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河北省省级示范性高中联合测评2024-2025学年高一下学期3月月考
数学试题
一、单选题
1．已知 为虚数单位， ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．在 中，设 ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知复数 的实部与虚部互为相反数，且 ，则满足条件的复数 的个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．无数个
4．已知向量 满足 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
6．在 中，已知 ，点 在线段 上，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
7．某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，
为了测量董子雕像高度，在 处测得雕像最高点的仰角分别为 和 ，且 ， ，则该雕像的高度 约为（ ）（参考数据： ）
A． B． C． D．
8．已知向量 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
二、多选题
9．已知向量 满足 ，它们的夹角为 ，则下列向量中，与向量 的模相等的向量有
（ ）
A． B．
C． D．
10．已知复数 （ 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数 的虚部为
C．若 对应的向量为 对应的向量为 ，则向量 对应的复数为
D．若复数 是关于 的方程 的一个根，则
11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，
（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知 是 内一点，、 、 的面积分别为 、 、 ，且 .则下列说法正确的
是（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 为 的内心，且 ，则
三、填空题
12．已知复数 满足 ，则 .
13．定义向量 的一种新运算： ，其中 是向量 的夹角.已知
，则 .
14．已知点 为等腰 外接圆 上的一个动点， ，则 的取值范围为
.
四、解答题
15．已知向量 .
(1)当 时，求实数 的值；
(2)当 时，求向量 与 的夹角的余弦值.
16．已知复数 （ 为虚数单位），其共轭复数为 .(1)若复数 为纯虚数，求实数 的值；
(2)若复数 是实数，求实数 的值；
(3)若 ，且复数 在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数 的取值范围.
17．在 中，内角 所对的边分别为 的面积为 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的平分线 交 于点 ，求 的长度.
18．某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形 划分为
两个三角形区域分别种植两种花卉， ， .设
.
(1)用 表示 的面积 ，并求 的最大值；
(2)为了提高观赏效果，计划在 和 边上安装护栏，其中 边上的护栏需要进行延长设计，因此一共
需安装长度为 的护栏，若该护栏每米造价为200元，求建造护栏所需费用的最小值.（参考数据：
）
19．在平面直角坐标系 中，对于非零向量 ，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道 平行的充要条件为 .
(1)已知向量 ，求 ；
(2)（i）设向量 的夹角为 ，证明： ；
（ii）在 中， 为 的中点，且 ，若 ，求 .参考答案
1．C
【详解】由 ，化简得
所以 .
故选：C
2．D
【详解】在 中， ；①
在 中， ；②
①+② ，得
因为 ，所以 ，
即
故选：D.
3．B
【详解】由复数z的实部与虚部互为相反数，
可设 ，则 ，
，
解得 ，
所以 或 ，
故选：B.
4．A
【详解】由题意 ， ，
所以 在 上的投影向量为 ，
故选：A．5．D
【详解】 ， ，
，
化简得， ，
，即 ，
或 ，
， 或 ，即 或 ，
是直角三角形或等腰三角形.
故选：D.
6．C
【详解】当 时， 三点共线，与题意矛盾，所以 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
因为 三点共线，
所以 ，解得 .
故选：C.
7．A
【详解】 ， ，
，则 ，在 中， ，
，即 .
所以该雕像的高度 约为4m.
故选：A.
8．B
【详解】由题 ，
，
所以
，
所以 ，
令 ，则 ， .
所以 时 取得最大值为 .
故选：B
9．AC
【详解】因为 ，夹角为 ，所以 ,.
对于A， ，A正确；
对于B， ,B不正确；
对于C， ,C正确；
对于D， ，D不正确.
故选：AC
10．ACD
【详解】A选项， ，A正确；
B选项， ，故复数 的虚部为 ，B错误；
C选项，由题意 ，又 ，则向量 ，
故向量 对应的复数为 ，C正确；
D选项，若复数 是关于 的方程 的一个根，
则 ，故 和 均为方程 的根，
故 ，
所以 ，
故 ， ， ，D正确.
故选：ACD
11．ABD
【详解】对于A选项，若 ，则 ，取线段 的中点 ，连接 ，则 ，
所以， ，即 ，故 、 、 三点共线，
分别取线段 、 的中点 、 ，连接 、 ，
同理可证 、 、 三点共线， 、 、 三点共线，则 为 的重心，
因此，若 ，则 为 的重心，A对；
对于B选项，若 ，由“奔驰定理”可得 ，
所以， ，所以， ，
故 ，B对；
对于C选项，若 ，即 ，
即 ，即 ，
又 ， 不共线，
所以 ，
所以由“奔驰定理”可得 ，C错；
对于D选项，若 为 的内心，设 的内切圆半径为 ，
则 ，
因为 ，则 ，故 ，设 ，则 ， ，则 ，故 为直角，
所以， ，D对.
故选：ABD.
12．
【详解】依题意， ，
所以 .
故答案为：
13．
【详解】因为 ，所以 ，
解得 ，则 .
故答案为： .
14．
【详解】在等腰 中， ，则 ，
若 ，则 ，矛盾；
若 ，则 ，合乎题意.
由于余弦定理可得 ，
设 ， ，
当点 在优弧 （不包括点 、 ）上运动时， ，则 ，由余弦定理可得 ，
所以， ，当且仅当点 与点 重合时，等号成立，
又因为 ，此时， ，
此时， ；
当点 与点 或点 重合时， ；
当点 在劣弧 （不包括点 、 ）上运动时， ，
此时， ，
由余弦定理可得 ，
即 ，当且仅当点 为劣弧 的中点时，等号成立，
又因为 ，则 ，此时， .
综上所述， 的取值范围是 .
故答案为： .
15．(1)1
(2)
【详解】（1）由题意可得 ，
因为 ，所以 .
（2） ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即向量 与 的夹角的余弦值为 .
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）易知 ，若复数 为纯虚数，可得 ，
解得 ；
（2）由 可得 ,
所以 ,
若复数 是实数，可得 ，
解得 ；
（3）易知 ，
易知复数 在复平面内所对应的点坐标为 ，
又复数 在复平面内所对应的点位于第二象限，可得 ，
解得 .
即实数 的取值范围为 .
17．(1) ；
(2) .
【详解】（1）在 中，由 及正弦定理，得
，
则 ，
即 ，而 ，于是 ，而 ，所以 .
（2）由（1）知， ，又 ， 的面积为 ，
则 ，即 ，解得 ，
由 ，得 ， ，
所以 .
18．(1) ，
(2)75600元
【详解】（1）在 中， ， ，则 ，
由正弦定理， ，即 ，
解得 ，
，
，则 ， ，
所以当 ，即 时， 取得最大值，最大值为 .（2）在 中，由正弦定理 ，得 ，
同理可得 ，
，
， ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
，
所以建造护栏所需费用的最小值为 元.
19．(1)
(2)(i)证明见解析，（ii)
【详解】（1）由 ， ，
可得：（2）（i）因为
，
且 ， ，则 ，
所以 .
（ii）因为D为 中点，
则 ，
可得 ，
即 ，可得 ，
又因为 ，可知点 为 的中点，则 ，
可得 ，
即
则 ，
，
，可得 ，
所以 .
