7.3 复数的加减运算及其几何意义
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：复数的加法运算及其几何意义............................................2
考点二：复数的减法运算及其几何意义............................................2
考点三：|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义............................................2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：复数的加、减运算.......................................................... 3
题型二：复数加减运算求参数....................................................... 3
题型三：复数加减法的几何意义.................................................... 4
题型四：复数的加减与模的几何意义综合应用...................................5
题型五：复数的加减与复数的特征..................................................6
模块三：综合巩固.........................................................................7
7.3 复数的加减运算及其几何意义
模块一：基础知识
考点一：复数的加法运算及其几何意义
1.复数的加法法则
设
=a+bi，
=c+di(a,b,c,d
R)是任意两个复数，那么
+
=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
2.复数的加法满足的运算律
对任意
,
,
∈C，有
①交换律：
+
=
+
；
②结合律：(
+
)+
=
+(
+
).
3.复数加法的几何意义
在复平面内，设
=a+bi，
=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为
，
，则
=(a,b)，
=(c,d).
以
，
对应的线段为邻边作平行四边形
(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得
=
+
=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ 对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i
对应的向量.
考点二：复数的减法运算及其几何意义
1.复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
2.复数减法的几何意义
两个复数
=a+bi，
=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是
，
，那么这两个复数的差
-
对应的向量是
-
，即向量
.
如果作
=
，那么点Z 对应的复数就是
-
(如图所示).这说明两个向量
与
的差
就是与
复数(a-c)+(b-d)i 对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
考点三：|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数
=a+bi，
=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是
(a,b)，
(c,d)，则|
|=
，又复数
-
=(a-c)+(b-d)i，则|
-
|=
.
故|
|=|
-
|，即|
-
|表示复数
，
在复平面内对应的点之间的距离.
模块二：题型分类
题型一：复数的加、减运算
1．计算：
(1)
3
4i
5
3i
；
(2)
1 5i
2
3i
；
(3)
2
3i
6
5i
；
(4)
7
i
3
2i
．
2.设复数
1
2
2
3 ,
1
2
z
i z
i
，则复数
1
2
z
z
在复平面内对应的点所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3.已知复数
1
3
4i
z
，
2
3
4
z
i
，则
1
2
z
z
．
4.已知复数
1
2
2
i,
3
2i
z
z
，则复数
1
2
z
z
在复平面内对应的点位于第
象限.
5.设�的共轭复数为�ത，若2�−3�ത= 2 −5i，则�=（
）
A．−2 −i
B．2 −i
C．1 −2i
D．1 + 2i
题型二：复数加减运算求参数
1．设z1=2+bi ，z2=a+i ，当z1+z2=0 时，复数a+bi 为（
）
A．1+i
B．2+i
C．3
D．2
i
2．若
2
z
z
，则
2
z
z
的实部可能是（
）
A．3
B．1
C．3i
D．i
3．复数
1
2
4i,
3
i
z
a
z
b
，其中,a b 为实数，若
1
2
z
z
为实数，
1
2
z
z
为纯虚数，则a
b
（
）
A．6
B．6
C．7
D．7
4．若复数z 满足
2
+3
2
3i
z
z
z
z
，则z =（
）
A．1
1 i
2
2
B．1
1 i
2
2
C．2
2i
D．2
2i
5．已知复数z 的共轭复数是z ，若
2
2
3i
z
z
，则z （
）
A．2
i
B．1 2i
C．2
i
D．1 2i
题型三：复数加减法的几何意义
1.如图所示,平行四边形OABC 的顶点O,A,C 对应的复数分别为0,3
2i
, 2
4i
,其中i 为虚数单位由复数的
几何意义,知OA
与OC
对应的复数分别为3
2i
, 2
4i
.
(1)求AO
对应的复数.
(2)求CA
对应的复数.
(3)求OB
对应的复数.
2．设向量
1
OZ
及
2
OZ
在复平面内分别与复数z1＝5＋3i 及复数z2＝4＋i 对应，试计算z1－z2，并在复平面
内表示出来
3.如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1 + 2�, −2 + �, 0，那么这个正方形的第四个
顶点对应的复数为（
）．
A．3 + �
B．3 −�
C．1 −3�
D．−1 + 3�
4.复数6
5i
与3
4i
分别表示向量OA
与OB
，则表示向量BA
的复数为（
）
A．3
9i
B．2
8i
C．9
i
D．9
i
5.若复数
1
4
3
z
i
，
2
4
3
z
i
（其中i 为虚数单位）所对应的向量分别为
1
OZ
与
2
OZ
，则
1
2
OZ Z 的周长
为
.
6.复平面上有A、B、C 三点，点A 对应的复数为2
i
，BA
对应的复数为1
2i
，BC
对应的复数为3 i
，
则点C 的坐标为
．
7.若向量��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬ分别表示复数�1 = 2 −i, �2 = 3 + i，则��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．5
B．5
C．2 5
D．2 2
8.如图，设向量��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（）
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
9.在复平面内，O 为原点，四边形OABC 是复平面内的平行四边形，且A，B，C 三点对应的复数分别为z1，
z2，z3，若�1 = 1, �3 =−2 + i，则z2=（
）
A．1+i
B．1－i
C．－1+i
D．－1－i
10．根据复数加法的几何意义，证明：
1
2
1
2
1
2
z
z
z
z
z
z
．
题型四：复数的加减与模的几何意义综合应用
1.若复数z 满足|z﹣2i|＝1（i 为虚数单位），则|z|的最小值为
.
2．设z 是复数且
1 2i
1
z
，则z 的最小值为（
）
A．1
B．3 1
C．5 1
D．5
3.已知复数z 满足
i
z
z
，则z 的最小值为（
）
A．1
4
B．1
2
C．3
4
D．1
4.已知i 是虚数单位，复数
i
z
a
b
，aR ，bR ，且
i
2
i
z
z
，则
3
3i
z
的最小值为（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
5.若
cos
sin
z
i
(
R
i
，是虚数单位),则
2
2
z
i
的最小值是（
）
A．2 2
B．
2
C．2 2
1
D．2 2
1
6.复数z 满足1
2
i
3
z
，则z 的范围是（
）
A．
5
1, 5
3
B．
10,2 6
C．
0, 5
3
D．
10,
26
7.若i 为虚数单位，复数z 满足
1
z ，则
(1 i)
z
的最大值为（
）
A．
2
1
B．
2
C．
2
1
D．2 2
8．已知复数z 满足
2
4i
1
z
，当z 的虚部取最小值时，z （
）
A．2
3i
B．2
3i
C．3
5i
D．3
3i
题型五：复数的加减与复数的特征
1.复数(1
2i)
(3
4i)
对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数
2i
z
a
（其中
R
a
）为“等部
复数”，则复数
2 i
z
a
在复平面内对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3.设复数
1z ，2z 满足
1
2
2
z
z
，1
2
3
i
z
z
，复数
2
1
2
1
,
, z
z
z
z
在复平面内所对应的点分别为A，B，C，
则三角形ABC 的面积为（
）
A．3
B．2 3
C．2
D．
3
4.实数
1
m
时，复数
3
i
2
i
m
在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5.已知关于x 的实系数一元二次方程
2
3
0
x
kx
有两个虚根
1
x 和
2
x ，且
1
2
2 2
x
x
，则k 的值为（
）
A．2
B．2
C．2
D．2 3
6.已知复数
1z ，2z 满足
1
1
z ，
2
2
z
，3
1
2
z
z
z
，则
3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为
．
模块三：综合巩固
1．设z1=2+bi ，z2=a+i ，当z1+z2=0 时，复数a+bi 为（
）
A．1+i
B．2+i
C．3
D．2
i
2．若|z|+z=3+i，则z=（
）
A．1－4
3 i
B．1+ 4
3 i
C．4
3 +i
D．－4
3 +i
3.已知复数
2
i
z
，且
0
az
z
b
，其中a，b 为实数，则（
）
A．
1
a ，
4
b
B．
1
a ，
4
b
C．
1
a ，
4
b
D．
1
a ，
4
b
4.
2
i
1 2i
等于（
）
A．3
i
B．4
3i
C．4i
D．1 3i
5.已知复数
2
i 1
i
a
a
为纯虚数，则实数a 的值为（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
6.已知复数
1
12
3i
z
，
2
9
i
z ，则
1
2
z
z
的实部与虚部分别为（
）
A．3，2
B．3 ，2i
C．2 ，3
D．2 ，3i
7.在复平面内，复数z 对应的点Z 的坐标为
2sin120 , 2cos120
，则
2 3
z
（
）
A．2
B．2 3
C．3 3
D．1
3
8.复数2
3
4
i +2i +3i 在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
9.在复平面内，O为原点，i 为虚数单位，复数z 对应的向量
1,2
OZ
，则
i
z
（
）
A．3
B．
3
C．2
D．
2
10.已知复数z 满足
2
4i
1
z
，当z 的虚部取最小值时，z （
）
A．2
3i
B．2
3i
C．3
5i
D．3
3i
11.（多选）已知
1z ，
2z 为复数，则下列说法正确的是（
）
A．若
1z R ，则
1
1
z
z
B．若
1
2
z
z ，则
1
2
z
z
C．若
1
2
z
z
，则
1
2
z
z
D．若
1
2
1
z
z
z
，则
1
0
z
或
2
1
2
z
z
12.（多选）设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是（
）
A．z
z
R
B．z
z
是纯虚数
C．若
3
cos
isin
5
5
z
，则
1
z
D．若
i
1
z
，则z 的最大值为2
13.复数
1
4i
z
a
，2
3
i
z
b
（a、
R
b
），若它们的和
1
2
z
z
为实数，差
1
2
z
z
为纯虚数，则
i
a
b
．
14.已知复数z 满足
2i
z
z
，写出一个满足条件的复数z
．
15.计算：
(1)
1 2i
7 11i
5
6i
；
(2)
5i
6
8i
1
3i
；
(3)
i
2
3 i
3i
R
a
b
a
b
a
b
，
.
16.已知复数
2
1
6 i
z
a
a
，
2
2
2
3
i
z
a
a
，a R ．
(1)若
1
2
z
z
是纯虚数，求a ；
(2)若
1
2
0
z
z
，求
1z ．
17.已知复数z 满足
2
|
|
2
2i
0
z
z
．
(1)求z ；
(2)比较
3i
z
z
与2
3i
z
的大小．
18.（1）设z
C
，在复平面内z 对应的点为Z ，那么求满足条件：2
3
z
的点Z 的集合的图形面积；
（2）已知复数
2
1
4
i
z
m
m
mR ，
2
2
i
z
x
x
,
R
x
，且
1
2
0
z
z
，求的范围.
19.已知复数
1
2
cos
isin ,
cos
isin , ,
z
z
均为锐角，且
1
2
2 5
5
z
z
.
(1)求
cos
的值；
(2)若
4
cos
5
，求cos的值.
