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专题05 首届新高考-圆锥曲线大题综合（首届新高考江西、
广西、贵州、甘肃专用）
一、解答题
1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知双曲线 的左顶点为
，渐近线方程为 .直线 交 于 两点，直线 的斜率之和
为-2.
(1)证明：直线 过定点；
(2)若在射线 上的点 满足 ，求直线 的斜率的最大值.
2．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中 中，动
点 到定点 的距离比它到 轴的距离大1， 的轨迹为 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知点 ， 分别为曲线 上的第一象限和第四象限的点，且
，求 与 面积之和的最小值.
3．（2023·河北·统考模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ，过点 作直线
交 于点 ， .
(1)若 ，求直线 的斜率；
(2)设 ， 是 上异于 的点，且 ， ， 三点共线，求证： .
4．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知点 ，点 ，点 是 轴上的动
点，点 在 轴上，直线 与直线 垂直， 关于 的对称点为 ．
(1)求 的轨迹 的方程；
(2)过 的直线 交 于 两点， 在第一象限， 在 处的切线为 交 轴于点 ，过 作 的平行线交 于点 是否存在最大值？若存在，求直线 的方程；若
不存在，请说明理由．
5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为 坐标原点，
， ， 和 交点为 .
(1)求点 的轨迹 ；
(2)直线 和曲线 交与 两点，试判断是否存在定点 使
？如果存在，求出 点坐标，不存在请说明理由.
6．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，
点 在椭圆 ： 上，从原点 向圆
作两条切线分别与椭圆 交于点 ， ，若直线 ，
的斜率分别为 ， ，且 ．
(1)求圆 的半径 ；
(2)探究 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
7．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）双曲线的光学性质如下：
如图1，从双曲线右焦点 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经
过左焦点 .我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性
质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为 分别为其左、右焦点，若从右焦点 发出的光线经双曲线上的点 和点 反射后（
在同一直线上），满足 .
(1)当 时，求双曲线的标准方程；
(2)过 且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于 两点，点 是线段 的中
点，试探究 是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.
8．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知圆 是圆
上任意一点，线段 的垂直平分线与半径 相交于点 ，当点 运动时，点 的
轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线与曲线 相交于点 ，与 轴相交于点 ，过点 的另一
条直线 与 相交于 两点，且 的面积是 面积的 倍，求直线 的方
程．
9．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知椭圆 ： 的左、右焦点分
别为 ， ，过 的直线 与 交于 ， 两点， 的周长为8，且点 在上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与圆 ： 交于C，D两点，当 时，求
面积的取值范围．
10．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知椭圆 ：
经过点 ，且离心率为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线 ， 均过点A，且互相垂直，直线 与圆O： 交于M，N两点，直
线 与椭圆C交于另一点B，求 面积的最大值.
11．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知椭圆C：
的左右焦点分别为 、 ，离心率 ， 、 分别为椭圆C
的左、右顶点，且 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)若O为坐标原点，过 的直线l与椭圆C交于A、B两点，求 面积的最大值；
(3)若椭圆上另有一点M，使得直线 与 斜率 、 满足 ，请分析直线
BM是否恒过定点.
12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知双曲线 ： （
， ）的渐近线方程为 ，焦距为10， ， 为其左右顶点．
(1)求 的方程；
(2)设点 是直线 ： 上的任意一点，直线 、 分别交双曲线 于点 、 ，，垂足为 ，求证：存在定点 ，使得 是定值．
13．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）已知椭圆E： 的左、
右焦点分别为 ,焦距与短轴长均为4. 设过F 的直线l交E于M,N,过M,N分别作E
2
在点M,N上的两条切线,记它们的交点为P,MN的中点为Q.
(1)证明：O,P,Q三点共线；
(2)过F 作平行于l的直线分别交PM,PN于A,B,求 的取值范围.
1
参考结论：点T( , )为椭圆 ( )上一点,则过点T( , )的椭圆的
切线方程为 .
14．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点 的直线交
双曲线 于 两点，曲线 的左右顶点分别为 ，虚轴长
与实轴长的比值为 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)如图，点 关于原点 的对称点为点 ，直线 与直线 交于点 ，直线
与直线 交于点 ，求 的轨迹方程．
15．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知定点 ，关于原点 对称的动点 ， 到定直线 的距离分别为 ， ，且 ，记 的轨迹为曲
线 .
(1)求曲线 的方程，并说明曲线 是什么曲线？
(2)已知点 ， 是直线 与曲线 的两个交点， ， 在 轴上的射影
分别为 ， （ ， 不同于原点 ），且直线 与直线 相交于点 ，
求 与 面积的比值.
16．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知点 是圆 上一动点，点
，线段 的垂直平分线交线段 于点 .
(1)求动点 的轨迹方程 ；
(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线 与曲
线 相似，且焦点在同一条直线上，曲线 经过点 .过曲线 上任一点
作曲线 的切线，切点分别为 ，这两条切线 分别与曲线 交于点
（异于点 ），证明： .
17．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线
上的点 到焦点 的距离的5.
(1)求抛物线方程及点 的坐标.
(2)过点 的直线 交 于 两点，延长 ， 分别交抛物线于 两点.令
， ， ， ，求 的最小值.
18．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线的焦点为 ，过 的直线交 于 ， 两点（其中点 在第一象限），过
点 作 的切线交 轴于点 ，直线 交 于另一点 ，直线 交 轴于点 .
(1)求证： ；
(2)记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，当点 的横坐标大于2时，
求 的最小值及此时点 的坐标.
19．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知双曲线
的左､右焦点分别为 为双曲线 的右支上一点，点 关
于原点 的对称点为 ，满足 ，且 .
(1)求双曲线 的离心率；
(2)若双曲线 过点 ，过圆 上一点 作圆 的切线 ，直线
交双曲线 于 两点，且 的面积为 ，求直线 的方程.
20．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆 ，下顶点为 是椭圆上
任意一点，过点 作 轴的平行线与直线 交于 点，若点 关于点 的对称点为 ，直线 交椭圆于 两点.
(1)求椭圆 上点到直线 的距离的最大值；
(2)已知 ．过点 作 垂直直线 ，垂足为 ，是否存在定点 ，使得
为定值，若存在求出定点 坐标和 ，若不存在，请说明理由.
21．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，点
A，B在椭圆C上，点 到直线 的距离为 ，且 的内心恰好是点
D．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，M，N为椭圆上不重合两点，且M，N的中点H在直线
上，求 面积的最大值．
22．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知椭圆C： 与y轴
交于 ， 两点，椭圆上异于A，B两点的动点D到A，B两点的斜率分别
为 ， ，已知 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过定点 与动点D的直线，与椭圆交于另外一点H，若AH的斜率为 ，求
的取值范围．
23．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知椭圆E： ，椭圆上有四个动点
A，B，C，D， ，AD与BC相交于P点.如图所示.(1)当A，B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD与BC的斜率之积
是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；
(2)若点P的坐标为 ，求直线AB的斜率.
24．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）如图，在 中，点
.圆 是 的内切圆，且 延长线交 于点 ，若 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)若椭圆 上点 处的切线方程是 ，
①过直线 上一点 引 的两条切线，切点分别是 ，求证：直线 恒过定
点 ；
②是否存在实数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，
说明理由.
25．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知双曲线 的离心率为2，右
焦点与抛物线 的焦点重合，双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，点 为第二
象限内的动点，过点 作双曲线 左支的两条切线，分别与双曲线 的左支相切于两
点 ， ，已知 ， 的斜率之比为 .(1)求双曲线 的方程；
(2)直线 是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由.
(3)设 和 的面积分别为 和 ，求 的取值范围.
参考结论：点 为双曲线 上一点，则过点 的双曲线的切线方程为
.
26．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知 是椭圆 的左右
焦点，以 为直径的圆和椭圆 在第一象限的交点为 ，若三角形 的面积为
1，其内切圆的半径为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知A是椭圆 的上顶点，过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，点
在第二象限，直线 分别与 轴交于 ，求四边形 面积的最大值．
27．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知椭圆E： ．若直
线l： 与椭圆E交于A、B两点，交x轴于点F，点A，F，B在直线 ：
上的射影依次为点D，K，G．
(1)若直线l交y轴于点T，且 ， ，当m变化时，探究 的值是否为定值？若是，求出 的值；否则，说明理由；
(2)连接AG，BD，试探究当m变化时，直线AG与BD是否相交于定点？若是，请求出
定点的坐标，并给予证明：否则，说明理由．
28．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知曲线 上的动点 满足 ，且
.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于 、 两点，过 、 分别做 的切线，两切线交于点 .在以
下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.
①直线 经过定点 ；
②点 在定直线 上.
29．（2023·山东潍坊·三模）已知椭圆 的离心率为 ，且过
点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若动直线 ： 与椭圆 交于 两点，且在坐标平面内存在
两个定点 ，使得 （定值），其中 分别是直线 的斜
率， 分别是直线 的斜率．
①求 的值；
②求四边形 面积的最大值．
30．（2023·云南·校联考模拟预测）已知圆 ： ，定点 ，如
图所示，圆 上某一点 恰好与点 关于直线 对称，设直线 与直线 的交点
为 .(1)求证： 为定值，并求出点 的轨迹 方程；
(2)设 ， 为曲线 上一点， 为圆 上一点（ ， 均不在 轴
上）.直线 ， 的斜率分别记为 ， ，且 .求证：直线 过定点，并
求出此定点的坐标.
