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高一年级 12 月份考试
数学试题
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数 满足 ，则 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
的
2. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC 中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则 =（ ）
A. B. C. D.
3. 已知角 的终边过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 如图，正四棱台 ，上下底面的中心分别为 和 ，若 ，侧面与底
面所成锐二面角的正切值为 ，则正四棱台 的体积为（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知向量 与 的夹角为 ，且 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 中， 、 、 分别是内角 、 、 的对边，若 且
，则 的形状是（ ）
A. 有一个角是 的等腰三角形
B. 等边三角形
C. 三边均不相等的直角三角形
D. 等腰直角三角形
7. 如图，在长方体 中， ， ， ，E､F分别为棱 ､ 的中
点.动点P在长方体的表面上，且 ，则点P的轨迹的长度为（ ）
A. B. C. D.
8. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 的取值范围是（
）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.每题有多项符合要求，全部选对得
6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 若平面向量 ， ，其中 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则与 同向的单位向量为
C. 若 ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为
的
D. 若 ，则 最小值为
10. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A. 在区间 上单调递增
B. 图象的一条对称轴方程为
C. 图象的一个对称中心为点
D. 在区间 上的值域为
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学科网（北京）股份有限公司11. 如图，在棱长为2的正方体 中，M，N，P分别是 ， ， 的中点，Q是
线段 上的动点，则（ ）
A. 不存在点Q，使得B，N，P，Q四点共面 B. 存在点Q，使得 平面
C. 三棱锥 的体积为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 若 是关于x的实系数方程 的一个复数根，则 ________．
13. 设点 是线段 的中点，点 在线段 外， ， ，则
______．
14. 在 中，设角 的对边分别是 ，若 ，则角 B 的最大值为
__________；则 的最小值为__________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，四棱锥 中，底面 为梯形， ，点 在棱 上.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）若 平面 ，探索平面 的哪条线与 平行，做出此线，并求 的值.
16. 已知 ， ， ，且
的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若锐角 的内角 的对边分别为 ，且 ， ，
（ⅰ）求 的值．
（ⅱ）求 面积的取值范围．
的
17. 如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径 ⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB
的中点，点M在 上，且 ．
（1）求证：平面 平面PAC；
（2）求证： 平面PAC；
（3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．
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学科网（北京）股份有限公司18. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且满足 ．
（1）求角 ；
（2）若角 的角平分线交 于点 ，点 在线段 上， ，求 的面积．
19. 被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：
，则我们可以简化复数乘法
．
（1）已知 ，求 ；
（2）已知O为坐标原点， ，且复数 在复平面上对应的点分别为 ，点C在
上，且 ，求 ；
（3）利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下：
，所以
．
类比上述过程，求出 ．（将 表示成 的式子，将 表示成 的式子）（参
考公式： ）
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