文档内容
2018 年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】38：对应思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】根据集合的基本运算进行计算即可．
【解答】解：A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}，
则A∩B={0，1}，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关
键．比较基础．
2．（5分）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可．
【解答】解：复数 = = ，
共轭复数对应点的坐标（ ，﹣ ）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基本知识
的考查．
第1页 | 共18页3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】EF：程序框图．
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【专题】35：转化思想；5K：算法和程序框图．
【分析】直接利用程序框图的应用求出结果．
【解答】解：执行循环前：k=1，S=1．
在执行第一次循环时，S=1﹣ = ．
由于k=2≤3，
所以执行下一次循环．S= ，
k=3，直接输出S= ，
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用．
4．（5分）设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数
第2页 | 共18页列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
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【专题】38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可．
【解答】解：若a，b，c，d成等比数列，则ad=bc，
反之数列﹣1，﹣1，1，1．满足﹣1×1=﹣1×1，
但数列﹣1，﹣1，1，1不是等比数列，
即“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解
决本题的关键．
5．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计
算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八
度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的
频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ．若第一个单音的频率为f，则
第八个单音的频率为（ ）
A． f B． f C． f D． f
【考点】88：等比数列的通项公式．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可．
【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的
比都等于 ．
第3页 | 共18页若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为： = ．
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力．
6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的
个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】L!：由三视图求面积、体积；L7：简单空间图形的三视图．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间
位置关系与距离．
【分析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果．
【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，
AC= ，CD= ，
PC=3，PD=2 ，可得三角形PCD不是直角三角形．
所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，
△PAD．
故选：C．
第4页 | 共18页【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查．
7．（5分）在平面直角坐标系中， ， ， ， 是圆 x2+y2=1 上的四段弧
（如图），点P其中一段上，角 α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα
＜sinα，则P所在的圆弧是（ ）
A． B． C． D．
【考点】GA：三角函数线．
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【专题】36：整体思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．
【分析】根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可．
【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不
满足条件．
B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．
C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，
满足tanα＜cosα＜sinα，
D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，
满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．
第5页 | 共18页故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数象限和符号的应用，分别判断三角函数线的大
小是解决本题的关键．
8．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（ ）
A．对任意实数a，（2，1） A B．对任意实数a，（2，1） A
C．当且仅当a＜0时，（2，∈1） A D．当且仅当a≤ 时，（2，1∉） A
∉ ∉
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】利用a的取值，反例判断（2，1） A是否成立即可．
【解答】解：当 a=﹣1 时，集合 A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}
∈
={（x，y）|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞
4，x+y≤2，所以A不正确；
当a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，
4x+y＞4，x﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以 B不正
确；
当a=1，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，
x+y＞4，x﹣y≤2}，显然（2，1） A，所以当且仅当a＜0错误，所以C不正
确；
∉
故选：D．
第6页 | 共18页【点评】本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避
免可行域的画法，简洁明了．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5分）设向量 =（1，0）， =（﹣1，m）．若 ⊥（m ﹣ ），则 m=
﹣ 1 ．
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
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【专题】11：计算题；49：综合法；5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量的坐标运算，以及向量的垂直，列出方程求解即可．
【解答】解：向量 =（1，0）， =（﹣1，m）．
m ﹣ =（m+1，﹣m）．
∵ ⊥（m ﹣ ），
∴m+1=0，解得m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能
力．
10．（5分）已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴．若l被抛物线y2=4ax截得
的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 （ 1 ， 0 ） ．
【考点】K8：抛物线的性质．
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【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性
质与方程．
【分析】先求出直线x=1，代入抛物线中，求出y，根据l被抛物线y2=4ax截得
的线段长为4，即可求出a，问题得以解决．
【解答】解：∵直线l过点（1，0）且垂直于x轴，
∴x=1，
代入到y2=4ax，可得y2=4a，显然a＞0，
第7页 | 共18页∴y=±2 ，
∵l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，
∴4 =4，
解得a=1，
∴y2=4x，
∴抛物线的焦点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）
【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，属于基础题．
11．（5 分）能说明“若 a＞b，则 ＜ ”为假命题的一组 a，b 的值依次为
a=1 ， b=﹣1 ．
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
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【专题】38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】根据不等式的性质，利用特殊值法进行求解即可．
【解答】解：当a＞0，b＜0时，满足a＞b，但 ＜ 为假命题，
故答案可以是a=1，b=﹣1，
故答案为：a=1，b=﹣1．
【点评】本题主要考查命题的真假的应用，根据不等式的性质是解决本题的关
键．比较基础．
12．（5分）若双曲线 ﹣ =1（a＞0）的离心率为 ，则a= 4 ．
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性
质与方程．
【分析】利用双曲线的简单性质，直接求解即可．
第8页 | 共18页【解答】解：双曲线 ﹣ =1（a＞0）的离心率为 ，
可得： ，解得a=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
13．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是 3 ．
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即
可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2y﹣x，则y= x+ z，
平移y= x+ z，
由图象知当直线y= x+ z经过点A时，
直线的截距最小，此时z最小，
由 得 ，即A（1，2），
此时z=2×2﹣1=3，
故答案为：3
第9页 | 共18页【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结
合是解决本题的关键．
14．（5分）若△ABC的面积为 （a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B=
； 的取值范围是 （ 2 ， +∞ ） ．
【考点】HR：余弦定理．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】利用余弦定理，转化求解即可．
【解答】解：△ABC的面积为 （a2+c2﹣b2），
可得： （a2+c2﹣b2）= acsinB， ，
可得：tanB= ，所以B= ，∠C为钝角，A∈（0， ），
tanA= ，
（ ，+∞）．
∈
= = =cosB+ sinB= ∈（2，+∞）．
第10页 | 共18页故答案为： ；（2，+∞）．
【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（13分）设{a }是等差数列，且a =ln2，a +a =5ln2．
n 1 2 3
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）求e +e +…+e ．
【考点】8E：数列的求和；8I：数列与函数的综合．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用等比数列求和公式求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）{a }是等差数列，且a =ln2，a +a =5ln2．
n 1 2 3
可得：2a +3d=5ln2，可得d=ln2，
1
{a }的通项公式；a =a +（n﹣1）d=nln2，
n n 1
（Ⅱ）e = =2n，
∴e +e +…+e =21+22+23+…+2n= =2n+1﹣2．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的通项公式以及数列求
和，考查计算能力．
16．（13分）已知函数f（x）=sin2x+ sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣ ，m]上的最大值为 ，求m的最小值．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；H1：三角函数的周期性；HW：三角函
数的最值．
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【专题】35：转化思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．
第11页 | 共18页【分析】（I）运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式和周期公式，即
可得到所求值；
（Ⅱ）求得2x﹣ 的范围，结合正弦函数的图象可得2m﹣ ≥ ，即可得到
所求最小值．
【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x+ sinxcosx= + sin2x
=sin（2x﹣ ）+ ，
f（x）的最小正周期为T= =π；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣ ，m]上的最大值为 ，
可得2x﹣ ∈[﹣ ，2m﹣ ]，
即有2m﹣ ≥ ，解得m≥ ，
则m的最小值为 ．
【点评】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的
周期公式、最值，考查运算能力，属于中档题．
17．（13分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四
类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的
好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪
类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影
第12页 | 共18页总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
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【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）先求出总数，即可求出答案，
（Ⅱ）根据互斥事件的概率公式计算即可，
（Ⅲ）由题意可得，增加电影部数多的，减少部数少的，即可得到．
【解答】解：（Ⅰ）总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部，
获得好评的第四类电影200×0.25=50，
故从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电
影的概率 = ；
（Ⅱ）获得好评的电影部数为
140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=372，
估计这部电影没有获得好评的概率为1﹣ =0.814，
（Ⅲ）故只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，则
使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大．
【点评】本题考查了用频率来估计概率，属于基础题．
18．（14分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥
平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．
第13页 | 共18页【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直．
菁
【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的三线合一性质和矩形的对边平行性质，即可得
证；
（Ⅱ）作出平面PAB和平面PCD的交线，注意运用公理4，再由面面垂直的性
质和两个平面所成角的定义，即可得证；
（Ⅲ）取PC的中点H，连接DH，FH，运用中位线定理和平行四边形的判断和
性质，结合线面平行的判定定理，即可得证．
【解答】证明：（Ⅰ）PA=PD，E为AD的中点，
可得PE⊥AD，
底面ABCD为矩形，可得BC∥AD，
则PE⊥BC；
（Ⅱ）由于平面PAB和平面PCD有一个公共点P，
且AB∥CD，
在平面PAB内过P作直线PG∥AB，
可得PG∥CD，
即有平面PAB∩平面PCD=PG，
由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，
可得AB⊥平面PAD，即有AB⊥PA，
PA⊥PG；
同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG，
可得∠APD为平面PAB和平面PCD的平面角，
由PA⊥PD，
可得平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）取PC的中点H，连接DH，FH，
在三角形PCD中，FH为中位线，可得FH∥BC，
FH= BC，
由DE∥BC，DE= BC，
第14页 | 共18页可得DE=FH，DE∥FH，
四边形EFHD为平行四边形，
可得EF∥DH，
EF⊄平面PCD，DH⊂平面PCD，
即有EF∥平面PCD．
【点评】本题考查线面和面面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，
以及面面垂直的判断和性质，注意运用转化思想，考查推理能力和空间想象
能力，属于中档题．
19．（13分）设函数f（x）=[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]ex．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若f（x）在x=1处取得极小值，求a的取值范围．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方
程．
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【专题】34：方程思想；48：分析法；52：导数的概念及应用；53：导数的综
合应用．
【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得 f′（2）=0，解方程
可得a的值；
（Ⅱ）求得f（x）的导数，注意分解因式，讨论a=0，a=1，a＞1，0＜a＜1，a
＜0，由极小值的定义，即可得到所求a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]ex的导数为
f′（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]ex．
曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，
可得（4a﹣2a﹣2+1）e2=0，
第15页 | 共18页解得a= ；
（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]ex=（x﹣1）（ax﹣1）ex，
若a=0则x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减．
x=1处f（x）取得极大值，不符题意；
若a＞0，且a=1，则f′（x）=（x﹣1）2ex≥0，f（x）递增，无极值；
若a＞1，则 ＜1，f（x）在（ ，1）递减；在（1，+∞），（﹣∞， ）递增，
可得f（x）在x=1处取得极小值；
若0＜a＜1，则 ＞1，f（x）在（1， ）递减；在（ ，+∞），（﹣∞，1）
递增，
可得f（x）在x=1处取得极大值，不符题意；
若a＜0，则 ＜1，f（x）在（ ，1）递增；在（1，+∞），（﹣∞， ）递减，
可得f（x）在x=1处取得极大值，不符题意．
综上可得，a的范围是（1，+∞）．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，
以及运算能力，属于中档题．
20．（14分）已知椭圆M： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，焦距为2
．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；
（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆
M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣ ， ）共线，求k．
【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合．
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【专题】35：转化思想；41：向量法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
第16页 | 共18页【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式即可求得 a的值，即可求得b的值，求
得椭圆方程；
（Ⅱ）当k=1时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，根据弦长公式即可求得|
AB|的最大值；
（Ⅲ）求得直线PA的方程，代入椭圆方程，即可根据韦达定理即可求得 C点
坐标，同理求得D点坐标，即可求得 与 ，根据向量的共线定理，即可求
得直线AB的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c=2 ，则c= ，椭圆的离心率e= =
，则a= ，
b2=a2﹣c2=1，
∴椭圆的标准方程： ；
（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=x+m，A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
联立 ，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3=0，△=（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）
＞0，整理得：m2＜4，
x +x =﹣ ，x x = ，
1 2 1 2
∴|AB|= = ，
∴当m=0时，|AB|取最大值，最大值为 ；
（Ⅲ）设直线PA的斜率k = ，直线PA的方程为：y= （x+2），
PA
联立 ，消去 y 整理得：（x 2+4x +4+3y 2）x2+12y 2x+（12y 2﹣
1 1 1 1 1
3x 2﹣12x ﹣12）=0，
1 1
第17页 | 共18页由 代入上式得，整理得：（4x +7）x2+（12﹣4x 2）x﹣（7x 2+12x ）
1 1 1 1
=0，
x •x =﹣ ，x =﹣ ，则 y = （﹣ +2）=
1 C C C
，
则C（﹣ ， ），同理可得：D（﹣ ， ），
由Q（﹣ ， ），则 =（ ， ），
=（ ， ），
由 与 共线，则 × = × ，
整理得：y ﹣x =y ﹣x ，则直线AB的斜率k= =1，
2 2 1 1
∴k的值为1．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达
定理，弦长公式，向量的共线定理，考查转化思想，属于中档题．
第18页 | 共18页
