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专题 07 三角形中的四心问题与奔驰定理的应用
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题型01 重心...............................................................................................................................................................1
题型02 外心...............................................................................................................................................................4
题型03 内心...............................................................................................................................................................9
题型04 垂心.............................................................................................................................................................14
题型05 奔驰定理.....................................................................................................................................................21
题型 01 重心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的重心
1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
在平面向量的应用：（1）设点 是△ 所在平面内的一点，则当点 是△ 的重心时，有
或 （其中 为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示中，若 、 、 、 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为 、
、 ， ，则有 .
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知在 中， 为 的重心， 为边 中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.
【详解】在 中， 为 的重心， 为边 中点，对于A，因为 ，故A错误；
对于B，因为 ，故B错误；
对于C，因为在 中， 为边 中点，
则 ，
所以 ，故C正确；
对于D，若 成立，
则 ，即 ，则 ，
又 为边 中点，故 ，这不一定成立，故D错误.
故选：C．
2．（2024·全国·二模）点 是 所在平面内两个不同的点，满足 ，则直线 经
过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【分析】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.
【详解】设 的中点为点 ，所以 ，
则 ，
若 四点共线时，即点 都在中线 上，所以 经过三角形的重心，
若 四点不共线时， ，且 ，连结 ，交于点 ，
如图，
，即点 是三角形的重心，即 经过 的重心，
综上可知， 经过 的重心.
故选：A
3．（2024高三·全国·专题练习）G是 的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角 （ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】D
【分析】根据三角形的重心求得 ，再利用余弦定理来求得正确答案.
【详解】因为G是 的重心，所以有 ．
又 ，所以 ．
设 ，则有 ．由余弦定理，可得 ，所以 .
故选：D
二、多选题
4．（2024·辽宁·二模） 的重心为点 ，点O，P是 所在平面内两个不同的点，满足
，则（ ）
A． 三点共线 B．
C． D．点 在 的内部
【答案】AC
【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．
【详解】
，
因为点 为 的重心，
所以 ，所以 ，
所以 三点共线，故A正确，B错误；
，
因为 ，
所以 ，即 ，故C正确；
因为 ，
所以点 的位置随着点 位置的变化而变化，故点 不一定在 的内部，故D错误；
故选：AC．
三、填空题5．（2024·四川南充·模拟预测）已知点 是 的重心， ， ， ，则
．
【答案】
【分析】根据三角形重心的性质可得 ，平方后即可求得答案.
【详解】由于点 是 的重心，故 ，
故 ，
即 ，
故
，
故答案为：
四、解答题
6．（2024·浙江温州·模拟预测） 的角 对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知
.
(1)求 a 的长.
(2)求 的面积.
【答案】(1) ；
(2)18.
【分析】（1）根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合数量积的运算律求出a 的长.
（2）由（1）的信息，利用三角形面积公式，结合三角形重心的性质计算即得.
【详解】（1）在 中，由O是重心，得 ，即有 ，
于是 ，解得 ，
而 ，所以 .
（2）由（1）得 ，又O是重心，
所以 的面积 .
题型 02 外心
【解题规律·提分快招】一、三角形的外心
1.定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；
2.外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在
三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而
一个圆的内接三角形却有无数个．
3.外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
在平面向量的应用：若点 是△ 的外心，则 或
；
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·天津北辰·三模）在 中， ， 为 外心，且 ，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得 在 方向上的投影向量为 ，从而求得 ，
再根据余弦定理及基本不等式可求得最值．
【详解】
由O为△ABC外心，可得 在 方向上的投影向量为 ，
则 ，故 ，
又 ，设 ，
则
，
当且仅当 时等号成立，
由 可知， ，
故 的最大值为30°．
故选：A．
2．（2024·安徽·模拟预测）已知 的外心为 ，内角 的对边分别为 ，且 ．若 ，则 （ ）
A． B．50 C．25 D．
【答案】B
【分析】由题意设 ，由余弦定理结合 可求出 ，从而可求出
的值，求得 外接圆半径 ，由向量的线性运算、数量积运算化简求解即可.
【详解】由已知，令 ，所以 是等腰三角形．
由余弦定理，得 ．
因为 ，所以 ，解得 （负值已舍去），
所以 ．
设 的外接圆半径为 ，
因为 ，
所以 ，所以 ．
由 为等腰三角形知 ，
所以 ，即 ．
所以 ．
故选：B．
3．（23-24高三下·新疆·阶段练习）在 中， ， 是 的外心， 为 的中点，
， 是直线 上异于 、 的任意一点，则 （ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【分析】根据外心的性质得到 ，设 ，根据数量积的运算律得到
，再由数量积的定义及几何意义求出 ，从而得解.
【详解】因为 是 的外心， 为 的中点，设 的中点为 ，连接 ，所以 ， ，设 ，
则
，
又 是 的外心，所以
，
所以 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据外接圆的性质将 转化为 ，再一个
就是利用数量积的几何意义求出 .
4．（24-25高三上·辽宁·期中）设 的外心为 ，重心为 ，并且满足 ，则
当 最大时， 的外接圆半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设外接圆半径为 ，根据向量数量积的运算律结合重心的性质与二倍角的余弦公式得
，再利用导数求出极大值点即可.
【详解】设外接圆半径为 ，则根据重心向量公式有 ，
则
，
令 ，此时 ，
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减；
故当 最大时， 的外接圆半径为 .
故选；D
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知 为 的外心， ，则（ ）
A． 与 不共线 B． 与 垂直
C． D．
【答案】BC
【分析】利用向量的线性运算可得 ，可判断A；由 为 的外心，可得 与 垂直；
进而可得 与 垂直，可判断B；利用已知可求得 ，进而可求得 可判断C；由已
知可得 ，两边平方可求得 .
【详解】选项A：由 得 ，则 与 共线，故A错误．
选项B：因为 为 的外心，所以 ，所以 与 垂直，
(在 中，取 的中点 ，连接 ，则 ，所以 ，所以 )，因为 与 共线，所以 与 垂直，故B正确．
选项C：设 ，则 ，由 得 ，
所以 ，故C正确．
选项D：设 的外接圆半径为1，由 得 ，
所以 ，两边同时平方得 ，
即 ，所以 ，故D错误．
故选：BC.
三、填空题
6．（2024·四川凉山·三模）在 中，已知 ，点G为 的外心，点O为 重心，
则 ．
【答案】
【分析】设 的中点为 ，根据三角形外心性质，得 ，由重心性质得 ，再根
据数量积运算即可求解.
【详解】设 的中点为 ，连接 ，
由点G为 的外心，可得 ，
由点O为 重心，可得 ，
故
.
故答案为： .题型 03 内心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的内心
1.定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心
2.内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等
②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
3.内切圆
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做
圆的外切三角形
在平面向量的应用：若点 是△ 的内心，则有
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·山西晋城·阶段练习）已知 ， 是椭圆 的两个焦点，M为C
的顶点，若 的内心和重心重合，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 的内心和重心重合，判断 为等边三角形，得 即可.
【详解】如图所示， 为椭圆 的顶点，
且 的内心和重心重合，
所以 为等边三角形，
又因为 ，
所以 ，
即 .
故选：C.2．（2024·四川南充·三模）已知点P在 所在平面内，若 ，
则点P是 的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得 平分 ， 平分 ，结
合三角形内心定义判断即得.
【详解】在 中，由 ，得 ，
即 ，由 ，同理得 ，
显然 ，即 与 不重合，否则 ，同理 ，
则 ，即 ， ，
于是 平分 ，同理 平分 ，
所以点P是 的内心.
故选：D
3．（2024高三·全国·专题练习）若满足 ，则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】延长 交 于 ，延长 交 于 ，延长 交 于 ，利用 共线，得出
，得 是 的平分线，同理 都是 的内角平分线，从而可得 为
的内心.
【详解】延长 交 于 ，延长 交 于 ，延长 交 于 ，
，
又因为 ，所以 ，
而 共线，则存在实数 ，使得 ，所以 .
因为 不共线，所以 ， ，
所以 ，所以 是 的平分线，同理 都是 的内角平分线，
所以 为 的内心.
故选：B.
4．（2025高三·全国·专题练习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是
所在平面上的一点， ，则点 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【分析】条件可转化为 ， ，结合数量积的定义证明
， 由此确定 的位置.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
即 ， ，
所以 ，
．
所以 ， ，
又 ，
所以 ， ，
所以 在 的平分线上， 在 的平分线上，
所以点 是 的内心．
故选：C．
二、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为 的内心，记直线 的斜率分别为 ，若 ，则椭圆E的离心
率为 ．
【答案】 /
【分析】由椭圆的性质结合题意得到 ，再由椭圆的第二定义得到 ，解出 ，
然后由等面积法得到 ，最后利用 解出即可.
【详解】设 ，设圆与 轴相切于点M，N，T，
所以 ，
所以 ，
即 ，又 ．
由椭圆的第二定义可知 ，
所以 ，所以 ，
由等面积法得到 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，即 ．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用椭圆的第二定义得到 后再结合椭圆的性质和
求出 .
6．（2024·全国·模拟预测）已知 为椭圆 上任意一点， 为左、右焦点， 为 的内心，
记 的面积分别为 ，则 的值为 ．【答案】 /
【分析】不妨设 ，且 的内切圆半径为 ，由 ，取得
，再结合椭圆的定义即可求解．
【详解】由椭圆 ，可得 ，则 ，所以 ,
如图所示，不妨设 ，且 的内切圆半径为 ，
可得 ，
又由 ，
可得 ，即 ，
又由 ，
所以 ．
故答案为：
题型 04 垂心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的垂心
1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；
在平面向量的应用：若 是△ 的垂心，则 或
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·广东汕尾·期末）在 中， ，点 为 的垂心，且满足
， ，则 （ ）A． B．－1 C． D．
【答案】D
【分析】一方面：根据已知得出 ，另一方面：由三点共线的推论即可列式求解.
【详解】由题意可知 是以A为顶角的等腰三角形，
如图所示： ， ，则 ，
在直角三角形 中， ，即 .
设 ，
则 ，
，
所以 ，所以 .
故选：D.
2．（23-24高三下·广东惠州·期中）已知三棱锥 中，若 ， ， 两两互相垂直，作 平
面 ，垂足为 ，则点 是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】连接 并延长，交 于点 ，连接 并延长，交 于点 ，所以证明 平面 ，得
到 ，再由线面垂直得到 ，即可得到 平面 ，从而得到 ，同理可证
，即可得解.
【详解】如图，连接 并延长，交 于点 ，连接 并延长，交 于点 .
因为 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，即 ，
同理可证 ，所以 是 的垂心.
故选：D.
3．（2025高三·全国·专题练习）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足
，则点P的轨迹经过 的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】C
【分析】计算 ，可得 ，结合三角形的性质得出答案.
【详解】 ，
则 ，即 ，
故 ，即点P的轨迹经过 的垂心．
故选：C.
4．（23-24高三下·贵州贵阳·期末）已知点 在 所在平面内，且 ，
， ，则点 依次是 的（ ）
A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心
C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心
【答案】A
【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可.
【详解】因为|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|，即O到 各顶点距离相等，所以O为 的外心；
取 的中点分别为 ，连接 ，
则有 ，
所以 三点共线， 三点共线， 三点共线，
即N为 的重心；由 ，即 ，同理 ，
所以 为 垂线的交点，故 为 的垂心.
故选：A
二、多选题
5．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）在等腰 中，已知 ，若 分别为
的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据三角形各心的性质结合向量的加减法则即可求得.
【详解】A选项： 为垂心，为高线的交点，则 ，选项A正确．
B选项： ，选项B正确；
C选项： ，选项C正确；
D选项： ，选项D错误；
故选：ABC
6．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物
线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，从点 发
出平行于 轴的光线经过抛物线上的点 反射后再经过抛物线上另一点 ，则（ ）
A．存在点 使得点 .都在以 为圆心的圆上
B．存在点 使得点 是 的垂心
C．存在点 使得点 是 的重心
D．点 到直线 的最短距离为4
【答案】BCD
【分析】根据圆的性质，以及抛物线的对称性，即可判断A，根据光学性质，利用点 的坐标表示点的坐标，再根据垂心，重心，即可判断BC，利用坐标表示点 到直线 的距离，即可判断D.
【详解】A.由题意可知， 三点共线，根据对称性可知，若存在点 使得点 .都在以 为
圆心的圆上，则 为通径，则 , ，则以点 为圆心的圆的半径为2，但 ，所
以不存在点 使得点 .都在以 为圆心的圆上，故A错误；
B.由 ，则 ， ，则直线 ，与抛物线方程
联立，得 ，
则 ，所以 ，则 ，即 ，若存在点 使得点 是 的垂心，则
， ，
， ，则 ，①
， ，则 ，②，且 ，③，联立①③，得
，
联立①②，得 ，则 ，得 成立，故B正确；
C.若存在点 使得点 是 的重心，则 ， ，
得 ， ，即 ，故C正确；
D.点 到直线 的最短距离为 ，当 时，即 时等号成立，
点 到直线 的最短距离为4，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合光学性质，利用点 的坐标表示点 的坐标.
三、填空题
7．（23-24高三下·北京东城·阶段练习）在三角形 中，点 是三角形 所在平面内一点， 的
三个内角 的对边分别是 ，则下列给出的命题：
①若 ，则点 是三角形 的垂心；
②若向量 ，则点 的轨迹通过 的重心；③若 ，则点 是三角形 的内心；
④若 ，则点 是三角形 的内心．
其中正确的命题是： 填写正确结论的编号)
【答案】①②③
【分析】根据向量运算，以及三角形垂心、重心、内心、外心等知识对 个命题进行分析，从而确定正确
答案.
【详解】①由 得， ，即 ，
同理可得， ，则点 是 的垂心，①正确；
②在 中，以AB、 为邻边作平行四边形 ，则 ，
从而 ，进而 一定在 的 边的中线上，
由此得到点 的轨迹一定过 的重心，②正确；
③ 时，
向量 分别表示在边 和AB上取单位向量 和 ，
它们的差是向量 ，当 ，即 ，
而三角形 是等腰三角形，
所以点 在 的平分线上，同理可得点 在 的平分线上，
故 为 的内心，③正确；
④ 时，是以 、 为平行四边形的一条对角线，
而 是该平行四边形的另一条对角线， 时，
表示这个平行四边形是菱形，即 ，同理得 ，
故 为 的外心，④错误．
故答案为：①②③
四、解答题
8．（23-24高三下·广西桂林·阶段练习）已知 的内角A， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
．
(1)求A的大小；
(2)请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使 存在，并解决问题：
为 内一点， 的延长线交 于点 ，求 的面积．
① 为 的外心， ；
② 为 的垂心， ；
③ 为 的内心， ．
【答案】(1)
(2)选①，不合要求，选②③，面积为
【分析】（1）由余弦定理得到 ，得到 ，求出 ；
（2）选①， 为 的外心， ，由正弦定理得到 ，与 矛盾，舍去；
选②，计算出 ，故 ， ，根据 ，得到
，利用正切和角公式得到 ，从而求出
，所以 ， 为等边三角形，求出 的面积；
选③，根据 和三角形面积公式得到 ，结合 ，求出 ，求
出三角形面积.
【详解】（1）在 中，由余弦定理得 ，
又因为 ， ，
所以 ，整理得 ．
在 中，由余弦定理得 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ．
（2）选①， 为 的外心， ；
设 的外接圆半径为 ，则在 中，由正弦定理得
，即 ，
因为 为外心，所以 ，与 矛盾，故不能选①．
选②， 为 的垂心， ；
因为 为 的垂心，所以 ，
又 ，所以在 中， ，
同理可得 ，
又因为 ，所以 ，
即 ，
又因为在 中， ，
所以 ，因此 ，
故 ， 为方程 两根，
即 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 为等边三角形，
所以 ．
选③， 为 的内心， ，
因为 为 的内心，所以 ，
由 ，得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
由（1）可得 ，即 ，所以 ，即 ，又因为 ，所以 ，
所以 ．
题型 05 奔驰定理
【解题规律·提分快招】
一、奔驰定理
1.奔驰定理：O是△ABC内一点，且
x⃗OA+ y⃗OB+z⃗OA=0⃗,
，则
S
ΔBOC
:S
ΔCOA
:S
ΔAOB
=¿x:y:z ¿
2.奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且x⃗OA+ y⃗OB+x⃗OA=0⃗,，则：
** 错误的表达式 ** S ：S :S =x:y:z
∆BOC ∆AOC ∆AOB
S x S y S z
** 错误的表达式 ** ∆BOC =| |; ∆AOC =| |; ∆AOB=| |
S x+ y+z S x+ y+z S x+ y+z
∆ABC ∆ABC ∆ABC
由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理.
二、奔驰定理的证明
奔驰定理：O是ΔABC
内一点
，且 x ¿ ⃗OA+ y ⋅ ⃗OB+z ⋅ ⃗OC=0⃗ ，则 S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =¿x:y:z ¿
A
A
O
O
B C B D C
O ΔABC ΔBOC,ΔAOC,ΔAOB S S S
已知 是 内的一点， 的面积分别为 A， B， C，求证：
S ¿ ⃗OA+ ¿S ¿ ⃗OB+ ¿S ¿ ⃗OC=0⃗ ¿¿
A B C
BD S S −¿S S
= ΔABD = ΔBOD =S ΔBOD = C ¿¿
法一证明：延长 OA 与 BC 边相交于点D则 DC S ΔACD S ΔCOD ΔABDS ACD −¿S ΔCOD S B
DC BD S S
B C
O⃗D= BC⃗OB BC⃗OC S +S ⃗OB S +S ⃗OC
+ = B C + B C
S
OD S S S +S S
O⃗D=− A
= BOD = COD = BOD COD = A S +S
∵
OA S
BOA
S
COA
S
BOA
+S
COA
S
B
+S
C∴ B C
O⃗A
S
− A S S
B C
∴
S
B
+S
C
O⃗A
=
S
B
+S
C
⃗OB
+
S
B
+S
C
⃗OC
∴ S A ¿ ⃗OA+ ¿S B ¿ ⃗OB+ ¿S C ¿ ⃗OC=0⃗ ¿¿→ → → → → →
OA=xOA,OB =yOB,OC =zOC,
法二证明：延长OA到OA ，OB到OB ,OC到OC 使得， 1 1 1 O为
1 1 1
△AB C 的重心.
1 1 1
1
|OA||OB|sin∠AOB
SΔAOB 2 1
= =
SΔA OB 1 xy
1 1 |OA||OB|sin∠A OB
2 1 1 1 1
1
|OA||OC|sin∠AOC
SΔAOC 2 1
= =
SΔA OC 1 xz
1 1 |OA||OC|sin∠A OC
2 1 1 1 1
SΔA OB =xySΔAOB，
1 1
SΔA OC =xzSΔAOC，
1 1
xySΔAOB=xzSΔAOC，
SΔAOB z
=
SΔAOC y
得证.
三、三角形四心与奔驰定理的关系及证明
① 是 的重心： ．
证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得
② 是 的内心：
证明： ， ， （ 为 内切圆的半径），所以
，再由奔驰定理可得
③ 是 的外心： ．
证明： ，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得 ，所以
（ 为 外接圆的半径），同理可得， ，所以 ，再由奔驰定理可得
④ 是 的垂心：
证明：如图 为 的垂心，则有 ， ，所以 ，所以
，同理可得
，所以 ，再由奔驰定理可得
【典例训练】
一、多选题
1．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理
对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知 是
内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则 ．设 是
内一点， 的三个内角分别为 ， ， ， ， ， 的面积分别为 ， ，
，若 ，则以下命题正确的有（ ）
A．
B． 有可能是 的重心
C．若 为 的外心，则
D．若 为 的内心，则 为直角三角形
【答案】AD
【分析】由奔驰定理可判断A选项，利用重心结论可判断B选项；
由外心可知 ，即可判断C选项；
由内心可知 ，满足勾股定理，D选项正确.【详解】对于A，由奔驰定理可得， ，
因为 ， ， 不共线，所以 ，故A正确；
对于B，若 是 的重心， ，
因为 ，所以 ，即 共线，故B错误．
对于C，当 为 的外心时， ，
所以 ，
即 ，故C错误．
对于D，当 为 的内心时， （ 为内切圆半径），
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：AD.
2．（23-24高三下·重庆沙坪坝·期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与
“奔驰”轿车的logo非常相似，该结论如下：如图，已知 是 内部一点，将 ， ，
的面积分别记为 ， ， ，则 .根据上述结论，下列命题中正确的有
（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 为 的内心，且 ，则
D．若 为 的垂心，则
【答案】BCD
【分析】对于A，由奔驰定理即可直接判断；
对于B，结合平面向量的线性运算可得 ，进而由奔驰定理即可直接判断；
对于C，由奔驰定理可得 ，设 的内切圆半径为 ，结合面积公式可得
，进而结合勾股定理即可求解；
对于D，结合 为 的垂心，可得 ， ，，进而根据平面向量数量积的定义可得
，进而求解即可.
【详解】对于A，由奔驰定理可得 ，故A错误；
对于B，由 ，即 ，
整理得 ，由奔驰定理可得 ，故B正确；
对于C，由 ，可得 ，
设 的内切圆半径为 ，
则 ， ， ，
所以 ，即 ,
所以 ，即 ，故C正确；
对于D， ， ， ，
因为 为 的垂心，
所以 ， ， ，
又 ，
，
,
所以 ，即 ，
同理可得 ，
所以 ，
所以 ，
由奔驰定理可知D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题关键在于理解题意，由 得到 ，进而
结合平面向量的数量积及线性运算求解即可.
3．（23-24高三上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个
非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：
已知M是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且．以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则M为 的重心
B．若M为 的内心，则
C．若M为 的垂心， ，则
D．若 ， ，M为 的外心，则
【答案】ABC
【分析】A选项， ，作出辅助线，得到 三点共线，同理可得M为 的重心；
B选项，设内切圆半径为 ，则 ， ， ，代入后得到
；C选项，得到 ，作出辅助线，由面积关系得到线段比，
设 ， ， ，则 ， ， ，结合三角函数得到 ，
，进而求出正切值的比；D选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，
得到比值.
【详解】A选项，因为 ，所以 ，
取 的中点 ，则 ，所以 ，
故 三点共线，且 ，
同理，取 中点 ， 中点 ，可得 三点共线， 三点共线，
所以M为 的重心，A正确；
B选项，若M为 的内心，可设内切圆半径为 ，
则 ， ， ，
所以 ，即 ，B正确；
C选项，若M为 的垂心， ，
则 ，
如图， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，相交于点 ，
又 ，
，即 ，
，即 ，
，即 ，
设 ， ， ，则 ， ， ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
同理可得 ，即 ，故 ，
，则 ，
故 ，
，则 ，
故 ，
，故 ，
同理可得 ，
故 ，C正确；
D选项，若 ， ，M为 的外心，
则 ，
设 的外接圆半径为 ，故 ，
，
故 ， ， ，
所以 ，D错误.
故选：ABC
【点睛】结论点睛：点 为 所在平面内的点，且 ，则点 为 的重心，
点 为 所在平面内的点，且 ，则点 为 的垂心，
点 为 所在平面内的点，且|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|，则点 为 的外心，
点 为 所在平面内的点，且 ，则点 为 的内心，
二、填空题
4．（23-24高三下·湖南·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非
常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如
图，若 是 内一点， 的面积分别为 ，则有 .
已知 为 的内心，且 ，若 ，则 的最大值为 .【答案】
【分析】利用 为 的内心，再结合奔驰定理可得 ，再由已知条件转化可得
，利用平面向量基本定理可知 ，从而得到
，再由 ，可得 ，利用均值不等式可得
，最后可得 .
【详解】因为 的内心 到该三角形三边的距离相等，则 ，
由 可得 ，所以 ，
又 ，
则 ，所以 ，
两式相加可得 ，化简可得 ，
又 ，由余弦定理可得 ，
由基本不等式可得 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 .故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用奔驰定理得到 ，再结合余弦定理和基本不等式即
可得到 ，最后即可得到 的最大值.
一、单选题
1．（23-24高三下·河北张家口·期末）已知三棱锥 中， ，作 平面ABC，垂
足为 ，则 为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理即可得解.
【详解】连接 ，由 平面 ， 平面 ，得 ，又 ，
平面 ，则 平面 ，又 平面 ，
因此 ，同理 ，所以 为 的垂心.
故选：D
2．（2024高三·全国·专题练习）已知三角形 的外心为 ， ， ，则 在
上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 得 为斜边 的中点，过点 作 ，垂足为 ， 在 上的投影向量为
，再由 、 共线可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，所以 是直角三角形．
又 为 的外心，所以 为斜边 的中点，所以 ．
如图，过点 作 ，垂足为 ，故 在 上的投影向量为 ，
又 ，
，
故 ，因此 在 上的投影向量为 .
故选：D．
3．（24-25高三上·北京通州·期中）已知 是 的重心，过点 作一条直线与边 ， 分别交于点
， （点 ， 与所在边的端点均不重合），设 ， ，则 的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】由平面向量的基本定理得到 的等式，再用基本不等式求得最小值.
【详解】如图：
取 中点 ，则 ， ，
，
∵ 三点共线，∴ ，即 ，
∴ ，
当且仅当 时，取等号；故选：B
4．（24-25高三上·湖北·开学考试）在三棱锥 中，三个侧面与底面 所成的角均相等，顶点
在 内的射影为 ，则 是 的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【答案】C
【分析】根据三垂线定理可得平面的夹角，结合题意得 ，即可根据锐角三解函数得
，由内心的性质即可求解.
【详解】若三个侧面与底面所成的角相等，则分别作三个侧面三角形的斜高 ，
由三垂线定理，得 ， ， ，
则 、 、 分别是三侧面与底面所成角的平面角，
，
， ， ，
，
是 的内心．
故选：C．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，右顶点为 ，点
是 右支上一点，点 是 的重心，若 ，则点 到 的两条渐近线的距离之和为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】由重心性质结合 可得 的横坐标，即可得 的横坐标，从而可得 的坐标，再借助点
到直线的距离公式计算即可得解.
【详解】如图，由已知可得点 的坐标为(2,0)，设点P(x ,y )，
0 0
因为点 是 的重心，由 可得点 的横坐标 ，则 ，
将 代入双曲线方程可得 ，解得 ，
则点 的坐标为 或 ，由双曲线的对称性，可知点 的两个坐标到渐近线的距离之和相同，
取点 ，由双曲线方程可得渐近线方程为 ，
则点 到双曲线两条渐近线的距离之和为 ．
故选：B.
6．（23-24高三下·浙江·期中）设O为 的内心， ， ，
，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取 的中点 ，连 ，则 为内切圆的半径，利用面积关系求出 ，得 ，再根
据 得 ，由平面向量基本定理求出 可得答案.
【详解】取 的中点 ，连 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 的内心 在线段 上， 为内切圆的半径，
因为 ，
所以 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，又已知 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径,进而得到 是本题解题关键.
7．（2024高三·全国·专题练习）若 的三边为a，b，c，有 ，则 是 的（
）
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】在 ， 上分别取点 ， ，使得 ， ，以 ， 为邻边作平行四边形
，即可得到四边形 是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到 ， ， 三点共
线，即可得到 在 的平分线上，同理说明可得 在其它两角的平分线上，即可判断.
【详解】在 ， 上分别取点 ， ，使得 ， ，则 ．
以 ， 为邻边作平行四边形 ，如图，
则四边形 是菱形，且 ．
为 的平分线． ，
，
即 ，．
， ， 三点共线，即 在 的平分线上，
同理可得 在其它两角的平分线上，
是 的内心．
故选：B．
8．（24-25高三·上海·课堂例题）已知 ，点P是平面ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的投影．
①点P到 的三个顶点的距离相等；
②点P到 的三边的距离相等且O点在 内；
③ ， ， ．
当点P分别满足以上条件时，点O一定是 的（ ）
A．外心、垂心、内心； B．垂心、内心、外心；
C．内心、外心、垂心； D．外心、内心、垂心．
【答案】D
【分析】对于①，利用 推出 ，即得点 是 的外心；对于②，由
通过证明线面垂直推得 ， ，再证 ，推得点 在 的平
分线上，同理即得点 是 的内心；对于③，利用线线垂直证得线面垂直，继而又得线线垂直，再证
线面垂直，得线线垂直，即得垂心.
【详解】
当点P满足条件①时，如图1， 平面 ，因 是平面 内的直线，故
，
又 ，则 ，故得 ，即点 是 的外心；
当点P满足条件②时，如图2， 因 平面 ， 平面 ，则
，
因 平面 ，故得 平面 ，因 平面 ，则 ，
同理可得 ，因 ，可得 ，即点 在 的平分线上，
同理，点 也在 的平分线上,故点 是 的内心；当点P满足条件③时，如图3，因 ， ， 平面 ，故 平面
，
因 平面 ，则 ，因 平面 ， 平面 ，则 ，
又 平面 ，故 平面 ，又 平面 ，则 ，
同理得 ，即点O一定是 的垂心.
故选：D.
9．（23-24高三下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为 内的一点， ，
， 的面积分别为 ， ， ，则 ．因其几何表示酷似奔驰的
标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为 的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知 ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三边，先求出角B的余弦值,再由内心可得到 ，进而由“奔驰定理”得到
，在对向量进行线性运算即可.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
因为O为 的内心，设 ，由题意 ，
则 ，
同理可得
所以根据“奔驰定理”有 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，．
故选：A．
10．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）若O是 的外心，且
，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用数量积的定义将向量全部转化为三角形边角的关系，结合基本不等式求解.
【详解】设
由 ，
可得 ,
化简得 ，
若O是 的外心，O是三边中垂线的交点，得
代入上式得 ，
所以 ，
根据题意知， 是三角形 外接圆的半径，
可得
所以
因为 所以 ，
所以 ,当且仅当 时取等号，
所以 当且仅当 时取最值.
故选：B.11．（24-25高三上·吉林长春·期中）如图，在等腰直角 中， ，点 是边AB上异于端点
的一点，光线从点 出发经 边反射后又回到点 ，若光线 经过 的重心，则 的周长
等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】建立如图所求的直角坐标系，得 ，设 ，求出 关于直线 的对称点 的坐
标， 关于 轴对称点 的坐标，由反射性质 四点共线，求得直线 方程，由 在直线 上
可求得 ，然后计算 即可．
【详解】建立如图所求的直角坐标系，得 ，
则直线 方程为 ，
且 的重心为 ，即 ，
设 ， 关于直线CB的对称为 ，
则 ，解得 ，则 ，
易知 关于 轴的对称点为 ，
根据光线反射原理知 四点共线，
所以直线 的方程为， ，即 ，
又直线 过 ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ， , ,
所以 .
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把 的三边转化为到同一
条直线上，利用直线方程求得点 位置，然后得路程的最小值．
二、多选题
12．（23-24高三下·湖北荆州·阶段练习）已知 内角 的对边分别为a,b,c， 为 的重心，
1
cosA= ,AO=2，则（ ）
5
A． B．
C． 的面积的最大值为 D． 的最小值为
【答案】BCD
【分析】利用重心性质及向量线性运算得 ，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，
向量的数量积的定义可求得 的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理
判断CD．
【详解】
对于A， 是 的重心，延长 交 于点 ，则 是 中点，2 2 1 1 1
⃗AO= ⃗AD= × (⃗AB+⃗AC)= ⃗AB+ ⃗AC，A错误；
3 3 2 3 3
对于B，由 ，得 ，所以
9⃗AO2=(⃗AB+⃗AC) 2=⃗AB2+⃗AC2+2⃗AB⋅⃗AC≥2|⃗AB||⃗AC|+2⃗AB⋅⃗AC，
又 ，即|⃗AB||⃗AC|=5⃗AB⋅⃗AC
所以 ，所以 ，当且仅当|⃗AB|=|⃗AC|时等号成立，B正确；
对于C， ，当且仅当|⃗AB|=|⃗AC|时等号成立，
， ，C正确；
对于D，由9⃗AO2=(⃗AB+⃗AC) 2=⃗AB2+⃗AC2+2⃗AB⋅⃗AC，得
2 2 2
|⃗AB| +|⃗AC| =36−2⃗AB⋅⃗AC=36− |⃗AB||⃗AC| ，
5
所以
， ，当且仅当|⃗AB|=|⃗AC|时等号成立，所以 的最小值是 ，D正确.
故选：BCD.
13．（23-24高三下·江苏扬州·期中）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中正
确的是（ ）
A．若向量 ，则 的外心为 中点
B．若点G为 的重心，则
C．若点O为 所在平面内一点，且 ，则
D．若点I为 的内心，则
【答案】ABD
【分析】利用向量坐标运算及模的坐标表示计算判断A；利用三角形重心定理计算判断B；利用数量积运
算律计算判断C；利用三角形内角平分线性质推理计算判断D作答.
【详解】对于A， ， ， ，判断出 是等腰直角三角形，所
以A正确；
对于B，点G为 的重心，如图，延长 交BC于E，则E是BC中点，则
，因此， ，B正确；
对于C，由 得： ，即 ，点O在 边BC的高所在直线上，显然 ，C不正确；
对于D，I为 的内心，如图，延长 交BC于D，显然 分别平分 ，则有
， ， ， ，
，
同理 ， ，
所以 ，
D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：用平面向量求解平面几何问题的解答策略：
1、首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量进行表示,然后选择适当的基底向量,将相关的向量表示
为基底向量的线性组合,把问题转化为基向量的运算问题；
2、再将向量的运算的结果还原为几何关系,应用向量相关的知识,可巧妙地解决三角形四心所具备的一些特
定的性质,同时也应熟记应用三角形四心的几何特征及应用向量的运算公式,若不含图形,可直接运用相应的
运算法则求解；
3、若含有图形,可将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线的
性质等,把未知向量用已知向量进行表示.
14．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）边长为1的正三角形 的内心为 ，过 的直线与边
交于 ，则（ ）
A． B．当 时，此时
C． 的最大值为18 D． 的最小值为15
【答案】BCD【分析】对于A：设 ， ，根据三点共线结合向量分析判断；对于B：根据题意求
，即可得结果；对于CD：设 ，利用正弦定理可得 ，
，代入整理可得 ，即可判断最值.
【详解】连接AO并延长，交BC于D，则D是BC的中点，
设 ， ， ， ，可知 ，
则 ， ，
可得 ， ，
因为P，O，Q三点共线，则 ，且 ，
可得 ，则 ，即 ，
可得 ，即 ，
所以 ，故A错误；
对于选项B：当 时，可知 为中位线，
则 ，所以 ，故B正确；
对于选项CD：设 ，则 ．
在 中， ， ， ，
由正弦定理得： ，即 ，可得 ，
在 中， ，
由正弦定理得： ，
即 ，可得
则 ，
因为 ，则 ，可得 ，
当 时， 取到最大值18，故C正确；
当 或 时， 取到最小值15，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：对于图形中的范围问题，常常利用正、余弦定理进行边角转化，结合三角函数相关
知识求最值.
15．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理
对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：
已知O是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
．设 是锐角 内的一点， 、 、 分别是的 三
个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ， ，则C．若O为 的内心， ，则
D．若O为 的垂心， ，则
【答案】ACD
【分析】利用“奔驰定理”可判断A选项；求出 ，结合“奔驰定理”可判断B选项；利用“奔驰定
理”可得出 的值，结合勾股定理可判断C选项；对D，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得
，结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得
，如图所示 分别为垂足，可设 ，
，即可由几何关系列式 解出 ，最后由正切求出余弦值 ，
则由 可求.
【详解】对于A选项，因为 ，
由“奔驰定理”可知 ，A对；
对于B选项，由 ， ，可知 ，
又 ，所以 ，
由 可得， ， ，
所以 ，B错；
对于C选项，若 为 的内心， ，则 ，
又 （ 为 内切圆半径），
所以， ，故 ，C对；
对D，若O为 的垂心，则 ， ，
又 ，
同理 ，
又 ，则 ，
且如图， 分别为垂足，
设 ， ，则 ，
又 ，故 ，
由 ，解得 ，
由 ，
故 ，D对.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式
和奔驰定理判断结论即可.
三、填空题
16．（24-25高三上·上海静安·期中）已知 在平面 上，平面 外一点 满足 ， ，
，则点 在平面 上的投影点 是 的 .（请在“外心”、“内心”、“垂心”中选填一
个）
【答案】垂心
【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定与性质推理判断.
【详解】连接 ，由 ， ， 平面 ，
得 平面 ，而 平面 ，则 ，又 平面 ，
则 ，又 平面 ，因此 平面 ，
而 平面 ，则 ，同理 ，
所以点 是 的垂心.
故答案为：垂心17．（2024高三·全国·专题练习）在锐角 中，内角 的对边分别为 ， 为其外心.
若 外接圆半径为 ，且 ，则 的值为 .
【答案】
【分析】由向量数量积及三角形外心的定义可知 ， ，然后化
简已知等式，得到 的值.
【详解】由题意可知 ，
同理可得 ，
，
，
，由正弦定理 ,
，
.
故答案为：√3
18．（2024高三·全国·专题练习）请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P是 的重心，则有 ；
②若 成立，则P是 的内心；
③若 ，则 ；
④若P是 的外心， ， ，则 ；
⑤若 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，O为 内的一点且为内心.若，则 的最大值为 .
则正确的命题有 .（填序号）
【答案】①②④⑤
【分析】根据已知可推得 ，根据“奔驰定理”即可得出①；记点P到AB，BC，CA的
距离分别为 ， ， ，根据“奔驰定理”得出 ，进而结合已知即可得出
②；根据平面向量基本定理表示出 ，根据“奔驰定理”化简，结合 ， 不共线，即可推得
③错误；根据已知得出 ，换元为三角函数，根据辅助角公式化简即可得出④；根据已知推得
.然后根据余弦定理，结合基本不等式，即可得出范围.
【详解】对于①：如图所示，因为D，E，F分别为CA，AB，BC的中点，
所以 ， ， ，
同理可得 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，故①正确；
对于②：记点P到AB，BC，CA的距离分别为 ， ， ，
则 ， ， ，
因为 ，则 ，
即 .
又因为 ，
所以 ，所以点P是 的内心，故②正确；
对于③：因为 ，所以 ， ， ，
所以
，
化简得 ，
又因为 ， 不共线，
所以 ，即 ，
所以， ，故③错误；
对于④：因为P是 的外心， ，
所以 ， ， .
因为 ，
则 ，
化简得 .
由题意知m，n不同时为正.记 ， ，
则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故④正确；
对于⑤：∵O为 的内心，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
即 ， ，
∴ .
∵ (当且仅当
时取等号)，
∴ ，∴ ，
∴ (当且仅当 时取等号)，
∴ 的最大值为 ，故⑤正确.
故答案为：①②④⑤.
四、解答题
19．（23-24高三下·重庆·期末）在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ， ，求边 上的角平分线 长；
(3)若 为锐角三角形，点 为 的垂心， ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
（2）利用余弦定理求出 ，再由等面积法计算可得；
（3）延长 交 于 ，延长 交 于 ，设 ， ，分别求出 、 ，再根据
三角恒等变换化一，结合正切函数的性质即可得解.【详解】（1）因为 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，
则 ，
因为 ，所以 ；
（2）因为 ， ， ，
即 ，解得 ，
设边 上的角平分线 长为 ，
则 ，即 ，
即 ，解得 ，即边 上的角平分线 长为 ；
（3）延长 交 于 ，延长 交 于 ，
设 ， ，所以 ，
在 中 ，
在 中 ， ，所以 ，
在 中 ，同理可得 ，
所以，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
(1 )
即 的取值范围为 ,1 .
2
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
20．（24-25高三上·广东·阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为
，且 .D是AB的中点，点E在线段AC上且 ，线段CD与线段BE交于
点M（如下图）
(1)求角A的大小：
(2)若 ，求 的值；
(3)若点G是 的重心，求线段GM的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1） ，结合面积公式和余弦定理，化简得到 ，求出 ，
；
（2）由三点共线得到 ， ，从而得到方程组，求出
，得到答案；
（3）法一：由重心定义得到 ，进而求出 ，根据三角形面积公式得
到 ， 两边平方，结合基本不等式求出 ；
法二：由（2）得 ，故 ，M为CD中点， ，由三角形面积公式得
到 ，在 中，有余弦定理和基本不等式得到 ，故 .
【详解】（1）因为 ，
所以 .
所以 ，
所以 ，故 ，
又 ，所以 ，
所以 ；
（2）由题意 ， ，
由D、M、C三点共线得 ，即 ，
故 ，
所以 ，
同理由B、M、E三点共线可得 ，∴ ，
∴
（3）法一；由重心定义得 ，
∴ ，
∴ ，
∴
，当且仅当 时，等号成立，
∴ ，
当且仅当 时取等号.
∴线段GM的最小值为 ；
法二：由（2）得 ， ，
故 ，故M为CD中点，
又重心G为CD三等分点，故 ，
∵ ，
∴在 中， ，
当且仅当 时取等号，故 ，
∴ .
即线段GM的最小值为 .
21．（23-24高三下·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 ： 的焦点为F，点 ， ，在抛物线 上，直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ．
(1)若F为 的重心，求证： 为定值；
(2)若F为 的垂心，求证： 为定值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求得 ， ， 的表达式，再利用三角形重心的性质即可求得 为定值
0；．
（2）利用 ， ， 的表达式，结合三角形垂心的性质即可求得 为定值 ．
【详解】（1）抛物线 ： 的焦点F的坐标为(1,0)，
因为F为 的重心，所以 ，①．
因为 ②，同理可得 ③， ④，
由①②③④可得 ，
故 ．
（2）若F为 的垂心，则 ， ， ，
所以 ， ， ，
即 ，⑤
，⑥
，⑦．
由⑤⑥可得 ，
进一步化简可得 ，⑧．
由⑦可得 ，⑨由⑧⑨可得 ，⑩
由⑧⑩可得 ，
结合⑨， ，
可得 ，
即 ，
则 ，
即 ，
故 （定值）．
