10.6 频率与概率
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：随机事件的频率............................................................. 2
考点二：频率的特点................................................................... 2
考点三：频率的稳定性(用频率估计概率) ......................................... 2
考点四：生活中的概率................................................................ 2
考点五：随机模拟......................................................................2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：频率与概率的关系.......................................................... 3
题型二：频率的计算................................................................... 8
题型三：用随机事件的频率估计概率.............................................12
题型四：游戏公平性................................................................. 15
题型五：天气预报、抽奖、彩票与其他问题中的概率解释...................19
题型六：随机模拟问题.............................................................. 21
题型七：概率思想的实际应用......................................................24
模块三：综合巩固....................................................................... 29
10.6 频率与概率
模块一：基础知识
考点一：随机事件的频率
在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数
A
n 为事件A
出现的频数，称事件A 出现的比例
( )
A
n
n
f
A
n
为事件A 出现的频率.
考点二：频率的特点
随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频
率有以下特点.
①在某次随机试验中，事件A 发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又
具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势.
②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的
可
能性会减小.
③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数
之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映.
考点三：频率的稳定性(用频率估计概率)
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A 发生的频率具有随机性.一般地，随着
试验次数n 的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率
( )
nf
A 会逐渐稳定于事件A 发生
的概率
( )
P A .我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率
( )
nf
A 估计概率
( )
P A .
考点四：生活中的概率
(1)游戏的公平性
在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判
员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的.
(2)天气预报的概率解释
天气预报是气象专家依据气象观测和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天
气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，
因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样.
另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.
在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明
天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨.
考点五：随机模拟
1.随机数的定义
随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等.
2.产生随机数的方法
①利用抽签法产生随机数
要产生1
n
（n
N
）之间的随机整数，把n 个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，
，n 放入
一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数.
②利用计算机或计算器产生伪随机数：计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期
性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们
称它们为伪随机数.
3.用随机模拟法估计概率
①随机模拟法产生的必要性：用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破
坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复.
②随机模拟法估计概率的思想：随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计
算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概
率.
③随机模拟法的优点：不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生
产生活的各个领域中去.
④随机模拟法的步骤：建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果.
模块二：题型分类
题型一：频率与概率的关系
1.以下说法正确的是（
）
A．概率与试验次数有关
B．在试验前无法确定概率
C．频率与试验次数无关
D．频率是在试验后得到的
【答案】D
【分析】根据频率和概率的特征判断即可.
【详解】概率本身是一个在
0,1 内的确定值，不随试验结果的改变而改变，故AB 错误；
频率本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同条件下做同样次数的重复试验，
得到的事件的频率值也可能会不同，故C 错误，D 正确.
故选：D
2.某同学做立定投篮训练，共做3 组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
124
174
366
命中的频率
0.68
0.62
0.58
0.61
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是（
）
A．0.58
B．0.61
C．0.62
D．0.68
【答案】B
【解析】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大，
所以合计列对应的频率最为合适.
故选：B.
3.某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明（
）
A．该厂生产的10 000 件产品中不合格的产品一定有1 件
B．该厂生产的10 000 件产品中合格的产品一定有9 999 件
C．该厂生产的10 000 件产品中没有不合格的产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
【答案】D
【分析】由概率的定义逐一分析即可.
【详解】对于A：该厂生产的10000 件产品中不合格的产品不一定有1 件，
可能是多件或者没有，故A 错误；
对于B：该厂生产的10000 件产品中合格的产品不一定是9999 件，故B 错误；
对于C：该厂生产的10000 件产品中可能有不合格产品，故C 错误；
对于D：该厂生产的产品合格的可能性是99.99%，故D 正确；
故选：D.
4.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能
是（
）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正方体的骰子，出现3 点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2 个红球1 个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
【答案】D
【解析】由折线图可知，频率在0.3 到0.4 之间
选项A，抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A 错；
选项B，掷一个正六面体的骰子，出现3 点朝上概率为1
6 ，不符合，故B 错；
选项C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃概率为1
4 ，不符合，故C 错；
选项D，从一个装有2 个红球1 个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率为1
3 ，在0.3 到0.4 之间，
符合题意，故D 对
故选：D
5.在抛掷硬币试验中，记事件A 为“正面朝上”，则下列说法正确的（
）
A．抛掷两枚硬币，事件“一枚正面，一枚反面”发生的概率为1
3
B．抛掷十枚硬币，事件B 为“抛掷十枚硬币，正面都朝上”没有发生，说明
0
P B
C．抛掷100 次硬币，事件A 发生的频率比抛掷50 次硬币发生的频率更接近于0.5
D．当抛掷次数足够大时，事件A 发生的频率接近于0.5
【答案】D
【详解】抛掷两枚硬币，出现的基本事件为（正，反），（正，正），（反，正），（反，反），所以事
件“一枚正面，一枚反面”发生的概率为
1
2
P
，故A 错误；
“抛掷十枚硬币，正面都朝上”没有发生，不能说明
0
P B
，应有
10
1
( )
2
P B
，故B 错误；
抛掷100 次硬币，事件A 发生的频率与抛掷50 次硬币A 发生的频率不能判断谁更接近于0.5，故C 错误；
根据频率与概率的关系知，当抛掷次数足够大时，事件A 发生的频率接近于0.5，故D 正确.
故选：D
6.根据统计，某篮球运动员在1000 次投篮中，命中的次数为560 次，则该运动员（
）
A．投篮命中的频率为0.56
B．投篮10 次至少有5 次命中
C．投篮命中的概率为0.56
D．投篮100 次有56 次命中
【答案】A
【分析】根据频率和概率的相关概念求解即可.
【详解】由题意可知投篮命中的频率为560
0.56
1000
，得到的频率可能比概率大，也可能小于概率，也可能
等于概率，故A 正确，C 错误，
投篮10 次或100 次相当于做10 次或100 次实验，每一次的结果都是随机的，其结果可能一次没中，或者
多次投中等，频率、概率只反映事件发生的可能性的大小，不能说明事件是否一定发生，故BD 错误；
故选：A
7.下列命题中正确的是（
）
A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200 件产品中必有10 件是次品
B．抛100 次硬币，结果51 次出现正面，则出现正面的概率是0.51
C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率
D．掷骰子100 次，得点数为6 的结果有20 次，则出现6 点的频率为0.2
【答案】D
【详解】对于A，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，
并不是一个确定的值，一批产品次品率为0.05，
则从中任取200 件，次品的件数在10 件左右，而不一定是10 件，A 错误；
对于B，100 次并不是无穷多次，
只能说明这100 次试验出现正面朝上的频率为51
100 ，故B 错误；
对于C，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，C 错误；
对于D，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值，
抛掷骰子100 次，得点数是6 的结果有20 次，则出现1 点的频率是20
0.2
100
，D 正确.
故选：D.
8.某人将一枚硬币连抛20 次，正面朝上的情况出现了12 次.若用A 表示事件“正面向上”，则A 的（
）
A．频率为3
5
B．概率为3
5
C．频率为
1
2
D．概率接近3
5
【答案】A
【分析】根据频率和概率的知识确定正确选项.
【详解】依题意可知，事件A 的频率为12
3
20
5
，概率为
1
2 .
所以A 选项正确，BCD 选项错误.
故选：A
9.下列说法中正确的是（
）
A．当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】A
【分析】根据频率和概率的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A 选项，根据频率的稳定性可知A 选项正确.
B 选项，频率与实验次数有关，B 选项错误.
C 选项，随机事件发生的频率不是这个随机事件发生的概率，C 选项错误.
D 选项，概率不是随机的，是确定的，D 选项错误.
故选：A
10.根据统计，某篮球运动员在5000 次投篮中，命中的次数为2348 次．
(1)求这名运动员的投篮命中率；
(2)若这名运动员要想投篮命中10000 次，则大概需要投篮多少次？（结果精确到100）
(3)根据提供的信息，判断“该篮球运动员投篮3 次，至少能命中1 次”这一说法是否正确．
【答案】(1)0.4696
(2) 21300
(3)不正确
【详解】（1）根据题意，某篮球运动员在5000 次投篮中，命中的次数为2348 次，
则这名运动员的投篮命中率
2348
0.4696
5000
P
；
（2）若这名运动员要想投篮命中10000 次，则有
2348
10000
21300
5000
；
（3）虽然这名运动员的投篮命中率
2348
1
5000
3
P
，但由概率的定义，“该篮球运动员投篮3 次，至少能命
中1 次”说法不正确.
11.给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200 件，必有10 件是次品；
②做100 次抛硬币的试验，结果51 次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是51
100 ；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100 次，得点数是1 的结果有18 次，则出现1 点的频率是9
50 .
其中正确命题有（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】D
【详解】对于①，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值，
一批产品次品率为0.05，则从中任取200 件，次品的件数在10 件左右，而不一定是10 件，①错误；
对于②，100 次并不是无穷多次，只能说明这100 次试验出现正面朝上的频率为51
100 ，故②错误；
对于③，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，③错误；
对于④，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值，
抛掷骰子100 次，得点数是1 的结果有18 次，则出现1 点的频率是18
9
100
50
，④正确.
故选：D.
12.（多选）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（
）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100 件，必有10 件是次品
B．做7 次抛硬币的试验，结果3 次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是3
7
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率
也不一定很准确．
【答案】ABC
【详解】对于A: 从中任取100 件，可能有10 件，A 错误；
对于B: 做7 次抛硬币的试验，结果3 次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是3
7 ，不是概率为3
7 ，
B 错误；
对于C:多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C 错误；
对于D:10000 次的界定没有科学依据，“不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值
附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D 正确.
故选: ABC.
13.某人抛掷一枚硬币80 次，结果正面朝上有43 次.设正面朝上为事件A，则事件A 出现的概率为
．
【答案】1
2 /0.5
【详解】由题意可知事件A 出现的频率为43
80 ，而概率是大量试验中，频率趋于的一个稳定值，
由于硬币正反面出现的机会是均等的，故事件A 出现的概率为
1
2 ，
故答案为：1
2
题型二：频率的计算
1.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800 次试验，发现正面朝上出现了440 次，
那么出现正面朝上的频率和概率分别为（
）
A．0.55，0.55
B．0.55，0.5
C．0.5，0.5
D．0.5，0.55
【分析】
根据频率的计算公式可求得频率，结合概率的含义可确定概率，即得答案.
【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了800 次试验，发现正面朝上出现了440 次，
那么出现正面朝上的频率为
���
���= �. ��,
由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是
�
�,
故出现正面朝上的概率为
�
�= �. �,
故选：B．
2．某产品的设计长度为20cm ，规定误差不超过0.5cm 为合格品．今对一批产品进行测量，测量结果如下
表：
长度(cm)
19.5以下
19.5 ~ 20.5
20.5 以上
件数
5
68
7
则这批产品的不合格率为（
）
A．5
80
B．7
80
C．17
20
D．3
20
【答案】D
【分析】先求出合格品的长度区间，从而可求解.
【详解】因为某产品的设计长度为20cm ，规定误差不超过0.5cm 为合格品，且20
0.5
19.5,20
0.5
20.5
,
所以长度在19.5 ~ 20.5 的为合格品，
所以这批产品的不合格率为
5
7
12
3
5
68
7
80
20
.
故选:D.
3.某地一种植物一年生长的高度如下表：
高度/cm
[10，20）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60]
频数
20
30
80
40
30
则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（
）
A．0.80
B．0.65
C．0.40
D．0.25
【分析】根据表格中的数据，结合频率的计算公式，即可求解.
【详解】根据表格中的数据，可得该植物一年生长在[��, ��)内的频率
��
��+��+��+��+��= �. ��.
故选：C.
4．容量为100 的样本数据，按从小到大的顺序分为8 组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
x
14
15
13
12
9
第三组的频数和频率分别是（
）
A．14 和0.14
B．0.14 和14
C．1
14 和0.14
D．1
3 和1
14
【答案】A
【分析】根据所给数据结合频率的含义直接计算，即得答案.
【详解】第三组的频数
100
(10
13 14
15 13 12
9)
100
86
14
x
，
频率为14
0.14
100
，
故选：A
5．甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A 查到
共有840 人参与评价，其中好评率为95%，乙在网站B 查到共有1260 人参与评价，其中好评率为85%．综
合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（
）
A．88%
B．89%
C．91%
D．92%
【答案】B
【分析】根据已知数据直接计算可得.
【详解】由已知可得这家健身房的总好评率为840 95
1260 85
89
840
1260
.
故选：B.
6．在第112个“三八”国际妇女节到来之际，我们年级组给每位女教师送了火红的玫瑰和热情洋溢的贺卡，
其中我最喜欢的一句话英文翻译是：“You stand on the podium as an oath and tell the ordinary as a fairly tale.”
统计如下表：
字母
y
o
u
s
a
p
d
e
t
f
l
i
n
m
r
h
频数
3
5
2
3
10
1
4
4
6
1
4
3
5
1
3
3
累计频数为58，则字母“a ”出现的频率约为多少？（
）
A．10
B．0.172
C．0.123
D．0.153
【答案】B
【分析】由频数和总数直接计算即可.
【详解】由表格数据可知：字母“ a ”对应的频数为10，字母“ a ”出现的频率约为10
0.172
58
.
故选：B.
7．掷一枚均匀的硬币80 次，其中42 次出现正面，则出现正面的频率是
.
【答案】21
40 /0.525
【分析】利用正面出现的次数除以总次数即为要求的频率.
【详解】由题意得：出现正面的频率是42
21
80
40
，
故答案为：21
40
8．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的频率如下表：
最高水位范围（米）
<10
[10,12)
[12,14)
[14，16）
≥16
频率
0.1
0.28
0.38
0．16
0.08
若当最高水位低于14 米时为“安全水位”，则出现“安全水位”的频率是
.
【答案】0.76
【分析】根据表格数据前三个相加即为结果.
【详解】由表格得：出现“安全水位”的频率是
0.1
0.28
0.38
0.76
p
故答案为：0.76
9．从存放号码分别为1，2，3，…，10 的卡片的盒子里，有放回地取100 次，每次取一张卡片，并记下号
码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到次数
17
8
5
7
6
9
18
9
12
9
取到号码为奇数的频率为
．
【答案】0.58/ 29
50
【分析】根据数表求出取到奇数号码的次数即可计算作答.
【详解】由数表知，取到奇数号码的次数是：17
5
6 18 12
58
，
所以取到号码为奇数的频率为58
0.58
100
.
故答案为：0.58
10．从一堆苹果中任取10 只，称得它们的质量（单位：g）如下．
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在
114.5,124.5 内的频率为
．
【答案】0.4
【分析】根据频率的计算公式即可求解.
【详解】解：因为样本数据落在
114.5,124.5 内的有4 个：120，122，116，120，
所以样本数据落在
114.5,124.5 内的频率为
.
4
0 4
10
，
故答案为：0.4.
题型三：用随机事件的频率估计概率
1.（多选）“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是（
）
A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨
C．北京和上海都可能没降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
【答案】BCD
【解析】北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，
也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，故只有A 不正确．
故选：BCD
2.手机支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100
名顾客进行调查，记录结果整理如下表.从这100 名顾客中随机抽取1 人，则该顾客年龄在
40,60 内且未
使用手机支付的概率为（
）.
顾客年龄（岁）
20 岁以下
20,30
30,40
40,50
50,60
60,70
70 岁及以上
手机支付人数
3
12
14
13
27
9
0
其他支付方式人数
0
0
2
9
5
5
1
A．21
50
B．2
5
C．23
50
D．7
50
【答案】D
【详解】在随机抽取的100 名顾客中，顾客年龄在[40,60)内且未使用手机支付的共有9
5
14
（人），
所以从该超市随机抽取1 名顾客，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为
14
7
100
50
P
.
故选：D.
3.每年4 月15 日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了
解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下
表所示：
学习时间（时）
0,2
2,4
4,6
6,8
8,10
党员人数
8
13
9
10
10
则从该校随机抽取1 名党员，估计其学习时间不少于6 小时的概率为（
）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
【答案】B
【解析】由统计表可知，样本容量为8 13
9 10 10
50
人，学习时间不少于6 小时有10 10
20
人，
所以学习时间不少于6 小时的概率为20
2
0.4
50
5
.故选：B
4.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天
下雨的概率，用1，2，3，4，5，6 表示下雨，7，8，9，0 表示不下雨.用计算机产生了10 组随机数为180，
792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为
.
【答案】2
5 /0.4
【详解】10 组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，
故这三天中恰有两天下雨的概率近似为4
2
10
5
.
故答案为：2
5
5.某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100 名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59 人，体
重不变的21 人，体重增加的20 人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为
（
）
A．59
100
B．21
100
C．1
5
D．4
5
【答案】A
【解析】由题意可知：体重减轻的频率为59
100 ，用频率估计概率可知：体重减轻的概率为59
100 .故选：A.
6.受全球新冠疫情影响，2020 东京奥运会延期至2021 年7 月23 日到8 月8 日举行，某射箭选手积极备战
奥运，在临赛前的一次训练中共射了1 组共72 支箭，下表是命中环数的部分统计信息
环数
<7
7
8
9
10
频数
0
3
a
b
22
已知该次训练的平均环数为9.125 环
(1)求a，b 的值；
(2)据此水平，求正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9 环）的概率.
【答案】(1)
7
40
a
b
；
(2)0.86.
【详解】（1）根据题意，
72
22
3
47
7 3 8
9
10 22
9.125 72
a
b
a
b
，化简得
47
8
9
416
a
b
a
b
，解得
7
40
a
b
，
（2）训练中命中黄圈的频率为22
40
0.86
72
，
以频率估计概率，故正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9 环）的概率约为0.86．
7.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两
天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6 表示下雨，用计算机产生了10 组随机数180，792，454，417，165，
809，798，386，196，206 据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（
）
A．3
5
B．2
5
C．1
2
D．7
10
【答案】B
【详解】10 组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4 个，
故此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为4
2
10
5
.
故选：B
8.在某地区进行流行病学调查，随机调查了200 位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分
布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于[10,30) 的概率为
.
【答案】0.14/ 7
50
【详解】由题知：
0.1
(0.001
0.002
2
0.006
0.017
2
0.020
0.023)
0.012
a
，
故该地区这种疾病患者的年龄位于的[10
30)
，
概率为(0.012
0.002) 10
0.14
.
故答案为：0.14
9.一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率．该公司收集了20000 辆汽车的信息，时间从某一年的7 月
1日到第二年的6月30日，共发现有600 辆汽车的挡风玻璃破碎．在一年时间内，一辆汽车的挡风玻璃破
碎的概率大约是多少？
【答案】0.03
【详解】根据题意，一年时间内，20000 辆汽车中，有600 辆汽车的挡风玻璃破碎，
故样本中汽车挡风玻璃破碎的频率为600
0.03
20000
，
则由频率估计概率，一年时间内，一辆汽车的挡风玻璃破碎的概率约为0.03.
题型四：游戏公平性
1.下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（
）
取球方式
结果
游戏
1
有3 个黑球和1 个白球，游戏时，不放回地依次
取2 个球
取出的2 个球同色→甲胜；取出的2 个球不同
色→乙胜
游戏
2
有1 个黑球和1 个白球，游戏时，任取1 个球.
取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙
胜.
游戏
3
有2 个黑球和2 个白球，游戏时，不放回地依次
取2 个球.
取出的2 个球同色→甲胜；取出的2 个球不同
色→乙胜.
A．游戏1 和游戏3
B．游戏1
C．游戏2
D．游戏3
【答案】D
【解析】对于游戏1，样本点共有12 个，取出的2 个球同色包含的样本点有6 个，其概率是1
2 ，取出的2
个球不同色的概率也是1
2 ，故游戏1 公平；
对于游戏2，样本点共有2 个，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是1
2 ，故游戏2 公
平；
对于游戏3，样本点共有12 个，取出的2 个球同色的概率是1
3 ，取出的2 个球不同色的概率是2
3 ，故此游
戏不公平，乙胜的概率大.
故选D.
2.某学校校庆，给每班发了5 张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪5 位同学参加，为此
制作了50 张卡片，其中5 张写有“庆典”字样．50 位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学校
庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是5
50 ．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到的
概率只有4
49 ，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为5
49 ．抽中的机会未必相等．”你认为王
老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？
【答案】公平，理由见解析.
【详解】王老师的抽签方法公平，每位同学抽中的概率均为5
50 ，即1
10 .
理由如下：
小明的话看似也有道理，第二名同学在第一名同学抽中和未抽中的情况下抽到门票的概率有所不同，但抽
中门票的总概率是相同的，只考虑第50个人摸卡片的情况，50 张卡片中的每张卡片有可能被第50 个人摸
到，且可能性相等，其中有5 张情形写有“庆典”，因此第50 个人摸到写有“庆典”的卡片的概率为5
50 ，即1
10 ，
与摸卡片的人的摸卡片顺序无关.
3.一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一
张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙
随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜
色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面
的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的
概率为1
2 ，我赢的概率也是1
2 ，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
【答案】见解析.
【解析】把卡片六个面的颜色记为
1
G ，
2
G ，
3
G ，
1
B ，
2
B ，
3
B ，
其中，G 表示绿色，B 表示蓝色；
3
G 和
3
B 是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.
游戏所有的结果可以用如图表示.
不难看出，此时，样本空间中共有6 个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2 种，因此乙
赢的概率为2
1
=
6
3 .因此，这个游戏不公平.
4.（1）小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子.当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1 分，
否则小明得1 分.这个游戏公平吗？
（2）盒子里装有3 个红球，1 个白球，从中任取3 个球，求“3 个球中既有红球又有白球”的概率.
【答案】（1）公平；（2）3
4
【详解】（1）用列表的方法得：
一共36 种情况，和为奇数的共18 种，则小刚得一分的概率为18
1
36
2
，小明得一分的概率为
1
1
1
2
2
，两
者概率相同，所以公平；
（2）用画树状图的方法得：
一共24 种情况，又有红又有白为一白二红共有18 种，则概率为18
3
24
4
.
5．张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是(
)
①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜;
②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜;
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜;
④张明、张华两人各写一个数字6 或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜.
A．①②
B．②
C．②③④
D．①②③④
【答案】B
【详解】①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数和偶数是等可能的，均为1
2 ，所以公平；
②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)两种情况,而两枚都正面向上仅为(正,正),因此②中游戏不
公平.
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色和黑色是等可能的，均为1
2 ，所以公平；
④张明、张华两人各写一个数字6 或8,一共四种情况(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)，两人写的数字相同和不
同是等可能的，均为1
2 ，所以公平；.
故选B.
6.（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个
正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙
胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
【答案】（1）这个游戏公平的；答案见解析；（2）这个游戏不公平；答案见解析．
【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，所有情况有：{（正正），（正反），（反正），（反反）}．
记事件A，B 分别为“甲胜”，“乙胜”，则
1
( )
( )
2
P A
P B
，
这个游戏公平的．
（2）拋掷三枚质地均匀的硬币，所以有情况有：{（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），
（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）}．
记事件A，B 分别为“甲胜”，“乙胜”，
则
2
1
( )
8
4
P A
，
3
( )
4
P B
．这个游戏不公平．
7.已知n 是一个三位正整数，若n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增
数”（如135，256，345 等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6
组成的所有“三位递增数”中随机抽取1 个数，且只抽取1 次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数
学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6 可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析.
【详解】解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6 组成的“三位递增数共有20 个.
分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，
346，356，456.
（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6 组成的“三位递增数”有20 个，记“甲参加数学竞赛”为
事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A 含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，
236，246，256，346，356，456 共13 个.
由古典概型计算公式，得
13
( )
20
A
P A
事件含有的基本事件的个数
试验所有基本事件的总数
，
又A 与B 对立，所以
13
7
( )
1
( )
1
20
20
P B
P A
，
所以
( )
( )
P A
P B
.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.
题型五：天气预报、抽奖、彩票与其他问题中的概率解释
1.气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（
）
A．本市明天将有70%的地区降雨
B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大
D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
【答案】C
【详解】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降水
时间无关,所以A,B 错误.
降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D 错误.
而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C 正确.
故选:C.
2.某种彩票的中奖概率为
1
100000 ，则以下理解正确的是（
）
A．购买这种彩票100000 张，一定能中奖一次
B．购买这种彩票100000 张，可能一次也没中奖
C．购买这种彩票1 张，一定不能中奖
D．购买这种彩票100000 张，至少能中奖一次
【答案】B
【详解】购买这种彩票100000 张，相当于做100000 次试验，因为每次试验的结果都是随机的，
所以每张彩票可能中奖，也可能不中奖，
对于ABD，购买这种彩票100000 张，可能没有一张中奖，所以AD 错误，B 正确
对于C，购买这种彩票1 张，有可能中奖，所以C 错误，
故选：B
3.深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公
司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说，事故
现场的出租车是红色的，并对证人的辨别能力进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定
红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.
【答案】不公平的.
【详解】解：设城市的出租车有1000 辆，那么依题意可得如下信息：
从表中可以看出，当证人说出租车是红色的，
它确定是红色的概率为120
0.41
290
，
而它是蓝色的概率为170
0.59
290
，
在实际数据面前，
作为警察以证人的证词作为推断的依据，对红色出租车来说显然是不公平的．
4.下列说法正确的是
A．某厂一批产品的次品率为1
10 ，则任意抽取其中10 件产品一定会发现一件次品
B．掷一枚硬币，连续出现5 次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9 个病人都没有治愈，第10 个人就一定能治愈
D．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下
雨
【答案】B
【详解】试题分析：根据事件的频率的概念和事件概率的含义判断正误即可．
详解：
A.产品的次品率是通过大量的产品通过实验得到的数据，题目中的产品个数很少，故不正确；
B.掷硬币正面或反面朝上的概率是通过大量实验得到的准确的值，和实验次数无关，故正确；
C.解释同A 选项，也不正确；
D．事件的概率是大量实验后得到的结果，是准确的值，和实验次数无关，但是D 选项的说法体现的不是
概率的概念，故不正确．
5.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否
成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19 ；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友
助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9 ，
则至少需要邀请
位好友参与到“好友助力”活动.
【答案】15
【详解】因为摇号的初始中签率为0.19 ，所以要使中签率超过0.9 ，需要增加中签率0.9
0.19
0.71
，
因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，
所以至少需要邀请0.71
14.2
0.05
，所以至少需要邀请15 位好友参与到“好友助力”活动.
故答案为：15
6.设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99 个白球，1 个黑球，乙箱中有1 个白球，99 个黑球.随机地
抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从
箱中取出的.
【答案】甲.
【详解】解：甲箱有99 个白球1 个黑球，
随机地取出一球，得白球的可能性是99
100 ，
乙箱中有1 个白球和99 个黑球，从中任取一球，得白球的可能性是1
100 ，
由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．
既然在一次抽样中抽得白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的．
我们作出推断是从甲箱中抽出的．
故答案为：甲
题型六：随机模拟问题
1.进入8 月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24 小时
内最高气温将升至37 摄氏度以上），在今后的3 天中，每一天最高气温在37 摄氏度以上的概率是
3
5.用计算
机生成了20 组随机数，结果如下：
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4，5 表示高温橙色预警，用6，7，8，9 表示非高温橙色预警，则今后的3 天中恰有2
天发布高温橙色预警信号的概率估计是（
）
A．
3
5
B．
1
2
C．
13
20
D．
2
5
【分析】
查出20 个随机数中表示今后3 天中恰有2 天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概
率公式，即可求得答案.
【详解】由题意可知表示今后的3 天中恰有2 天发布高温橙色预警信号的随机数有：
116 812 730 217 109 361 284 147 318 027 共10 个，
故今后的3 天中恰有2 天发布高温橙色预警信号的概率估计是
��
��=
�
�，
故选：B.
2.在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的
概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4 表示被感染，5，6，7，8，9，0
表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20 组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（
）.
A．0.25
B．0.4
C．0.6
D．0.75
【答案】D
【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只
豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989 共5 个，故三只豚鼠都没被感染的概率为5
0.25
20
，则
三只豚鼠中至少一只被感染的概率为1 0.25
0.75
故选：D
3.某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3 例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器
或计算机产生0~9 之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3 表示手术不成功，4，5，
6，7，8，9 表示手术成功；再以每3 个随机数为一组，作为3 例手术的结果，经随机模拟产生如下10 组
随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3 例心脏手术全部成功”的概率为（
）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
【答案】A
【详解】解：由题意，10 组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3 例心脏手术全部成
功”的有：569, 989，故2 个，
故估计“3 例心脏手术全部成功”的概率为2
0.2
10
.
故选：A.
4.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球（只有颜色不同）若干个，有放回地从中任取1 球，
取了10 次有7 个白球，估计袋中数量较多的是
球.
【答案】白
【详解】取了10 次有7 个白球，则取出白球的频率是0.7，估计其概率是0.7，那么取出黄球的概率约是
0.3，取出白球的概率大于取出黄球的概率，所以估计袋中数量较多的是白球.
故答案为：白
5.袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字
都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0 到3 之间取整数值的
随机数，分别用0,1,2,3代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随
机模拟产生了以下18 组随机数：
232
321
230
023 123
021
132
220
001
231
130
133
231
031
320
122
103
233
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为
.
【答案】2
9
【详解】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有021,001,130,031，共4 组随机数，
所以恰好抽取三次就停止的概率约为4
2
18
9
，
故答案为：2
9
6.甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3 局，赢得2 局或3 局者胜出，用计算机产
生1~5 之间的随机数，当出现随机数1，2，3 时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3 局，
所以每3 个随机数为一组，产生20 组随机数：
423
123
423
344
114
453
525
332
152
342
534
443
512
541
125
432
334
151
314
354
据此估计甲获得冠军的概率为
；
【答案】0.65/ 13
20
【详解】由题意得甲获胜的情况有: 423，123，423，114，332，152，342，
512，125，432，334，151，314，共13 种，
所以估计甲获得冠军的概率为
13
0.65
20
P
.
故答案为：0.65
7.欲利用随机数表从00，01，02，…，59 这些编号中抽取一个容量为6 的样本，抽取方法是从下面的随机
数表的第1 行第11 列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4 个被抽取的样本的编号为
【答案】10
【详解】从随机数表的第1 行第11 列开始向右读取，每次读取两位编号有：16，95，55，67，……，不大
于59 的有16，55，19，10，……，第4 个被抽取的样本的编号为10.
故答案为：10
8.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖
恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0 到9 之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4 表示命中靶
心，5，6，7，8，9，0 表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了
20 组随机数：
93
28
12
45
85
69
68
34
31
25
73
93
02
75
56
48
87
30
11
35
据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为
．
【答案】1
2 /0.5
【详解】解：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4 中的之一.
它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35 共10 个，
因此所求的概率为10
20 =0.5.
故答案为：1
2 .
9．天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用
计算机产生0~9 之间取整数值的随机数，用1，2 表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的
概率是20%，因为时间是一周，所以每7 个随机数作为一组，假设产生20 组随机数是：
7032563
2564586
3142486
5677851
7782684
6122569
5241478
8971568
3215687
6424458
6325874
6894331
5789614
5689432
1547863
3569841
2589634
1258697
6547823
2274168
则下个星期恰有2 天涨潮的概率为
.
【答案】1
5 .
【分析】由题意可知，恰有2 天涨潮就是在这组数中，恰有两个是1 或2，从这20 组数找出恰有两个是1
或2 的个数，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】产生20 组随机数相当于做了20 次试验，在这组数中，如果恰有两个是1 或2，就表示恰有两天
涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4 组数，于是一周内恰有两天涨潮的概
率近似值为4
1
20
5
，
故答案为：1
5
题型七：概率思想的实际应用
1.某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游
戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）
班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7 的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两
人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．该
方案对双方是否公平？为什么？
【解析】该方案是公平的，理由如下：
各种情况如表所示：
和
4
5
6
7
1
5
6
7
8
2
6
7
8
9
3
7
8
9
10
由表可知该游戏可能出现的情况共有12 种，
其中两数字之和为偶数的有6 种，为奇数的也有6 种，
所以（1）班代表获胜的概率P1＝6
12 ＝1
2 ，
（2）班代表获胜的概率P2＝6
12 ＝1
2 ，即P1＝P2，机会是均等的，
所以该方案对双方是公平的．
2.深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公
司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说，事
故现场的出租车是红色的，并对证人的辨别能力进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认
定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.
【解析】设城市的出租车有1000 辆，那么依题意可得如下信息：
从表中可以看出，当证人说出租车是红色的，
它确定是红色的概率为120
0.41
290
，
而它是蓝色的概率为170
0.59
290
，
在实际数据面前，
作为警察以证人的证词作为推断的依据，对红色出租车来说显然是不公平的．
3.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0
25dB
（分贝），并规定测试值在区间(0,5]
为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．对500 人进行了听力测试，从中随机抽取了50 人的测试值作为
样本，制成如图频率分布直方图，从总体的500 人中随机抽取1 人，估计其测试值在区间(0,10]内的概率
为（
）．
A．0.2
B．0.8
C．0.02
D．0.08
【答案】A
【分析】利用频率分布直方图，结合频率之和为l，求出样本中测试值在区间(0,10]内的频率，由频率估计
概率，即可得到案.
【详解】根据频率分布直方图可知，样本中测试值在区间(0,10]内的频率
为:1 (0.06
0.08
0.02) 5
1 0.8
0.2
,
以频率估计概率，故从总体的500 名学生中随机抽取1 人，
估计其测试值在区间(0,10]内的概率为0.2,
故选：A
4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，
抽样取米一把，数得224 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为（
）
A．169石
B．192石
C．1367 石
D．1164石
【答案】B
【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果.
【详解】由抽样取米一把，数得224 粒内夹谷28 粒估计夹谷频率为28
1
224
8
，
所以这批米内夹谷约为
1
1536
192
8
石.
故选：B.
5.已知一个容量为20 的样本，其数据具体如下：
10
8
6
10
13
8
10
12
11
7
8
9
11
9
12
9
10
11
12
11
那么频率为0.4 的范围是（
）
A．5.5~7.5
B．7.5~9.5
C．9.5~11.5
D．11.5~13.5
【答案】C
【分析】通过计算各组频率来求得正确答案.
【详解】5.5~7.5 的频率为2
0.1
20
，
7.5~9.5 的频率为6
0.3
20
，
9.5~11.5 的频率为8
0.4
20
，
11.5~13.5 的频率为4
0.2
20
，
所以C 选项正确.
故选：C
6.甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30 %，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学校
的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中任
取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（
）
A．0.165
B．0.16
C．0.32
D．0.33
【答案】D
【分析】利用概率的定义求解.
【详解】解：由题意得：将两所学校的成绩放到一起，从中任取一个学生成绩，
取到优秀成绩的概率为30
40
，
故选：D
7.我市某高校共有学生30000 人，其中女生18000 人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采
用分层抽样的方法，收集300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）.
(1)应收集多少个男生样本数据?
(2)根据这300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区
间为：0,2 ，2,4 ，4,6 ，6,8 ，8,10 ，10,12 ，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运
动时间不超过7h 的概率.
【分析】（1）根据分层抽样比公式进行求解即可；
（2）根据频率分布直方图，利用样本频率估计概率得解.
【详解】（1）根据分层抽样的方法，
所以男生样本数据个数为
�����−�����
�����
× ���= ���；
（2）学生每周平均体育运动时间不超过7 个小时的概率为：�. ���+ �. �+ �. ��× �+ �. ���× �=
�. ���，
所以该校学生每周平均体育运动时间不超过7 个小时的概率�. ���.
8.从某校的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如图频率分布直方图．
(1)求�的值；
(2)求该组数据的众数和平均数；
(3)从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在170cm 以下的概率．
【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积和为�，求出�；
（2）由频率分布直方图中众数和平均数的概念求解；
（3）结合频率分布直方图确定在���, ���、���, ���、���, ���区间内的频率，进而求得概率．
【详解】（1）由题意知：�. ���+ �+ �. ���+ �. ���+ �. ���+ �. ���× ��= �，
解得�= �. ���.
（2）由频率分布直方图知，身高区间���, ���、���, ���、���, ���、���, ���、���, ���、
���, ���的频率分别为�. ��、�. �、�. �、�. �、�. �、�. ��，
故众数为
���+���
�
= ���cm，
学生身高的平均数为���× �. ��+ ���× �. �+ ���× �. �+ ���× �. �+ ���× �. �+ ���× �. ��=
���. �cm.
（3）由频率分布直方图知，身高在���, ���、���, ���、���, ���区间内的频率分别为�. ��, �. �, �. �，
则估计身高在���cm 以下的概率为�. ��+ �. �+ �. �= �. ��．
9.近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI 来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：
���=
体重单位:kg
身高
2 单位:m2 ，成年人的BMI 数值标准是：BMI<18.5 为偏瘦；18.5≤BMI<24 为正常；24≤BMI<28 为
偏胖；BMI≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI值分成以下五组：12,16 ，16,20 ，
20,24 ，24,28 ，28,32 ，得到相应的频率分布直方图.
(1)求�的值，并估计该公司员工BMI 的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）；
(2)该公司共有1200 名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI 数值正常的人数.
【分析】（1）根据频率之和为1 可求得�= �. ��，从而可求得该公司员工���的样本数据的众数为22 ；
设设该公司员工���的样本数据的中位数为�，
则�× �. ��+ �× �. ��+ (�−��) × �. ��= �. �，求解即可；
（2）根据题意可求得该公司员工���数值正常的概率为�. ��× (��−��. �) + �. ��× (��−��) = �. ��，
进而可求解.
【详解】（1）根据频率分布直方图可知组距为4，
所以�× (�. ��+ �. ��+ �. ��+ �+ �. ��) = �，解得�= �. ��.
该公司员工���的样本数据的众数为22 .
设该公司员工���的样本数据的中位数为�，
则�× �. ��+ �× �. ��+ (�−��) × �. ��= �. �，解得�≈��. �.
故该公司员工���的样本数据的中位数约为��. �.
（2）因为成年人的���数值��. �≤���< ��为正常，
所以该公司员工���数值正常的概率为
�. ��× (��−��. �) + �. ��× (��−��) = �. ��，
所以该公司员工���数值正常的人数为����× �. ��= ���.
模块三：综合巩固
1.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000 次试验，发现正面朝上出现了560 次，
那么出现正面朝上的频率和概率分别为（
）
A．0.56，0.56
B．0.56，0.5
C．0.5，0.5
D．0.5，0.56
【答案】B
【分析】根据频率和概率的定义求解.
【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000 次试验，发现正面朝上出现了560 次，
那么出现正面朝上的频率为560
0.56
1000
，
由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是
1
2 ，
故出现正面朝上的概率为1
0.5
2
．
故选:B．
2.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6 ．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利
用计算机产生1~ 5之间的随机数：
425123423344144435525332152342
534443512541135432334151312354
若用1，3，5 表示下雨，用2，4 表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（
）
A．9
20
B．
1
2
C．11
20
D．13
20
【答案】D
【解析】设事件A “三天中至少有两天下雨”，20 个随机数中，
至少有两天下雨有123,435,525,332,152,534,512,541,135,334,151,312,354，
即事件A 发生了13 次，用频率估计事件A 的概率近似为13
20 ．
故选：D．
3.下列结论：①如果
0.9999
P A
，那么A 为必然事件：
②若事件A 与B 是互斥事件，则
1
P A
P B
；
③概率是随机的，试验前不能确定；
④若事件A 与B 是对立事件，则A 与B 一定是互斥事件．
其中是正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据必然事件、互斥事件、对立事件、概率等知识确定正确答案.
【详解】必然事件的概率是1，所以①错误.
若事件A 与B 是互斥事件，则
1
P A
P B
，所以②错误.
概率是理论值，是固定值，与实验前后无关，所以③错误.
若事件A 与B 是对立事件，则A 与B 一定是互斥事件，所以④正确.
所以正确的有1个.
故选：A
4．下列说法中，正确的是（
）
A．某种彩票中奖的概率是1% ，因此买100 张该种彩票一定会中奖
B．做7 次拋硬币的试验，结果3 次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是3
7
C．若事件
, ,
A B C 两两互斥，则
1
P A
P B
P C
D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3 的倍数的概率是1
3
【答案】D
【分析】根据随机事件的概念即可说明A、B；举例即可说明C 项；列举出事件包含的样本点的个数，根
据古典概型的概率公式，计算即可得出D 项.
【详解】对于A 项，由于事件结果的随机性，购买100 张彩票不一定会中奖，故A 错误；
对于B 项，做7 次抛硬币的试验，结果3 次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是3
7 ，不是概率
为3
7 ，故B 错误；
对于C 项，事件
,
,
A B C 两两互斥，比如投掷质地均匀的骰子试验中，三个事件：投掷出1 点，2 点，3 点，
这三个事件两两互斥，但这三个事件的和事件发生的概率为1
2 ，故C 错误；
对于D 项，任意投掷两枚质地均匀的骰子共包含36 个等可能的样本点，
其中点数和是3 的倍数的情况有
1,2 , 1,5 , 2,1 , 2,4 , 3,3 , 3,6 , 4,2 , 4,5 , 5,1 , 5,4 , 6,3 , 6,6 ，共
12 个样本点，
根据古典概型的概率公式，可得概率是12
1
36
3
，故D 正确.
故选：D.
5.下列说法正确的是（
）
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；
②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据频数、频率、概率的定义逐项判断即可.
【详解】对于A：频数是指事件发生的次数，频率是指本次试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，
二者都可以反映频繁程度，故A 正确；
对于B：试验的总次数即为各个试验结果出现的频数和，故B 正确；
对于C：各个试验结果的频率之和一定等于1，故C 错误；
对于D：概率是大量重复试验后频率的稳定值，故D 错误；
故选：C.
6.抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件A “正面向上”，则下列说法正确的是（
）
A．抛掷硬币10次，事件A 必发生5次
B．抛掷硬币100次，事件A 不可能发生50次
C．抛掷硬币1000 次，事件A 发生的频率一定等于0.5
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A 发生的频率逐渐稳定在0.5附近
【答案】D
【分析】根据频率与概率的关系可得答案.
【详解】不管抛掷硬币多少次，事件A 发生的次数是随机事件，故ABC 错误；
随着抛掷硬币次数的增多，事件A 发生的频率在0.5 附近波动的幅度较大的可能性小；
故选：D
7.在6 月6 日第27 个全国“爱眼日”即将到来之际，教育部印发《关于做好教育系统2022 年全国“爱眼日”
宣传教育工作通知》，呼吁青年学生爱护眼睛，保护视力．众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调
查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2h，这些人的近视率约为50%．现
从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（
）
A．3
14
B．5
14
C．3
7
D．4
7
【答案】B
【分析】设该校有a 名学生，根据已知条件，求出每天玩手机不超过2h 的学生人数及其中近视的人数，
再利用频率估计概率能求出结果.
【详解】设该校有a 名同学，则约有0.4a 的学生近视，约有0.3a 的学生每天玩手机超过2h，且每天玩手
机超过2h 的学生中的学生中近视的学生人数为：0.3a×0.5=0.15a，
所以有0.7a 的学生每天玩手机不超过2h，且其中有0.4a—0.15a=0.25a 的学生近视，
所以从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生，
则他近视的概率为
0.25
5
0.7
14
a
P
a
，
故选: B
8．设两个相互独立事件A，B 都不发生的概率为1
9 ，则A 与B 都发生的概率的取值范围是（
）
A．
8
0, 9
B．1 5
,
9 9
C．2 8
,
3 9
D．
4
0, 9
【答案】D
【解析】设事件A，B 发生的概率分别为
( )
P A
x
，( )
P B
y
，则
1
(1
) (1
)
9
x
y
，而A 与B 都发生的概
率
(
)
P AB
xy
，根据基本不等式求解即可．
【详解】解：设事件A，B 发生的概率分别为
( )
P A
x
，
( )
P B
y
，则
1
(
)
( )
( )
(1
) (1
)
9
P AB
P A
P B
x
y
，
∴
1
1
1
2
9
9
xy
x
y
xy
，
当且仅当x
y
时取“=”，
2
3
xy
或
4
3
xy
（舍），
4
0
9
xy
，
4
(
)
( )
( )
0, 9
P AB
P A
P B
xy
，
故选：D．
9.（多选）下列说法正确的是（
）
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100 张该种彩票一定会中奖
D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3 的倍数的概率是1
3
【答案】BD
【分析】根据事件发生的随机性可以判断A,C 选项，根据频率与概率的关系可以判断B 选项,应用古典概型
判断D 选项.
【详解】随机事件的不确定性可以确定A,C 选项错误，
事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 ，B 选项正确；
任意投掷两枚质地均匀的骰子基本事件有36 种情况，
点数和是3 的倍数的情况有
1,2 , 1,5 , 2,1 , 2,4 , 3,3 , 3,6 , 4,2 , 4,5 , 5,1 , 5,4 , 6,3 , 6,6 , 12 个基
本事件,概率是12
1
36
3
，故D 选项正确.
故选：BD.
10.（多选）光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其
中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，
并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（
）
A．选取的这部分学生的总人数为500 人
B．合唱社团的人数占样本总量的40%
C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78 人
D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125
【答案】ABD
【分析】根据两个统计图表中的数据，先求出选取的总人数，然后再对选项进行逐一计算判断即可.
【详解】由两个统计图表可得参加演讲的人数为50，占选取的学生的总数的10%
所以选取的总人数为50 10%
500
人，故选项A 正确.
合唱社团的人数为200 人，则合唱社团的人数占样本总量的200
2
40%
500
5
，故选B 正确.
则选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的1
40%
20% 10% 15%
15%
所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为500 15%
75
人，故选项C 不正确.
选取的学生中参加合唱社团的人数为200，参加机器人社团人数为75 人，
所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125，选项D 正确.
故选：ABD.
11.（多选）利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数分别为20，100，500 时各做5 组试验，
得到事件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”发生的频数和频率情况如下表：
序号
20
n
100
n
500
n
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.5
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
根据以上信息，下面说法正确的有（
）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好
C．随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要想得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
【答案】ABC
【解析】对于A 选项：根据表中数据得到试验次数相同时，频率可能不同，则说明随机事件发生的频率具
有随机性，所以A 选项正确；
对于B 选项：分别对比每个序号重复试验次数分别为20，100，500 的频率可得试验次数较小时，频率波
动较大；试验次数较大时，频率波动较小，则试验次数越多越好，所以B 选项正确；
对于C 选项：根据表中数据得到随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近，
所以C 选项正确；
对于D 选项：我们要想得到某事件发生的概率，需要进行多次重复试验才能得到概率的估计值，所以D 选
项错误；
故选：ABC.
12.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现
象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50 人中，有14 人持认可
态度，其余持反对态度，若该地区有7600 人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有
人．
【答案】5472
【分析】求出在随机抽取的50 人中，持反对态度的有36 人，即可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人
数.
【详解】由题意，在随机抽取的50 人中，持反对态度的有36 人，
故可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的约有
36
7600
5472
50
.
故答案为：5472.
13.在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员
设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个白球，每个被调查者
随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如
实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若100人中有52人回答了“是”，48 人回答了“否”．则问题二“考试
是否做过弊”回答“是”的百分比为（以100人的频率估计概率）
．
【答案】54%/0.54
【分析】计算出摸到黑球且回答“是”的人数，可求得摸到白球且回答“是”的人数，即可求得结果.
【详解】由题意可知，每名调查者从袋子中抽到1个白球或黑球的概率均为0.5，
所以，100人中回答第一个问题的人数为100 0.5
50
，则另外50人回答了第二个问题，
在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率为1
2 ，即摸到黑球且回答“是”的人数为
1
50
25
2
，
则摸到白球且回答“是”的人数为52
25
27
，
所以，问题二“考试是否做过弊”且回答“是”的百分比为27
0.54
54%
50
.
故答案为：54%.
14.某高中高一500 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了
100 名学生，记录他们的分数，将数据分成7 组：20,30 ，30,40 ，…，80,90 ，并整理得到频率分布直
方图如图所示．
(1)从总体的500 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60 的概率；
(2)已知样本中分数小于40 的学生有5 人，试估计总体中分数在区间40,50 内的人数；
(3)估计随机抽取的100 名学生分数的众数，估计测评成绩的75%分位数；
(4)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70 的男女生人数相等．试估计总体中男
生和女生人数的比例．
【分析】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于60 的频率，即可得出分数小于60 的频率，
则可得出总体的500 名学生中随机抽取一人，其分数小于60 的概率估计值；
（2）先由频率分布直方图可得分数不小于50 的频率，即可得出分数不小于50 的人数，在集合题意即可
得出总体中分数在区间��, ��内的人数；
（3）总数为频率分布直方图中频率最高的分数区间的中间值，测评成绩的75%分位数先得出从前到后的
频率之和为0.75 时在那个区间，在通过频率求出；
（4）先由频率分布直方图可得分数不小于70 的学生人数，在通过已知得出样本中的男女生比例，即可得
出总体中男女生的比例估计.
【详解】（1）由频率分布直方图可得分数不小于60 的频率为：�. ��+ �. ��+ �. ��× ��= �. �，
则分数小于60 的频率为：�−�. �= �. �，
故从总体的500 名学生中随机抽取一人，其分数小于60 的概率估计为�. �；
（2）由频率分布直方图可得分数不小于50 的频率为：�. ��+ �. ��+ �. ��+ �. ��× ��= �. �，
则分数在区间��, ��内的人数为：���−���× �. �−�= �人，
则总体中分数在区间��, ��内的人数为：���×
�
���= ��人；
（3）由频率分布直方图可得分数在区间��, ��的频率最高，
则随机抽取的100 名学生分数的众数估计为��，
由频率分布直方图可得分数小于70 的频率为�. �，分数小于80 的频率为�. �，
则测评成绩的75%分位数落在区间��, ��上，
则测评成绩的75%分位数为��+ ��×
�.��
�.�= ��. ��；
（4）由频率分布直方图可得分数不小于70 的学生人数为�. ��+ �. ��× ��× ���= ��人，
因为样本中分数不小于70 的男女生人数相等
所以样本中分数不小于70 的男生人数为��×
�
�= ��人，
又因为样本中有一半男生的分数不小于70，
所以样本中的男生共有��× �= ��人，
则样本中的女生共有���−��= ��人，
所以总体中男生和女生人数的比例估计为��: ��= �: �.
15.同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和．
(1)两枚骰子掷出的点数之和有多少种可能？
(2)重复抛掷两枚骰子50次，根据试验结果，分别估计“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷
出的点数之和为10”的概率；
(3)汇总全班同学的数据，得到至少500次试验结果，用上述结果对上述概率重新进行估计；
(4)为了对上述事件的概率给出比较好的估计，你需要怎么做？
(5)你认为“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷出的点数之和为10”的概率相等吗？
【答案】(1)有2 ，3 ，4 ，5，6，7 ，8，9，10，11，12共11种可能
(2)分别约为1
12 ，1
6 ，1
12
(3)分别约为1
12 ，1
6 ，1
12 ，且比第（2）问结果更加接近1
12 ，1
6 ，1
12
(4)可增加重复试验的次数
(5)不相等
【分析】动手试验，观察、记录数据，根据题意进行计算，由频率估计出相应概率，依次解答即可.
【详解】（1）同时抛掷两枚均匀的骰子，经过观察、记录，两枚骰子掷出的点数之和有2 ，3，4 ，5，6，
7 ，8，9，10，11，12，共有11种可能.
实际上，由古典概型知识，抛掷两枚均匀的骰子，用有序数对将可能出现的点数表示为：
1,1 ，
1,2 ，
1,3 ，
1,4 ，
1,5 ，
1,6 ，
2,1 ，
2,2 ，
2,3 ，
2,4 ，
2,5 ，
2,6 ，
3,1 ，
3,2 ，
3,3 ，
3,4 ，
3,5 ，
3,6 ，
4,1 ，
4,2 ，
4,3 ，
4,4 ，
4,5 ，
4,6 ，
5,1 ，
5,2 ，
5,3 ，
5,4 ，
5,5 ，
5,6 ，
6,1 ，
6,2 ，
6,3 ，
6,4 ，
6,5 ，
6,6 ，共36种可能，
并可由此求得两枚骰子掷出的点数之和有2 ，3 ，4 ，5，6，7 ，8，9，10，11，12，共有11种可能.
（2）重复抛掷两枚骰子50次，分别观察、记录，
记“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷出的点数之和为10”的频数分别为
1n ，
2n ，
3n ，（不
同同学得到的结果可能会不一样）.
由此可以分别求出“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷出的点数之和为10”的频率分别为
1
50
n （
1
1
50
12
n
），
2
50
n （
2
1
50
6
n
），
3
50
n （
3
1
50
12
n
），（不同同学得到的结果可能会不一样）.
由频率估计概率，“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷出的点数之和为10”的概率分别约
为
1
50
n （
1
1
50
12
n
），
2
50
n （
2
1
50
6
n
），
3
50
n （
3
1
50
12
n
），（不同同学得到的结果可能会不一样）.
实际上，由古典概型知识可以求得，
“掷出的点数之和为4 ”有
1,3 ，
2,2 ，
3,1 共3种可能，概率为3
1
36
12
，故
1
1
50
12
n
，
“掷出的点数之和为7 ”有
1,6 ，
2,5 ，
3,4 ，
4,3 ，
5,2 ，
6,1 共6种可能，概率为6
1
36
6
，故
2
1
50
6
n
，
“掷出的点数之和为10”有
4,6 ，
5,5 ，
6,4 共3种可能，概率为3
1
36
12
，故
3
1
50
12
n
.
（3）汇总全班同学的数据，对“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷出的点数之和为10”进
行估计，所得结果会更加接近1
12 ，1
6 ，1
12 （随着重复试验次数的增加，频率逐渐稳定于概率）.
（4）为了对上述事件的概率给出比较好的估计，可以增加重复试验的次数，也可以采用计算机模拟试验
的方法实现.
（5）由试验结果可知，“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷出的点数之和为10”的概率不
相等.
实际上，可以由第（2）问中古典概型计算结果进行确认.
16.一个游戏包含两个随机事件A 和B，规定事件A 发生则甲获胜，事件B 发生则乙获胜.判断游戏是否公
平的标准是事件A 和B 发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10 次时，双方各胜5 次；但玩到1000 次时，自己才胜300 次，而乙却胜了700
次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
【答案】答案见解析
【详解】当游戏玩了10 次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；
当游戏玩了1000 次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.
根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.
相对10 次游戏，1000 次游戏时的频率接近概率的可能性更大，
因此我们更愿意相信1000 次时的频率离概率更近.
而游戏玩到1000 次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3 和0.7，存在很大差距，
所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
17．甲，乙二人进行乒乓球比赛，规定：胜一局得3 分，平一局得1 分，负一局得0 分.已知甲，乙共进行
了三局比赛.如果甲乙二人进行三局两胜制的比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，
利用计算机模拟实验：用计算机产生1~5 之间的随机数，当出现随机数1，2 或3 时，表示一局比赛甲获
胜，当出现随机数4 或5 时，表示一局比赛乙获胜.由于要比赛三局，所以3 个随机数为一组，现产生了
20 组随机数：
123 344 423 114 423 453 354 332 125 342
534 443 541 512 152 432 334 151 314 525
(1)用以上随机数估计甲获胜概率的近似值；
(2)计算甲获胜的概率.
【答案】(1)0.65
(2)0.648
【分析】（1）由频率可得到概率估计值；
（2）事件“甲获胜”可分类为：第一次和第二次比赛胜利；第一次比赛失败，第二、三次比赛胜利；第一、
三次比赛胜利，第二次比赛失败.
【详解】（1）设事件A 为“甲获胜”，
计算机产生的20 个随机数相当于做了20 次重复试验，其中事件A 发生了13 次：
对应的数组为：123，423，114，423，332，125，342，512，152，432，334，151，314，
用频率估计事件A 的概率近似值为
13
0.65
20
P A
；
（2）设事件
iA 为第i 局“甲获胜”，则
0.6
i
P A
，
1
2
1
2
3
1
2
3
A
A A
A A A
A A A
根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
∴
0.6 0.6
0.4 0.6 0.6
0.6 0.4 0.6
0.648
P A
.
18.同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和．
(1)两枚骰子掷出的点数之和有多少种可能？
(2)重复抛掷两枚骰子50次，根据试验结果，分别估计“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，
“掷出的点数之和为10”的概率；
(3)汇总全班同学的数据，得到至少500次试验结果，用上述结果对上述概率重新进行估计；
(4)为了对上述事件的概率给出比较好的估计，你需要怎么做？
(5)你认为“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷出的点数之和为10”的概率相等吗？
【答案】(1)有2 ，3，4 ，5，6，7 ，8 ，9，10，11，12共11种可能
(2)分别约为1
12 ，1
6 ，1
12
(3)分别约为1
12 ，1
6 ，1
12 ，且比第（2）问结果更加接近1
12 ，1
6 ，1
12
(4)可增加重复试验的次数
(5)不相等
【解析】（1）同时抛掷两枚均匀的骰子，经过观察、记录，两枚骰子掷出的点数之和有2 ，3，4，5，6，
7 ，8，9，10，11，12，共有11种可能.
实际上，由古典概型知识，抛掷两枚均匀的骰子，用有序数对将可能出现的点数表示为：
1,1 ，
1,2 ，
1,3 ，
1,4 ，
1,5 ，
1,6 ，
2,1 ，
2,2 ，
2,3 ，
2,4 ，
2,5 ，
2,6 ，
3,1 ，
3,2 ，
3,3 ，
3,4 ，
3,5 ，
3,6 ，
4,1 ，
4,2 ，
4,3 ，
4,4 ，
4,5 ，
4,6 ，
5,1 ，
5,2 ，
5,3 ，
5,4 ，
5,5 ，
5,6 ，
6,1 ，
6,2 ，
6,3 ，
6,4 ，
6,5 ，
6,6 ，共36种可能，
并可由此求得两枚骰子掷出的点数之和有2 ，3，4 ，5，6，7 ，8，9，10，11，12，共有11种可能.
（2）重复抛掷两枚骰子50次，分别观察、记录，
记“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷出的点数之和为10”的频数分别为
1n ，
2n ，
3n ，
（不同同学得到的结果可能会不一样）.
由此可以分别求出“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷出的点数之和为10”的频率分别
为
1
50
n （
1
1
50
12
n
），
2
50
n （
2
1
50
6
n
），
3
50
n （
3
1
50
12
n
），（不同同学得到的结果可能会不一样）.
由频率估计概率，“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷出的点数之和为10”的概率分别
约为
1
50
n （
1
1
50
12
n
），
2
50
n （
2
1
50
6
n
），
3
50
n （
3
1
50
12
n
），（不同同学得到的结果可能会不一样）.
实际上，由古典概型知识可以求得，
“掷出的点数之和为4 ”有
1,3 ，
2,2 ，
3,1 共3 种可能，概率为3
1
36
12
，故
1
1
50
12
n
，
“掷出的点数之和为7 ”有
1,6 ，
2,5 ，
3,4 ，
4,3 ，
5,2 ，
6,1 共6种可能，概率为6
1
36
6
，故
2
1
50
6
n
，
“掷出的点数之和为10”有
4,6 ，
5,5 ，
6,4 共3种可能，概率为3
1
36
12
，故
3
1
50
12
n
.
（3）汇总全班同学的数据，对“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷出的点数之和为10”
进行估计，所得结果会更加接近1
12 ，1
6 ，1
12 （随着重复试验次数的增加，频率逐渐稳定于概率）.
（4）为了对上述事件的概率给出比较好的估计，可以增加重复试验的次数，也可以采用计算机模拟试验
的方法实现.
（5）由试验结果可知，“掷出的点数之和为4 ”，“掷出的点数之和为7 ”，“掷出的点数之和为10”的概率
不相等.
实际上，可以由第（2）问中古典概型计算结果进行确认.
