10.6 频率与概率
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：随机事件的频率............................................................. 2
考点二：频率的特点................................................................... 2
考点三：频率的稳定性(用频率估计概率) ......................................... 2
考点四：生活中的概率................................................................ 2
考点五：随机模拟......................................................................2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：频率与概率的关系.......................................................... 3
题型二：频率的计算................................................................... 5
题型三：用随机事件的频率估计概率...............................................7
题型四：游戏公平性................................................................... 9
题型五：天气预报、抽奖、彩票与其他问题中的概率解释...................10
题型六：随机模拟问题.............................................................. 11
题型七：概率思想的实际应用......................................................13
模块三：综合巩固....................................................................... 16
10.6 频率与概率
模块一：基础知识
考点一：随机事件的频率
在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数
A
n 为事件A
出现的频数，称事件A 出现的比例
( )
A
n
n
f
A
n
为事件A 出现的频率.
考点二：频率的特点
随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频
率有以下特点.
①在某次随机试验中，事件A 发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又
具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势.
②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的
可
能性会减小.
③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数
之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映.
考点三：频率的稳定性(用频率估计概率)
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A 发生的频率具有随机性.一般地，随着
试验次数n 的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率
( )
nf
A 会逐渐稳定于事件A 发生
的概率
( )
P A .我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率
( )
nf
A 估计概率
( )
P A .
考点四：生活中的概率
(1)游戏的公平性
在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判
员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的.
(2)天气预报的概率解释
天气预报是气象专家依据气象观测和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天
气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，
因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样.
另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.
在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明
天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨.
考点五：随机模拟
1.随机数的定义
随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等.
2.产生随机数的方法
①利用抽签法产生随机数
要产生1
n
（n
N
）之间的随机整数，把n 个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，
，n 放入
一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数.
②利用计算机或计算器产生伪随机数：计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期
性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们
称它们为伪随机数.
3.用随机模拟法估计概率
①随机模拟法产生的必要性：用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破
坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复.
②随机模拟法估计概率的思想：随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计
算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概
率.
③随机模拟法的优点：不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生
产生活的各个领域中去.
④随机模拟法的步骤：建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果.
模块二：题型分类
题型一：频率与概率的关系
1.以下说法正确的是（
）
A．概率与试验次数有关
B．在试验前无法确定概率
C．频率与试验次数无关
D．频率是在试验后得到的
2.某同学做立定投篮训练，共做3 组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
124
174
366
命中的频率
0.68
0.62
0.58
0.61
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是（
）
A．0.58
B．0.61
C．0.62
D．0.68
3.某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明（
）
A．该厂生产的10 000 件产品中不合格的产品一定有1 件
B．该厂生产的10 000 件产品中合格的产品一定有9 999 件
C．该厂生产的10 000 件产品中没有不合格的产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
4.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能
是（
）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正方体的骰子，出现3 点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2 个红球1 个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
5.在抛掷硬币试验中，记事件A 为“正面朝上”，则下列说法正确的（
）
A．抛掷两枚硬币，事件“一枚正面，一枚反面”发生的概率为1
3
B．抛掷十枚硬币，事件B 为“抛掷十枚硬币，正面都朝上”没有发生，说明
0
P B
C．抛掷100 次硬币，事件A 发生的频率比抛掷50 次硬币发生的频率更接近于0.5
D．当抛掷次数足够大时，事件A 发生的频率接近于0.5
6.根据统计，某篮球运动员在1000 次投篮中，命中的次数为560 次，则该运动员（
）
A．投篮命中的频率为0.56
B．投篮10 次至少有5 次命中
C．投篮命中的概率为0.56
D．投篮100 次有56 次命中
7.下列命题中正确的是（
）
A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200 件产品中必有10 件是次品
B．抛100 次硬币，结果51 次出现正面，则出现正面的概率是0.51
C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率
D．掷骰子100 次，得点数为6 的结果有20 次，则出现6 点的频率为0.2
8.某人将一枚硬币连抛20 次，正面朝上的情况出现了12 次.若用A 表示事件“正面向上”，则A 的（
）
A．频率为3
5
B．概率为3
5
C．频率为
1
2
D．概率接近3
5
9.下列说法中正确的是（
）
A．当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
10.根据统计，某篮球运动员在5000 次投篮中，命中的次数为2348 次．
(1)求这名运动员的投篮命中率；
(2)若这名运动员要想投篮命中10000 次，则大概需要投篮多少次？（结果精确到100）
(3)根据提供的信息，判断“该篮球运动员投篮3 次，至少能命中1 次”这一说法是否正确．
11.给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200 件，必有10 件是次品；
②做100 次抛硬币的试验，结果51 次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是51
100 ；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100 次，得点数是1 的结果有18 次，则出现1 点的频率是9
50 .
其中正确命题有（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
12.（多选）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（
）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100 件，必有10 件是次品
B．做7 次抛硬币的试验，结果3 次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是3
7
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率
也不一定很准确．
13.某人抛掷一枚硬币80 次，结果正面朝上有43 次.设正面朝上为事件A，则事件A 出现的概率为
．
题型二：频率的计算
1.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800 次试验，发现正面朝上出现了440 次，
那么出现正面朝上的频率和概率分别为（
）
A．0.55，0.55
B．0.55，0.5
C．0.5，0.5
D．0.5，0.55
2．某产品的设计长度为20cm ，规定误差不超过0.5cm 为合格品．今对一批产品进行测量，测量结果如下
表：
长度(cm)
19.5以下
19.5 ~ 20.5
20.5 以上
件数
5
68
7
则这批产品的不合格率为（
）
A．5
80
B．7
80
C．17
20
D．3
20
3.某地一种植物一年生长的高度如下表：
高度/cm
[10，20）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60]
频数
20
30
80
40
30
则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（
）
A．0.80
B．0.65
C．0.40
D．0.25
4．容量为100 的样本数据，按从小到大的顺序分为8 组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
x
14
15
13
12
9
第三组的频数和频率分别是（
）
A．14 和0.14
B．0.14 和14
C．1
14 和0.14
D．1
3 和1
14
5．甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A 查到
共有840 人参与评价，其中好评率为95%，乙在网站B 查到共有1260 人参与评价，其中好评率为85%．综
合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（
）
A．88%
B．89%
C．91%
D．92%
6．在第112个“三八”国际妇女节到来之际，我们年级组给每位女教师送了火红的玫瑰和热情洋溢的贺卡，
其中我最喜欢的一句话英文翻译是：“You stand on the podium as an oath and tell the ordinary as a fairly tale.”
统计如下表：
字母
y
o
u
s
a
p
d
e
t
f
l
i
n
m
r
h
频数
3
5
2
3
10
1
4
4
6
1
4
3
5
1
3
3
累计频数为58，则字母“a ”出现的频率约为多少？（
）
A．10
B．0.172
C．0.123
D．0.153
7．掷一枚均匀的硬币80 次，其中42 次出现正面，则出现正面的频率是
.
8．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的频率如下表：
最高水位范围（米）
<10
[10,12)
[12,14)
[14，16）
≥16
频率
0.1
0.28
0.38
0．16
0.08
若当最高水位低于14 米时为“安全水位”，则出现“安全水位”的频率是
.
9．从存放号码分别为1，2，3，…，10 的卡片的盒子里，有放回地取100 次，每次取一张卡片，并记下号
码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到次数
17
8
5
7
6
9
18
9
12
9
取到号码为奇数的频率为
．
10．从一堆苹果中任取10 只，称得它们的质量（单位：g）如下．
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在
114.5,124.5 内的频率为
．
题型三：用随机事件的频率估计概率
1.（多选）“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是（
）
A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨
C．北京和上海都可能没降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
2.手机支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100
名顾客进行调查，记录结果整理如下表.从这100 名顾客中随机抽取1 人，则该顾客年龄在
40,60 内且未
使用手机支付的概率为（
）.
顾客年龄（岁）
20 岁以下
20,30
30,40
40,50
50,60
60,70
70 岁及以上
手机支付人数
3
12
14
13
27
9
0
其他支付方式人数
0
0
2
9
5
5
1
A．21
50
B．2
5
C．23
50
D．7
50
3.每年4 月15 日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了
解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下
表所示：
学习时间（时）
0,2
2,4
4,6
6,8
8,10
党员人数
8
13
9
10
10
则从该校随机抽取1 名党员，估计其学习时间不少于6 小时的概率为（
）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
4.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天
下雨的概率，用1，2，3，4，5，6 表示下雨，7，8，9，0 表示不下雨.用计算机产生了10 组随机数为180，
792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为
.
5.某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100 名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59 人，体
重不变的21 人，体重增加的20 人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为
（
）
A．59
100
B．21
100
C．1
5
D．4
5
6.受全球新冠疫情影响，2020 东京奥运会延期至2021 年7 月23 日到8 月8 日举行，某射箭选手积极备战
奥运，在临赛前的一次训练中共射了1 组共72 支箭，下表是命中环数的部分统计信息
环数
<7
7
8
9
10
频数
0
3
a
b
22
已知该次训练的平均环数为9.125 环
(1)求a，b 的值；
(2)据此水平，求正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9 环）的概率.
7.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两
天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6 表示下雨，用计算机产生了10 组随机数180，792，454，417，165，
809，798，386，196，206 据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（
）
A．3
5
B．2
5
C．
1
2
D．7
10
8.在某地区进行流行病学调查，随机调查了200 位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分
布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于[10,30) 的概率为
.
9.一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率．该公司收集了20000 辆汽车的信息，时间从某一年的7 月
1日到第二年的6月30日，共发现有600 辆汽车的挡风玻璃破碎．在一年时间内，一辆汽车的挡风玻璃破
碎的概率大约是多少？
题型四：游戏公平性
1.下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（
）
取球方式
结果
游戏
1
有3 个黑球和1 个白球，游戏时，不放回地依次
取2 个球
取出的2 个球同色→甲胜；取出的2 个球不同
色→乙胜
游戏
2
有1 个黑球和1 个白球，游戏时，任取1 个球.
取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙
胜.
游戏
3
有2 个黑球和2 个白球，游戏时，不放回地依次
取2 个球.
取出的2 个球同色→甲胜；取出的2 个球不同
色→乙胜.
A．游戏1 和游戏3
B．游戏1
C．游戏2
D．游戏3
2.某学校校庆，给每班发了5 张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪5 位同学参加，为此
制作了50 张卡片，其中5 张写有“庆典”字样．50 位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学校
庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是5
50 ．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到的
概率只有4
49 ，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为5
49 ．抽中的机会未必相等．”你认为王
老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？
3.一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一
张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙
随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜
色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面
的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的
概率为
1
2 ，我赢的概率也是
1
2 ，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
4.（1）小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子.当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1 分，
否则小明得1 分.这个游戏公平吗？
（2）盒子里装有3 个红球，1 个白球，从中任取3 个球，求“3 个球中既有红球又有白球”的概率.
5．张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是(
)
①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜;
②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜;
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜;
④张明、张华两人各写一个数字6 或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜.
A．①②
B．②
C．②③④
D．①②③④
6.（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个
正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙
胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
7.已知n 是一个三位正整数，若n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增
数”（如135，256，345 等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6
组成的所有“三位递增数”中随机抽取1 个数，且只抽取1 次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数
学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6 可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
题型五：天气预报、抽奖、彩票与其他问题中的概率解释
1.气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（
）
A．本市明天将有70%的地区降雨
B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大
D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
2.某种彩票的中奖概率为
1
100000 ，则以下理解正确的是（
）
A．购买这种彩票100000 张，一定能中奖一次
B．购买这种彩票100000 张，可能一次也没中奖
C．购买这种彩票1 张，一定不能中奖
D．购买这种彩票100000 张，至少能中奖一次
3.深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公
司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说，事故
现场的出租车是红色的，并对证人的辨别能力进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定
红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.
4.下列说法正确的是
A．某厂一批产品的次品率为1
10 ，则任意抽取其中10 件产品一定会发现一件次品
B．掷一枚硬币，连续出现5 次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9 个病人都没有治愈，第10 个人就一定能治愈
D．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下
雨
5.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否
成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19 ；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友
助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9 ，
则至少需要邀请
位好友参与到“好友助力”活动.
6.设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99 个白球，1 个黑球，乙箱中有1 个白球，99 个黑球.随机地
抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从
箱中取出的.
题型六：随机模拟问题
1.进入8 月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24 小时
内最高气温将升至37 摄氏度以上），在今后的3 天中，每一天最高气温在37 摄氏度以上的概率是
3
5.用计算
机生成了20 组随机数，结果如下：
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4，5 表示高温橙色预警，用6，7，8，9 表示非高温橙色预警，则今后的3 天中恰有2
天发布高温橙色预警信号的概率估计是（
）
A．
3
5
B．
1
2
C．
13
20
D．
2
5
2.在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的
概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4 表示被感染，5，6，7，8，9，0
表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20 组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（
）.
A．0.25
B．0.4
C．0.6
D．0.75
3.某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3 例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器
或计算机产生0~9 之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3 表示手术不成功，4，5，
6，7，8，9 表示手术成功；再以每3 个随机数为一组，作为3 例手术的结果，经随机模拟产生如下10 组
随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3 例心脏手术全部成功”的概率为（
）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
4.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球（只有颜色不同）若干个，有放回地从中任取1 球，
取了10 次有7 个白球，估计袋中数量较多的是
球.
5.袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字
都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0 到3 之间取整数值的
随机数，分别用0,1,2,3代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随
机模拟产生了以下18 组随机数：
232
321
230
023 123
021
132
220
001
231
130
133
231
031
320
122
103
233
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为
.
6.甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3 局，赢得2 局或3 局者胜出，用计算机产
生1~5 之间的随机数，当出现随机数1，2，3 时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3 局，
所以每3 个随机数为一组，产生20 组随机数：
423
123
423
344
114
453
525
332
152
342
534
443
512
541
125
432
334
151
314
354
据此估计甲获得冠军的概率为
；
7.欲利用随机数表从00，01，02，…，59 这些编号中抽取一个容量为6 的样本，抽取方法是从下面的随机
数表的第1 行第11 列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4 个被抽取的样本的编号为
8.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖
恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0 到9 之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4 表示命中靶
心，5，6，7，8，9，0 表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了
20 组随机数：
93
28
12
45
85
69
68
34
31
25
73
93
02
75
56
48
87
30
11
35
据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为
．
9．天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用
计算机产生0~9 之间取整数值的随机数，用1，2 表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的
概率是20%，因为时间是一周，所以每7 个随机数作为一组，假设产生20 组随机数是：
7032563
2564586
3142486
5677851
7782684
6122569
5241478
8971568
3215687
6424458
6325874
6894331
5789614
5689432
1547863
3569841
2589634
1258697
6547823
2274168
则下个星期恰有2 天涨潮的概率为
.
题型七：概率思想的实际应用
1.某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游
戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）
班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7 的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两
人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．该
方案对双方是否公平？为什么？
2.深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公
司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说，事
故现场的出租车是红色的，并对证人的辨别能力进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认
定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.
3.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0
25dB
（分贝），并规定测试值在区间(0,5]
为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．对500 人进行了听力测试，从中随机抽取了50 人的测试值作为
样本，制成如图频率分布直方图，从总体的500 人中随机抽取1 人，估计其测试值在区间(0,10]内的概率
为（
）．
A．0.2
B．0.8
C．0.02
D．0.08
4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，
抽样取米一把，数得224 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为（
）
A．169石
B．192石
C．1367 石
D．1164石
5.已知一个容量为20 的样本，其数据具体如下：
10
8
6
10
13
8
10
12
11
7
8
9
11
9
12
9
10
11
12
11
那么频率为0.4 的范围是（
）
A．5.5~7.5
B．7.5~9.5
C．9.5~11.5
D．11.5~13.5
6.甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30 %，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学校
的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中任
取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（
）
A．0.165
B．0.16
C．0.32
D．0.33
7.我市某高校共有学生30000 人，其中女生18000 人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采
用分层抽样的方法，收集300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）.
(1)应收集多少个男生样本数据?
(2)根据这300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区
间为：0,2 ，2,4 ，4,6 ，6,8 ，8,10 ，10,12 ，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运
动时间不超过7h 的概率.
8.从某校的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如图频率分布直方图．
(1)求�的值；
(2)求该组数据的众数和平均数；
(3)从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在170cm 以下的概率．
9.近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI 来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：
���=
体重单位:kg
身高
2 单位:m2 ，成年人的BMI 数值标准是：BMI<18.5 为偏瘦；18.5≤BMI<24 为正常；24≤BMI<28 为
偏胖；BMI≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI值分成以下五组：12,16 ，16,20 ，
20,24 ，24,28 ，28,32 ，得到相应的频率分布直方图.
(1)求�的值，并估计该公司员工BMI 的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）；
(2)该公司共有1200 名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI 数值正常的人数.
模块三：综合巩固
1.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000 次试验，发现正面朝上出现了560 次，
那么出现正面朝上的频率和概率分别为（
）
A．0.56，0.56
B．0.56，0.5
C．0.5，0.5
D．0.5，0.56
2.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6 ．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利
用计算机产生1~ 5之间的随机数：
425123423344144435525332152342
534443512541135432334151312354
若用1，3，5 表示下雨，用2，4 表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（
）
A．9
20
B．1
2
C．11
20
D．13
20
3.下列结论：①如果
0.9999
P A
，那么A 为必然事件：
②若事件A 与B 是互斥事件，则
1
P A
P B
；
③概率是随机的，试验前不能确定；
④若事件A 与B 是对立事件，则A 与B 一定是互斥事件．
其中是正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．下列说法中，正确的是（
）
A．某种彩票中奖的概率是1% ，因此买100 张该种彩票一定会中奖
B．做7 次拋硬币的试验，结果3 次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是3
7
C．若事件
, ,
A B C 两两互斥，则
1
P A
P B
P C
D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3 的倍数的概率是1
3
5.下列说法正确的是（
）
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；
②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率．
A．0
B．1
C．2
D．3
6.抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件A “正面向上”，则下列说法正确的是（
）
A．抛掷硬币10次，事件A 必发生5次
B．抛掷硬币100次，事件A 不可能发生50次
C．抛掷硬币1000 次，事件A 发生的频率一定等于0.5
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A 发生的频率逐渐稳定在0.5附近
7.在6 月6 日第27 个全国“爱眼日”即将到来之际，教育部印发《关于做好教育系统2022 年全国“爱眼日”
宣传教育工作通知》，呼吁青年学生爱护眼睛，保护视力．众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调
查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2h，这些人的近视率约为50%．现
从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（
）
A．3
14
B．5
14
C．3
7
D．4
7
8．设两个相互独立事件A，B 都不发生的概率为1
9 ，则A 与B 都发生的概率的取值范围是（
）
A．
8
0, 9
B．1 5
,
9 9
C．2 8
,
3 9
D．
4
0, 9
9.（多选）下列说法正确的是（
）
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100 张该种彩票一定会中奖
D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3 的倍数的概率是1
3
10.（多选）光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其
中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，
并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（
）
A．选取的这部分学生的总人数为500 人
B．合唱社团的人数占样本总量的40%
C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78 人
D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125
11.（多选）利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数分别为20，100，500 时各做5 组试验，
得到事件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”发生的频数和频率情况如下表：
序号
20
n
100
n
500
n
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.5
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
根据以上信息，下面说法正确的有（
）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好
C．随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要想得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
12.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现
象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50 人中，有14 人持认可
态度，其余持反对态度，若该地区有7600 人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有
人．
13.在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员
设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个白球，每个被调查者
随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如
实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若100人中有52人回答了“是”，48 人回答了“否”．则问题二“考试
是否做过弊”回答“是”的百分比为（以100人的频率估计概率）
．
14.某高中高一500 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了
100 名学生，记录他们的分数，将数据分成7 组：20,30 ，30,40 ，…，80,90 ，并整理得到频率分布直
方图如图所示．
(1)从总体的500 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60 的概率；
(2)已知样本中分数小于40 的学生有5 人，试估计总体中分数在区间40,50 内的人数；
(3)估计随机抽取的100 名学生分数的众数，估计测评成绩的75%分位数；
(4)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70 的男女生人数相等．试估计总体中男
生和女生人数的比例．
15.同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和．
(1)两枚骰子掷出的点数之和有多少种可能？
(2)重复抛掷两枚骰子50次，根据试验结果，分别估计“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷
出的点数之和为10”的概率；
(3)汇总全班同学的数据，得到至少500次试验结果，用上述结果对上述概率重新进行估计；
(4)为了对上述事件的概率给出比较好的估计，你需要怎么做？
(5)你认为“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷出的点数之和为10”的概率相等吗？
16.一个游戏包含两个随机事件A 和B，规定事件A 发生则甲获胜，事件B 发生则乙获胜.判断游戏是否公
平的标准是事件A 和B 发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10 次时，双方各胜5 次；但玩到1000 次时，自己才胜300 次，而乙却胜了700
次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
17．甲，乙二人进行乒乓球比赛，规定：胜一局得3 分，平一局得1 分，负一局得0 分.已知甲，乙共进行
了三局比赛.如果甲乙二人进行三局两胜制的比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，
利用计算机模拟实验：用计算机产生1~5 之间的随机数，当出现随机数1，2 或3 时，表示一局比赛甲获
胜，当出现随机数4 或5 时，表示一局比赛乙获胜.由于要比赛三局，所以3 个随机数为一组，现产生了
20 组随机数：
123 344 423 114 423 453 354 332 125 342
534 443 541 512 152 432 334 151 314 525
(1)用以上随机数估计甲获胜概率的近似值；
(2)计算甲获胜的概率.
18.同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和．
(1)两枚骰子掷出的点数之和有多少种可能？
(2)重复抛掷两枚骰子50次，根据试验结果，分别估计“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，
“掷出的点数之和为10”的概率；
(3)汇总全班同学的数据，得到至少500次试验结果，用上述结果对上述概率重新进行估计；
(4)为了对上述事件的概率给出比较好的估计，你需要怎么做？
(5)你认为“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷出的点数之和为10”的概率相等吗？
