z
k
，
解得
(
)
10
40
kπ
π
x
k
Z
，
所以
( )
f x 的对称轴为直线
(
)
10
40
kπ
π
x
k
Z
，
当
1
k 时，
π
8
x
，其它各项均不符合，
所以
π
8
x
是函数
( )
f x 的对称轴，
故选：A．
2.已知函数
π
π
( )
sin(
)
2
2
f x
x
在3π 7π
,
8
8
内单调递减，
3π
8
x
是函数
( )
f x 的一条对称轴，且
函数
π
8
y
f
x
为奇函数，则
7π
24
f
（ ）
A．
3
2
B．1
C．
1
2
D．
3
2
【答案】D
【详解】因为函数
( )
f x 在3π 7π
,
8
8
内单调递减，
3π
8
x
是函数
( )
f x 的一条对称轴，
所以有
7π
3π
1
7π
3π
1 2π
2
8
8
2
8
8
2
T
，
所以
3π
π
2 π
Z 1
8
2
k
k
，
因为
π
π
sin
8
8
y
f
x
x
是奇函数，
所以
π
π
Z
2
8
m
m
，由
1
2
可得：
4 2
2
k
m
，
而
2
，所以
2
，
当
2
时，
2π
π
Z
π
Z
8
4
m
m
m
m
，
因为
π
π
2
2
，所以
π
4
，
即
π
( )
sin(2
)
4
f x
x
，
当
3π 7π
,
8
8
x
时，
π
π 3π
2
,
4
2
2
x
，显然此时函数单调递减，符合题意，
所以
7π
7π
π
π
3
(
)
sin(2
)
sin
24
24
4
3
2
f
；
当
2
时，
2π
π
π
Z
π
Z
8
4
m
m
m
m
，
因为
π
π
2
2
，所以
π
4
，
即
π
( )
sin(2
)
4
f x
x
，
当
3π 7π
,
8
8
x
时，
π
2
π,2π
4
x
，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，
故选：D
3.已知函数
π
3sin
0,
2
f x
x
的最小正周期为π ，其图象关于直线
π
3
x
对称，则
π
4
f
.
【答案】
3 3
2
/
3
3
2
【详解】因为函数
3sin
f
x
x
的最小正周期为π ，所以
2π
2
T
；
又因为函数
f x 图象关于直线
π
3
x
对称，可得
π
sin(2
)
1
3
，
可得2π
π
π,
Z
3
2
k
k
，且
2
，所以
π
6
，所以
3sin(2
)
6
f x
x
，
所以
π
3 3
(
)
4
2
f
．
故答案为：
3 3
2
.
4.设函数
π
sin
3
f x
x
，若
f x 的图象关于点π ,0
6
对称，则的值可以是
．（写出一个满足
条件的值即可）
【答案】4 （答案不唯一）
【详解】因为函数
π
sin
3
f x
x
，且
f x 的图象关于点π ,0
6
对称，
所以
π
π
π
6
3
k
，
Z
k
，
解得
6
2
k
，
Z
k
，
所以的值可以是...，8
，2
，4 ，10，...（写出一个即可）．
故答案为：4 （答案不唯一）．
5.函数
π
5sin(
)
4
y
x
的一条对称轴为（ ）
A．
3π
4
x
B．
π
2
x
C．
π
3
x
D．
5π
4
x
【答案】A
【详解】函数
π
5sin(
)
4
y
x
的对称轴满足
π
π
π(
Z)
4
2
x
k
k
，
解得
3π
Z)
4
π(
x
k
k
，令
0
k
，则
3π
4
x
，
故选：A.
6.知常数
R
，如果函数
cos 2
y
x
的图像关于点4π ,0
3
中心对称，那么的最小值为（ ）
A．π
3
B．π
4
C．π
6
D．π
2
【答案】C
【详解】因为函数
cos 2
y
x
的图像关于点4π ,0
3
中心对称，
所以
π
2
4π
π
3
2
k
，
Z
k
，所以
13π
π
6
k
，
Z
k
，
所以当
2
k
时
π
6
，当
3
k
时
5π
6
，
1
k 时
7π
6
，
所以的最小值为π
6 .
故选：C
题型十一：利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值
1.已知函数
π
2sin 2
6
f x
x
.
(1)求函数
f x 的最小正周期；
(2)求函数
f x 的单调递增区间.
(3)求函数
f x 在
π
0, 2
上的最大值.
【答案】(1) π
(2)单调递增区间为
(
)
π
π
π
, π
Z
6
3
k
k
k
é
ù
ê
ú
-
+
Î
ê
ú
ë
û
(3)2
【详解】（1）由
π
2sin 2
6
f x
x
，得
f x 的最小正周期为2π
π
2
；
（2）由于
sin
y
x
的单调递增区间为
π
π
[2 π
,2 π
],
Z
2
2
k
k
k
，
故令
π
π
π
2 π
2
2 π
Z
2
6
2
k
x
k
k
，
可得：
π
π
π
π
Z
6
3
k
x
k
k
，
∴
f x 的单调递增区间为
(
)
π
π
π
, π
Z
6
3
k
k
k
é
ù
ê
ú
-
+
Î
ê
ú
ë
û
（3）因为
π
0, 2
x
，则
π
π 5π
2
,
6
6
6
x
，
故
π
1
sin 2
,1
6
2
x
，
∴
1,2
f x
，即函数
f x 在
π
0, 2
上最大值为2.
2.函数
2cos(2
),
[
,
]
6
6 4
y
x
x
的值域为
．
【答案】[ 1,2]
【详解】试题分析：当
[
,
]
6 4
x
时，
2
2
,
6
6 3
x
，在区间
2
,
6 3
上
1
cos 2
,1
6
2
x
，
所以
2cos(2
)
6
y
x
的值域为[ 1,2]
.
3.已知函数
π
2sin 4
6
x
x
f
．
(1)求
f x 的单调区间；
(2)求
f x 在
π
0, 3
上的值域．
【答案】(1)
f x 的单调递增区间为
π
π
π
π
,
6
2 12
2
k
k
k
Z ，单调递减区间为
π
π π
π
,
12
2
3
2
k
k
k
Z
(2)
2 2
,
【详解】（1）令
π
π
π
2 π
4
2 π
2
6
2
k
x
k
，k Z ，得
π
π
π
π
6
2
12
2
k
k
x
，k Z ，
所以
f x 的单调递增区间为
π
π
π
π
,
6
2 12
2
k
k
k
Z ．
令π
π
3π
2 π
4
2 π
2
6
2
k
x
k
，k Z ，得π
π
π
π
12
2
3
2
k
k
x
，k Z ，
所以
f x 的单调递减区间为
π
π π
π
,
12
2
3
2
k
k
k
Z ，
综上所述，
f x 的单调递增区间为
π
π
π
π
,
6
2 12
2
k
k
k
Z ，单调递减区间为
π
π π
π
,
12
2
3
2
k
k
k
Z ；
（2）由（1）知
f x 在
π
π
,
6 12
上单调递增，在
π
π
,
12 3
上单调递减，
故
f x 在
π
0,12
上的最大值为
π
2
12
f
，最小值为
0
1
f
，
在
π
π
,
12 3
上的最大值为
π
2
12
f
，最小值为
π
2
3
f
．
所以
f x 在
π
0, 3
上的最大值为2，最小值为－2，
即
f x 在
π
0, 3
上的值域为
2 2
,
．
4.已知函数
π
3cos 2
4
f x
x
.
(1)求函数
f x 的对称中心和单调递减区间；
(2)若
π 3π
,
4
4
x
，求函数
f x 的值域.
【答案】(1)对称中心为
π
π ,0
8
2
k
k
Z ；单调递减区间为
5π
π
π,
π
8
8
k
k
k
Z
(2)
3 2 ,3
2
【详解】（1）令
π
π
2
π
4
2
x
k
k
Z ，解得：
π
π
8
2
k
x
k
Z ，此时
0
f x
，
f
x
的对称中心为
π
π ,0
8
2
k
k
Z ；
令
π
π
2 π
2
2 π
4
k
x
k
k
Z ，解得：
5π
π
π
π
8
8
k
x
k
k
Z ，
f
x
的单调递减区间为
5π
π
π,
π
8
8
k
k
k
Z .
（2）当
π 3π
,
4
4
x
时，
π
3π 7π
2
,
4
4
4
x
，则
π
2
cos 2
1,
4
2
x
，
3 2 ,3
2
f x
，即
f x 的值域为
3 2 ,3
2
.
题型十二：换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型）
1.函数
2
sin
3cos
2
y
x
x
的最大值为（ ）
A．5
B．21
4
C．1
D．1
【答案】A
【详解】因为1
cos
1
x
，
2
2
2
3
21
sin
3cos
2
cos
3cos
3
cos
2
4
y
x
x
x
x
x
，
故当cos
1
x 时，函数
2
sin
3cos
2
y
x
x
取最大值，且
max
1 3
3
5
y
.
故选：A.
2.求函数
2
cos
2 sin
3
y
x
a
x
，
R
a
的最大值．
【答案】答案见解析
【详解】
2
1 sin
2 sin
3
y
x
a
x
2
sin
2 sin
2
x
a
x
2
2
(sin
)
2
x
a
a
．
①若
[ 1,1]
a
，则当sinx
a
时，y 取得最大值，
2
max
2
y
a
；
②若
1
a ，则当sin
1
x 时，y 取得最大值，
max
2
3
y
a
；
③若
1
a ，则当sin
1
x 时，y 取得最大值，
max
2
3
y
a
．
3.已知函数
2
sin
sin
f
x
a
x
a
x
a
b
（,
a b
R
）的定义域为
5π π
,
6
2
，且函数
f x 的最大值为3，
最小值为1，求a，b 的值．
【答案】
8
9
1
3
a
b
或
8
9
11
3
a
b
【详解】由
5π π
,
6
2
x
，可得
sin
1,1
x
，
令sin x
t
，则
1,1
t
可令
2
y
at
at
a
b
，
1,1
t
，
当
0
a
时，y
b
，这与题意不符；
当
0
a
时，抛物线
2
y
at
at
a
b
开口向上，对称轴
1
2
t
，
当
1
t 时，
max
3
3
y
a
b
；当
1
2
t
时，
min
3
1
4
a
y
b
，
即
3
3
3
1
4
a
b
a
b
，解之得
8
9
1
3
a
b
当a<0 时，抛物线
2
y
at
at
a
b
开口向下，对称轴
1
2
t
，
当
1
t 时，
min
3
1
y
a
b
；当
1
2
t
时，
max
3
3
4
a
y
b
，
即
3
1
3
3
4
a
b
a
b
，解之得
8
9
11
3
a
b
综上，
8
9
1
3
a
b
或
8
9
11
3
a
b
4.已知
π 2π
,
3
3
x
，求函数
2
3(1
cos
)
4cos
4
y
x
x
的值域．
【答案】
1 15
,
3 4
.
【详解】因为
π 2π
,
3
3
x
，所以
1
cos
,1
2
x
，
又
2
3(1
cos
)
4cos
4
y
x
x
2
2
2
1
3cos
4cos
1
3 cos
3
3
x
x
x
，
所以，当
2
cos
3
x
时，
min
1
3
y
，当
1
cos
2
x
时，
max
15
4
y
，
故函数
2
3(1
cos
)
4cos
4
y
x
x
的值域为
1 15
,
3 4
.
题型十三：分式型求值域或最大(小)值
1.函数
cos
3
cos
1
x
y
x
的定义域是
，值域是
．
【答案】
2
,
x x
k
k
Z
∣
, 1
【详解】由 cos
1
0
x
可得 cos
1
x ,
2
,
x
k
k
Z
函数的定义域为
2
,
x x
k
k
Z
∣
,
又
cos 3
cos
1
4
4
1
cos
1
cos
1
cos
1
x
y
x
x
x
1
cos
1,
2
cos
1
0
x
x
,
4
4
2,
1
1
cos
1
cos
1
x
x
，
所以函数的值域为
, 1
；
故答案为：
2
,
x x
k
k
Z
∣
；
, 1
.
2.求函数
2
cos
2
cos
x
y
x
的值域．
【答案】1 ,3
3
【详解】由题知，
4
(2
cos )
4
1
2
cos
2
cos
x
y
x
x
，
因为1
cos
1
x
，
所以1
2
cos
3
x
，
所以1
1
1
3
2
cos x
，
所以4
4
4
3
2
cos x
，
所以1
4
1
3
3
2
cos x
，
所以1
3
3
y
，
所以函数
2
cos
2
cos
x
y
x
的值域为1 ,3
3
.
3.函数
2
cos
( )
2
cos
x
f x
x
的值域为
.
【答案】1 ,3
3
【详解】
2
cos
4
( )
1
2
cos
2
cos
x
f x
x
x
，
cos
1,1
x
，则
cos
2
1,3
x
，
4
4 ,4
2
cos
3
x
，故
1 ,3
3
f x
.
故答案为：1 ,3
3
模块三：综合巩固
1.函数
cos
0
y
x x
的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为（ ）
A．π ,1
2
B．
π,1
C．
0,1
D．
2π,1
【答案】B
【详解】用五点法画出函数
cos
0
y
x x
的部分图象如图所示，由图易知与y 轴最近的最高点的坐标
为
π,1 .
故选：B
2．用“五点法”作
2cos2
y
x
的图象，首先描出的五个点的横坐标是（
）
A．
π
3π
0,
,π,
,2π
2
2
B．
π π 3π
0,
,
,
,π
4 2
4
C．0,π,2π,3π,4π
D．
π π π 2π
0,
,
,
,
6 3 2
3
【答案】B
【详解】由“五点法”作图知：令2
0
x
，π
2 ，π ，3 π
2
，2π，
解得
π π 3π
0,
,
,
,π
4 2
4
x
，即为五个关键点的横坐标.
故选：B.
3.函数
cos
y
x
的一个单调减区间是（ ）
A．
π π
,
4 4
B．
π 3π
,
4
4
C．
3π
π, 2
D．
3π ,2π
2
【答案】C
【详解】画出
cos
y
x
的图象，如下，
可以看出
cos
y
x
的一个单调减区间为
3π
π, 2
，其他选项不合要求.
故选：C
4.函数
2
cos
3cos
2
y
x
x
的最小值为（ ）
A．2
B．0
C．1
D．6
【答案】B
【详解】由题意，
在
cos
y
x
中，
1,1
y
在
2
cos
3cos
2
y
x
x
中，
cos
1,1
x
，对称轴：
3
3
cos
2 1
2
x
，
∴函数在
1,1
上单调递增，在= 1
x 处取最小值，
2
min
1
3
1
2
0
y
，
故选：B.
5.函数
5π
sin(
2 )
2
y
x
是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．以上都不对
【答案】B
【详解】依题意，函数
5π
sin(
2 )
2
y
x
，化为
cos2
y
x
是偶函数.
故选：B
6.用五点法分别画下列函数在[
, ]
上的图象:
(1)
sin
y
x
;
(2)
2
cos
y
x
.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【详解】解:
x
2
0
2
sin
y
x
0
1
0
-1
0
2
cos
y
x
3
2
1
2
3
7.不等式
1
cos
π,π
2
x
x
的解集为
.
【答案】
π π
,
3 3
【分析】画出
,π
cos
π
x
y
x
的图象，由图象即可求解.
【详解】
画出
,π
cos
π
x
y
x
的图象，如图所示，
由图可知，不等式
1
cos
π,π
2
x
x
的解集为
π π
,
3 3
.
故答案为：
π π
,
3 3
8.已知关于x 的方程
π
2sin 2
0
6
x
m
在π ,π
2
上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是
．
【答案】
2, 1
【详解】由题设
π
sin 2
6
2
m
x
在π ,π
2
上有两个不同的实数根，
又
π
7π 13π
2
(
,
)
6
6
6
x
，故
π
sin 2
6
y
x
在π ,π
2
的图象如下，
只需
π
sin 2
6
y
x
与
2
m
y
在给定区间内有两个交点即可，
如图，
1
1
2
2
m
，则2
1
m
.
故答案为：
2, 1
9.已知函数
π
2sin 2
6
f x
x
，令
3
2
g x
f x
在区间
π
0, 2
上恰有2 个零点
1
2
1
2
,
x x
x
x
，则
1
2
x
x
，
1
2
cos x
x
.
【答案】
3
/ 1
3
3
4 /0.75
【详解】由题意得
π
3
2sin 2
6
2
x
在
π
0, 2
上恰有2 个零点，
即
π
3
sin 2
6
4
x
在
π
0, 2
上恰有2 个零点
1
2
1
2
,
x x
x
x
，
当
π
0, 2
x
时，
π
π 7π
2
,
6
6
6
z
x
，
画出
sin
y
z
在
π 7π
,
6
6
z
时的函数图象，
1
2
,
z z 关于
π
2
x
对称，故
1
2
π
z
z
，
即
1
2
π
π
2
2
π
6
6
x
x
，解得
1
2
π
3
x
x
，
且
1
π
3
sin 2
6
4
x
，
2
π
3
sin 2
6
4
x
，
因为
1
2
π
3
x
x
，所以
1
2
2
2
2
π
π
π
π
3
cos
cos
2
sin
2
sin 2
3
2
3
6
4
x
x
x
x
x
故答案为：π
3 ，3
4
10.（多选）下列函数中，是周期函数的是（ ）
A．
cos
y
x
B．
cos
y
x
C．
sin
y
x
D．
sin
y
x
【答案】ABC
【详解】对于A，
cos
π
cos
cos
x
x
x
，
cos
y
x
＝
的最小正周期为π ；
对于B，
cos
cos
cos
x
x
x
，
cos
y
x
的最小正周期为2π；
对于C，
sin
π
sin
sin
x
x
x
，
sin
y
x
的最小正周期为π ；
对于D，∵
sin ,
0
sin
sin ,
0
x x
y
x
x x
，∴函数图象关于y 轴对称，不具有奇偶性，故错误.
故选：ABC
11.求下列函数的最小正周期．
(1)
1
π
cos 2
2
3
f x
x
；
(2)
( ) | sin
|
f x
x
．
【答案】(1)最小正周期为π ．
(2)最小正周期为π ．
【详解】（1）∵
1
π
cos 2
2
3
f x
x
，∴
2
．
又最小正周期
2π
2π
π
2
T
，
∴函数
1
π
cos 2
2
3
f x
x
的最小正周期为π ．
（2）画出函数
| sin
|
y
x
的图象，如图所示，
由图象可知，函数
( ) | sin
|
f x
x
的最小正周期为π ．
12.（多选）若函数
π
3sin 2
6
f x
x
是偶函数，则的值不可能为（ ）
A．π
6
B．π
2
C．2π
3
D．5π
6
【答案】ABD
【详解】由函数
3sin 2
6
f x
x
是偶函数，可得
0
3
f
，即
π
sin
1
6
，
则
π
π ,
Z
6
2
k
k
，解得
2π
π
,
Z
3
k
k
，
当
0
k
时，可得
2π
3
，无论k 取何值，都不可能等于π
6 或π
2 或5π
6 ．
故选：ABD．
13.设函数
2
2
1
sin
1
x
x
f x
x
的最大值为a ，最小值为b ，则a
b
.
【答案】2
【详解】
2
2
2
1 2
sin
2
sin
1
1
1
x
x
x
x
x
f x
x
x
，
令
2
2
sin
1
1
x
x
g x
f x
x
，易知xR ，
2
2
sin
0
1
x
x
g
x
g x
g
x
x
，即
g x 为奇函数，
所以
max
min
min
max
1
1
,
1
1
,
g x
f x
b g x
f x
a
结合奇函数性质有
max
min
0
1
1
2
g x
g x
a
b
a
b
.
故答案为：2
14.若函数
π
cos 2
0
6
f x
x
为奇函数，则的最小值为
.
【答案】π
3
【详解】因为函数
π
cos 2
0
6
f x
x
为R 上的奇函数，
所以
π
0
cos
0
6
f
，所以π
π
π,
Z
6
2
k
k
，所以
π
π,
Z
3
k
k
，
又
0
，所以的最小值为π
3 .
故答案为：π
3
15.已知函数
( )
2cos(
)
(
0)
f x
x
b
满足
π
π
8
8
f
x
f
x
，且
π
(0)
7,
5
8
f
f
，则b （ ）
A．3
B．3 或7
C．5
D．7
【答案】D
【详解】由题意，函数
f x 满足
π
π
8
8
f
x
f
x
，可得
π
8
x
是函数
f x 的一条对称轴，
所以
π
2cos(
)
2
8
，即
π
cos(
)
1
8
，
即
π
π
π,
Z
8
2
k
k
，所以
1
1
π
π
π,
Z
2
8
k
k
又由
π
5
8
f
，可得2
5
b
或2
5
b
，即
3
b
或
7
b
，
因为
(0)
7
f
，可得
(0)
2cos
7
f
b
，所以2cos
7
b
，
当
3
b
时，可得2cos
4
，即cos
2
1
，（不符合题意，舍去）；
当
7
b
时，可得2cos
0
，即cos
0
，解得
2
2
π
π,
Z
2
k
k
，
如：
1
2
0,
1
k
k
时，可得π
π
π
2
8
2
，解得
8
，符合题意，
所以
7
b
.
故选：D.
16.（多选）已知定义域为R 的函数
f x 满足
1
1
0
f
x
f
x
，函数
sin
0
g x
f x
x
，若
函数
1
y
g x
为奇函数，则的值可以为（ ）
A．4
B．2
C．
D．3
2
【答案】BD
【详解】解：因为
1
1
0
f
x
f
x
，所以
f x 关于点
1,0 对称，
要使
1
1
1 sin
g
x
x
f x
为奇函数，因为
1
f x
关于点
0,0 对称，为奇函数，
所以只需使
sin
1
sin
y
x
x
为偶函数即可，所以
,
2
k
k
Z
，
故符合题意的有B、D；
故选：BD
17.y＝cos
π
2
3
x
的单调递减区间为
.
【答案】
π
2π
π
π
6
3
k
k
k
Z
，
【详解】因为
π
π
cos
2
cos 2
3
3
y
x
x
，
所以由
π
2 π
2
π
2 π
3
k
x
k
得，π
2π
π
π
6
3
k
x
k
，k Z，
即所求单调递减区间为
π
2π
π
, π
6
3
k
k
k
Z .
故答案为：
π
2π
π
, π
6
3
k
k
k
Z .
18.求函数
π
cos
2
4
y
x
的单调递增区间．
【答案】5π
9π
π,
π
8
8
k
k
，
Z
k
．
【详解】
π
π
cos
2
cos 2
4
4
x
x
．
令
π
2
4
z
x
，函数
cos
y
z
的单调递增区间是
π
2 π,2π
2 π
k
k
，
Z
k
．
由
π
π
2 π
2
2π
2 π
4
k
x
k
，得5π
9π
π
π
8
8
k
x
k
，
Z
k
．
因此，函数
π
cos
2
4
y
x
的单调递增区间是5π
9π
π,
π
8
8
k
k
，
Z
k
．
19.比较下列各组数的大小：
(1)
10π
sin 17 与
11π
sin 17 ；
(2)
5π
cos 3 与
14π
cos 9 ；
(3)sin(cos
)
与
π
cos(sin
) 0
2
．
【答案】(1)
10π
11π
sin
sin
17
17
(2)
5π
14π
cos
cos
3
9
(3)sin(cos
)
cos(sin
)
【详解】（1）∵函数
sin
y
x
在π ,π
2
上单调递减，且π
10π
11π
π
2
17
17
，
∴
10π
11π
sin
sin
17
17
．
（2）
5π
π
π
cos
cos 2π
cos
3
3
3
，
14π
4π
4π
cos
cos 2π
cos
9
9
9
．利用诱导公式化为同一单调区间上
的角．
∵函数
cos
y
x
在
π
0, 2
上单调递减，且
π
4π
π
0
3
9
2
，
∴
π
4π
cos
cos
3
9
，即
5π
14π
cos
cos
3
9
．
（3）∵
π
0
2
，∴
π
0
sin
2
，
又
cos
y
x
在
π
0, 2
上单调递减，∴cos(sin
)
cos
．（中间值法）
又
π
0
cos
1
2
，∴sin(cos
)
cos
．
故sin(cos
)
cos(sin
)
．
20.已知函数
π
( )
sin
(
0)
6
f x
x
的图象关于直线
π
3
x
对称，且
( )
f x 在区间π 7π
,
3 12
内单调，则的最
大值为
．
【答案】4
【详解】因为区间π 7π
,
3 12
的左端点为对称轴，且
( )
f x 在区间π 7π
,
3 12
内单调，
所以7π
π
12
3
2
T
，其中
2π
T
，
所以π
4
，又
0
，所以0
4
，
所以的最大值为4 .
故答案为：4 .
21.已知函数
( )
2cos(
)
(
0)
f x
x
b
满足
π
π
8
8
f
x
f
x
，且
π
(0)
7,
5
8
f
f
，则b （ ）
A．3
B．3 或7
C．5
D．7
【答案】D
【详解】由题意，函数
f x 满足
π
π
8
8
f
x
f
x
，可得
π
8
x
是函数
f x 的一条对称轴，
所以
π
2cos(
)
2
8
，即
π
cos(
)
1
8
，
即
π
π
π,
Z
8
2
k
k
，所以
1
1
π
π
π,
Z
2
8
k
k
又由
π
5
8
f
，可得2
5
b
或2
5
b
，即
3
b
或
7
b
，
因为
(0)
7
f
，可得
(0)
2cos
7
f
b
，所以2cos
7
b
，
当
3
b
时，可得2cos
4
，即cos
2
1
，（不符合题意，舍去）；
当
7
b
时，可得2cos
0
，即cos
0
，解得
2
2
π
π,
Z
2
k
k
，
如：
1
2
0,
1
k
k
时，可得π
π
π
2
8
2
，解得
8
，符合题意，
所以
7
b
.
故选：D.
22.已知函数
( )
2cos(3
)
f x
x
的图象关于点4π ,0
3
对称，那么的最小值为
．
【答案】π
2
【详解】
2cos 3
f x
x
的图象关于点4π ,0
3
对称，
4π
π
3
π
,
3
2
k
k
Z ，即
7π
π
,
2
k
k
Z ，令
4
k
，可得的最小值为π
2 ．
故答案为：π
2
23.函数y=2cos(2x+ 6
)，x[- 6
，4
]的值域是 （ ）
A．
1,2
B．[-1, 3]
C．
1
3
[-
,
]
2
2
D．
1
[-
,1]
2
【答案】A
【详解】令
2
6
t
x
，因为x[- 6
，4
]，所以
2
,
6
3
t
，而函数
2cos
y
f t
t
在
,0
6
上单调
递增，在
2
0, 3
上单调递减，所以
max
0
2
y
f
，
min
2
1
3
y
f
，即函数的值域是
1,2
．
故选：A．
24.已知函数
π
3
( )
sin 2
3
2
f x
x
.
(1)求
( )
f x 的最小正周期；
(2)当
7π
0, 12
x
时，求
( )
f x 的最小值和最大值.
【答案】(1) π
(2)最小值为0，最大值为2
2
3
【详解】（1）由题意，
π
3
( )
sin 2
3
2
f x
x
，
所以
( )
f x 的最小正周期
2π
π
2
T
；
（2）当
7π
12
x
≤
≤
0
时，
π
π
5π
2
3
3
6
x
，
可知
3
π
sin 2
1
2
3
x
，
即
π
3
2
3
0
sin 2
3
2
2
x
，
故
( )
f x 的最小值为0 ，最大值为2
2
3
.
25.函数
2
3cos
4cos
1
y
x
x
，(
)
xR 的值域为
．
【答案】
1 ,8
3
【详解】令
cos
1,1
t
x
，则
2
2
2
1
3
4
1
3
3
3
y
t
t
t
，
当
2
3
t
时，则函数y 取得最小值为
1
3
，
当
1
t 时，函数y 取得最大值为8 ，
故函数的值域为
1 ,8
3
.
故答案为：
1 ,8
3
26.函数
2
2
sin
cos
y
x
x
的最小值是
．
【答案】3
4 /0.75
【详解】函数
2
2
1
3
cos
cos
1
cos
2
4
y
x
x
x
，1
cos
1
x
，
当
1
cos
2
x
时，函数取得最小值3
4 .
故答案为：3
4
27.函数
sin cos
( )
1 sin
cos
x
x
f x
x
x 的值域为
．
【答案】
2
1
2
1
, 1
1,
2
2
【详解】令
sin
cos
2 sin
4
t
x
x
x
，
[
2, 1)
( 1,
2]
t
，
则
2
1
2sin
cos
t
x
x
，即
2
1
sin cos
2
t
x
x
，
所以
2
1
1
2
( )
1
2
t
t
f t
t
，
又因为
[
2, 1)
( 1,
2]
t
，所以
2
1
2
1
, 1
1,
2
2
f t
，
即函数
sin cos
( )
1 sin
cos
x
x
f x
x
x 的值域为
2
1
2
1
, 1
1,
2
2
．
故答案为：
2
1
2
1
, 1
1,
2
2
.
