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2022 年上海市虹口区中考数学一模试卷
答案解析版
一、选择题
1. 下列图形中一定是相似形的是（ ）
A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．
【详解】A、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意．
B、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意．
D、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题
的关键．
2. 在Rt 中， ， ， ，那么 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出直角三角形，结合余切函数的定义（邻边比对边）可直接得出．
【详解】解：直角三角形 中， ， ，
则 ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，理解余切函数的定义是解题关键．3. 已知 ，下列说法中不正确的是（ ）
A. B. 与 方向相同 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的定理逐一判断即可．
【详解】解：A.∵
∴ ，故选项A不正确，符合题意；
B. 与 方向相同，正确，不符合题意；
C. ，正确，不符合题意；
D. ，正确，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了平面向量的定理，熟练掌握平面向量的基本定理是解题的关键．
4. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A、是二次根式的的形式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、 ，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、是二次函数，故本选项符合题意；
D、 ，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握一般地，形如 （其中 是常数，
）叫做二次函数是解题的关键．
5. 在 中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果 ， ，
，那么 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．
【详解】如图：
∵DE∥AC，AE：EB=3：2，
∴
∴
∵ ，
∴
故选：B
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例这个基本事实是解题的关键．
6. 如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离
为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A. 米 B. 10米 C. 米 D. 12米
【答案】B
【解析】
【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线
的解析式为y=ax2，由此可得A（-10，-4），B（10，-4），即可求函数解析式，再将y=-1代入解析式，求
出C、D点的横坐标即可求CD的长．【详解】
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为-4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（-10，-4），B（10，-4），
将A代入y=ax2，
-4=100a，
∴ ，
∴ ，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为-1，
∴
∴x=±5，
∴CD=10，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式
是解题的关键．
二、填空题
7. 如果 ，那么 ______．
【答案】
【解析】【分析】先将 化成 ，然后整体代入求值即可．
【详解】解： = = -1= ．
故答案是 ．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，灵活运用分式除法的运算法则化简成为解答本题的关键．
8. 已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP>PB，线段AB=2厘米，那么线段AP=____________．
【答案】 cm
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝ AB，代入数据即可得出AP的长．
【详解】解：由于P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段；
则AP＝AB× ＝2× ＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比
例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
9. 如果向量 、 、 满足 ，那么 ______（用向量 、 表示）．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的线性法则解答．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了向量的计算法则，熟练掌握向量的线性计算法则是解题的关键．
10. 已知二次函数 的图像经过原点，则 的值是_______．
【答案】【解析】
【分析】根据二次函数图象经过原点、并结合二次项系数不为零进行解答即可．
【详解】解：∵二次函数 的图像经过原点
∴
∴ ．
故答案是：
【点睛】本题考查了根据二次函数的定义求参数、解一元一次不等式、解一元二次方程等，熟练掌握相关
知识点是解题的关键．
11. 如果抛物线 开口向下，那么a的取值范围是______．
【答案】a＞2
【解析】
【分析】】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2-a＜0．
【详解】∵抛物线y=（2-a）x2+2开口向下，
∴2-a＜0，即a＞2，
故答案为：a＞2．
【点睛】本题主要考查了二次函数 的性质．用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞
0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向下．
12. 如果抛物线过点 ，且与y轴的交点是 ，那么抛物线的对称轴是直线______．
【答案】x=-1
【解析】
【分析】根据抛物线的对称性可求解．
【详解】解：∵当x=-2和x=0时，y的值都是3
∴该抛物线的对称轴是直线
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数图象具有对称性是解答本题的关键．
13. 已知点 、 为函数 的图象上的两点，若 ，则 ______
（填“>”、“=”或“<”）．
【答案】＜
【解析】【分析】根据题意得：抛物线 的对称轴为直线 ，且开口向下，可得在对称轴的左
侧 随 的增大而增大，即可求解．
【详解】解：根据题意得：抛物线 的对称轴为直线 ，
且开口向下，
∴在对称轴的左侧 随 的增大而增大，
∵ ，
∴ ．
故答案为：＜
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
14. 如果一个斜坡的坡度i=1： ，那么该斜坡的坡角为_____度．
【答案】60
【解析】
【详解】试题解析：∵tanα=1： = ，
∴坡角=60°．
故答案为60°.
15. 已知 的两直角边之比为3：4，若 与 相似，且 最长的边长为20，则
的周长为______．
【答案】48
【解析】
【分析】由直角三角形确定其三边长的比，然后根据相似三角形的性质可求得 的三边比，再结合条
件可分别求得 的三边长，即可得出结果．
【详解】解：∵ ， 的两直角边之比为 ，
∴由勾股定理可得： 的三边之比为 ，
∴ 的三边之比为 ，
又∵ 的最大边长为20，
∴ 另外两边分别为 ， ，
的
∴ 的周长为 ，故答案为：48．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理等，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题关键．
16. 如图，过 的重心G作 分别交边AC、BC于点E、D，联结AD，如果AD平分 ，
，那么 ______．
【答案】8
【解析】
【分析】由重心的性质可以证明 ,再由 AD 平分 和 可得 DE=AE，最后根据
得到 即可求出EC．
【详解】连接CG并延长与AB交于H，
∵G是 的重心
∴
∴
∵
∴ , ，
∴
∴
∵AD平分
∴∴
∴
∴ ,
∴
【点睛】本题考查三角形的重心的性质、相似三角形的性质与判定、平行线分线段成比例，解题的关键是
利用好平行线得到多个结论．
17. 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在
的网格中， 是一个格点三角形，如果 也是该网格中的一个格点三角形，它与 相
似且面积最大，那么 与 相似比的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据表格求出 的三边长，作出 ，求出 的 三边长，然后对应的边作比可得
比值相等，两个三角形相似，相似比即为对应边的比，此时面积是最大的．
【详解】解：由表格可得：
， ， ，
如图所示：作 ，
， ，∵ ，
∴ 与 的相似比为 ，由于表格的限制，可得且此时面积最大，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，在表格中作出相似三角形是解题关键．
18. 如图，在 中， ， ．点D、E分别在AB和AC边上， ，把
沿着直线DE翻折得 ，如果射线 ，那么 ______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据折叠得到DE平分 ，根据角平分线过D作 两边垂线即可．
【详解】过D作DM⊥AC于M，过B作BH⊥AC于H
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴
∴
过D作DG⊥EF交EF于N，交AC于G∵把 沿着直线DE翻折得
∴DE平分 ，
∴ ,
∵
∴DG∥BC
∴ ，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题难度比较大，综合考查折叠的性质、三角函数、相似三角形的性质与判定，解题的关键是由
折叠得到角平分线再根据角平分线作垂线．
三、解答题
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】利用特殊角的三角函数值代入，再分母有理化即可．
【详解】解：．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键．
20. 已知抛物线 上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 3 4 3 0 -5 …
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将抛物线 沿x轴向右平移 个单位，使得新抛物线经过原点O，求m的值
以及新抛物线的表达式．
【答案】（1）y=-（x+1）2+4；
（2）m=3； y=-（x-2）2+4．
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的对称性得到抛物线的顶点坐标为（-1，4），则可设顶点式y=a（x+1）2+4，然
后把（0，3）代入求出a即可；
（2）根据平移的规律得到y=-（x+1-m）2+4，把原点代入即可求得m的值，从而求得平移后的抛物线的不
等式．
【小问1详解】
∵x=-2，y=3；x=0，y=3，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，则抛物线的顶点坐标为（-1，4），
设抛物线解析式为y=a（x+1）2+4，
把（0，3）代入得a（0+1）2+4=3，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）2+4；
【小问2详解】
将抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移m（m＞0）个单位，得到y=-（x+1-m）2+4，
∵经过原点，∴0=-（0+1-m）2+4，
解得m=3，m=-1（舍去），
1 2
∴m=3，
∴新抛物线的表达式为y=-（x-2）2+4．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐
标特征，求得抛物线的解析式是解题的关键．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使 ，联结AE交DC于点F，设 ，
．
（1）用向量 、 表示 ；
（2）求作：向量 分别在 、 方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论）
【答案】（1）
（2）向量 、 是向量 分别在 、 方向上 的分向量．
【解析】
【分析】（1）连接AC，证四边形ACED是平行四边形，得出DE∥AC，根据平行四边形法则求解即可；
（2）过点F作FM∥AB交AB于M，根据平行四边形法则即可求得答案．
【小问1详解】
解：连接AC，
∵在平行四边形ABCD中，
∴AD∥CB，AD=CB，
∵ ，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE∥AC，
；
【小问2详解】
解：过点F作FM∥AB交AB于M，则向量 、 是向量 分别在 、 方向上的分向量．【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应
用是解此题的关键．
22. 图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座
放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当
， 时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参
考数据： ， ， ，√ ， ）
【答案】托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm．
【解析】
【分析】过点B作 ， ，交CD于点G，过点A作 ，交BE于点F，由平行
线的性质可得 ，得出 ，在 与 中，分别利用锐角
三角函数求解得出 ， ，托板顶点A到底座CD所在平面的距离即可得出．
【详解】解：如图所示：过点B作 ， ，交CD于点G，过点A作 ，交BE
于点F，
∵ ，
∴ ，∴ ，
在 中，
，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
答：托板顶点A到底座CD所在平面的距离为 ．
【点睛】题目主要考查平行线的性质，利用锐角三角函数解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运
用锐角三角函数是解题关键．
23. 如图，在梯形ABCD中， ， ， ，对角线AC与BD交于点E．点F
是线段EC上一点，且 ．
（1）求证： ；
（2）如果 ， ，求FC的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）根据 ，可得△EAD∽△ECB，从而得到 ，再由 ，可得
△ABE∽△DFE，从而得到 ，进而得到 ，即可求证；
（2）根据锐角三角函数，可得AC=9，从而得到 ，再由 ，可得AD=3，根据，可得 ，再由△EAD∽△ECB，可得 ， ，从而得到EC=6，
，再由 ，可得EF=4，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴△EAD∽△ECB，
∴ ，即 ，
∵ ，∠AEB=∠DEF，
∴△ABE∽△DFE，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ，即AC=9，
∴ ，
∵ ，
∴AD=3，
∵ ，
∴∠BAD=90°，
∴ ，
∵△EAD∽△ECB，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴EC=6， ，
∵ ，
∴ ，
∴EF=4，
∴FC=EC-EF=6-4=2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理等知识，根据题意，准确得
到相似三角形是解题的关键．
24. 已知开口向上的抛物线 与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，
直线AB与OC交于点D．
（1）求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标；
（2）当 时，求抛物线 的表达式；
（3）当 时，求OD的长．
【答案】（1）点C的坐标为（4,3）, 点B的坐标为（2,-4a+3）
（2） 或
（3） 或3
【解析】
【分析】（1）令x=0，求得y的值，即可确定点A的坐标,再确定抛物线的对称轴，进而确定点C的坐标；
再将对称轴代入求出顶点的纵坐标，即可确定点B；
（2）如图，当 时，即△ABC是直角三角形，然后根据勾股定理列方程求解即可；
（3）先说明BE=EC，再求出直线OC的解析式，进而确定点E的坐标，然后根据BE=EC运用两点间距离
公式求得a，确定点B的坐标，再求得直线AB的解析式，之后与直线OC的解析式联立求得D点坐标，最
后求出OD的长度即可．【小问1详解】
解：令x=0，可得
∴A点的坐标为（0,3）
∵抛物线的对称轴为：x=
∴点C的坐标为（4,3），
令x=2，可得
∴顶点B的坐标为（2,-4a+3）．
【小问2详解】
解：如图：当 时，即△ABC是直角三角形
∴AC2=AB2+BC2
∴（4-0）2+（3-3）2=（2-0）2+（-4a+3-3）2+（2-4）2+（-4a+3-3）2，解得 a= 或-
∴抛物线的表达式为： 或 ．
【小问3详解】
解：如图：∵EB在抛物线的对称轴上
∴∠EBC=∠ABE= ∠ABC
∵
∴∠BCD=∠EBC
∴BE=EC
∵点O（0,0），点C(4,3)
∴直线OC的解析式为 y= x
∴E点坐标为（2， ）
∵BE=CE∴ -（-4a+3）= 或-4a+3- = ，解得a=1或a=-
∴点B的坐标为（2，-1）或（2,4）
设直线AB的解析式为y=kx+b
则 或
解得： 或
∴直线AB的解析式为y=-2x+3或y= x+3
∴ 或 解得： 或
∴点D 坐标为（ ， ）或（ ， ）
的
∴OD= 或
∴OD的长为 或3．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与坐标轴的坐标、轴对称、抛物线的顶点坐
标、勾股定理、两点间距离公式、待定系数法求一次函数解析式等知识点，掌握数形结合思想成为解答本
题的关键
25. 已知：如图，在 中， ， ， ，点D是边BC延长线上的一点，在射线AB上取一点E，使得 ，过点A作 于点F．
（1）当点E在线段AB上时，求证： ；
（2）在（1）题的条件下，设 ， ，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）记DE交射线AC于点G，当 时，求CD的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ， ；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理可得 ， ，由其性质：相似三角
形的对应边成比例，进行等量代换即可证明；
（2）根据正切函数设 ， ，利用勾股定理确定三边长度，根据（1）中 ，代
入可确定y与x的函数关系式，考虑当 时， ，当 时，点E与点B重合，点F
与点C重合，此时x取得最大值；当 时， ，不符合题意，不进行讨论；综合即可得出
自变量的取值范围；
（3）分两种情况进行讨论：当点G在线段AC上时，延长AF交BC于点M，作 于点N，根据
相似三角形的性质及角之间的关系可得 ，再由等腰三角形三线合一的性质得
出 ，根据三角形等面积法即可得出 ，由此确定CD；当点G在AC的延长线上时，根
据相似三角形的性质及三角形外角的性质可得这种情况不存在，综合两种情况即可得出结果．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
设 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，符合题意，
∴ ；
当 时，点E与点B重合，点F与点C重合，此时x取得最大值，∴ ，
当 时，
，不符合题意，不进行讨论；
综上可得： ；
【小问3详解】
解：如图所示：当点G在线段AC上时，延长AF交BC于点M，作 于点N，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AM平分 ，
∴ ，由 得，
，
解得： ，
∴ ；
如图所示：当点G在AC的延长线上时，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
这种情况不存在，
∴ ．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性
质，角平分线的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
