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专题06 首届新高考-导数大题综合（首届新高考江西、广西、
贵州、甘肃专用）
一、解答题
1．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）设函数 ， 且
．
(1)求函数 的单调性；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围．
2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知 ．
(1)求 在 上的最值；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数 ， ， .
(1)若 ，求证： ；
(2)若函数 与函数 存在两条公切线，求 的取值范围.
4．（2023·山东淄博·统考三模）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)证明：当 时， .
5．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）设函数 .
(1)求 的极值；
(2)已知 ， 有最小值，求 的取值范围.6．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数 ，
.
(1)求函数 的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若 恒成立，求实数 的取值范围；
②若关于 的方程 有两个实根，求实数 的取值范围.
7．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）设 ，函数
．
(1)判断 的零点个数，并证明你的结论；
(2)若 ，记 的一个零点为 ，若 ，求证： ．
8．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的极值；
(2)当 时，证明： .
9．（2023·山东烟台·统考三模）已知函数 ，其中 ．
(1)讨论方程 实数解的个数；
(2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
10．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数 ，
(1)若 的图象在 处的切线过点 ，求 的值及 的方程
(2)若 有两个不同的极值点 ， ，（ ），且当 时恒
有 ，求 的取值范围．11．（2023·山东济南·统考三模）已知函数 .
(1)讨论 的极值点个数；
(2)若 有两个极值点 ，直线 过点 .
（i）证明： ；
（ii）证明： .
12．（2023·河北·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在实数 ，使得关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
13．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 在区间 上的单调性；
(2)若 ，求 的值．
14．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数
为其极小值点．
(1)求实数 的值；
(2)若存在 ，使得 ，求证： ．
15．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)当 时，求证： 在 上有唯一零点.
16．（2023·湖南·校联考二模）已知函数 ．(1)求 的最小值；
(2)证明：方程 有三个不等实根．
17．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数 ，
（e为自然对数的底数）．
(1)若函数 的最大值为0，求a的值；
(2)若对于任意正数x， 恒成立，求实数a的取值范围．
18．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的最大值；
(2)当 时，证明： .
19．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数 的极值点个数；
(2)当 ，方程 有两个不同的实根 时，且 恒成立，
求正数 的取值范围.
20．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知 ， 是方程 的两个不
等实根，函数 的定义域为 .
(1)求 ；
(2)证明：对于 ，若 ，则.
21．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知关于x方程
在区间 内有且只有一个解.
(1)求实数a的取值范围；
(2)如果函数 ，求证： 在 上存在极值点 和零点
；
(3)对于（2）中的 和 ，证明： .
22．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知 且 ，函数
.
(1)讨论 的单调区间；
(2)若曲线 与直线 恰有一个交点，求 取值范围.
23．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知函数 ，
.
(1)若 与 的图象恰好相切，求实数a的值；
(2)设函数 的两个不同极值点分别为 ， （ ）.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）若不等式 恒成立，求正数 的取值范围（ 为自然对数
的底数）
24．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知函数， .
(1)当 时，证明： 在 上恒成立；
(2)判断函数 的零点个数.
25．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知函数
.
(1)若 在区间 内存在极值点 ，求实数 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求证： 在区间 内存在唯一的零点 ，并比较 与 的
大小，说明理由.
26．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知 ， 有且
仅有一条公切线 ，
(1)求 的解析式，并比较 与 的大小关系．
(2)证明： ， ．
27．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数
(1)求 在 处的切线;
(2)若 ，证明当 时， .
28．（2023·广东深圳·校考二模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)①当 时，试证明函数 恰有三个零点；
②记①中的三个零点分别为 ， ， ，且 ，试证明 .
29．（2023·广东广州·广州六中校考三模）已知 与 有
相同的最小值.(1)求实数 的值；
(2)已知 ，函数 有两个零点 ，求证： .
30．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若 有两个极值点 ，证明： ．
