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格致课堂
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
平面向量的正交分解 2
平面向量的坐标表示 1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
基础巩固
1．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应.
其中正确说法的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为向量平移坐标不变，
所以一个坐标可以对应无数个向量，但一个向量对应唯一的坐标，
故③错，①②④均对．
故选C．
2．下列可作为正交分解的基底的是（ ）
A．等边三角形 中的 和
B．锐角三角形 中的 和
C．以角A为直角的直角三角形 中的 和
D．钝角三角形 中的 和
【答案】C
【解析】选项A中， 与 的夹角为60°；格致课堂
选项B中， 与 的夹角为锐角；
选项D中， 与 的夹角为锐角或钝角.故选项 都不符合题意.
选项C中， 与 的夹角为90°，故选项C符合题意.
故选：C
3．已知向量 ，将 绕原点按逆时针方向旋转 得到 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】向量 （5，12），
将 绕原点按逆时针方向旋转90°得到 ，点B的坐标（﹣12，5），如图：
所以 ．
故选D．
4．以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使A=90°，则 的坐标为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】B
【解析】设 ， ，因为三角形OAB是等腰直角三角形，且 ,格致课堂
所以 ,即 ,解方程组得
或 所以 或 ,故本题选B.
5．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量 （即点P的运动方向与 相同，且每秒移动的距离
为 各单位）。设开始时点P的坐标为（-10，10），求5秒后点P的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，由于点P在平面上作匀速直线运动，速度向量 ,那么可知设开始时点P的坐
标为（-10，10），则5秒后向右运动了20，-10+20=10，向下运动了15， 10-15=-5那么可知该点的坐标
为 ，故选C.
6．已知向量 的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且| |=4，则 的坐标为____.
【答案】(2 ，2)
【解析】设 =(x，y)，则x=4cos30°=2 ，
y=4sin30°=2，故 =(2 ，2).
故答案为：(2 ，2)
7．若向量 与 相等，其中 ，则 =_________.
【答案】-1
【解析】由 可得 ，又 ，所以 =0且 =2，解得 .
考点:向量的端点坐标与向量坐标间的关系，相等向量坐标间关系.格致课堂
8．已知 是平面内两个相互垂直的单位向量，且 ， ， ，求
的坐标.
【答案】 ， ，
【解析】 ，又 是（标准）正交基底， ，
即 的坐标为 ，同理 的坐标为 ， 的坐标为 .
能力提升
9．如上图，向量 ， ， 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量 用基底 ， 表示为(
)
A． ＋ B．2 － C．－2 ＋ D．2 ＋
【答案】C
【解析】以向量 的起点为原点，向量 所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设正方形的边长为1，则
．
设 ，则 ，
∴ ，解得 ，所以 ．选C．
10．在平面直角坐标系 中，已知 ， ，点 在第一象限内， ，且 ，格致课堂
若 ，则 + 的值是 ．
【答案】
【解析】因为 ， ， ，所以 ，因为点 在第一象限内， ，
且 ，则 ， ，且 ， ，解得 ， ，因此 ,
故答案为 .
11．在直角坐标系 中，向量 ， 的方向如图所示，且 ， ，分别求出它们的坐标．
【答案】 ．
【解析】设点 ，
∵ ，且 ，
∴ ， ．
又 ，
∴ ， ．
故 ， ．格致课堂
素养达成
12．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系， 是x轴上的单位向量, 是y
轴上的单位向量，试求 和 的坐标．
【答案】 ，
【解析】由题图知， 轴， 轴．
∵ ， ，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ．
