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重难点突破01 奔驰定理与四心问题
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技巧一．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点．
已 知 的 顶 点 ， ， ， 则 △ ABC 的 重 心 坐 标 为
．
注意：（1）在 中，若 为重心，则 ．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示： ．奔驰定理： ，则 、 、 的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令 ，即满足
， ， ，故 ．
技巧三．三角形四心与推论：
（1） 是 的重心： ．
（2） 是 的内心： ．
（3） 是 的外心：
．
（4） 是 的垂心：
．
技巧四．常见结论
（1）内心：三角形的内心在向量 所在的直线上．
为 的内心．
（2）外心： 为 的外心．
（3）垂心： 为 的垂心．
（4）重心： 为 的重心．
题型一：奔驰定理
例1．（2023·全国·高一专题练习）已知 是 内部的一点， ， ， 所对的边分别为 ，
， ，若 ，则 与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由正弦定理 ,又 ， ， ，所以得 ,
因为 ,所以 .
设 可得 则 是 的重心，
，利用 , ,所以
,所以 ,同理可得 , .所以
与 的面积之比为 即为 .
故选：A.
例2．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知 是三角形 内部一点，且 ，
则 的面积与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设 ，∵ ，∴ ，设 与 交于点 ，则
平分 ，∴ ， 是 中点，
∴ ．比值为 ．
故选：C．例3．（2023·全国·高一专题练习）若点 是 所在平面内的一点，点 是边 靠近 的三等分点，
且满足 ，则 与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 是 所在平面内一点，连接 ， ，延长 至 使 ，
∵ ，∴ ，
连接 ，则四边形 是平行四边形，向量 和向量 平行且模相等，
由于 ，所以 ，又 ，所以 ，
在平行四边形中， ，则 与 的面积比为 ，
故选：C.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）平面上有 及其内一点O，构成如图所示图形，若将 ，
， 的面积分别记作 ， ， ，则有关系式 ．因图形和奔驰车
的 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
满足 ，则O为 的（ ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】由 得 ，
由 得 ，
根据平面向量基本定理可得 ， ，
所以 ， ，
延长 交 于 ，延长 交 于 ，
则 ，又 ，所以 ，
所以 为 的平分线，
同理可得 是 的平分线，
所以 为 的内心.
故选：B
变式2．（2023·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的
结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰
定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为 、 、 ，则有
，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内
角，以下命题错误的是（ ）A．若 ，则O为△ABC的重心
B．若 ，则
C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则
D．若 ， ， ，则
【答案】D
【解析】对于A：如下图所示，
假设 为 的中点，连接 ，则 ，故 共线，即 在中线 上，
同理可得 在另外两边 的中线上，故O为 的重心，即A正确；
对于B：由奔驰定理O是 内的一点， 的面积分别为 ，
则有 可知，
若 ，可得 ，即B正确；
对于C：由四边形内角和可知， ，则 ，
同理， ，
因为O为 的垂心，则 ，
所以 ，同理得 ，
，
则 ，令 ，
由 ，则 ，
同理： ，
，
综上， ，
根据奔驰定理得 ，即C正确.
对于D：由 可知， ，
又 ，所以
由 可得， ；
所以 ，即D错误；
故选：D.
变式3．（多选题）（2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个
非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其
为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ，则
， 是 内的一点，∠ ，∠ ，∠ 分别是 的三个内角，
以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，且 ，则
C．若 ，则 为 的垂心
D．若 为 的内心，且 ，则
【答案】BCD【解析】对选项A： ，则 ，错误；
对选项B： ， ，
故 ， ，正确；
对选项C： ，即 ，故 ，
同理可得 ， ，故 为 的垂心，正确；
对选项D： ，故 ，设内接圆半径为 ，
， ， ，即 ，
即 ， ，正确.
故选：BCD
变式4．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这
个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：
已知 是 内一点， 、 、 的面积分别为 、 、 ，则
.设 是锐角 内的一点， 、 、 分别是 的三个
内角，以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则
B． ， ， ，则
C．若 为 的内心， ，则
D．若 为 的重心，则
【答案】ACD
【解析】对于A选项，因为 ，由“奔驰定理”可知 ，A对；
对于B选项，由 ， ，可知 ，
又 ，所以 ，由 可得， ， ，
所以 ，B错；
对于C选项，若 为 的内心， ，则 ，
又 （ 为 内切圆半径），
所以， ，故 ，C对；
对于D选项，如下图所示，
因为 为 的重心，延长 交 于点 ，则 为 的中点，
所以， ， ，且 ， ，
所以， ，由“奔驰定理”可得 ，D对.
故选：ACD.
题型二：重心定理
例4．（2023·福建泉州·高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次
位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理
被称为欧拉线定理．已知 的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且 ， ，
则下列各式正确的有______．
① ②
③ ④
【答案】①③④
【解析】对于①， 重心为G，有 ，
故 ，故①正确；
对于②， 外心为O，过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，易知D、E分别
是AB、AC的中点，有 ，∴ ，故②错误；
对于③，由欧拉线定理得 ，即 ，又有 ，
故 ，即 ，
故③正确；
对于④，由 得 ，故 ，
所以 ，故④正确.
故答案为：①③④.
例5．（2023·全国·高一专题练习）点 是平面上一定点， 、 、 是平面上 的三个顶点， 、
分别是边 、 的对角，以下命题正确的是_______（把你认为正确的序号全部写上）．
①动点 满足 ，则 的重心一定在满足条件的 点集合中；
②动点 满足 ，则 的内心一定在满足条件的 点集合中；
③动点 满足 ，则 的重心一定在满足条件的 点集合中；
④动点 满足 ，则 的垂心一定在满足条件的 点集合中；
⑤动点 满足 ，则 的外心一定在满足条件的 点集合中．
【答案】①②③④⑤
【解析】对于①，因为动点 满足 ，
，
则点 是 的重心，故①正确；
对于②，因为动点 满足 ，
，又 在 的平分线上，
与 的平分线所在向量共线，
所以 的内心在满足条件的 点集合中，②正确；
对于③，动点 满足 ，
， ，
过点 作 ，垂足为 ，则 ，
，向量 与 边的中线共线，
因此 的重心一定在满足条件的 点集合中，③正确；
对于④，动点 满足 ，
，
，
，
所以 的垂心一定在满足条件的 点集合中，④正确；
对于⑤，动点 满足 ，
设 ，
则 ，
由④知 ，
，
，
点的轨迹为过 的 的垂线，即 的中垂线；
所以 的外心一定在满足条件的 点集合，⑤正确．
故正确的命题是①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．
例6．（2023·河南·高一河南省实验中学校考期中）若 为 的重心（重心为三条中线交点），且
，则 ___．【答案】
【解析】在 中，取 中点 ，连接 ，
由重心的性质可得 为 的三等分点，且 ，
又 为 的中点，所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为：
变式5．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知△ABC的外心为O，且AB=5， ，则
______．
（2）已知△ABC的重心为O，且AB=5， ，则 ______．
（3）已知△ABC的重心为O，且AB=5， ， ，D为BC中点，则 ____．
【答案】
【解析】（1）由题意得：如图
过O作 ，垂足为 ，则 是 的中点
， ，
又 ，（2）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成 两部分
，
（3）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成 两部分
，
故答案为：（1） （2） （3）
变式6．（2023·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在 中， ， ，
，若 是 的重心，则 ______.
【答案】7
【解析】如图所示，以 为坐标原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系.
设 ，∵ ， ，∴ ，
∵ ，解得 ，∴
∵ 是 的重心，延长 交 于点 ，则 为 中点，所以 ,
∴ ， ,
∴ .
故答案为：7
变式7．（2023·江西南昌·高三校联考期中）锐角 中， ， ， 为角 ， ， 所对的边，点 为
的重心，若 ，则 的取值范围为______．
【答案】 ，
【解析】由题意 ， ，
又 ，则 ，
所以 ，即 ，
由 ， ， ，
所以 , ，
由 为锐角三角形及上式，则 ，即 ，可得 ，所以 在 上递减，在 上递增，则 .
故答案为：
变式8．（2023·全国·高三专题练习）过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，
， ，则n的值为________.
【答案】
【解析】如图，因为O是重心，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，则 ，所以
因为P，O，Q三点共线，所以 ，
所以 ，解得 .
故答案为：
变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）在 中，过重心G的直线交边AB于点
P，交边AC于点Q，设 的面积为 ， 的面积为 ，且 ，则 的取值
范围为_________．
【答案】
【解析】根据题意，连接 ，作图如下：，
在三角形 中，因为 为其重心，故可得
结合已知条件可得： ，
因为 三点共线，故可得 ，即 ，
由题设可知 ， ，
又 ，得 ，
故 ，令 ，可得 ， ，
则 ，又 在 单调递减， 单调递增，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故 .
故答案为： .
题型三：内心定理
例7．（2023·湖北·模拟预测）在 中， ， ， ，且 ，若 为
的内心，则 _________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ， ，所以 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，又 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 为以 为斜边的直角三角形，
设 的内切圆与边 相切于点 ，内切圆的半径为 ，
由直角三角形的内切圆的性质可得 ，故 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以
所以 .
故答案为： .
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知 中， ， ， ，I是 的内心，P是
内部（不含边界）的动点.若 （ ， ），则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则
，
因为 是三角形 的内心，设三角形 内切圆半径为 ，
则 ，解得 .
所以 ， .
依题意点 在三角形 的内部（不含边界）.因为 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
由图可知，当 过 时， .
当 ，过 ，即为直线 时， .
所以 的取值范围时 .
故答案为：
例9．（2023·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考阶段练习）设 为 的内心， ，
， ，则 为________．
【答案】
【解析】因为 ，所以取BC中点为O，连接AO，
则 ，且 的内心 在AO上，IO即为 的内切圆半径 ，
又 ，所以AO ，因为 ，即 ，
所以 ， ，
以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立坐标系，则 ， ， ，则
， ， ，
因为 ，即 ，
所以 解得 ，所以 ，
故答案为： .
变式10．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习）已知点 是 的内心，若
，则 ______.
【答案】
【解析】因为 ，即 ，
取 中点 ，连接 ，则 ，故 ，故点 共线，
又 ，故 ，且 ，所以 .
故答案为： .变式11．（2023·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）在面上有 及内一点 满足关系式：
即称为经典的“奔驰定理”，若 的三边为 ， ， ，现有
，则 为 的__心.
【答案】内
【解析】 ， ，
，
，
， 分别是 ， 方向上的单位向量，
向量 平分 ，即 平分 ，同理 平分 ，
为 的内心，
故答案为：内
变式12．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，
动点P满足 ，则点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【解析】因为 为 方向上的单位向量， 为 方向上的单位向量，
则 的方向与 的角平分线一致，
由 ，可得 ，
即 ，
所以点P的轨迹为 的角平分线所在直线，
故点P的轨迹一定经过 的内心.
故选：C.变式13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， 为椭圆上异于
长轴端点的动点， ， 分别为 的重心和内心，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
由椭圆 可得 ， ，
如图，设 的内切圆与三边分别相切与 ， ， ，
， 分别为 的重心和内心．
则 ， ， ，
所以 ，
所以
故选：D
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 是其内心，内角 所对的边分别 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】延长 ，分别交 于 .内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形 和三角形 中，由正弦定理得：
，
由于 ，所以 ， ，
同理可得 ， ，
.
所以
，
则 .
故选：C
变式15．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中， ，O为△ABC的内心，若
，则x＋y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图：圆O在边 上的切点分别为 ，连接 ，延长 交 于点
设 ，则 ，则
设∵ 三点共线，则 ，即
即
故选：D．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）点 在 所在平面内，给出下列关系式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
则点 依次为 的（ ）
A．内心、外心、重心、垂心； B．重心、外心、内心、垂心；
C．重心、垂心、内心、外心； D．外心、内心、垂心、重心
【答案】C
【解析】（1） 显然得出 为 的重心；
（2） ，同理 ，所以
为 的垂心；
（3） OA,OB分别是 的角平分线，所以 为
的内心；
（4） （M是AB中点）同理 （N是BC中点），
所以 为 的外心.
故选： .变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， 为
内一点，若分别满足下列四个条件：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
则点 分别为 的（ ）
A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心
C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心
【答案】D
【解析】先考虑直角 ，可令 ， ， ，
可得 ， ， ，设 ，
① ，即为 ，
即有 ， ，解得 ，
即有 到 ， 轴的距离为1， 在 的平分线上，且到 的距离也为1，
则 为 的内心；
③ ，
即为 ，
可得 ， ，解得 ， ，
由 ，故 为 的外心；
④ ，可得 ，
即为 ， ，解得 ， ，由 的中点 为 ， ， ，即 分中线 比为 ，
故 为 的重心；
考虑等腰 ，底角为 ，
设 ， ， ， ，
② ，
即为 ，
可得 ， ，解得 ， ，
即 ，由 ， ，即有 ，
故 为 的垂心．
故选：D
题型四：外心定理
例10．（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）设O为 的外心，且满足 ， ，
下列结论中正确的序号为______．
① ；② ；③ ．
【答案】①③
【解析】由题意可知： ．
① ，则 ，两边同时平方得到：
，解得： ，故①正确．
② ，则 ， ，
两边再平方得到： ．所以| ，所以②不正确．
③ ， ，两边平方得到：， ， ，
同理可得： ， ， ， ．
故 ， ，且 ， ，
，即 ．故③正确．
故答案为：①③
例11．（2023·河北·模拟预测）已知 为 的外心， ， ，则 ___________．
【答案】 /-3.5
【解析】如图： 分别为 的中点，则
故答案为： .
例12．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知 是 的外心，若
，且 ，则实数 的最大值为______．
【答案】 /
【解析】设三角形 的外接圆的半径为 ，，
根据向量数量积的几何定义可得：
，即 ， ，
又 ，根据正弦定理可得 ， ， ，
，当且仅当 时，
即 为等边三角形时取等号，
， ， 实数 的最大值为 ．
故答案为：
变式18．（2023·全国·高三专题练习）设O为 的外心，若 ， ，则
___________.
【答案】
【解析】如图，
设D､E分别为 的中点，则 ，
所以
,
故答案为：-2 .
变式19．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为
内角A，B，C的对边， ，且 ，则 的值为________．
【答案】 .
【解析】如图，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ，
则 ； ，
因为 ，
设 的外接圆半径为 ，由正弦定理可得 ，
所以两边同时点乘 可得 ,
即 ,
所以 ，
所以 ,
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
变式20．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， ．点 满足 ．
过点 的直线 分别与边 交于点 且 ， ．已知点 为 的外心，
，则 为______．
【答案】
【解析】 三点共线， 可设 ，
， ，即 ， ，，即 ， ， ；
， ，
为 的外心， ，
，
整理可得： ，
，解得： （舍）或 ；
，
.
故答案为： .
变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC中， ，点O是△ABC的外心，则
________.
【答案】 /
【解析】在 中， ， ，点 是 的外心，又 ，所以 是
等腰直角三角形，所以 是三角形的斜边中点，所以 ．
故答案为： ．
变式22．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点 是 的内心、外心、重心、垂
心之一，且满足 ，则点 一定是 的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】设 中点为 ，所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，
又由 为 中点可得点 在 的垂直平分线上，
所以点 是 的外心，
故选：B
题型五：垂心定理
例13．（2023·全国·高三专题练习）设 为 的外心，若 ，则 是 的
（ ）
A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点）
C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点）
【答案】C
【解析】在 中， 为外心，可得 ，
∵ ，
∴ ，
设 的中点为 ，则 ， ，
∴ ，可得 在 边的高线上．
同理可证， 在 边的高线上，
故 是三角形 两高线的交点，可得 是三角形 的垂心，
故选：C
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知 为 的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则 ______.
【答案】 /
【解析】因为 ，
所以 ，同理 ，
由H为△ABC的垂心，得 ，即 ，
可知 ，即 ，
同理有 ，即 ，可知 ，即 ，
所以 ， ，又 ，
所以 ．
故答案为： .
例15．（2023·北京·高三强基计划）已知H是 的垂心， ，则 的最大内角
的正弦值是_________．
【答案】
【解析】法1：根据三角形五心的向量表达，有 ，
设 分别为 ，
根据三角恒等式 ，
可得 ，因此 的最大内角的正切值为 ，因此最大内角的正弦值为 ．
法2：因为H是 的垂心，故 ，
设 ，
则 ，故 ，
同理， ， ，
而 ，
故 ，
同理， ， ，
因为 ，故 最大，故 .
故答案为：
变式23．（2023·全国·高三专题练习）设H是 的垂心，且 ，则
_____．
【答案】
【解析】∵H是 的垂心，
∴ ， ，
∴ ，同理可得， ，
故 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，同理可求得 ，
∴ ， ，
∴ ，即 .故答案为： ．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）在 中，点O、点H分别为 的外心和垂心，
，则 ________.
【答案】8
【解析】 ，
，
因为H为垂心，
所以 ， ，
设 ，外接圆的半径为 ，
由余弦定理得 ，
，
，
同理 ，
，
，
所以 ，
，
，
，
，
，
所以 8，
故答案为：8
变式25．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， ， 为 的垂心，且满足
，则 ___________.
【答案】
【解析】如图所示， 为 的中点，不妨设 ，则 .因为 ，则，则 ， ，由此可得 .
故答案为： .
