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高一年级 12 月份考试
数学试题
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数 满足 ，则 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】首先化简复数 ，再求 ，根据复数的几何意义，即可判断选项.
【详解】由 可得 ， ，故对应的点为 ，位于第四象限.
故选：D
2. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果.
【详解】依题意， .
故选：B
3. 已知角 的终边过点 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的定义，求得 ，再由正弦二倍角及同角三角函数的基本关系，可将原式
化简为 ，代入求值即可.
【详解】因为角 的终边过点 ，所以 ，
所以 .
故选：B．
4. 如图，正四棱台 ，上下底面的中心分别为 和 ，若 ，侧面与底
面所成锐二面角的正切值为 ，则正四棱台 的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在正四棱台中利用定义找出侧面与底面所成锐二面角，根据其正切值可计算棱台的高，再利用棱
台的体积公式即可求.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，
则由题意可知 为侧面与底面所成锐二面角，则 ，
，得 ， ，
在直角梯形 中， ，则 ，
则正四棱台的体积为 .
故选：A.
5. 已知向量 与 的夹角为 ，且 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的定义及运算律，结合投影向量的定义求解.
【详解】由向量 与 的夹角为 ，且 ，
得 ，
则 ，
所以 在 上的投影向量为 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：D
6. 中， 、 、 分别是内角 、 、 的对边，若 且
，则 的形状是（ ）
A. 有一个角是 的等腰三角形
B. 等边三角形
C. 三边均不相等的直角三角形
D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由 推导可得 的平分线垂直于边BC，进而可得 ，再由给定面
积导出 得解.
【详解】如图所示，在边 、 上分别取点 、 ，使 、 ，
以 、 为邻边作平行四边形 ，则 ，显然 ，
因此平行四边形 为菱形， 平分 ，而 ，则有 ，即
，
于是得 是等腰三角形，即 ，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，
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学科网（北京）股份有限公司，
而 ，因此有 ，从而得 ，
是
所以 等腰直角三角形.
故选：D
7. 如图，在长方体 中， ， ， ，E､F分别为棱 ､ 的中
点.动点P在长方体的表面上，且 ，则点P的轨迹的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出过点 ，点 的平面 ，使得 平面 ，此时 的轨迹即为平面 与长方体表面的交线，
据此可求解出轨迹的长度.
【
详解】连接 ，过 作 交 于 点，过 点作 交 于 点，连接 ，
如下图所示：
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学科网（北京）股份有限公司因为 为 的中点，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ，所以 平面 ，
所以 的轨迹为 ，
因为 ，所以可知 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
为
又因 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 的轨迹长度为： ，
故选：A.
【点睛】本题考查线面垂直的综合应用，涉及到求解点的轨迹的长度问题，对学生的分析与转化能力要求
较高，难度较难.
8. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 的取值范围是（
）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意，化简得到 ，得到 ，求得 且 ，由正弦定理
得 ，结合 ，得到 ，进而求得 的取值范围.
【详解】由 ，可得 ，所以 ，
即 ，
因为 ，可得 ，所以 或 ，
当 时，即 ，此时 ，可得 ，不符合题意，舍去；
当 时，可得 且 ，
由正弦定理得 ，
则
，
又由 ，可得 ，所以 ，
即 的取值范围 .
故选：B.
二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.每题有多项符合要求，全部选对得
6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
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学科网（北京）股份有限公司9. 若平面向量 ， ，其中 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则与 同向的单位向量为
C. 若 ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为
D. 若 ，则 的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量的线性运算可判断AB选项，再根据向量夹角公式可判断C选项，结合向量垂直的坐标
表示及基本不等式可判断D选项.
【详解】由 ， ，
A选项： ，
则 ，解得 ，则 ， ，
所以不存在 ，使 ，即 ， 不共线，A选项错误；
B选项： ，则 ，解得 ，
即 ， ， ，
所以与 同向的单位向量为 ，B选项正确；
C选项： 时， ，
又 与 的夹角为锐角，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，且 ，
即 ，C选项错误；
D选项：由 ，得 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，D选项正确；
故选：BD.
10. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A. 在区间 上单调递增
B. 图象的一条对称轴方程为
C. 图象的一个对称中心为点
D. 在区间 上的值域为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由图象求得函数解析式，然后结合正弦函数性质判断各选项．
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学科网（北京）股份有限公司详解】由图可知 ， ， ，又 ，
【
解得 ， ， ，
∴ .
对于选项A，当 时， ，∴ 在区间 上单调递增，故正确；
对于选项B， 为其最小值，∴ 为 图象的一条对称
轴，故正确；
对于选项C， ，∴点 为 图象的一个对称中心，故
正确；
对于选项 D，当 时， ，当 即 时， ，当
即 时， ，即 在区间 上的值域为 ，故错误.
故选：ABC．
11. 如图，在棱长为2的正方体 中，M，N，P分别是 ， ， 的中点，Q是
线段 上的动点，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 不存在点Q，使得B，N，P，Q四点共面 B. 存在点Q，使得 平面
C. 三棱锥 的体积为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π
【答案】BCD
【解析】
【分析】当 与 重合时，说明 判断A；当 为 的中点时，证明 平面 判断
B；结合三棱锥体积公式判断C；利用割补法求得经过 四点的球的半径，即可求得球的表面积
判断D.
【详解】对于A，当 与 重合时，连接 ，由 ,
则四边形 为平行四边形， ，又 ，故 ，
因此 四点共面，A错误；
对于B，当 为 的中点时， ，而四边形 为平行四边形，
则 ， ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，B正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，点 到面 的距离为2，而 ，则 ，C正确；
对于D，设 分别为 的中点，则 为长宽高分别为2，2，1的长方体，
根据分割补形法知：经过 四点的球即为长方体 的外接球，
因此该外接球的直径 满足： ，
所以经过 四点的球的表面积为 ，D正确.
故选：BCD
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 若 是关于x的实系数方程 的一个复数根，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】将 代入实系数方程，结合复数运算知识可得答案.
【详解】因 是关于x的实系数方程 的一个复数根，
则 ，则 .
故答案为：
13. 设点 是线段 的中点，点 在线段 外， ， ，则
______．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由 结合平面向量数量积的运算性质可得出 ，再结合直角三角形
的几何性质可得出 的值.
【详解】因为点 在线段 外， ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 为线段 的中点，所以 .
故答案为： .
14. 在 中，设角 的对边分别是 ，若 ，则角 B 的最大值为
__________；则 的最小值为__________.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】第一空，由已知条件结合正弦定理角化边可得 ，利用余弦定理以及基本不等式化简，即
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学科网（北京）股份有限公司可求得答案.第二空，将 变形为 ，继而利用正弦定理角化边，
结合基本不等式以及角B的范围，即可求得答案.
【详解】由题意知 ，则 ，
故 ，
当且仅当 时，等号成立，
故角B的最大值为 ；
，
当且仅当 时，等号成立，
由于 ,
即 的最小值为 .
故答案为： ；
四、解答题（本大题共5小题，共77分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，四棱锥 中，底面 为梯形， ，点 在棱 上.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）若 平面 ，探索平面 的哪条线与 平行，做出此线，并求 的值.
【答案】（1）证明见解析
（2） ，证明见解析，
【解析】
【分析】（1）由已知 结合线面平行的判定定理可得出结论；
（2）连接 交 于 ，连接 ，由线面平行的性质定理可得出 ，利用
计算出 的值，进而可求得 的值.
【小问1详解】
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
【小问2详解】
连接 交 于 ，连接 ，
因为 平面 ，且 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
则 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ，可知 ，则 ，
因此， .
16. 已知 ， ， ，且
的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若锐角 的内角 的对边分别为 ，且 ， ，
（ⅰ）求 的值．
（ⅱ）求 面积的取值范围．
【答案】（1） ．
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单
调递增区间；
（2）（ⅰ）由 ，得 ，由正弦定理可知 ；
（ⅱ）由正弦定理和面积公式得 ，利用△ABC为锐角三角形，得角 的范围，
由正弦函数的性质，得△ABC面积的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
，
由f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ，有 ，得 ，
所以 ．
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ．
【小问2详解】
（ⅰ）已知 ，由 ，得 ，
由正弦定理 ，得 ， ，
所以 ；
（ⅱ）由（ⅰ）可知 ， ，
，
由△ABC是锐角三角形，有 ，得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，所以 ，
即 面积的取值范围是 ．
17. 如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB
的中点，点M在 上，且 ．
（1）求证：平面 平面PAC；
（2）求证： 平面PAC；
（3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先证明 平面PAC， 平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面 平面
PAC；
（2）利用线线垂直证明线面垂直；
（3）由（2）知 面PAC，可得 为直线PB与平面PAC所成的角，求出BC，PB的长度可得结
论．
【小问1详解】
证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，因为 平面PAC， 平面PAC，所以 平面PAC，
因为 ，因为 平面PAC， 平面PAC，所以 平面PAC，
因为 ， 平面MOE， 平面MOE，所以平面 平面PAC.
【小问2详解】
证明：因为点C在以AB为直径的圆O上，所以 ，
即BC AC，因为PA 平面ABC， 平面ABC，所以PA BC，
因为 ， 平面PAC， 平面PAC，所以BC 平面PAC.
【小问3详解】
由（2）知BC 面PAC，所以 为直线PB与平面PAC所成的角，
在 中， ，在 中， ，
在 中， ，所以 .
直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为 .
18. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且满足 ．
（1）求角 ；
（2）若角 的角平分线交 于点 ，点 在线段 上， ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简可求出角 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由 及角 的角平分线交 于点 ，可得 ，再由余弦定理得
，则求出 ，所以 ，由 可得 ，从而可求得
的面积．
【小问1详解】
因为 ，
所以由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ；
【小问2详解】
因为角 的角平分线交 于点 ，
所以 ，
因为 ，所以由 ，得
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，解得 ，
所以 ，
因为角 的角平分线交 于点 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
19. 被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：
，则我们可以简化复数乘法
．
（1）已知 ，求 ；
（2）已知O为坐标原点， ，且复数 在复平面上对应的点分别为 ，点C在
上，且 ，求 ；
（3）利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下：
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学科网（北京）股份有限公司，所以
．
类比上述过程，求出 ．（将 表示成 的式子，将 表示成 的式子）（参
考公式： ）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意直接代入运算即可；
（2）根据复数的几何意义可得 ，结合向量的坐标运算求解；
（3）根据题意将 表示成 的式子，将 表示成 的式子，运算求解即可.
【小问1详解】
由题意可知：
．
【小问2详解】
因为 ，则点 ，可得 ，
则 ，
所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
由题意可得：
，
所以 .
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