6.10 平面向量中的奔驰定理以及三角形四心
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：四心的概念介绍............................................................. 2
考点二：奔驰定理以及四心的向量式...............................................2
考点三：奔驰定理与三角形四心向量式............................................2
考点四：四心常用结论与技巧....................................................... 3
考点五：爪子定理应用及解题技巧..................................................4
考点六：系数和（等和线）的应用..................................................5
考点七：极化恒等式的应用.......................................................... 6
模块二：题型分类.........................................................................6
题型一：重心定理及其应用.......................................................... 6
题型二：内心定理及其应用.......................................................... 8
题型三：外心定理及其应用.......................................................... 8
题型四：垂心定理及其应用.......................................................... 8
题型五：三角形四心辨别............................................................. 9
题型六：三角形面积比问题........................................................ 11
题型七：爪子定理应用.............................................................. 13
题型八：系数和（等和线）的应用................................................14
题型九：极化恒等式的应用及解题技巧..........................................16
模块三：综合巩固....................................................................... 17
6.10 平面向量中的奔驰定理以及三角形四心
模块一：基础知识
考点一：四心的概念介绍
1.重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
2.内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
3.外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
4.垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
考点二：奔驰定理以及四心的向量式
已知O 是△ABC 内的一点，△BOC 、△AOC 、△AOB 的面积分别为SA 、SB 、SC ，则满足
0
OC
S
OB
S
OA
S
C
B
A
证明：已知O 是
ABC
内的一点，
AOB
AOC
BOC
,
,
的面积分别为
A
S
，
B
S
，
C
S
，求证：
0
OC
S
OB
S
OA
S
C
B
A
【解答】如图，延长OA 与BC 边相交于点D 则
B
C
COD
ACD
BOD
ABD
COD
BOD
ACD
BD
S
S
DC
BD
S
S
S
S
S
S
S
S A
OD
BC
DC OB BC
BD OC
C
B
B
S
S
S
OB
C
B
C
S
S
S
OC
C
B
A
COA
BOA
COD
BOD
COA
COD
BOA
BOD
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
OA
OD
C
B
A
S
S
S
OD
OA
C
B
A
S
S
S
OA
C
B
B
S
S
S
OB
C
B
C
S
S
S
OC
0
OC
S
OB
S
OA
S
C
B
A
推论:O 是ABC
平面内的一点，且
0
OC
OB
OA
z
y
x
，则
:
:
:
:
BOC
COA
AOB
S
S
S
x
y
z
②
BOC
ABC
S
x
S
x
y
z
△
△
考点三：奔驰定理与三角形四心向量式
1、O 是ABC
的重心
1:
1:
1
:
:
AOB
COA
BOC
S
S
S
0
OC
OB
OA
2、O 是ABC
的内心
c
b
a
S
S
S
AOB
COA
BOC
:
:
:
:
0
OC
OB
OA
c
b
a
3、O 是ABC
的外心
C
B
A
S
S
S
AOB
COA
BOC
2
sin
:
2
sin
:
2
sin
:
:
0
2
sin
2
sin
2
sin
OC
C
OB
B
OA
A
4、O 是ABC
的垂心
C
B
A
S
S
S
AOB
COA
BOC
tan
:
tan
:
tan
:
:
0
tan
tan
tan
OC
C
OB
B
OA
A
证明：如图O 为三角形的垂心，
DB
CD
B
AD
CD
A
tan
,
tan
AD
DB
B
A
:
tan
:
tan
COA
BOC S
S
:
AD
DB :
B
A
S
S
COA
BOC
tan
:
tan
:
同理得
C
B
S
S
AOB
COA
tan
:
tan
:
，
C
A
S
S
AOB
BOC
tan
:
tan
:
C
B
A
S
S
S
AOB
COA
BOC
tan
:
tan
:
tan
:
:
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
考点四：四心常用结论与技巧
1.若O 为△ABC 重心
（1）
1:
1:
1
:
:
AOB
COA
BOC
S
S
S
；
（2）
0
OA
OB
OC
；
（3）动点P 满足
(
)
OP
OA
AB
AC
，
(0
)
，
，则P 的轨迹一定通过
ABC
△
的重心
（4）动点P 满足
sin
sin
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，
0
（，
），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心
（5）重心坐标为：
3
3
A
B
C
A
B
C
x
x
x
y
y
y
，
.
2.若O 为△ABC 垂心
（1）OA OB
OB OC
OC OA
（2）
2
2
2
2
2
2
OA
BC
OB
CA
OC
AB
（3）动点P 满足
cos
cos
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，
(0
)
，
，则动点P 的轨迹一定通过
ABC
△
的垂
心
（4）
:
:
tan
: tan
: tan
BOC
COA
AOB
S
S
S
A
B
C
△
△
△
（5）
0
tan
tan
tan
OC
C
OB
B
OA
A
.
3.若O 为△ABC 内心
（1）
:
:
: :
BOC
COA
AOB
S
S
S
a b c
△
△
△
（2）
•
•
•
0
OA
OB
OC
a
b
c
（3）动点P 满足
|
|
|
|
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，
[0,
),
则P 的轨迹一定通过△ABC 的内心
（4）
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC
AB
BC
BA
CA
CB
OA
OB
OC
AC
AB
BC
CA
CB
BA
4.若O 为△ABC 外心
（1）
2
2
2
OA
OB
OC
；
（2）动点P 满足
2
cos
cos
OB
OC
AB
AC
OP
AB
B
AC
C
，
(0
)
，
，则动点P 的轨迹一定通过
ABC
△
的
外心；
（3）若
0
OA
OB
AB
OB
OC
BC
OA
OC
AC
，则O 是
ABC
△
的外心；
（4）
:
:
sin 2
:sin 2
:sin 2
BOC
COA
AOB
S
S
S
A
B
C
△
△
△
；
（5）
0
2
sin
2
sin
2
sin
OC
C
OB
B
OA
A
.
考点五：爪子定理应用及解题技巧
形如AD
xAB
yAC
条件的应用（“爪子定理”）
“爪”字型图及性质：
（1）已知
,
AB AC
为不共线的两个向量，则对于向量AD
，必存在,x y ，使得
AD
xAB
yAC
。则
, ,
B C D 三点共线
1
x
y
当0
1
x
y
，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间
当
1
x
y
，则D 与A 位于BC 两侧
1
x
y
时，当
0,
0
x
y
，则D 在线段BC 上；当
0
xy
，则D 在线段BC 延长线上
（2）已知D 在线段BC 上，且
:
:
BD
CD
m n
，则
n
m
AD
AB
AC
m
n
m
n
考点六：系数和（等和线）的应用
如图，P 为AOB
所在平面上一点，过O 作直线/ /
l
AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y
R
，使得
OP
xOA
yOB
下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x
y
的值
①若P
l
时，则射线OP 与l 无交点，由/ /
l
AB 知，存在实数，使得OP
AB
而AB
OB
OA
，所以OP
OB
OA
，于是
= - =0
x
y
②若P
l
时，
（i）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作
/ /
CD
AB ，交射线OA
OB
，
于
,
C D 两点，则
OCD
OAB
，不妨设OCD
与OAB
的相似比为k
由
,
P C
D
，
三点共线可知：存在
R
使得：
(1
)
(1
)
OP
OC
OD
k OA
k
OB
所以
(1- )
x
y
k
k
k
（ii）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1 作P 关于O 的对称点P，由（i）
的分析知：存在存在
R
使得：
(1
)
(1
)
OP
OC
OD
k OA
OB
所以
-
-(1
)
OP
k OA
OB
于是
-
- (1- )
-
x
y
k
k
k
综合上面的讨论可知：图中OP
用
,
OA OB
线性表示时，其系数和x
y
只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。
因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O 作AB 边的垂线l，
设点P 在l上的射影为P，直线l交直线AB 于点
1P ，则
1
|
|
|
|
|
|
OP
k
OP
( k 的符号由点P 的位置确定)，因
此只需求出|
|
OP的范围便知x
y
的范围
考点七：极化恒等式的应用
极化恒等式
2
2
(
)
(
)
4
a
b
a
b
a b
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1
4 ，
恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形ABCD 中,
,
AB
a AD
b
则
2
2
(
)
(
)
4
AB
AD
AB
AD
a b
在上述图形中设平行四边形ABCD 对角线交于M
点, 则对于三角形来说:
2
2
2
2
(
)
(
)
|
|
|
|
4
4
AB
AD
AB
AD
DB
a b
AM
模块二：题型分类
题型一：重心定理及其应用
1.如图，在ABC
中，中线AD、BE、CF 相交于点G，点G 称为ABC
的重心，那么
:
AG GD 是（
）
A．3∶2
B．2∶1
C．3∶1
D．4∶3
2.若O是ABC
内一点，
0
OA
OB
OC
，则O是ABC
的（
）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
3.已知点O 是边长为2 的正三角形ABC 的重心，则OB OC
（
）
A．
1
6
B．
2
3
C．
1
2
D．
5
6
4.若O 在△ABC 所在的平面内，a，b，c 是△ABC 的三边，满足以下条件
0
a OA
b OB
c OC
,则O 是△ABC 的（
）
A．垂心B．重心
C．内心
D．外心
5.设G 为ABC
的重心，则
2
3
GA
GB
GC
（）
A．0
B．AC
C．BC
D．AB
6.已知O是平面上一定点，
,
,
A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
(
)
OP = OA+
AB+ AC
，
(0
)
，
，则P 的轨迹一定通过ABC
的（）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
7.在平行四边形ABCD中，E 是BC 的中点，F 是CD 的中点，DE 与BF 相交于点G ，则
AG
（
）
A．2
2
3
3
AB
AD
B．2
1
3
3
AB
AD
C．1
1
3
3
AB
AD
D．1
2
3
3
AB
AD
8.(多选)设点M 是ABC
所在平面内一点，则下列说法正确的是（
）
A．若
1
1
2
2
AM
AB
AC
，则点M 是BC 的中点
B．若AM
BM
CM
，则点M 是ABC
的重心
C．若
2
AM
AB
AC
，则点M，B，C 三点共线
D．若
1
3
BM
BC
，则
2
1
3
3
AM
AB
AC
9.已知O为三角形ABC 所在平面内一点，
0
OA
OB
OC
，则
:
OBC
ABC
S
S
（
）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
5
10.【后面有专题练习】设O 点在ABC
内部，且有3
2
0
OA
OB
OC
，则AOC
的面积与AOB
的面积
的比值为（
）
A．2
B．
3
C．
2
D．3
11.已知O是平面上一定点，A B
C
，，
是平面上不共线的三个点，动点P 满足
(
)
OP
OA
AB
AC
，
(0
)
，
，则P 的轨迹一定通过
ABC
△
的(
).
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
题型二：内心定理及其应用
1.已知点O是ABC
所在平面上的一点，ABC
的三边为, ,
a b c ，若
0
aOA bOB cOC
，则点O是ABC
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
2.已知ABC
所在的平面上的动点P 满足AP
AB AC
AC AB
，则直线AP 一定经过ABC
的（
）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
3.设O为ABC
的内心，
5
AB
AC
，
8
BC ，
,
AO
mAB
nAC m n
R
，则m
n
（
）
A．2
3
B．5
9
C．3
5
D．2
5
题型三：外心定理及其应用
1.已知O 为ABC
的外心，
4
AB =
uuur
，则AO AB
（
）
A．8
B．10
C．12
D．1
2.在ABC
中，O 是三角形的外心，过点B 作BG
AO
于点G，
4
AB
，则AO AG
（
）
A．4
B．8
C．12
D．16
3.已知ABC
中，
60
A
，
6
AB
，
4
AC
，O为ABC
的外心，若AO
AB
AC
，则
的值为
（
）
A．1
B．2
C．11
18
D．1
2
题型四：垂心定理及其应用
1.在ABC
中，若HA HB
HB HC
HC HA
，则点H 是ABC
的（
）
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心
2.在ABC
中，AB＝5，AC＝6，D 是BC 的中点，H 是ABC
的垂心，则DH BC
.
3.O是ABC
所在平面上的一定点，动点P 满足
(
)
|
| cos
|
| cos
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，
[0
，
)
，则点P
形成的图形一定通过ABC
的
．（填外心或内心或重心或垂心）
题型五：三角形四心辨别
1．已知点P 是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：
甲：PA PB PC
0
；
乙：PA (PA
PB)
PC (PA
PB)
；
丙：PA
PB
PC
；
丁：PA PB
PB PC
PC PA
．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
2.已知O，N，P，I 在ABC
所在的平面内，则下列说法不正确的是（
）
A．若OA
OB
OC
，则O 是ABC
的外心
B．若
0
CB IA
AC IB
BA IC
，则I 是ABC
的内心
C．若PA PB
PB PC
PC PA
，则P 是ABC
的垂心
D．若
0
NA
NB
NC
，则N 是ABC
的重心
3.瑞士数学家欧拉在1765 年发表了一个令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直
线称为欧拉线．其中重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．已知M，N，P 分别为ABC
的外心、
重心、垂心，则下列结论错误的是（
）
A．MA
MB
MC
B．
2
NP
MN
C．
0
NA
NB
NC
D．PA PB
PB PC
PC PA
4.若O 是△ABC 所在平面上一定点，H，N，Q 在△ABC 所在平面内，动点P 满足
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，
0,
，则直线AP 一定经过ABC
的____心，点H 满足HA
HB
HC
，则H 是ABC
的____心，
点N 满足
0
NA
NB
NC
，则N 是ABC
的____心，点Q 满足
·
·
·
QAQB
QB QC
QC QA
，则Q 是ABC
的____心，下列选项正确的是（
）
A．外心，内心，重心，垂心
B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心
D．外心，重心，垂心，内心
5.已知点N ，O，P 在ABC
所在平面内，且
3
PA
PB
PC
PN
，
2
2
2
OA
OB
OC
，
PA PB
PB PC
PC PA
，则点N ，O，P 依次是ABC
的（
）
A．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D．外心、重心、内心
6.点
,
,
O G P 为ABC
所在平面内的点，且有
2
2
2
2
2
2
OA
BC
OB
CA
OC
AB
，
0
GA
GB
GC
，
0
PA
PB
AB
PB
PC
BC
PC
PA
CA
，则点
,
,
O G P 分别为ABC
的（
）
A．垂心，重心，外心
B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心
D．外心，垂心，重心
7.M 为△ABC 所在平面内一点，且
2
2
2BM CA
BA
BC
，则动点M 的轨迹必通过△ABC 的（
）
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心
8.已知O为ABC
所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足
1
OP
OD
OC
R
，则点P 的
轨迹一定过ABC
的（
）
A．内心
B．垂心
C．重心
D．AC 边的中点
9.在ABC
中，动点P 满足
2
2
2
CA
CB
AB CP
，则P 点轨迹一定通过ABC
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
10.已知O 是平面上的一个定点，A､B､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足
AB
AC
OP
OA
AB
AC
R
，则点P 的轨迹一定经过ABC
的（
）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
11.已知O是ABC
所在平面内一点，且点O满足
0
AB
AC
BA
BC
CA
CB
OA
OB
OC
AB
AC
BA
BC
CA
CB
则点O一定ABC
的（
）
A．外心
B．重心
C．内心
D．垂心
12.若ABC
所在平面内一点P 满足
0
PA
PB
PC
uur
uur
uuur
r ，则P 是ABC
的（
）．
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
13.（多选）设点O 是ABC
所在平面内一点，则下列说法正确的是（
）
A．若
0
OA
OB
OC
，则O 为ABC
的重心；
B．若(
)
(
)
0
OA
OB
AB
OB
OC
BC
，则O 为ABC
的垂心；
C．若
1
(
)
0,
2
|
|
|
|
|
| |
|
AB
AC
BA
BC
BC
AB
AC
BA
BC
，则ABC
为等边三角形；
D．若
2
3
0
OA
OB
OC
，则△BOC 与△ABC 的面积之比为
:
1:6
BOC
ABC
S
S
△
△
．
14.（多选）点O为△ABC 所在平面内一点，则（
）
A．若
0
OA
OB
OC
，则点O为△ABC 的重心
B．若
0
AC
AB
BC
BA
OA
OB
AC
AB
BC
BA
，则点O为△ABC 的垂心
C．若
0
OA
OB
AB
OB
OC
BC
．则点O为△ABC 的垂心
D．在ABC
中，设
2
2
2
AC
AB
AO BC
，那么动点O的轨迹必通过△ABC 的外心
题型六：三角形面积比问题
1.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）
的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是ABC
内的一点，
,
,
BOC
AOC
AOB
的
面积分别为
,
,
A
B
C
S
S
S ，则有
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
．设O 是锐角ABC
内的一点，
,
,
BAC
ABC
ACB
分别是ABC
的三个内角，以下命题不正确的有（
）
A．若
0
OA
OB
OC
，则O 为ABC
的重心
B．若
2
3
0
OA
OB
OC
，则
:
:
1: 2:3
A
B
C
S
S
S
C．若
5π
2,
6
OA
OB
AOB
，2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
9
2
ABC
S
D．若O 为ABC
的垂心，则tan
tan
tan
0
BAC OA
ABC OB
ACB OC
2.已知O是ABC
内的一点，若
,
,
BOC
AOC
AOB
的面积分别记为
1
2
3
,
,
S S
S ，则
1
2
3
0
S OA
S
OB
S
OC
.
这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是ABC
的垂
心，且
2
3
0
OA
OB
OC
，则tan
: tan
: tan
BAC
ABC
ACB
（
）
A．1: 2:3
B．1: 2 : 4
C．2:3: 4
D．2 :3: 6
3.平面上有ABC
及其内一点O，构成如图所示图形，若将OAB
，OBC
△
，
OCA
的面积分别记作
cS ，aS ，
bS ，则有关系式
0
a
b
c
S
OA
S
OB
S
OC
uur
uuur
uuur
r
．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定
理”．已知ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若满足
0
a OA
b OB
c OC
，则O 为ABC
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
4.在平面上有ABC
及内一点O 满足关系式：
0
OBC
OAC
OAB
S
OA
S
OB
S
OC
△
△
△
即称为经典的“奔驰定
理”，若ABC
的三边为a，b，c，现有
0
a OA
b OB
c OC
则O 为ABC
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
5.奔驰定理：已知O是ABC
内的一点，BOC
，AOC
，AOB
的面积分别为
A
S ，
B
S ，
C
S ，则
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与
“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三角形ABC 内一点，且满足：
2
3
3
2
OA
OB
OC
AB
BC
CA
，则
AOB
ABC
S
S
△
△
（
）
A．2
5
B．1
2
C．1
6
D．1
3
题型七：爪子定理应用
1.设D 为ABC
所在平面内一点，且
3
BC
CD
，则（
）
A.
1
4
3
3
AD
AB
AC
B.
1
4
3
3
AD
AB
AC
C.
4
1
3
3
AD
AB
AC
D.
4
1
3
3
AD
AB
AC
2.如图，在ABC
中，
1
3
AN
NC
，P 是BN 上的一点，若
2
11
AP
mAB
AC
，则实数m 的值为（
）
A.
9
11
B.
5
11
C.
3
11
D.
2
11
3.在ABC
中，点D 在边AB 上，
2
BD
DA
．记CA
m CD
n
，
，则CB
（
）
A．3
2
m
n
B．2
3
m
n
C．3
2
m
n
D．2
3
m
n
4.在ABC
中，AB
c
，AC
b
．若点D 满足
2
BD
DC
，则AD
（）
A．2
1
3
3
b
c
B．5
2
3
3
c
b
C．2
1
3
3
b
c
D．1
2
3
3
b
c
5.已知平行四边形ABCD，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB
a
，AD
b
，则EF
等于
（
）
A．
1
2 a
b
B．
1
2 a
b
C．
1
2 b
a
D．1
2 a
b
6.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB
A．3
1
4
4
AB
AC
B．1
3
4
4
AB
AC
C．3
1
4
4
AB
AC
D．1
3
4
4
AB
AC
7.设D 、E 分别是ABC
的边AB ，BC 上的点，
1
2
AD
AB
，
2
3
BE
BC
. 若
1
2
DE
AB
AC
（
1
2
,
为
实数），则
1
2
的值是
题型八：系数和（等和线）的应用
1.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP
=
AB
+ AD
，则
+ 的最大值为
A．3
B．2
2
C．5
D．2
2.边长为2 的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含短点)上运动，P 是圆Q 上
及其内部的动点，设向量
( ,
)
AP
mAB
nAF m n
R
，则m
n
的取值范围是（
）
5,3
.
5,2
.
6,5
.
2,1
.
D
C
B
A
3.已知ABC
为边长为2 的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上.若AP
AB
AC
，则
2
的取值范围是__________
4.在矩形ABCD 中，
1,
2
AB
AD
，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，
若AP
AB
AD
，则+
的最大值为(
)
A 3
B 2 2
C 5
D 2
5.如图，正六边形ABCDEF ，P 是CDE
内（包括边界）的动点，设
( ,
)
AP
AB
AF
R
，
则
的取值范围是____________
6.如图在直角梯形ABCD 中，
/ /
AB
CD ，AB
AD
，
1
3
AD
DC
AB
，
，动点P 在以C 为圆心，
且与直线BD 相切的圆内运动，设
( ,
)
AP
AD
AB
R
则
的取值范围是____________
7.若点C 在以P 为圆心,6 为半径的弧
AB 上,且PC
xPA
yPB
,则2
3
x
y
的取值范围为______
8.如图，在直角梯形ABCD中，
AB
AD
，AB ∥DC ，
2
AB
，
1
AD
DC
，图中圆弧所在圆的圆
心为点C，半径为1
2 ，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP
xAB
yAC
，其中x
y
R
，
，则4x
y
的取值范围是（
）
A．
3 2
2 3
4
，
B．
5
2 3
2
，
C．
2
5
3
3
4
2
，
D．
17
17
3
3
2
2
，
题型九：极化恒等式的应用及解题技巧
1.设向量
满足
，
，则
A．1
B．2
C．3
D．5
2.正方形ABCD的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED
（
）
A．5
B．3
C．2 5
D．5
3.如图，在ABC
中，D 是BC 的中点，,
E F 是,
A D上的两个三等分点，
4
BA CA
，
1
BF CF
，则BE CE
uur uur
的值是
.
4.如图,在ABC
中,已知
4,
6,
60
AB
AC
BAC
,点
,
D E 分別在边
,
AB AC 上,
且
2
,
3
AB
AD AC
AE
,若F 为DE 的中点,则BF DE
的值为________
5.在ABC
中，
3,
4,
90
AC
BC
C
．P 为ABC
所在平面内的动点，且
1
PC
，则PA PB
的取值范
围是（
）
A．[ 5,3]
B．[ 3,5]
C．[ 6,4]
D．[ 4,6]
模块三：综合巩固
1.平面上点P 与不共线三点A、B、C 满足关系式：PA
PB
PC
AB
，则下列结论正确的是（
）
A．P 在CA 上，且
2
CP
PA
B．P 在AB 上，且
2
AP
PB
C．P 在BC 上，且
2
BP
PC
D．P 点为ABC
的重心
2.已知点O 是ABC
的内心，
4,
3
AB
AC
，CB
CA
CO
，则
（
）
A．4
3
B．5
3
C．2
D．7
3
3.(多选)点O 在ABC
所在的平面内，则下列结论正确的是（
）
A．若OA OB
OB OC
OC OA
，则点O 为ABC
的垂心
B．若
0
OA
OB
OC
，则点O 为ABC
的外心
C．若2
3
0
OA
OB
OC
，则
:
:
3: 2:
AOB
BOC
AOC
S
S
S
1
D．若
AO AB
AO AC
AB
AC
且
CO CA
CO CB
CA
CB
，则点O 是ABC
的内心
4.设点O在ABC
内部，且4
0
OA
OB
OC
，则ABC
的面积与
OBC
△
的面积之比是（
）
A．3：2
B．3：1
C．4：3
D．2：1
5.在ABC
所在的平面内有一点P ，如果2PA
PC
AB
PB
，那么PBC
的面积与ABC
的面积之比是（
）
A．3
4
B．1
2
C．1
3
D．2
3
6.如图所示，设P 为ABC
所在平面内的一点，并且
1
2
5
5
AP
AB
AC
，则ABP
与ABC
的面积之比等于
（
）
A．1
5
B．1
2
C．2
5
D．1
7.如图所示，设P 为ABC
所在平面内的一点，并且
1
1
4
2
AP
AB
AC
，则BPC
与ABC
的面积之比等于
A．2
5
B．3
5
C．3
4
D．1
4
8.已知在ABC
中，O是ABC
的垂心，点P 满足：
1
1
3
2
2
2
OP
OA
OB
OC
，则ABP
的面积与ABC
的
面积之比是
A．2
3
B．3
4
C．3
5
D．1
2
9.设
1
3
AG
AB
AC
，过G 作直线l 分别交
,
AB AC（不与端点重合）于
,
P Q ，若AP
AB
，AQ
AC
uuuv
uuuv
，
若PAG
与QAG
的面积之比为2
3 ，则
A．1
3
B．2
3
C．3
4
D．5
6
10.(多选)O 是锐角三角形ABC 内的一点，A，B，C 是ABC
的三个内角，且点O 满足
OA OB
OB OC
OA OC
.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（
）
A．O 为ABC
的外心
B．
π
BOC
A
C．
:
:
cos
:cos
:cos
OA
OB
OC
A
B
C
D．tan
tan
tan
0
A OA
B OB
C OC
11.(多选)如图，P 为ABC
内任意一点，角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，则总有优美等式
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
△
△
△
成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的
有（
）
A．若ABC
是等边三角形，P 为ABC
内任意一点，且点P 到三边BC,CA,AB的距离分别是
1
2
3
,
,
h h h ，
则有
1
2
3
0
h PA
h
PB
h
PC
B．若P 为ABC
内一点，且
0
PA
PB
PC
，则P 是ABC
的内心
C．若P 为ABC
内一点，且
1
2
5
5
AP
AB
AC
，则
:
:
2:1: 2
PBC
PAC
PAB
S
S
S
D．若ABC
的垂心P 在ABC
内，
,
,
AD BE CF 是ABC
的三条高，则
0
PD
PE
PF
PA
PB
PC
AD
BE
CF
12.(多选)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车
(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC
内一点，BOC
，
AOC
，AOB
的面积分别为
,
,
A
B
C
S
S
S ，则
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
，O是ABC
内的一点，∠BAC ，
∠ABC ，∠ACB 分别是ABC
的三个内角，以下命题正确
．．的有（
）
A．若2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
4
:
:
:3: 2
A
B
C
S
S
S
B．若
2
OA
OB
，
2
3
AOB
，且2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
9 3
4
ABC
S
△
C．若OA OB
OB OC
OC OA
，则O为ABC
的垂心
D．若O为ABC
的内心，且5
12
13
0
OA
OB
OC
，则
π
2
ACB
13.“(多选)奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车
(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC
内一点，BOC
、
AOC
、AOB
的面积分别为
A
S 、
B
S 、
C
S ，则
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
.设O是锐角ABC
内的一点，
BAC
、
ABC
、
ACB
分别是ABC
的三个内角，以下命题正确的有（
）
A．若
2
3
0
OA
OB
OC
，则
:
:
1: 2:3
A
B
C
S
S
S
B．
2
OA
OB
，
5π
6
AOB
，2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
9
2
ABC
S
C．若O为ABC
的内心，3
4
5
0
OA
OB
OC
，则
π
2
C
D．若O为ABC
的重心，则
0
OA
OB
OC
14.（多选）如图. P 为ABC
内任意一点，角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，总有优美等式
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命
题的有（
）
A．若P 是ABC
的重心，则有
0
PA
PB
PC
B．若
0
aPA
bPB
cPC
成立，则P 是ABC
的内心
C．若
2
1
5
5
AP
AB
AC
，则
:
2:5
ABP
ABC
S
S
△
△
D．若P 是ABC
的外心，
π
4
A
，PA
mPB
nPC
，则
2,1
m
n
15.(多选)如图，P 为ABC
内任意一点，角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，则总有优美等式
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
△
△
△
成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的
有（
）
A．若P 是ABC
的重心，则有
0
PA
PB
PC
B．若
0
a PA b PB
c PC
，则P 是ABC
的内心
C．若
1
2
5
5
AP
AB
AC
，则
:
:
2: 2:1
PBC
PAC
PAB
S
S
S
D．若P 是ABC
的外心，且
π
4
A
，则
3π
sin
sin
0
2
PA
APC PB
APC
PC
16.已知O 是ABC
所在平面内一点，2
3
0
OA
OB
OC
，则AOC
与ABC
的面积比
AOC
ABC
S
S
△
△
．
17.我校高一同学发现：若O是ABC
内的一点，BOC
、AOC
、AOB
的面积分别为
A
S 、
B
S 、
C
S ，则
存在结论
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
，这位同学利用这个结论开始研究：若O为ABC
内的一点且为内心，
ABC
的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且
5
cos
6
B
，若BO
xBA
yBC
，则x
y
的最大值
为
.
18.三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点O在ABC
内部，用
A
B
C
S
S
S
、
、
分别代表
OBC
△
、OCA
、OAB
的面积，则有
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
．现在假设锐角三角形顶点
, ,
A B C 所对的边长分别为, , ,
a b c
H
为其垂心，
,
,
HA HB HC
的单位向量分别为
1
2
3
,
,
e e e
，则
1
2
3
ae
be
ce
．
19.点P 为ABC
内一点，
3
4
0
PA
PB
PC
，则
,
,
APB
APC
BPC
的面积之比是
.
20.请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P 是ABC
的重心，则有
0
PA
PB
PC
；
②若
0
aPA
bPB
cPC
成立，则P 是ABC
的内心；
③若
2
1
5
5
AP
AB
AC
，则
:
2:5
ABP
ABC
S
S
△
△
；
④若P 是ABC
的外心，
π
4
A
，PA
mPB
nPC
，则
2,1
m
n
；
⑤若ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
7
cos
8
A
，O 为ABC
内的一点且为内心.若
AO
xAB
yAC
，则x
y
的最大值为4
5 .
则正确的命题有
.（填序号）
21.已知ABC
所在平面内的动点M 满足AM
xAC
yAB
，且实数x，y 形成的向量
1
(
, )
2
a
x
y
与
( 1,2)
b
向量共线，则动点M 的轨迹必经过ABC
的
心.（在重心、内心、外心、垂心中选择）
22.已知点O 是△ABC 的外心，
6
8
AB
BC
，
，
2π
3
B
，若BO
xBA
yBC
，则3
4
x
y
．
23.已知O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
2
cos
cos
OA
OB
CA
CB
OP
CA
A
CB
B
，
R
，则P 的轨迹一定经过ABC
的
．(从“重心”，
“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）
24.已知O是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足
(
)
OP = OA+
AB+ AC
，
(0,
)
，则点P 的轨迹一定通过ABC
的
（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” )．
（2）已知O是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足
(
)
|
|
|
|
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，
(0,
)
，则点P 的轨迹一定通过ABC
的
．（填“内心”“外心”“重心”或“垂
心” )
25.点O是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上ABC
的三个顶点，
B
、
C
分别是边AC 、AB 的对角，
以下命题正确的是
（把你认为正确的序号全部写上）．
①动点P 满足OP
OA
PB
PC
，则ABC
的重心一定在满足条件的P 点集合中；
②动点P 满足
(
)(
0)
|
|
|
|
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，则ABC
的内心一定在满足条件的P 点集合中；
③动点P 满足
(
)(
0)
|
| sin
|
| sin
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，则ABC
的重心一定在满足条件的P 点集合中；
④动点P 满足
(
)(
0)
|
| cos
|
| cos
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，则ABC
的垂心一定在满足条件的P 点集合中；
⑤动点P 满足
(
)(
0)
2
|
| cos
|
| cos
OB
OC
AB
AC
OP
AB
B
AC
C
，则ABC
的外心一定在满足条件的P 点集合中．
