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7.7 复数题型归纳精讲精练
模块一：题型分类........................................................................................................................2
题型一：复数的基础概念...................................................................................................2
题型二：复数的分类.............................................................................................................2
题型三：复数的几何意义...................................................................................................3
题型四：复数相等及应用...................................................................................................4
题型五：复数的模.................................................................................................................4
题型六：复数代数形式的四则运算.................................................................................5
题型七：共轭复数.................................................................................................................6
题型八：复数的乘方运算...................................................................................................6
题型九：复数范围内解方程...............................................................................................7
题型十：求辅角主值.............................................................................................................7
题型十一：复数的代数形式与三角形式的互化.........................................................8
题型十二：三角形式下的复数的乘、除运算..............................................................9
题型十三：复数的最值问题............................................................................................10
题型十四：复数的综合问题............................................................................................10
模块二：综合巩固......................................................................................................................11
7.7 复数题型归纳精讲精练
模块一：题型分类
题型一：复数的基础概念
1.下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数a=b，那么a−b+(a+b)i是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果a=0，那么z =a+bi是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
2.在复数1−2i，2+√3，1
2 i，−5+√2i，0，7+(√5−2)i中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚
数？其中虚数的实部与虚部分别是什么？
3．设
，则“
”是“复数
为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.在复平面内，复数
所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5.已知a 为实数，若复数
为纯虚数，则
（ ）
A．i
B．
C．1
D．
题型二：复数的分类
1.已知复数z =m
2+m−6+(m
2+5m+6)i（i 为虚数单位），求适合下列条件的实数m 的值；
(1)z 为实数；
(2)z 为虚数；
(3)z 为纯虚数.
2.已知复数z 为纯虚数，且满足
，则实数m 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知
为虚数单位，则“复数
是纯虚数”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型三：复数的几何意义
1．已知复数z =2+i，则z在复平面内对应第（ ）象限
A．一
B．二
C．三
D．四
2.在复平面内，复数
对应的向量为
，复数
对应的向量为
，那么向量
对应的复
数是（ ）
A．1
B．
C．
D．
3.已知复数满足
（为虚数单位），其中
为的共轭复数，则复数在复平面上的对应
点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4.已知复数
，
为z 的共轭复数，则
在复平面表示的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5.已知复数z =(m
2+2m)+(m
2−m−6)i,m∈R ,i是虚数单位.
(1)若复数z在复平面内对应的点在直线y =−1
2 x上，求m的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.
6.已知复数z =(m
2−1)+(m
2−m−2)i，m∈R．
(1)若z 是纯虚数，求m 的值；
(2)若z 在复平面内对应的点在直线x−y +1=0上，求m 的值；
(3)若z 在复平面内对应的点在第四象限，求m 的取值范围．
题型
四：
复数相等及应用
1.已知为虚数单位，
为实数，若
，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.适合
的实数x、y 的值为（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
3.已知
，i 为虚数单位，且
，则
.
4.已知复数
，
，若
，求实数的
取值范围 .
题型
五
：复数的模
1．设复数z =3−4i，则z的共轭复数的模为（ ）
A．7
B．1
C．5
D．25
2.已知复数满足
，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．1
3.已知是复数，
是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A．
B．若
，则
的最大值为
C．若
，则复平面内
对应的点位于第一象限
D．若
是关于
的方程
的一个根，则
4.在复平面内，复数对应的点
的坐标为
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
5.已知
，
，
，则
．
6.（多选）已知复数
对应的向量为
，复数
对应的向量为
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
或
B．若
，
，则
C．若
，则
D．若
，则
7 已知复数z =m
2+m−2+(m−1)i(m∈R).
(1)若z为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z在复平面内对应的点在直线y = 1
3 x上，求|z|.
8.已知复数z =(m
2+m−6)+(m
2+m−2)i(m∈R)在复平面内所对应的点为A.
(1)若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围；
(2)求| z|的最小值及此时实数m 的值.
题型
六
：
复数代数形式的四则运算
1.已知复数z在复平面内对应的点为(1,−2)，则z−2 z =（ ）
A．−1−6i
B．−1+6i
C．1−6i
D．1+6i
2.化简下列复数
（1）(6−5i)+(3+2i)
（2）(5−6i)+(−2−i)−(3+ 4i)
3.若
是关于
的实系数方程
的一个复数根，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4.已知复数
，
，i 为虚数单位．
(1)若
，求z 的共轭复数；
(2)若复数
在复平面上对应的点在第四象限，求实数
的取值范围．
题型
七
：共轭复数
1.已知复数满足
，
为的共轭复数，
等于（ ）
A．2i
B．
C．1
D．
2.已知i 为虚数单位，复数
，
为z 的共轭复数，则
（ ）
A．5
B．4
C．
D．
3.已知为虚数单位，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
题型
八：
复数的
乘方运算
1.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.
．
3.复数
的虚部为
“ ”是虚数单位
4.计算：
（1）
；
（2）
题型
九：
复数范围内解方程
1.在复数范围内方程
的根为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．2 D．1
2.若复数
为方程
(
，
)的一个根，则该方程的另一个复数根是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知关于
的方程
，其中a，b 为实数．
（1）设
（是虚数单位）是方程的根，求a，b 的值；
（2）证明：当
，且
时，该方程无实数根．
4.已知关于
的二次方程
．
（1）当
为何值时，这个方程有一个实根？
（2）是否存在
，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出
的值；若不存在，试说明理由．
题型十：
求辅角主值
1．z =1−√3i（i 是虚数单位），则z 的辐角主值arg(z)=（ ）
A．5
3 π
B．11
6 π
C．−π
3
D．−π
6
2．任意复数z =a+bi（a、b∈R，i为虚数单位）都可以写成z =r (cosθ+isinθ)的形式，其中
r =√a
2+b
2(0≤θ<2π )该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数z = √3
2 + 1
2 i，则z的
辐角主值为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5 π
6
3．求下列复数的模与辐角主值：
(1)−1+i
(2)−√2
(3)1
2 −√3
2 i
(4)−√2
2 + √2
2 i
4．已知复数z 满足( z +1)( z +1)=| z|
2，且z−1
z +1
是纯虚数．
(1)求z；
(2)求z 的辐角主值．
题型十一：
复数的代数形式与三角形式的互化
1.复数−1
2 + √3
2 i的三角形式是（ ）
A．cos60
∘+isin60
∘
B．−cos60
∘+isin60
∘
C．cos120
∘+isin60
∘
D．cos120
∘+isin120
∘
2．以下不满足复数1
2 −√3
2 i的三角形式的是（ ）．
A．cos(−π
3 )+isin(−π
3 )；
B．cos(
5π
3 )+isin(
5π
3 )
；
C．cos(
π
3 )+isin(
π
3 )；
D．cos(
11π
3 )+isin(
11π
3 )
．
3．分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
（1）4(cos π
6 +isin π
6 )；
（2）2(cos π
3 −isin π
3 )
4．把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6； (2)1+i；
(3)1−√3i (4)−√3
2 + 1
2 i．
题型十二：
三角形式下的复数的乘、除运算
1.计算2(cos75°+isin75°)⋅(
1
2 −1
2 i)
的值是（ ）
A．−√6
2 + √2
2 i
B．√6
2 + √2
2 i
C．√2
2 −√6
2 i
D．√2
2 + √6
2 i
2：4 (cos π +isinπ )÷2(cos π
3 +isin π
3)=（ ）
A．1+√3i
B．1−√3i
C．−1+√3i
D．−1−√3i
3．计算：
(1)8(cos π
6 +isin π
6)⋅2(cos π
12 +isin π
12)
；
(2)8(cos240°+isin240°)÷2(cos150°−isin150°)．
4．计算：
(1)3(cosπ
6 +isinπ
6 )×2(cosπ
6 −isinπ
6 )
(2)[√6(cosπ
3 +isinπ
3 )]÷[√3(cosπ
6 −isinπ
6 )]
(3)(−1
2 + √3
2 i)×(cosπ
6 −isinπ
6 )
(4)(1−i)÷(cosπ
6 +isinπ
6 )
题型
十三
：复数的最值问题
1.若复数z 满足
( 为虚数单位），则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
+1
2.设复数满足
，则
的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3.已知三个复数
，并且
，
所对应的向量
，
满足
，则
的取值范围是 .
4.已知复数满足
，则
的取值范围是 ．
5.已知
，则
的最大值是 ．
6.设复数
，
满足
，
，复数
在复平面内所对应的点分别为A，B，
C，则三角形
的面积为（ ）
A．3
B．
C．2
D．
7.已知复数z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．3
C．
D．
题型
十四
：复数的综合问题
1.已知复数
在复平面内所对应的点为A.
(1)若复数为纯虚数，求实数
的值；
(2)若点A 在第二象限，求实数
的取值范围.
2.已知
是关于
的方程
的一个根，其中为虚数单位.
(1)求
的值;
(2)记复数
，求复数
的模.
3.已知是虚数单位，复数z 的共轭复数是
，且满足
．
(1)求复数z 的模
；
(2)若复数
在复平面内对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围．
模块二：综合巩固
1.在复平面内，
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.已知
，若
为纯虚数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4.在复数范围内，
是方程
的两个不同的复数根，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
或2
5.复数
，其中
为实数，若
为实数，
为纯虚数，则
（ ）
A．6
B．
C．
D．7
6.已知复数满足
，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7.已知复数
，
是方程
的两个虚数根，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．4
8.“
”是“复数
在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9.欧拉公式
（其中
为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式建
立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据
欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A．
的实部为1 B．
的共轭复数为1
C．
在复平面内对应的点在第一象限 D．
的模长为1
10.（多选）已知复数
，
，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则在复平面内对应的点在一条直线上
11.（多选）已知复数
，
，下列结论正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若复数
，
满足
．则
D．若
，则
的最大值为4
12.（多选）复数
，其共轭复数为
，则下列叙述正确的是（ ）
A．
对应的点在复平面的第四象限
B．
是一个纯虚数
C．
D．
13.（多选）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．z 在复平面内对应的点的坐标为
B．
C．z 在复平面内对应的点与点
关于原点对称 D．
14.若
，则的共轭复数为 ．
15.已知是虚数单位，复数
．
16.复数
，且
，若
是实数，则有序实数对
可以是 .
17.已知
的两共轭虚根为
，
，且
，则
．
18.已知i 为虚数单位，复数
，
，若为纯虚数，则
.
19.已知关于
的二次方程
．
(1)当
为何值时，这个方程有一个实根？
(2)是否存在
，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出
的值；若不存在，试说明理由．
20.设复数
．
(1)若
是实数，求
；
(2)若
是纯虚数，求
．
21.已知复数满足
（是虚数单位）.
(1)求
；
(2)若复数
在复平面内对应的点在第三象限，求实数
的取值范围.
22.已知复数
，
为z 的共轭复数，且
．
(1)求m 的值；
(2)若
是关于x 的实系数一元二次方程
的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
23.已知复数
，
，为虚数单位.
(1)求
及
；
(2)若
，求的共轭复数.
24.求解下列各题，并写出必要过程：已知复数
是实数.
(1)求复数及其z 的模；
(2)若复数
是关于
的方程
的根，求实数
和
的值.
