文档内容
卓越联盟 2024-2025 学年高一第二学期期中考试
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第八章8.5。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．若 ，则复平面内复数之对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，在四棱锥 中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法
一定正确的是（ ）
A．点G在AC上 B． C． D．直线EB，GD交于点B
3．已知点 ，向量 ，则 在 方向上的投影向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．在菱形ABCD中， ，点P在线段CD上，则 的最小值是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
5．如图，已知 用斜二测画法得到的水平放置的直观图为 ，已知 是周长为6的正
三角形，则 的面积是（ ）A． B．4 C． D．
6．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，
则下列结论不正确的是（ ）
A．该几何体有6个面是正方形 B．该几何体有8个面是正三角形
C．该几何体恰有26条棱 D．该几何体的表面积比原正方体的表面积小
7．一口古井的形状为正四棱台，下小上大，在枯水时节，其水面面积大约为 ，水深 ，丰水时节水面
面积大约为 ，水深 ，则枯水时节的水量大约为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方体 中，M，N，P分别是 ，BC， 的中点，则下列说法不正确的
是（ ）
A．直线 与NM是异面直线 B．
C． 平面 D．直线CP， ，AM相交于一点
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复数 ，则（ ）
A．B．
C．在复平面上， 对应的向量与 对应的向量的夹角为
D．若 ，则|之的最大值为
10．如图，正三棱柱 的侧面 为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖
掉一个圆柱，则下列说法正确的是（ ）
A． 内切圆的半径为 B．被挖掉的圆柱的侧面积为
C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为
11．奔驰定理：已知 O 是 内一点， 的面积分别为 ，则
．设 O 是 内一点， 的三个内角分别为 A，B，C，若
，且O为 的垂心，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．正三棱柱 的底面边长为 1，高为 4，在棱 上分别任取点 E，F，则
的最小值为_________．
13．若某圆锥的侧面积为 ，母线长是底面圆半径的 倍，则该圆锥的体积是_________．
14 ． 锐 角 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 若 的 面 积 为
，则 的取值范围是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知向量 满足 ．
（1）设 ，求 ；
（2）若 ，求实数k的值．
16．（15 分）已知在复平面内，复数 对应的点为 ，复数 对应的点为
．
（1）当 时，设 ，求 的值；
（2）若点 与点 为同一点，求 的取值范围．
17．（15分）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求角C；
（2）若 的面积为S，求 的取值范围．
18．（17分）如图，在正四棱锥 中，O，G分别是线段AC，PA的中点，E，F分别在线段BP，
BC上，且 ．（1）证明：O，G，E，F四点共面．
（2）证明： 平面BDG．
（3）若点H在线段PD上，且满足 ，试问侧棱PC上是否存在一点K，使得 平面HAC?若
存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
19．（17分）如图，在棱长为 的正方体内，球 与球 的球心 均在线段AC上，这两个球外切并
且球 与该正方体的上底面相切，球 与该正方体的下底面相切．
（1）求这两个球的半径之和．
（2）当这两个球的半径分别为多少时，这两个球的表面积之和最小？并求出这个最小值．卓越联盟 2024-2025 学年高一第二学期期中考试
数学试卷参考答案
1．C 因为 ，所以复数z对应的点位于第三象限．
2．D 因为DF与EG相交，所以平面 平面 ．
3．B 在 方向上的投影向量是 ．
4．A 取AB的中点Q（图略）， ，
因为 ，所以AB边上的高为 ，所以 ，从而 ．
5．D 因为 ，所以 ，所以 的面积是 ．
6．C 因为正方体截去八个正三棱锥，所以比原正方体多出八个正三角形，所以A，B正确．
因为原正方体每个表面均有四条棱，所以该几何体共有24条棱，C不正确．
因为截去的每个正三棱锥的侧面面积比它的底面面积大，所以D正确．
7．B 作正四棱台的中截面，如图所示，AB，DC，FE 分别为丰水、枯水、井底的水面边长，则
．
因为 ，所以 ，
所以枯水时节的水量为 ．
8．C 连接 （图略）．点B， ，M均在平面 上，点N不在平面 上，所以与NM是异面直线，A正确．
连接 （图略）．因为 ，所以 ，B正确．
因为CM与 不平行，所以CM不平行于平面 ，C错误．
连接AP（图略）．由 ，知M，P，A，C共面，且平面 平面 ，如图1，因
为 ，所以 。如图2，因为 ，所以 ，则H，I两点
重合，所以CP， ，AM相交于一点，D正确．
9．ABD 因为 ，所以A正确．
因为 ，所以B正确．
，所以 对应的向量与 对应的向量的夹角为 ，所以C错误．
设复数z在复平面内对应的点为Z，因为 ，即 ，所以点Z的轨迹是以点 为圆心，
2为半径的圆，所以 的最大值为3，D正确．
10．BD 边长为6的正三角形的内切圆半径为 ，A错误．
被挖掉的圆柱的侧面积为 ，B正确．
该几何体的表面积为 ，体积为
，C错误，D正确．11．AC 因为O为 的垂心，所以 ，A正确，B错误．
由上知 ，
同理， ．
因为 ，所以 ，
所以 ，同理 ，
所以 ．
因 为 ，
所 以
设 ，因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，以 ，C正确，D错误．
12 ． 5 将 三 棱 柱 的 侧 面 沿 展 开 得 到 一 个 长 与 宽 分 别 为 4 与 3 的 长 方 形 ， 所 以
．
13． 设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，由 ，得 ，又 ，所以 ，
则该圆锥的体积为 ．
14． 由 ，得 ，解得 ．
因为 ，所以 ，所以 ．，
所以 ．因为 ，所以 ，
则 ，从而 ．
15．解：（1）因为 ，
所以 ． 1分
又 ，
所以 ， 3分
解得 ， 4分
所以 ， 5分
所以 ． 6分
（2）因为 ，
所以 ， 8分
因为 ，所以 ， 11分
解得 ． 13分
16．解：（1）因为 ，所以 ， 2分
代入 ，得 ， 6分
所以 ． 7分
（2）由已知得 消去m得 ， 10分令 ，则 ， 12分
所以 ， 14分
所以 ，即 的取值范围为 ． 15分
17．解：（1）因为 ，
所以 ， 2分
整理得 ， 4分
所以 ． 5分
因为 ，所以 ． 6分
（2）因为 的面积 ， 7分
所以 ． 9分
又 ，所以 ，则 ． 12分
又 所以 ， 13分
所以 ， 14分
故 ，即 的取值范围是 ． 15分18．（1）证明：如图，连接OG．
因为O，G分别是线段AC，PA的中点，所以 ． 2分
又 ，所以 ， 4分
所以 ， 5分
所以O，G，E，F四点共面． 6分
（2）证明：由（1）得 ． 7分
因为 平面BDG， 平面BDG， 8分
所以 平面BDG． 9分
（3）解：如图，在线段PH上取一点M，使得 ，作 ，交PC于点K，连接BM，BK，
OH．
因为 ，所以 ． 10分
因为 平面HAC， 平面HAC， 11分
所以 平面HAC． 12分
同理可证 平面HAC． 13分因为 ， 平面BMK， 平面BMK，所以平面 平面HAC，
又 平面BMK，所以 平面HAC． 14分
因为 ，所以 ， 16分
因为 ，所以 ．
故在棱PC上存在一点K，使得 平面HAC，且 ． 17分
19．解：（1）由题知ABCD为过球心 和对棱AB，CD的截面， 2分
则 ． 4分
设球 的半径分别为r，R，
则 ． 8分
由 ，解得 ． 10分
（2）设这两个球的表面积之和为S，则 ， 12分
所以 ． 13分
又因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ， 15分
所以 ，当且仅当 时，等号成立． 17分
