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重难点突破01 奔驰定理与四心问题
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技巧一．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点．
已 知 的 顶 点 ， ， ， 则 △ ABC 的 重 心 坐 标 为
．
注意：（1）在 中，若 为重心，则 ．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示： ．
奔驰定理： ，则 、 、 的面积之比等于奔驰定理证明：如图，令 ，即满足
， ， ，故 ．
技巧三．三角形四心与推论：
（1） 是 的重心： ．
（2） 是 的内心： ．
（3） 是 的外心：
．
（4） 是 的垂心：
．
技巧四．常见结论
（1）内心：三角形的内心在向量 所在的直线上．
为 的内心．
（2）外心： 为 的外心．
（3）垂心： 为 的垂心．
（4）重心： 为 的重心．
题型一：奔驰定理
例1．（2023·全国·高一专题练习）已知 是 内部的一点， ， ， 所对的边分别为 ，
， ，若 ，则 与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知 是三角形 内部一点，且 ，则 的面积与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·全国·高一专题练习）若点 是 所在平面内的一点，点 是边 靠近 的三等分点，
且满足 ，则 与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）平面上有 及其内一点O，构成如图所示图形，若将 ，
， 的面积分别记作 ， ， ，则有关系式 ．因图形和奔驰车
的 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
满足 ，则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
变式2．（2023·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的
结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰
定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为 、 、 ，则有
，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内
角，以下命题错误的是（ ）
A．若 ，则O为△ABC的重心
B．若 ，则
C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则D．若 ， ， ，则
变式3．（多选题）（2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个
非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其
为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ，则
， 是 内的一点，∠ ，∠ ，∠ 分别是 的三个内角，
以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，且 ，则
C．若 ，则 为 的垂心
D．若 为 的内心，且 ，则
变式4．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这
个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：
已知 是 内一点， 、 、 的面积分别为 、 、 ，则
.设 是锐角 内的一点， 、 、 分别是 的三个
内角，以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则
B． ， ， ，则
C．若 为 的内心， ，则
D．若 为 的重心，则题型二：重心定理
例4．（2023·福建泉州·高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次
位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理
被称为欧拉线定理．已知 的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且 ， ，
则下列各式正确的有______．
① ②
③ ④
例5．（2023·全国·高一专题练习）点 是平面上一定点， 、 、 是平面上 的三个顶点， 、
分别是边 、 的对角，以下命题正确的是_______（把你认为正确的序号全部写上）．
①动点 满足 ，则 的重心一定在满足条件的 点集合中；
②动点 满足 ，则 的内心一定在满足条件的 点集合中；
③动点 满足 ，则 的重心一定在满足条件的 点集合中；
④动点 满足 ，则 的垂心一定在满足条件的 点集合中；
⑤动点 满足 ，则 的外心一定在满足条件的 点集合中．
例6．（2023·河南·高一河南省实验中学校考期中）若 为 的重心（重心为三条中线交点），且
，则 ___．
变式5．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知△ABC的外心为O，且AB=5， ，则
______．
（2）已知△ABC的重心为O，且AB=5， ，则 ______．
（3）已知△ABC的重心为O，且AB=5， ， ，D为BC中点，则 ____．
变式6．（2023·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在 中， ， ，
，若 是 的重心，则 ______.
变式7．（2023·江西南昌·高三校联考期中）锐角 中， ， ， 为角 ， ， 所对的边，点 为
的重心，若 ，则 的取值范围为______．变式8．（2023·全国·高三专题练习）过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，
， ，则n的值为________.
变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）在 中，过重心G的直线交边AB于点
P，交边AC于点Q，设 的面积为 ， 的面积为 ，且 ，则 的取值
范围为_________．
题型三：内心定理
例7．（2023·湖北·模拟预测）在 中， ， ， ，且 ，若 为
的内心，则 _________．
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知 中， ， ， ，I是 的内心，P是
内部（不含边界）的动点.若 （ ， ），则 的取值范围是______.
例9．（2023·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考阶段练习）设 为 的内心， ，
， ，则 为________．
变式10．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习）已知点 是 的内心，若
，则 ______.
变式11．（2023·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）在面上有 及内一点 满足关系式：
即称为经典的“奔驰定理”，若 的三边为 ， ， ，现有
，则 为 的__心.
变式12．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，
动点P满足 ，则点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心变式13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， 为椭圆上异于
长轴端点的动点， ， 分别为 的重心和内心，则 （ ）
A． B． C．2 D．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 是其内心，内角 所对的边分别 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中， ，O为△ABC的内心，若
，则x＋y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）点 在 所在平面内，给出下列关系式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
则点 依次为 的（ ）
A．内心、外心、重心、垂心； B．重心、外心、内心、垂心；
C．重心、垂心、内心、外心； D．外心、内心、垂心、重心
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， 为
内一点，若分别满足下列四个条件：
① ；
② ；③ ；
④ ；
则点 分别为 的（ ）
A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心
C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心
题型四：外心定理
例10．（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）设O为 的外心，且满足 ， ，
下列结论中正确的序号为______．
① ；② ；③ ．
例11．（2023·河北·模拟预测）已知 为 的外心， ， ，则 ___________．
例12．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知 是 的外心，若
，且 ，则实数 的最大值为______．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）设O为 的外心，若 ， ，则
___________.
变式19．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为
内角A，B，C的对边， ，且 ，则 的值为________．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， ．点 满足 ．
过点 的直线 分别与边 交于点 且 ， ．已知点 为 的外心，
，则 为______．
变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC中， ，点O是△ABC的外心，则
________.变式22．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点 是 的内心、外心、重心、垂
心之一，且满足 ，则点 一定是 的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
题型五：垂心定理
例13．（2023·全国·高三专题练习）设 为 的外心，若 ，则 是 的
（ ）
A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点）
C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点）
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知 为 的垂心（三角形的三条高线的交点），若
，则 ______.
例15．（2023·北京·高三强基计划）已知H是 的垂心， ，则 的最大内角
的正弦值是_________．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）设H是 的垂心，且 ，则
_____．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）在 中，点O、点H分别为 的外心和垂心，
，则 ________.
变式25．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， ， 为 的垂心，且满足
，则 ___________.
