文档内容
2018 年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．
菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】根据集合的基本运算进行计算即可．
【解答】解：A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}，
则A∩B={0，1}，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关
键．比较基础．
2．（5分）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可．
【解答】解：复数 = = ，
共轭复数对应点的坐标（ ，﹣ ）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基本知识
第1页 | 共21页的考查．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】EF：程序框图．
菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5K：算法和程序框图．
【分析】直接利用程序框图的应用求出结果．
【解答】解：执行循环前：k=1，S=1．
在执行第一次循环时，S=1﹣ = ．
由于k=2≤3，
所以执行下一次循环．S= ，
k=3，直接输出S= ，
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用．
第2页 | 共21页4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计
算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八
度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的
频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ．若第一个单音的频率为f，则
第八个单音的频率为（ ）
A． f B． f C． f D． f
【考点】88：等比数列的通项公式．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可．
【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的
比都等于 ．
若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为： = ．
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力．
5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的
个数为（ ）
第3页 | 共21页A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】L!：由三视图求面积、体积；L7：简单空间图形的三视图．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间
位置关系与距离．
【分析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果．
【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，
AC= ，CD= ，
PC=3，PD=2 ，可得三角形PCD不是直角三角形．
所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，
△PAD．
故选：C．
【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查．
6．（5 分）设 ， 均为单位向量，则“| ﹣3 |=|3 + |”是“ ⊥ ”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．
【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的对应进行判断即
可．
【解答】解：∵“| ﹣3 |=|3 + |”
第4页 | 共21页∴平方得| |2+9| |2﹣6 • =9| |2+| |2+6 • ，
即1+9﹣6 • =9+1+6 • ，
即12 • =0，
则 • =0，即 ⊥ ，
则“| ﹣3 |=|3 + |”是“ ⊥ ”的充要条件，
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的公式进
行转化是解决本题的关键．
7．（5分）在平面直角坐标系中，记 d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣
2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】IT：点到直线的距离公式．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】由题意d= = ，
当sin（θ+α）=﹣1时，d =1+ ≤3．由此能求出d的最大值．
max
【解答】解：由题意d= = ，
tanα= = ，
∴当sin（θ+α）=﹣1时，
d =1+ ≤3．
max
∴d的最大值为3．
故选：C．
【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、
第5页 | 共21页三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中
档题．
8．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（ ）
A．对任意实数a，（2，1） A B．对任意实数a，（2，1） A
C．当且仅当a＜0时，（2，∈ 1） A D．当且仅当a≤ 时，（2，1 ∉） A
∉ ∉
【考点】7C：简单线性规划．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】利用a的取值，反例判断（2，1） A是否成立即可．
【解答】解：当 a=﹣1 时，集合 A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}
∈
={（x，y）|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞
4，x+y≤2，所以A不正确；
当a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，
4x+y＞4，x﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正
确；
当a=1，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，
x+y＞4，x﹣y≤2}，显然（2，1） A，所以当且仅当a＜0错误，所以C不正
确；
∉
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避
免可行域的画法，简洁明了．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5分）设{a }是等差数列，且a =3，a +a =36，则{a }的通项公式为
n 1 2 5 n
a =6n﹣3 ．
n
【考点】84：等差数列的通项公式．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a =3，d=6，由此能求出{a }
1 n
第6页 | 共21页的通项公式．
【解答】解：∵{a }是等差数列，且a =3，a +a =36，
n 1 2 5
∴ ，
解得a =3，d=6，
1
∴a =a +（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．
n 1
∴{a }的通项公式为a =6n﹣3．
n n
故答案为：a =6n﹣3．
n
【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质等基础知
识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10．（5分）在极坐标系中，直线 ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，
则a= 1+ ．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆
心到直线的距离等于半径求出结果．
【解答】解：圆ρ=2cosθ，
转化成：ρ2=2ρcosθ，
进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，
把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．
由于直线和圆相切，
所以：利用圆心到直线的距离等于半径．
则： =1，
解得：a=1± ．a＞0
则负值舍去．
故：a=1+ ．
故答案为：1+ ．
第7页 | 共21页【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆
相切的充要条件的应用．
11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣ ）（ω＞0），若f（x）≤f（ ）对
任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ．
【考点】HW：三角函数的最值．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．
【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．
【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣ ）（ω＞0），若f（x）≤f（ ）对任
意的实数x都成立，
可得： ，k∈Z，解得ω= ，k∈Z，ω＞0
则ω的最小值为： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力．
12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是 3 ．
【考点】7C：简单线性规划．
菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即
可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2y﹣x，则y= x+ z，
平移y= x+ z，
第8页 | 共21页由图象知当直线y= x+ z经过点A时，
直线的截距最小，此时z最小，
由 得 ，即A（1，2），
此时z=2×2﹣1=3，
故答案为：3
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结
合是解决本题的关键．
13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）
在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是 f （ x ） =sin x ．
【考点】2J：命题的否定．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】本题答案不唯一，符合要求即可．
【解答】解：例如f（x）=sinx，
尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，
当x∈[0， ）上为增函数，在（ ，2]为减函数，
故答案为：f（x）=sinx．
【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题．
第9页 | 共21页14．（5分）已知椭圆M： + =1（a＞b＞0），双曲线N： ﹣ =1．若
双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个
正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 2
．
【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥
曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的
离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：椭圆M： + =1（a＞b＞0），双曲线N： ﹣ =1．若双曲
线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六
边形的顶点，
可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（ ， ），可得：
，可得 ，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），
解得e= ．
同时，双曲线的渐近线的斜率为 ，即 ，
可得： ，即 ，
可得双曲线的离心率为e= =2．
故答案为： ；2．
第10页 | 共21页【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（13分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣ ．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
【考点】HP：正弦定理．
菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4O：定义法；58：解三角形．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理结合大边对大角进行求解即可．
（Ⅱ）利用余弦定理求出c的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即
可．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，
∵cosB=﹣ ，∴sinB= = = ，
由正弦定理得 = 得sinA= = = ，
则A= ．
（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，
即64=49+c2+2×7×c× ，
即c2+2c﹣15=0，
得（c﹣3）（c+5）=0，
得c=3或c=﹣5（舍），
则AC边上的高h=csinA=3× = ．
【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程
关系是解决本题的关键．
16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，CC ⊥平面ABC，D，E，F，
1 1 1 1
第11页 | 共21页G分别为AA ，AC，A C ，BB 的中点，AB=BC= ，AC=AA =2．
1 1 1 1 1
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C 的余弦值；
1
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．
【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平
面角及求法．
菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（I）证明AC⊥BE，AC⊥EF即可得出AC⊥平面BEF；
（II）建立坐标系，求出平面BCD的法向量 ，通过计算 与 的夹角得出二面
角的大小；
（III）计算 与 的数量积即可得出结论．
【解答】（I）证明：∵E，F分别是AC，A C 的中点，∴EF∥CC ，
1 1 1
∵CC ⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，
1
又AC⊂平面ABC，∴EF⊥AC，
∵AB=BC，E是AC的中点，
∴BE⊥AC，
又BE∩EF=E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，
∴AC⊥平面BEF．
（II）解：以E为原点，以EB，EC，EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所
示：
则B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，1），
∴ =（﹣2，1，0）， =（0，﹣2，1），
第12页 | 共21页设平面BCD的法向量为 =（x，y，z），则 ，即 ，
令y=2可得 =（1，2，4），又EB⊥平面ACC A ，
1 1
∴ =（2，0，0）为平面CD﹣C 的一个法向量，
1
∴cos＜ ， ＞= = = ．
由图形可知二面角B﹣CD﹣C 为钝二面角，
1
∴二面角B﹣CD﹣C 的余弦值为﹣ ．
1
（III）证明：F（0，0，2）， （2，0，1），∴ =（2，0，﹣1），
∴ • =2+0﹣4=﹣2≠0，
∴ 与 不垂直，
∴FG与平面BCD不平行，又FG⊄平面BCD，
∴FG与平面BCD相交．
【点评】本题考查了线面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于
中档题．
17．（12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
第13页 | 共21页（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四
类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1部，估计恰有1部获得好评
的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用
“ξ =1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξ =0”表示第k类电影没有得到人们
k k
喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ ，Dξ ，Dξ ，Dξ ，Dξ ，Dξ 的
1 2 3 4 5 6
大小关系．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方
差．
菁
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）先求出总数，再求出第四类电影中获得好评的电影的部数，利
用古典概型概率计算公式直接求解．
（Ⅱ）设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1部，恰有1
部获得好评”，第四类获得好评的有50部，第五类获得好评的有160部，由
此能求出从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1部，估计恰有1部获得
好评的概率．
（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：ξ = ，
k
则 ξ 服从两点分布，分别求出六类电影的分布列及方差由此能写出方差
k
Dξ ，Dξ ，Dξ ，Dξ ，Dξ ，Dξ 的大小关系．
1 2 3 4 5 6
【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，
求这部电影是获得好评的第四类电影”，
总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部，
第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25=50部，
∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电
影的频率为：
P（A）= =0.025．
第14页 | 共21页（Ⅱ）设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1部，恰有1
部获得好评”，
第四类获得好评的有：200×0.25=50部，
第五类获得好评的有：800×0.2=160部，
则从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1部，估计恰有1部获得好评的概
率：
P（B）= =0.35．
（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：
ξ = ，
k
则ξ 服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：
k
第一类电影：
ξ 1 0
1
P 0.4 0.6
E（ξ ）=1×0.4+0×0.6=0.4，
1
D（ξ ）=（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6=0.24．
1
第二类电影：
ξ 1 0
2
P 0.2 0.8
E（ξ ）=1×0.2+0×0.8=0.2，
2
D（ξ ）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16．
2
第三类电影：
ξ 1 0
3
P 0.15 0.85
E（ξ ）=1×0.15+0×0.85=0.15，
3
D（ξ ）=（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.85）2×0.85=0.1275．
3
第四类电影：
ξ 1 0
4
P 0.25 0.75
第15页 | 共21页E（ξ ）=1×0.25+0×0.75=0.15，
4
D（ξ ）=（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.75）2×0.75=0.1875．
4
第五类电影：
ξ 1 0
5
P 0.2 0.8
E（ξ ）=1×0.2+0×0.8=0.2，
5
D（ξ ）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16．
5
第六类电影：
ξ 1 0
6
P 0.1 0.9
E（ξ ）=1×0.1+0×0.9=0.1，
6
D（ξ ）=（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9=0.09．
5
∴方差Dξ ，Dξ ，Dξ ，Dξ ，Dξ ，Dξ 的大小关系为：
1 2 3 4 5 6
Dξ ＜Dξ ＜Dξ =Dξ ＜Dξ ＜Dξ ．
6 3 2 5 4 1
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查古典
概型、两点分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是
中档题．
18．（13分）设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方
程．
菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；34：方程思想；48：分析法；52：导数的概念及应用；
53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得 f′（1）=0，解方程
可得a的值；
第16页 | 共21页（Ⅱ）求得f（x）的导数，注意分解因式，讨论a=0，a= ，a＞ ，0＜a＜ ，
a＜0，由极小值的定义，即可得到所求a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex的导数为
f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex．
由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
可得（a﹣2a﹣1+2）e=0，且f（1）=3e≠0，
解得a=1；
（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex=（x﹣2）（ax﹣1）ex，
若a=0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．
x=2处f（x）取得极大值，不符题意；
若a＞0，且a= ，则f′（x）= （x﹣2）2ex≥0，f（x）递增，无极值；
若a＞ ，则 ＜2，f（x）在（ ，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞， ）递增，
可得f（x）在x=2处取得极小值；
若0＜a＜ ，则 ＞2，f（x）在（2， ）递减；在（ ，+∞），（﹣∞，2）
递增，
可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；
若a＜0，则 ＜2，f（x）在（ ，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞， ）递减，
可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意．
综上可得，a的范围是（ ，+∞）．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，
以及运算能力，属于中档题．
19．（14分）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直
线l与抛物线C有两个不同的交点 A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB
交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
第17页 | 共21页（Ⅱ）设O为原点， =λ ， =μ ，求证： + 为定值．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．
菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）将P代入抛物线方程，即可求得p的值，设直线AB的方程，
代入椭圆方程，由△＞0，即可求得k的取值范围；
（Ⅱ）根据向量的共线定理即可求得 λ=1﹣y ，μ=1﹣y ，求得直线PA的方程，
M N
令x=0，求得M点坐标，同理求得N点坐标，根据韦达定理即可求得 +
为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2=2px经过点
P（1，2），∴4=2p，解得p=2，
设过点（0，1）的直线方程为y=kx+1，
设A（x ，y ），B（x ，y ）
1 1 2 2
联立方程组可得 ，
消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，
∴△=（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，
且k≠0，x +x =﹣ ，x x = ，
1 2 1 2
又∵PA、PB要与y轴相交，∴直线l不能经过点（1，﹣2），即k≠﹣3，
故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；
（Ⅱ）证明：设点M（0，y ），N（0，y ），
M N
则 =（0，y ﹣1）， =（0，﹣1）
M
因为 =λ ，所以y ﹣1=﹣y ﹣1，故λ=1﹣y ，同理μ=1﹣y ，
M M M N
直线PA的方程为y﹣2= （x﹣1）= （x﹣1）= （x﹣1），
第18页 | 共21页令x=0，得y = ，同理可得y = ，
M N
因为
+ = + = + = = =
= = =2，
∴ + =2，∴ + 为定值．
【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的
应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
20．（14分）设n为正整数，集合A={α|α=（t ，t ，…t ），t ∈{0，1}，k=1，
1 2 n k
2，…，n}，对于集合 A 中的任意元素 α=（x ，x ，…，x ）和 β=（y ，
1 2 n 1
y ，…y ），记
2 n
M（α，β）= [（x +y ﹣|x ﹣y |）+（x +y ﹣|x ﹣y |）+…（x +y ﹣|x ﹣y |）]
1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n
（Ⅰ）当 n=3 时，若 α=（1，1，0），β=（0，1，1），求 M（α，α）和 M
第19页 | 共21页（α，β）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于 B中的任意元素 α，β，当
α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求
集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不
同的元素α，β，M（α，β）=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说
明理由．
【考点】1A：集合中元素个数的最值；F9：分析法和综合法；R8：综合法与分
析法(选修）．
菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4G：演绎法；5J：集合．
【分析】（Ⅰ）直接根据定义计算．
（Ⅱ）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明．
（Ⅲ）根据抽屉原理即可得证．
【解答】解：（I ） M（α，α）=1+1+0=2，M（α，β）=0+1+0=1．
（II）考虑数对（x ，y ）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、
k k
（1，1），相应的 分别为0、0、0、1，
所以B中的每个元素应有奇数个1，
所以B中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：
（1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1），
（0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0），
对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M（α，β）是偶数，
所以四元集合B={（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，
0，0，1）}满足题意，
假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，
除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，
则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M（α，β）=1不合题意，
故B中元素个数的最大值为4．
第20页 | 共21页（Ⅲ） B={（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），
（0，0，1…0）…，
（0，0，0，…，1）}，
此时B中有n+1个元素，下证其为最大．
对于任意两个不同的元素α，β，满足M（α，β）=0，则α，β中相同位置上的
数字不能同时为1，
假设存在B有多于n+1个元素，由于α=（0，0，0，…，0）与任意元素β都有
M（α，β）=0，
所以除（0，0，0，…，0）外至少有n+1个元素含有1，
根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足x=y=l，此时M（α，β）≥1不满
i i
足题意，故B中最多有n+1个元素．
【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．
综合性较强，难度较大．
第21页 | 共21页
