文档内容
模块三 平面向量（测试）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知点 ， ，向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若两个单位向量 满足 ，则 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E满足 ，记 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．5．已知向量 ，满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．在 中，角B，C所对的边分别为b，c，D为边BC上的点.已知
： ， ： 平分 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形 ，
其中 ，则 （ ）
A．4 B． C．8 D．
8．已知 ， 为单位向量，且 ，向量 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设 是两个相互垂直的单位向量.若向量 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在四边形 中， ， 为 的中点， 与 交于点 ， 与 交于点 ，设 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．若 ，则
11．定义： 两个向量的叉乘 的模 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若平行四边形 的面积为4，则
B．在正 中，若 ，则
C．若 ， ，则 的最小值为12
D．若 ， ，且 为单位向量，则 的值可能为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知平面向量 ， 满足 ，则 ．
13．已知点 均在 所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ．
①若动点 满足 ，则点 为 的重心；
②若动点 满足 ，则动点 的轨迹一定经过 的内心；
③若动点 满足 ，则动点 的轨迹一定经过 的重心；④若动点 满足 ，则动点 的轨迹一定经过 的垂心．
14．在 中， 是 边上靠近 点的三等分点， 是 边上的动点，
则 的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知向量 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求实数 的值；
(3)若 与 的夹角是钝角，求实数 的取值范围.
16．（15分）
如图，在 中， ， ．设 ， ．
(1)用 ， 表示 ， ；
(2)若 为 内部一点，且 ．求证： ， ， 三点共线．
17．（15分）
在 中，已知 .
(1)求 ；
(2)记 为 的重心，过 的直线分别交边 于 两点，设 .（i）求 的值；
（ii）若 ，求 和 周长之比的最小值.
18．（17分）
如图，设 、 是平面内相交成 的两条射线， 、 分别为 、 同向的单位向量，
定义平面坐标系 为 仿射坐标系，在 仿射坐标系中，若 ，则记 .
(1)在 仿射坐标系中，若 ，求 ；
(2)在 仿射坐标系中，若 ， ，且 与 的夹角为 ，求 ；
(3)如图所示，在 仿射坐标系中， 、 分别在 轴、 轴正半轴上， ， ， 、
分别为 、 中点，求 的最大值.
19．（17分）
已知平面直角坐标系中，点A(a,0)，点 （其中 ， 为常数，且 ），点 为坐标原点．(1)设点 为线段 上靠近 的三等分点， ，求 的值；
(2)如图所示，设点 ， ， ，…， 是线段 的 等分点，其中 ， ，
①当 时，求 的值（用含 ， 的式子表示）；
②当 ， 时，求 的最小值．
（说明：可能用到的计算公式： ， ）．
