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7.5 复数的三角表示
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：复数的三角表示式.......................................................... 2
考点二：辅角的主值................................................................... 2
考点三：三角形式下的复数相等.................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：复数的三角表示............................................................. 2
题型二：求复数的辅角主值.......................................................... 4
题型三：复数的代数形式与三角形式的互化......................................5
题型四：三角形式下复数的乘、除运算............................................5
题型五：复数乘除运算的几何意义..................................................7
题型六：三角表示下复数的乘方与开方............................................8
模块三：综合巩固.........................................................................9
7.5 复数的三角表示
模块一：基础知识
考点一：复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r 和刻画向量方向的角来表示复数z.一般地，任何一个复数z=a+bi
都可以表示成r(
+i
)的形式.
概念名称
概念的说明
模r
r 是复数z 的模，
)
辐角θ
θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量
所在射线(射线OZ)为终边的
角，且
三角形式
r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi 的三角表示式，简称三角形式，该式
的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连
考点二：辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i 的辐角是
+2kπ，其中k 可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数
0 的辐角也是任意的.我们规定在0
<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0
argz<2π.
考点三：三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复
数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
模块二：题型分类
题型一：复数的三角表示
1．复数
1
3 i
2
2
的三角形式是（
）
A．cos60
isin60
B．cos60
isin60
C．cos120
isin60
D．cos120
isin120
2．把复数
1
3
z
i 化三角形式为（
）
A．
π
π
2 cos
isin
6
6
B．
π
2 cos
isin
6
6
C．
π
π
2 cos
isin
3
3
D．2
3
π
π
cos
isin 3
3．复数
sin15
icos15
z
的三角形式是（
）
A．cos195
isin195
B．sin75
icos75
C．cos15
isin15
D．cos75
isin75
4．（多选）下列复数的三角形式正确的有（
）
A．1
π
π
cos
2
12
6
isin
B．
π
π
2 cos
isin
3
3
C．3
π
π
cos
2
7
7
isin
D．
π
π
3 cos
6
6
isin
5．（多选）下列复数的三角形式正确的有（
）
A．1 cos
isin
2
12
12
B．2 cos
isin
6
6
C．3 cos
isin
2
5
5
D．3 cos
isin
3
3
6.欧拉公式ei�= cos�+ isin�e = 2.71828⋯是由18 世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，
被誉为数学上优美的公式.已知ei �−π
6 =−
1
2 +
3
2 i，则cos�=（
）
A．−
3
2
B．−
1
2
C．
1
2
D．
3
2
7.欧拉公式e�i = cos�+ isin�（其中i 为虚数单位，�∈R），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数
函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，
被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，e−�i
3的共轭复数为（
）
A．
1
2 +
3
2 i
B．
1
2 −
3
2 i
C．−
1
2 +
3
2 i
D．−
1
2 −
3
2 i
8.欧拉公式e�i = cos�+ isin�（其中i 为虚数单位，�∈�）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角
函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（
）
A．eπi = 1
B．e
πi
2为实数
C．
e�i
3+i =
1
2
D．复数e2i对应的点位于第三象限
9.欧拉公式e�i = cos�+ isin�（其中i 为虚数单位，�∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指
数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.
依据欧拉公式，下列选项正确的是（
）
A．eπi为虚数
B．函数�(�) = e�i不是周期函数
C．若e�i =
1−3i
2
，则�=
2π
3
D．e
π
4i ⋅e
π
3i的共轭复数是
2−6
4
−
2+ 6
4
i
题型二：求复数的辅角主值
1．写出下列复数的辐角的主值
（1）-4
（2）2i
（3）
3
3i
（4）2 cos
sin
3
3
π
π
i
2．已知复数
3
i
z
，则arg z （
）
A．5π
3
B．
π
6
C．11π
6
D．5π
6
3．
1
3
z
i
（i 是虚数单位），则z 的辐角主值
arg z （
）
A．5 π
3
B．11 π
6
C．
π
3
D．
π
6
4：2 的辐角主值为（
）
A．
π
2
B．
3π
2
C．0
D．2π
5．已知i 为虚数单位，
1
3
z
i ，则z 的辐角主值为
.
6．已知复数z 满足
2
2
4
0
z
z
，且
π
argz
, π
2
．求z 的三角形式；
7.设复数�1 =−1 + i, �2 =
1
2 +
3
2 i，则arg
�1
�2 =（
）
A．
13
12 �
B．
7
12 �
C．
5
12 �
D．−
5
12 �
8.设�< �<
5�
4 ，则复数
cos2�+isin2�
cos�−isin�的辐角主值为（
）
A．2�−3�
B．3�−2�
C．3�
D．3�−�
题型三：复数的代数形式与三角形式的互化
1.把下列复数表示成三角形式；
(1)−5 + 5i
(2)3 3 −3i
(3)−4i
(4)13
2.将下列复数化为三角形式：
(1)−
3 + i；
(2)−1 −
3i；
(3)−2 cos
�
5 + isin
�
5 ；
(4)2 sin
�
5 + icos
�
5 ．
3.把下列复数表示成代数形式：
(1)4 cos
π
3 + isin
π
3 ；
(2)6 cos
11π
6 + isin
11π
6
．
4.在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）：
(1)6；
(2)1 + i；
(3)1 −
3i；
(4)−
6 −
2i．
题型四：三角形式下复数的乘、除运算
1．计算下列各式，并把结果化成代数形式：
（1）
π
π
π
π
2 cos
isin
3 cos
isin
12
12
6
6
，
（2）
2π
2π
π
π
6 cos
isin
2 cos
isin
3
3
3
3
．
2．如果
π ,π
2
，那么复数
1 i
cos
isin
的三角形式是（
）
A．
9π
9π
2 cos
isin
4
4
B．
2 cos 2π
isin 2π
C．
π
π
2 cos
isin
4
4
D．
3π
3π
2 cos
isin
4
4
3．棣莫弗公式(cos
isin )
cos
isin
n
x
x
nx
nx
（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，
根据棣莫弗公式可知，已知复数
2π
2π
cos
i sin
3
3
，则
4
的值是（
）
A．
B．1
C．
D．
4．已知
cos
isin
cos
isin
n
x
x
nx
nx
（其中i 为虚数单位），那么复数
2023
π
π
cos
isin
5
5
在复平面内所
对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5.计算2 cos75° + isin75° ⋅
1
2 −
1
2 i 的值是（
）
A．−
6
2 +
2
2 i
B．
6
2 +
2
2 i
C．
2
2 −
6
2 i
D．
2
2 +
6
2 i
6.复数
(−1+ 3i)5
1+ 3i 的值是（
）
A．−16
B．16
C．−
1
4
D．
1
4 −
3
4 i
7．计算：
（1）
π
π
π
π
8 cos
isin
2 cos
isin
6
6
4
4
；
（2）
4π
4π
5π
5π
2 cos
isin
4 cos
isin
3
3
6
6
；
（3）
3 cos225
isin225
2 cos150
isin150
（4）
π
π
4
cos
isin
4
4
8.已知i 为虚数单位，若�1 = �1(cos�1 +isin�1)，�2 = �2(cos�2 +isin�2)，⋅⋅⋅，��= ��(cos��+isin��)，
则�1�2 ⋅⋅⋅��= �1�2 ⋅⋅⋅��[cos �1 + �2 +⋅⋅⋅+ ��+isin �1 + �2 +⋅⋅⋅+ ��.特别地，如果�1 = �2 =⋅⋅⋅= ��=
�(cos�+isin�)，那么[�(cos�+isin�)]�= ��(cos��+isin��)，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754 年)创
立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（
）
A．若�= cos
�
6 +isin
�
6，则�4 =−
1
2 +
3
2 i
B．若�= cos
�
5 +isin
�
5，则�5 = 1 +i
C．若�1 = 2(cos
7�
12 +isin
7�
12 )，�2 = 3(cos
5�
12 +isin
5�
12 )，则�1�2 =−6 + 6i
D．若�1 = 3(cos
�
12 −isin
�
12 )，�2 = 4(cos
�
4 +isin
�
4 )，则�1�2 = 6 + 6i
题型五：复数乘除运算的几何意义
1．把复数1 i
对应的向量绕原点按逆时针方向旋转π
2 ，所得到的向量对应的复数是
.
2．在复平面内，将与复数3
3i
对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转60°，求与所得的向量对应的复数，
写出你的思考过程．
3．将复数1
3i
在复平面上所对应的向量ON
绕原点按顺时针方向旋转π
2 得到向量
1
ON
，那么
1
ON
对应的
复数是
.
4．在复平面内，把与复数3
3i
对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转60，则所得向量对应的复数为
（用代数形式表示）．
5.设复数�1 =−1 −i 在复平面上对应向量��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ，将��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ按顺时针方向旋转
5
6 �后得到向量��2Ԧ
ሬሬሬሬሬ，令��2Ԧ
ሬሬሬሬሬ对应的
复数为�2的辐角主值为�，则tan�=（
）
A．2 −
3
B．−2 +
3
C．2 +
3
D．−2 −
3
6．把复数z1 与z2 对应的向量OAOB
，
分别按逆时针方向旋转4
和5
3
后，重合于向量OM
且模相等，已知
2
1
3
z
i
，则复数
1z 的代数式和它的辐角主值分别是（
）
A．
2
2i
，3
4
B．
3
2
2 , 4
i
C．
2
2 , 4
i
D．
2
2 , 4
i
7.设�=
3 −�对应的向量为��റ
ሬሬሬሬ，将��റ
ሬሬሬሬ绕点O 按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量
对应的复数（用代数形式表示）
8.在复平面内，点A 对应的复数是3 + i，向量��റ
ሬሬሬሬ绕着点O 按逆时针方向旋转120°得到向量��റ
ሬሬሬሬ.
(1)求点C 对应的复数�0；
(2)已知点B 对应的复数z 满足�−�0 = 1，且��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ
= 120°，求复数z.
题型六：三角表示下复数的乘方与开方
1.计算：−1 +
3i
10 =（
）．
A．1024 −1024 3i；
B．−1024 + 1024 3i；
C．512 −512 3i；
D．−512 + 512 3i．
2.计算cos
π
4 + isin
π
4
−4
=（
）
A．1
B．−1
C．i
D．−i
3.在复平面内，复数�= �+ �i(�, �∈�)对应向量为��റ
ሬሬሬሬ（�为坐标原点），设|��റ
ሬሬሬሬ| = �，以射线��为始边，��
为终边逆时针旋转所得的角为�，则�= �(cos�+ isin�)，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：�1 =
�1 cos�1 + isin�1 ，�2 = �2 cos�2 + isin�2 ，则�1�2 = �1�2 cos �1 + �2 + isin �1 + �2
，由棣莫弗定理
导出了复数乘方公式：��= [�(cos�+ isin�)]�= ��(cos��+ isin��) �∈�∗，则( −1 +
3i)10 =（
）
A．1024 −1024 3i
B．−1024 + 1024 3i
C．512 −512 3i
D．−512 + 512 3i
4.棣莫弗公式(cos�+ isin�)�= cos��+ isin��（其中i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754 年）
发现的，根据棣莫弗公式可知，复数cos
�
6 + isin
�
6
7
在复平面内所对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
模块三：综合巩固
1.已知i 为虚数单位，�1 =
2 cos60° + isin60° ，�2 = 2 2 sin30° −icos30° ，则�1 ⋅�2等于（
）
A．4 cos90° + isin90°
B．4 cos90° + isin90°
C．4 cos30° −isin30°
D．4 cos0° + isin0°
2．欧拉公式
ie
cos
isin
x
x
x
是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立
了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的
是（
）
A．复数
πi
2
e
为实数
B．
ie 对应的点位于第二象限
C．
ie
sin
icos
2
x
x
x
D．
ie
3
i
x
的最大值为1
3．（多选）已知复数
1
1
3i
z
，其在复平面内对应点A ，下列说法中正确的是（
）
A．复数
1z 的三角形式为
1
π
π
2 sin
icos
6
6
z
B．在复平面内将点A 绕坐标原点O逆时针旋转π
3 后到达点B ，点B 所对应的复数
2
1
3i
z
C．在复平面内将点A 绕坐标原点O顺时针旋转π
2 后到达点C ，点C 所对应的复数为
3z ，则
1
3
0
z
z
D．
2
3
3
1 i
2
2
z
z
4．已知复数
3
1 i
z
m
m
已在复平面内对应的点在第一象限，i 是虚数单位.
（1）求实数m 的取值范围
（2）当
2
m 时，求复数z 的三角表示
（3）若复平面内，向量OZ
对应（2）中的复数z ，把OZ
绕点O顺时针方向旋转60得到
1
OZ
，求向量
1
OZ
对应的复数
1z （结果用代数形式表示）
