文档内容
模块七 平面解析几何（测试）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．圆 与圆 的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
2．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线 的一条渐近线的斜率为 ，一个焦点在抛物线 的准线上，
则双曲线的顶点到渐近线的距离为（ ）
A．3 B．6 C． D．
4．下列选项中的圆既与 轴相切又与直线 相切的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知圆 与直线 交于 两点，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．6．若直线 ： 与直线 ： 平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，双曲线 的离心率为 ，若 ，则点 与椭圆
的位置关系为（ ）
A．点 在椭圆 内 B．点 在椭圆 上
C．点 在椭圆 外 D．不确定
8．设椭圆 的右焦点为 . 为 上一点， 的半径为 ，过 作 轴的垂线，
交 于 两点， 在 的左侧.记 的离心率为 ，点 轨迹的离心率为 ，点 轨迹的离心率为 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 分别是双曲线 的上，下焦点， 上的点 在第一象限内，且 的渐近线
方程为 ，则（ ）
A． B． 的虚轴长为
C． 的焦距为 D．
10．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把 称为黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线 的左，右顶点分别为 ，虚轴的上端点
为 ，左焦点为 ，离心率为 ，则（ ）
A．
B．
C．顶点到渐近线的距离为
D． 的外接圆的面积为
11．如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆 相交于A，C，B，D
四点，M为弦AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．AO长度的最大值为 B．线段BD长度的最小值为
C．点M的轨迹是一个圆 D．四边形ABCD面积的取值范围为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若直线 平分圆 ，则 .
13．一只盛水的圆柱形茶杯倾斜后得到椭圆形水面，若水面与底面所成的二面角为 ，则水面椭圆的离
心率为 ．
14．已知在棱长为3的正方体 中，点 是底面ABCD内的动点，点 为棱BC上的动点，
且 ，则 的最小值为 .四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
在平面直角坐标系 中，已知圆 ， 上存在两点关于直线 对
称.
(1)求 的半径；
(2)过坐标原点 的直线 被 截得的弦长为2，求 的方程.
16．（15分）
已知双曲线E： 与 有相同的渐近线，且过点 .
(1)求E的方程；
(2)已知O为坐标原点，直线 与E交于P，Q两点，且 ，求m的值.
17．（15分）
在平面内，动点M 到点 的距离和它到直线 的距离相等，记动点M 的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程，并判断其形状；
(2)若点 在曲线C上，且
（i）证明：直线AB过定点：
（ii）记（i）中的直线AB过的定点为P，且过P作垂直于AB的直线l交曲线C于D、E两点，求四边
形 的面积的最小值.18．（17分）
x2 y2
已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为 ，焦距为 ，且离心率为 .
a2 b2
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两点，点 为 的外心.
（i）若 为等边三角形，求点 的坐标；
（ii）若点 在直线 上，求点 到直线 的距离的取值范围.
19．（17分）
定义：对椭圆 及任意一点 ，称直线 为 关于点 的“极
线”.
结论1：若点 在椭圆 上，则 关于点 的极线就是 在点 处的切线.
结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦
点.
试根据上面的定义和结论解决下列问题：
已知 是椭圆 的两个焦点， 关于点 的极线 与 相交于 两点.
(1)求 ；
(2)设 在点 处的切线为 ，在点 处的切线为 ，过在 上且在 外一点 作 的两条切线，切点
分别为 ,证明：直线 相交于一点；
(3)若 是 上除顶点以外的任意一点，直线 和 分别与直线 相交于点 ，
证明： 为定值.
