6.10 平面向量中的奔驰定理以及三角形四心
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：四心的概念介绍............................................................. 2
考点二：奔驰定理以及四心的向量式...............................................2
考点三：奔驰定理与三角形四心向量式............................................2
考点四：四心常用结论与技巧....................................................... 3
考点五：爪子定理应用及解题技巧..................................................4
考点六：系数和（等和线）的应用..................................................5
考点七：极化恒等式的应用.......................................................... 6
模块二：题型分类.........................................................................6
题型一：重心定理及其应用.......................................................... 6
题型二：内心定理及其应用........................................................ 11
题型三：外心定理及其应用........................................................ 13
题型四：垂心定理及其应用........................................................ 15
题型五：三角形四心辨别........................................................... 16
题型六：三角形面积比问题........................................................ 25
题型七：爪子定理应用.............................................................. 30
题型八：系数和（等和线）的应用................................................33
题型九：极化恒等式的应用及解题技巧..........................................38
模块三：综合巩固....................................................................... 40
6.10 平面向量中的奔驰定理以及三角形四心
模块一：基础知识
考点一：四心的概念介绍
1.重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
2.内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
3.外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
4.垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
考点二：奔驰定理以及四心的向量式
已知O 是△ABC 内的一点，△BOC 、△AOC 、△AOB 的面积分别为SA 、SB 、SC ，则满足
0
OC
S
OB
S
OA
S
C
B
A
证明：已知O 是
ABC
内的一点，
AOB
AOC
BOC
,
,
的面积分别为
A
S
，
B
S
，
C
S
，求证：
0
OC
S
OB
S
OA
S
C
B
A
【解答】如图，延长OA 与BC 边相交于点D 则
B
C
COD
ACD
BOD
ABD
COD
BOD
ACD
BD
S
S
DC
BD
S
S
S
S
S
S
S
S A
OD
BC
DC OB BC
BD OC
C
B
B
S
S
S
OB
C
B
C
S
S
S
OC
C
B
A
COA
BOA
COD
BOD
COA
COD
BOA
BOD
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
OA
OD
C
B
A
S
S
S
OD
OA
C
B
A
S
S
S
OA
C
B
B
S
S
S
OB
C
B
C
S
S
S
OC
0
OC
S
OB
S
OA
S
C
B
A
推论:O 是ABC
平面内的一点，且
0
OC
OB
OA
z
y
x
，则
:
:
:
:
BOC
COA
AOB
S
S
S
x
y
z
②
BOC
ABC
S
x
S
x
y
z
△
△
考点三：奔驰定理与三角形四心向量式
1、O 是ABC
的重心
1:
1:
1
:
:
AOB
COA
BOC
S
S
S
0
OC
OB
OA
2、O 是ABC
的内心
c
b
a
S
S
S
AOB
COA
BOC
:
:
:
:
0
OC
OB
OA
c
b
a
3、O 是ABC
的外心
C
B
A
S
S
S
AOB
COA
BOC
2
sin
:
2
sin
:
2
sin
:
:
0
2
sin
2
sin
2
sin
OC
C
OB
B
OA
A
4、O 是ABC
的垂心
C
B
A
S
S
S
AOB
COA
BOC
tan
:
tan
:
tan
:
:
0
tan
tan
tan
OC
C
OB
B
OA
A
证明：如图O 为三角形的垂心，
DB
CD
B
AD
CD
A
tan
,
tan
AD
DB
B
A
:
tan
:
tan
COA
BOC S
S
:
AD
DB :
B
A
S
S
COA
BOC
tan
:
tan
:
同理得
C
B
S
S
AOB
COA
tan
:
tan
:
，
C
A
S
S
AOB
BOC
tan
:
tan
:
C
B
A
S
S
S
AOB
COA
BOC
tan
:
tan
:
tan
:
:
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
考点四：四心常用结论与技巧
1.若O 为△ABC 重心
（1）
1:
1:
1
:
:
AOB
COA
BOC
S
S
S
；
（2）
0
OA
OB
OC
；
（3）动点P 满足
(
)
OP
OA
AB
AC
，
(0
)
，
，则P 的轨迹一定通过
ABC
△
的重心
（4）动点P 满足
sin
sin
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，
0
（，
），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心
（5）重心坐标为：
3
3
A
B
C
A
B
C
x
x
x
y
y
y
，
.
2.若O 为△ABC 垂心
（1）OA OB
OB OC
OC OA
（2）
2
2
2
2
2
2
OA
BC
OB
CA
OC
AB
（3）动点P 满足
cos
cos
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，
(0
)
，
，则动点P 的轨迹一定通过
ABC
△
的垂
心
（4）
:
:
tan
: tan
: tan
BOC
COA
AOB
S
S
S
A
B
C
△
△
△
（5）
0
tan
tan
tan
OC
C
OB
B
OA
A
.
3.若O 为△ABC 内心
（1）
:
:
: :
BOC
COA
AOB
S
S
S
a b c
△
△
△
（2）
•
•
•
0
OA
OB
OC
a
b
c
（3）动点P 满足
|
|
|
|
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，
[0,
),
则P 的轨迹一定通过△ABC 的内心
（4）
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC
AB
BC
BA
CA
CB
OA
OB
OC
AC
AB
BC
CA
CB
BA
4.若O 为△ABC 外心
（1）
2
2
2
OA
OB
OC
；
（2）动点P 满足
2
cos
cos
OB
OC
AB
AC
OP
AB
B
AC
C
，
(0
)
，
，则动点P 的轨迹一定通过
ABC
△
的
外心；
（3）若
0
OA
OB
AB
OB
OC
BC
OA
OC
AC
，则O 是
ABC
△
的外心；
（4）
:
:
sin 2
:sin 2
:sin 2
BOC
COA
AOB
S
S
S
A
B
C
△
△
△
；
（5）
0
2
sin
2
sin
2
sin
OC
C
OB
B
OA
A
.
考点五：爪子定理应用及解题技巧
形如AD
xAB
yAC
条件的应用（“爪子定理”）
“爪”字型图及性质：
（1）已知
,
AB AC
为不共线的两个向量，则对于向量AD
，必存在,x y ，使得
AD
xAB
yAC
。则
, ,
B C D 三点共线
1
x
y
当0
1
x
y
，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间
当
1
x
y
，则D 与A 位于BC 两侧
1
x
y
时，当
0,
0
x
y
，则D 在线段BC 上；当
0
xy
，则D 在线段BC 延长线上
（2）已知D 在线段BC 上，且
:
:
BD
CD
m n
，则
n
m
AD
AB
AC
m
n
m
n
考点六：系数和（等和线）的应用
如图，P 为AOB
所在平面上一点，过O 作直线/ /
l
AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y
R
，使得
OP
xOA
yOB
下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x
y
的值
①若P
l
时，则射线OP 与l 无交点，由/ /
l
AB 知，存在实数，使得OP
AB
而AB
OB
OA
，所以OP
OB
OA
，于是
= - =0
x
y
②若P
l
时，
（i）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作
/ /
CD
AB ，交射线OA
OB
，
于
,
C D 两点，则
OCD
OAB
，不妨设OCD
与OAB
的相似比为k
由
,
P C
D
，
三点共线可知：存在
R
使得：
(1
)
(1
)
OP
OC
OD
k OA
k
OB
所以
(1- )
x
y
k
k
k
（ii）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1 作P 关于O 的对称点P，由（i）
的分析知：存在存在
R
使得：
(1
)
(1
)
OP
OC
OD
k OA
OB
所以
-
-(1
)
OP
k OA
OB
于是
-
- (1- )
-
x
y
k
k
k
综合上面的讨论可知：图中OP
用
,
OA OB
线性表示时，其系数和x
y
只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。
因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O 作AB 边的垂线l，
设点P 在l上的射影为P，直线l交直线AB 于点
1P ，则
1
|
|
|
|
|
|
OP
k
OP
( k 的符号由点P 的位置确定)，因
此只需求出|
|
OP的范围便知x
y
的范围
考点七：极化恒等式的应用
极化恒等式
2
2
(
)
(
)
4
a
b
a
b
a b
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1
4 ，
恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形ABCD 中,
,
AB
a AD
b
则
2
2
(
)
(
)
4
AB
AD
AB
AD
a b
在上述图形中设平行四边形ABCD 对角线交于M
点, 则对于三角形来说:
2
2
2
2
(
)
(
)
|
|
|
|
4
4
AB
AD
AB
AD
DB
a b
AM
模块二：题型分类
题型一：重心定理及其应用
1.如图，在ABC
中，中线AD、BE、CF 相交于点G，点G 称为ABC
的重心，那么
:
AG GD 是（
）
A．3∶2
B．2∶1
C．3∶1
D．4∶3
【答案】B
【解析】因为AD 为ABC
的中线，所以
1
1
2
2
AD
AB
AC
，
设AG
mGD
，则
1
m
AD
AG
m
，
故
1
1
1
2
2
m
AG
AB
AC
m
，所以
2
1
2
1
m
m
AG
AB
AC
m
m
，
因为
2
AC
AE
，所以
2
1
1
m
m
AG
AB
AE
m
m
，
因为, ,
B G E 三点共线，可设BG
nBE
，则
AG
AB
n AE
AB
，
故
1
AG
nAE
n AB
，
故
,
1
2
1
1
m
m
n
n
m
m
，相加得
1
2
1
1
m
m
m
m
，
解得
2
m
，故
:
2 :1
AG GD
.
故选：B
2.若O是ABC
内一点，
0
OA
OB
OC
，则O是ABC
的（
）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
【答案】D
【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答.
【详解】取线段AB 的中点D ，连接OD ，则
2
OA
OB
OD
，而
0
OA
OB
OC
，
因此
2
CO
OD
，即
,
,
C O D 三点共线，线段CD 是ABC
的中线，且O是靠近中点D 的三等分点，
所以O是ABC
的重心.
故选：D
3.已知点O 是边长为2 的正三角形ABC 的重心，则OB OC
（
）
A．
1
6
B．
2
3
C．
1
2
D．
5
6
【答案】B
【解析】记BC 的中点为D，
因为
2
2
2
2
2
1
3
AD
AB
BD
，
由正三角形性质可知，
2
2 3
3
3
OB
OC
OA
AD
，
因为
π
3
A
，O 为ABC
的外接圆圆心，
所以
2π
2
3
BOC
A
，
所以
2 3
2 3
2π
2
cos
3
3
3
3
OB OC
.
故选：B
4.若O 在△ABC 所在的平面内，a，b，c 是△ABC 的三边，满足以下条件
0
a OA
b OB
c OC
,则O 是△ABC 的（
）
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心
【答案】B 奔驰定理
5.设G 为ABC
的重心，则
2
3
GA
GB
GC
（）
A．0
B．AC
C．BC
D．AB
【答案】B
【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.
【详解】因为G 为ABC
重心，
所以
0
GA
GB
GC
，
所以
2
3
2
2
2
GA
GB
GC
GA
GB
GC
AG
GC
AC
，
故选：B.
6.已知O是平面上一定点，
,
,
A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
(
)
OP = OA+
AB+ AC
，
(0
)
，
，则P 的轨迹一定通过ABC
的（）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
【答案】A
【详解】
由题意
(
)
AP
AB
AC
，当
(0
)
，
时，由于(
)
AB
AC 表示BC 边上的中线所在直线的向量，∴
动点P 的轨迹一定通过ABC
的重心，如图，故选A．
7.在平行四边形ABCD中，E 是BC 的中点，F 是CD 的中点，DE 与BF 相交于点G ，则
AG
（
）
A．2
2
3
3
AB
AD
B．2
1
3
3
AB
AD
C．1
1
3
3
AB
AD
D．1
2
3
3
AB
AD
【答案】A
【分析】根据题意可知：G 为
BCD
△
的重心，结合向量的线性运算结合重心的性质分析求解.
【详解】设AC
BD
O
，
由题意可知：G 为
BCD
△
的重心，且O为AC 的中点，
可知
,
,
,
A O G C 四点共线，且
3
AO
OC
OG ，
所以
2
2
3
3
2
2
3
3
uuur
uuur
uuur
uuu
uuur
uuur
r
AG
A
AB
AD
C
AB
AC
.
故选：A.
8.(多选)设点M 是ABC
所在平面内一点，则下列说法正确的是（
）
A．若
1
1
2
2
AM
AB
AC
，则点M 是BC 的中点
B．若AM
BM
CM
，则点M 是ABC
的重心
C．若
2
AM
AB
AC
，则点M，B，C 三点共线
D．若
1
3
BM
BC
，则
2
1
3
3
AM
AB
AC
【答案】ACD
【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及ABC
重心的性质，逐项判定，即可求解．
【详解】对于A 中，如图所示，根据向量的平行四边形法则，可得
2
AB
AC
AE
AM
，
若
1
1
2
2
AM
AB
AC
，可得M 为BC 的中点，所以A 正确；
对于B 中，若M 为ABC
的重心，则满足
0
AM
BM
CM
，
即AM
BM
CM
，所以B 不正确；
对于C 中，由
2
AM
AB
AC
，可得
AB
AB
AC
AM
，即BM
CB
，
所以M，B，C 三点共线，所以C 正确；
对于D 中，如图所示，由
1
3
BM
BC
，
可得
1
1
2
1
3
3
3
3
AM
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
，所以D 正确．
故选：ACD
9.已知O为三角形ABC 所在平面内一点，
0
OA
OB
OC
，则
:
OBC
ABC
S
S
（
）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
5
【答案】B
【分析】题目考察三角形四心的问题，易得：O为三角形的重心，位于中线的三等分点处，从而求出三角
形面积的比例关系
【详解】
如图所示，由
0
OA
OB
OC
得：O为三角形ABC 的重心，是中线的交点，
且
2
3
AO
AD
=
，所以，
1
:
3
OBC
ABC
h
h
，底边为BC ，
所以，
1
:
:
3
OBC
ABC
OBC
ABC
h
S
S
h
故选：B
10.【后面有专题练习】设O 点在ABC
内部，且有3
2
0
OA
OB
OC
，则AOC
的面积与AOB
的面积
的比值为（
）
A．2
B．
3
C．
2
D．3
【答案】A
【分析】先设
1
1
1
3
,
2
,
OA
OA OB
OB OC
OC
，于是得到点O 是
1
1
1
A B C
△
的重心，则
1 1
1 1
1 1
OA B
OA C
OB C
S
S
S
k，再结合三角形面积公式即可求出AOC
的面积与AOB
的面积，进而得到答案.
【详解】不妨设
1
1
1
3
,
2
,
OA
OA OB
OB OC
OC
，如图所示，
根据题意则
1
1
1
+
=0
OA
OB
OC
，即点O 是
1
1
1
A B C
△
的重心，
取
1
1
B C 的中点E ，连接OE ，则
1,
,
A O E 三点共线，且
1
1
3
OE
A E
，
所以
1
1
1
A B C
△
边
1
1
B C 上的高是
1
1
OB C
V
边
1
1
B C 上的高的3倍，
1 1 1
1 1
3
A B C
OB C
S
S
，即
1 1
1 1 1
1
3
OB C
A B C
S
S
，
同理可得：
1
1
1 1 1
1
3
OA B
A B C
S
S
，
1 1
1 1 1
1
3
OA C
A B C
S
S
，
所以有
1 1
1 1
1 1
OA B
OA C
OB C
S
S
S
k，
又因为
1
1
1
1
1
1
3
2
6
3
3
AOB
AOC
A OB
A OC
S
S
OA OB
OA OC
S
OA
OB
S
OA OC
，
，
那么
1
1
6
3
AOB
AOC
S
k
S
k
，
，
故AOC
的面积与AOB
的面积的比值为
1
3
2
1
6
k
k
.
故选：A.
11.已知O是平面上一定点，A B
C
，，
是平面上不共线的三个点，动点P 满足
(
)
OP
OA
AB
AC
，
(0
)
，
，则P 的轨迹一定通过
ABC
△
的(
).
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
A.【解析】
(
)
(
)
OP
OA
AB
AC
AP
AB
AC
题型二：内心定理及其应用
1.已知点O是ABC
所在平面上的一点，ABC
的三边为, ,
a b c ，若
0
aOA bOB cOC
，则点O是ABC
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】B
【解析】在AB ，AC 上分别取点D ，E ，使得
AB
AD
c
，
AC
AE
b
，则
1
AD
AE
．
以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，如图，
则四边形ADFE 是菱形，且
AB
AC
AF
AD
AE
c
b
．
AF
为
BAC
的平分线．
0
aOA bOB cOC
(
)
(
)
0
a OA b
OA
AB
c
OA
AC
，
即(
)
0
a
b
c OA b AB c AC
，
(
)
b
c
bc
AB
AC
bc
AO
AB
AC
AF
a
b
c
a
b
c
a
b
c
c
b
a
b
c
．
A
，O，F 三点共线，即O在
BAC
的平分线上．
同理可得O在其它两角的平分线上，
O
是ABC
的内心．
故选：B．
2.已知ABC
所在的平面上的动点P 满足AP
AB AC
AC AB
，则直线AP 一定经过ABC
的（
）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
【答案】C
【解析】因为
|
|
|
|
AP
AB AC
AC AB
1
1
|
||
| (
)
|
|
|
|
AP
AB
AC
AC
AB
AC
AB
，
根据平行四边形法则知
1
1
|
|
|
|
AC
AB
AC
AB
表示的向量在三角形角A 的平分线上，
而向量AP
与
1
1
|
|
|
|
AC
AB
AC
AB
共线，
P
点的轨迹过ABC
的内心.
故选：C ．
3.设O为ABC
的内心，
5
AB
AC
，
8
BC ，
,
AO
mAB
nAC m n
R
，则m
n
（
）
A．2
3
B．5
9
C．3
5
D．2
5
【答案】B
【解析】取BC 的中点E ，连AE ，
因为
5
AB
AC
，
8
BC ，所以AE
BC
，
2
2
5
4
3
AE
，
所以ABC
的内心O在线段AE 上，OE 为内切圆的半径，
因为
ABC
AOB
AOC
BOC
S
S
S
S
，
所以
1
1
2
2
AE BC
OE
AB
AC
BC
，
所以
1
1
3 8
5
5
8
2
2 OE
，得
4
3
OE
，
所以
4
5
3
3
3
AO
AE
OE
，
所以
5
9
AO
AE
，
又
1
2
AE
AB
AC
，所以
5
5
18
18
AO
AB
AC
，
又已知AO
mAB
nAC
，所以
5
18
m
n
，
所以
5
9
m
n
.
故选：B.
题型三：外心定理及其应用
1.已知O 为ABC
的外心，
4
AB =
uuur
，则AO AB
（
）
A．8
B．10
C．12
D．1
【答案】A
【解析】如图，O 为ABC
的外心，过O作OE
AB
于E
因为OE
AB
，所以
1
2
AE
AB
则
2
2
1
1
cos
4
8
2
2
AE
AO AB
AO
AB
BAO
AO
AB
AB
AO
.
故选：A.
2.在ABC
中，O 是三角形的外心，过点B 作BG
AO
于点G，
4
AB
，则AO AG
（
）
A．4
B．8
C．12
D．16
【答案】B
【解析】如图，
(
)
AO AG
AO AB BG
AO AB
AO BG
,
因为
0
BG
AO
AO BG
,
所以AO AG
AO AB
，
又因为O是三角形的外心，
所以
1
|
| cos
|
|
2
AO
BAO
AB
,
所以
2
1
1
cos
|
16
8
2
2
AO AG
AO AB
AB AO
BAO
AB
.
故选：B
3.已知ABC
中，
60
A
，
6
AB
，
4
AC
，O为ABC
的外心，若AO
AB
AC
，则
的值为
（
）
A．1
B．2
C．11
18
D．1
2
【答案】C
【解析】由题意可知，O为ABC
的外心，设外接圆半径为r ，
在圆O中，过O作OD
AB
，OE
AC
，垂足分别为D ，E ，
则D ，E 分别为AB ，AC 的中点，
因为AO
AB
AC
，两边乘以AB
，即
2
AO AB
AB
AC AB
，
,
AO AB
的夹角为
OAD
，而
6
3
2
cos
AD
OAD
AO
r
r
，
则
3
1
6
36
4 6
2
r
r
，得6
2
3
①，
同理AO
AB
AC
两边乘AC
，即
2
AO AC
AB AC
AC
，
2
cos
OAC
r
，
则
2
1
4
6
4
16
2
r
r
，得3
4
2
②，
①②联立解得
4
9
λ
，
1
6
，
所以
4
1
11
9
6
18
．
故选：C．
题型四：垂心定理及其应用
1.在ABC
中，若HA HB
HB HC
HC HA
，则点H 是ABC
的（
）
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心
【答案】A
【解析】因为HA HB
HB HC
，则
0
HB
HA
HC
HB CA
uuur
uuur
uuur
uuur uur
，
所以HB
CA
uuur
uur ，即点H 在边CA 的高线所在直线上，
同理可得：
,
HA
CB HC
AB
uuur
uur uuur
uuur
，
所以点H 为ABC
的三条高线的交点，即点H 是ABC
的垂心.
故选：A.
2.在ABC
中，AB＝5，AC＝6，D 是BC 的中点，H 是ABC
的垂心，则DH BC
.
【答案】
11
2
【解析】因为H 是ABC
的垂心，可得AH
BC
，所以
=0
AH BC
.
又因为D 是BC 的中点，可得AD 是中线，所以
1
= 2
AD
AB
AC
.
从而
DH BC
AH
AD
BC
AH BC
AD BC
AD BC
1
2 AB
AC
AC
AB
2
2
1 (
)
2 AB
AC
25
36
2
11
2
.
故答案为：
11
2
3.O是ABC
所在平面上的一定点，动点P 满足
(
)
|
| cos
|
| cos
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，
[0
，
)
，则点P
形成的图形一定通过ABC
的
．（填外心或内心或重心或垂心）
【答案】垂心
【解析】
(
)
|
|
|
| 0
|
| cos
|
| cos
AB
AC
BC
BC
BC
AB
B
AC
C
，
BC
与
(
)
|
| cos
|
| cos
AB
AC
AB
B
AC
C
垂直，
(
)
|
| cos
|
| cos
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，
点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC
的垂心.
故答案为：垂心．
题型五：三角形四心辨别
1．已知点P 是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：
甲：PA PB PC
0
；
乙：PA (PA
PB)
PC (PA
PB)
；
丙：PA
PB
PC
；
丁：PA PB
PB PC
PC PA
．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】B
【解析】
甲：P 为△ABC 的重心；
乙：
PA PC (PA PB)=0
CA BA=0
，即△ABC 为Rt△；
丙：P 为△ABC 的外心；
丁：P 为△ABC 的垂心（投影转换）
则△ABC 为等边三角形时，三心重合，故选B.
2.已知O，N，P，I 在ABC
所在的平面内，则下列说法不正确的是（
）
A．若OA
OB
OC
，则O 是ABC
的外心
B．若
0
CB IA
AC IB
BA IC
，则I 是ABC
的内心
C．若PA PB
PB PC
PC PA
，则P 是ABC
的垂心
D．若
0
NA
NB
NC
，则N 是ABC
的重心
【答案】B
【解析】对于选项A：若OA
OB
OC
，即O到
,
,
A B C 的距离相等，
根据外心的定义可知：O 是ABC
的外心，故A 正确；
对于选项B：若
0
CB IA
AC IB
BA IC
，则
,
,
CB
IA AC
IB BA
IC
，
即I 是三边高线的交点，所以I 是ABC
的垂心，故B 错误；
对于选项C：若PA PB
PB PC
，
则
0
PA PB
PB PC
PA
PC
PB
C
PB
A
uur uur
uur uuur
uur
uuur
uur
uur uur
，即CA
PB
，
同理可得：
,
PA
CB PC
AB
，由选项B 可知：P 是ABC
的垂心，故C 正确；
对于选项D：若
0
NA
NB
NC
，则
2
0
NA
NB
NC
ND
NC
uur
uuur
uuu
uuur
uuur
r
r （D 为AB 的中点），
即
2
NC
ND
uuur
uuur ，根据重心的性质可知：N 是重心，故D 正确；
故选：B.
3.瑞士数学家欧拉在1765 年发表了一个令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直
线称为欧拉线．其中重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．已知M，N，P 分别为ABC
的外心、
重心、垂心，则下列结论错误的是（
）
A．MA
MB
MC
B．
2
NP
MN
C．
0
NA
NB
NC
D．PA PB
PB PC
PC PA
【答案】A
【解析】点M 是ABC
的外心，则|
| |
| |
|
MA
MB
MC
，A 错误；
如图，由欧拉线定理得
2
NP
MN
，B 正确；
点N 为ABC
的重心，延长AN 交BC 于D ，则D 是BC 的中点，
于是
2
NA
ND
NB
NC
，则
0
NA
NB
NC
，C 正确；
点P 是ABC
的垂心，由PA
BC
，得
(
)
0
PA BC
PA
PC
PB
PA PC
PA PB
，
即PA PC
PA PB
，由PB
AC
，同理得PA PB
PB PC
，
因此PA PB
PB PC
PC PA
，D 正确.
故选：A
4.若O 是△ABC 所在平面上一定点，H，N，Q 在△ABC 所在平面内，动点P 满足
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，
0,
，则直线AP 一定经过ABC
的____心，点H 满足HA
HB
HC
，则H 是ABC
的____心，
点N 满足
0
NA
NB
NC
，则N 是ABC
的____心，点Q 满足
·
·
·
QAQB
QB QC
QC QA
，则Q 是ABC
的____心，下列选项正确的是（
）
A．外心，内心，重心，垂心
B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心
D．外心，重心，垂心，内心
【答案】B
【解析】
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，变形得到
AB
AC
AP
AB
AC
，
其中
,
AB
AC
AB
AC
分别代表
,
AB AC
方向上的单位向量，
故
AB
AC
AB
AC
所在直线一定为
BAC
的平分线，
故直线AP 一定经过ABC
的内心，
HA
HB
HC
，即点H 到ABC
三个顶点相等，故点H 是ABC
的外心，
因为
0
NA
NB
NC
，所以NA
NB
NC
，
如图，取AB 的中点D ，连接ND ，
则
2
NA
NB
ND ，所以
2
NC
ND
uuur
uuur ，
故
,
,
C N D 三点共线，且
2
CN
ND
，
所以N 是ABC
的重心，
由
·
·
QAQB
QB QC
可得
0
·
·
·
·
QAQB
QB QC
QA
QC QB
CAQB
，
故
B
C
Q
A
，同理可得
,
QA
QC
CB
BA
，
故Q 为ABC
三条高的交点，Q 为ABC
的垂心.
故选：B
5.已知点N ，O，P 在ABC
所在平面内，且
3
PA
PB
PC
PN
，
2
2
2
OA
OB
OC
，
PA PB
PB PC
PC PA
，则点N ，O，P 依次是ABC
的（
）
A．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D．外心、重心、内心
【答案】A
【解析】由
3
PA
PB
PC
PN
，得
0
PA
PN
PB
PN
PC
PN
，
所以
0
NA
NB
NC
，设AB 的中点为D ，连接ND ，则
2
NA
NB
ND ，
所以
2
NC
DN
，所以点N 在AB 边上的中线上，同理可得N 也在
,
AC BC 的中线上，
所以点N 是ABC
的重心，
由
2
2
2
OA
OB
OC
，得OA
OB
OC
，所以O到ABC
的三个顶点的距离相等，所以O为ABC
的外
心，
由PA PB
PB PC
PC PA
，得
0
PB
PA
PC
，所以
0
PB CA
，
所以PB
CA
，所以PB
AC
，同理得PC
AB
，所以P 为ABC
的垂心，
故选：A
6.点
,
,
O G P 为ABC
所在平面内的点，且有
2
2
2
2
2
2
OA
BC
OB
CA
OC
AB
，
0
GA
GB
GC
，
0
PA
PB
AB
PB
PC
BC
PC
PA
CA
，则点
,
,
O G P 分别为ABC
的（
）
A．垂心，重心，外心
B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心
D．外心，垂心，重心
【答案】A
【解析】由
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
|
|
OA
BC
OB
CA
，得
2
2
2
2
OA
OB
CA
BC
，
即
OA
OB
OA
OB
CA
BC
CA
BC
，
则
OA
OB BA
BA
CA
CB
，
得
0
OA
OB
CA
CB
BA
所以2
0
OC BA
，则OC
AB
，同理可得OA
BC
，OB
AC
，
即O是ABC
三边上高的交点，则O为ABC
的垂心；
由
0
GA
GB
GC
，得GA
GB
GC
，
设AB 的中点为M ，则
2G
GA
M
GC
GB
，即G ，M ，C 三点共线，
所以G 在ABC
的中线CM 上，同理可得G 在ABC
的其余两边的中线上，
即G 是ABC
三边中线的交点，故G 为ABC
的重心；
由
0
PA
PB
AB
，得2
0
PM AB
，即PM
AB
⊥
，
又M 是AB 的中点，所以P 在AB 的垂直平分线上，
同理可得，P 在BC ，AC 的垂直平分线上，
即P 是ABC
三边垂直平分线的交点，故P 是ABC
的外心，
故选：A
7.M 为△ABC 所在平面内一点，且
2
2
2BM CA
BA
BC
，则动点M 的轨迹必通过△ABC 的（
）
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心
【答案】C
【解析】设边AC 的中点为D ，
因为
2
2
2BM CA
BA
BC
，
所以
2BM CA
BA
BC
BA
BC
，
所以2
2
BM CA
BD CA
，
所以
0
BM
BD
CA
，
所以
0
DM CA
，
所以DM
CA
，又点D 为边AC 的中点，
所以点M 在边AC 的垂直平分线上，
所以动点M 的轨迹必通过△ABC 的外心，
故选：C.
8.已知O为ABC
所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足
1
OP
OD
OC
R
，则点P 的
轨迹一定过ABC
的（
）
A．内心
B．垂心
C．重心
D．AC 边的中点
【答案】C
【解析】由动点P 满足
1
R
OP
OD
OC
，且1
1
，
所以
,
,
P C D 三点共线，
又因为D 为
,
A B 的中点，所以CD 为ABC
的边AB 的中线，
所以点P 的轨迹一定过ABC
的重心.
故选：C.
9.在ABC
中，动点P 满足
2
2
2
CA
CB
AB CP
，则P 点轨迹一定通过ABC
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】A
【解析】因为
2
2
2
CA
CB
AB CP
，
所以
2
2
2
(
) (
)
(
)
AB CP
CB
CA
CB
CA
CB
CA
AB
CB
CA
，
所以
(2
)
(
)
0
AB
CP
CB
CA
AB
BP
AP
，
设AB 的中点为E ，则
2
BP
AP
EP
，则
2
0
AB
EP
，
所以AB
EP
^
，所以点P 在线段AB 的中垂线上，故点P 的轨迹过ABC
的外心.
故选：A
10.已知O 是平面上的一个定点，A､B､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足
AB
AC
OP
OA
AB
AC
R
，则点P 的轨迹一定经过ABC
的（
）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
【答案】C
【解析】因为
AB
AB
为AB
方向上的单位向量，
AC
AC
uuur
uuur 为AC
方向上的单位向量，
则|
|
|
|
AB
AC
AB
AC
的方向与
BAC
的角平分线一致，
由
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，可得
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，
即
AB
AC
AP
AB
AC
，
所以点P 的轨迹为
BAC
的角平分线所在直线，
故点P 的轨迹一定经过ABC
的内心.
故选：C.
11.已知O是ABC
所在平面内一点，且点O满足
0
AB
AC
BA
BC
CA
CB
OA
OB
OC
AB
AC
BA
BC
CA
CB
则点O一定ABC
的（
）
A．外心
B．重心
C．内心
D．垂心
【答案】C
【解析】因为
0
AB
AC
OA
AB
AC
，所以
AB
AC
OA
OA
AB
AC
，
即
cos(
)
cos(
)
AB
AC
OA
OAB
OA
OAC
AB
AC
，
即可得
OAB
OAC
，即OA 是
BAC
的角平分线；
同理可得OB 是
ABC
的角平分线，OC 是
ACB
的角平分线,
所以点O为ABC
三条角平分线的交点，即点O是ABC
的内心.
故选：C
12.若ABC
所在平面内一点P 满足
0
PA
PB
PC
uur
uur
uuur
r ，则P 是ABC
的（
）．
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
【答案】C
【解析】设AB 中点为D，
由
0
PA
PB
PC
uur
uur
uuur
r 可得
(
)
2
PC
PA
PB
PD
uuur
uur
uur
uuur
，
即点
,
,
C P D 共线，且
2
PC
PD
，则P 为ABC
的重心.
故选：C
13.（多选）设点O 是ABC
所在平面内一点，则下列说法正确的是（
）
A．若
0
OA
OB
OC
，则O 为ABC
的重心；
B．若(
)
(
)
0
OA
OB
AB
OB
OC
BC
，则O 为ABC
的垂心；
C．若
1
(
)
0,
2
|
|
|
|
|
| |
|
AB
AC
BA
BC
BC
AB
AC
BA
BC
，则ABC
为等边三角形；
D．若
2
3
0
OA
OB
OC
，则△BOC 与△ABC 的面积之比为
:
1:6
BOC
ABC
S
S
△
△
．
【答案】ACD
【解析】对于A，如图，取AB 边中点D ，连接AB 边上的中线CD ，则
2
OA
OB
OD
，
又∵
0
OA
OB
OC
，∴
0
2
OC
OD
，∴
2
OC
OD
，
∴O为ABC
的重心，故选项A 正确；
对于B，如图，取AB 边中点D ，BC 边中点E ，连接OD，OE ，
则
2
OA
OB
OD
，
2
OB
OC
OE
，
∵
0
OA
OB
AB
OB
OC
BC
，∴
0
2
2
OD
B
OE
AB
C
，
∴
0
OD
OE
AB
BC
，∴OD
AB
，OE
BC
，∴OD
AB
，OE
BC
，
∴OD ，OE 分别是AB ，BC 边上的垂直平分线，
∴OA
OB
OC
，O为ABC
的外心，故选项B 错误；
对于C，作角A 的内角平分线AE 与BC 边交于点E ，
∵
AB
AB
为AB
方向的单位向量，
AC
AC
uuur
uuur 为AC
方向的单位向量，
∴
AB
AC
AE
AB
AC
（
0
），∴
0
AB
AC
BC
AE BC
AB
AC
（
0
），
∴AE
BC
，∴AE
BC
，∴AC
AB
，ABC
为等腰三角形，
又∵
1
cos
2
BA
BC
BA BC
B
BA
BC
BA BC
，且
0, π
B
，∴
π
3
B
，
∴ABC
为等边三角形，故选项C 正确；
对于D，设
2
OB
OB
，
3
OC
OC
，由
2
3
0
OA
OB
OC
得
0
OA
OB
OC
，
则由选项A 可知，O为
AB C
△
的重心，设
AB C
△
的面积
AB C
S
a
，
∴
1
3
AOC
AOB
B OC
S
S
S
a
，
又∵
1
2
OB
OB
，
1
3
OC
OC
，
∴
1
1
3
9
AOC
AOC
S
S
a
，
1
1
2
6
AOB
AOB
S
S
a
，
1
1
6
18
BOC
B OC
S
S
a
，
∴
1
3
ABC
AOC
AOB
BOC
S
S
S
S
a
，
∴
1
1
:
:
1:6
18
3
BOC
ABC
S
S
a
a
，故选项D 正确.
故选：ACD.
14.（多选）点O为△ABC 所在平面内一点，则（
）
A．若
0
OA
OB
OC
，则点O为△ABC 的重心
B．若
0
AC
AB
BC
BA
OA
OB
AC
AB
BC
BA
，则点O为△ABC 的垂心
C．若
0
OA
OB
AB
OB
OC
BC
．则点O为△ABC 的垂心
D．在ABC
中，设
2
2
2
AC
AB
AO BC
，那么动点O的轨迹必通过△ABC 的外心
【答案】AD
【解析】A．由于
2
OA
OB
OC
OD
，其中D 为BC 的中点，可知O为BC 边上中线的三等分点（靠
近线段BC ），故O为△ABC 的重心；选项A 正确.
B．向量
AC
AC
uuur
uuur ，
AB
AB
，分别表示在边AC 和AB 上取单位向量AC
和
AB ，它们的差是向量B C
，当
0
AC
AB
OA
AC
AB
，即OA
B C
时，则点O在
BAC
的平分线上，同理由
0
BC
BA
OB
BC
BA
，知点
O在
ABC
的平分线上，故O为△ABC 的内心；选项B 错误.
C．
OA OB 是以OA，OB 为边的平行四边形的一条对角线的长，而AB
是该平行四边形的另一条对角线
的长，
0
OA
OB
AB
表示这个平行四边形是菱形，即OA
OB
，同理有OB
OC
，故O为△ABC 的
外心．选项C 错误.
对于D，设M 是BC 的中点，
2
2
2
2
AC
AB
AC
AB
AC
AB
AO BC
AM BC
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur uuur
，
即
0
AO
AM
BC
MO BC
，所以MO
BC
，
所以动点O在线段BC 的中垂线上，故动点O的轨迹必通过△ABC 的外心.选项D 正确.
故选：AD.
题型六：三角形面积比问题
1.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）
的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是ABC
内的一点，
,
,
BOC
AOC
AOB
的
面积分别为
,
,
A
B
C
S
S
S ，则有
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
．设O 是锐角ABC
内的一点，
,
,
BAC
ABC
ACB
分别是ABC
的三个内角，以下命题不正确的有（
）
A．若
0
OA
OB
OC
，则O 为ABC
的重心
B．若
2
3
0
OA
OB
OC
，则
:
:
1: 2:3
A
B
C
S
S
S
C．若
5π
2,
6
OA
OB
AOB
，2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
9
2
ABC
S
D．若O 为ABC
的垂心，则tan
tan
tan
0
BAC OA
ABC OB
ACB OC
【答案】C
【解析】对于A：如下图所示，
假设D 为AB 的中点，连接OD ，则
=2O
OA
O
D
C
B
O
，故
,
,
C O D 共线，即O在中线CD 上，
同理可得O在另外两边
,
BC AC 的中线上，故O 为ABC
的重心，即A 正确；
对于B：
由奔驰定理O 是ABC
内的一点，
,
,
BOC
AOC
AOB
的面积分别为
,
,
A
B
C
S
S
S ，
则有
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
可知，
若
2
3
0
OA
OB
OC
，可得
:
:
1: 2:3
A
B
C
S
S
S
，即B 正确；
对于C：
由
5π
|
| |
| 2,
6
OA
OB
AOB
可知，
1
2 2
5π
6
in
1
s
2
C
S
，
又2
3
4
0
OA
OB
OC
，所以
:
:
2:3: 4
A
B
C
S
S
S
由
1
C
S 可得，
1
3
,
2
4
A
B
S
S
；
所以
1
3
9
1
2
4
4
C
ABC
A
B
S
S
S
S
，即C 错误；
对于D：由四边形内角和可知，
π
BOC
BAC
，则
cos
cos
OB OC
OB OC
BOC
OB OC
BAC
，
同理，
cos
cos
OB OA
OB OA
BOA
OB OA
BCA
，
因为O 为ABC
的垂心，则
(
)
0
OB AC
OB OC
OA
OB OC
OB OA
，
所以
cos
cos
OC
BAC
OA
BCA
，同理得
cos
cos
OC
ABC
OB
BCA
，
cos
cos
OA
ABC
OB
BAC
，
则
:
:
cos
:cos
:cos
OA
OB
OC
BAC
ABC
BCA
，
令
cos
,
cos
,
cos
OA
m
BAC OB
m
ABC OC
m
BCA
，
由
1
sin
2
A
S
OB OC
BOC
，则
2
1
sin
cos
cos
sin
2
2
A
m
S
OB OC
BAC
ABC
BCA
BAC
，
同理：
2
1
sin
cos
cos
sin
2
2
B
m
S
OA OC
ABC
BAC
BCA
ABC
，
2
1
sin
cos
cos
sin
2
2
C
m
S
OA OB
BCA
BAC
ABC
BCA
，
综上，
sin
sin
sin
:
:
:
:
tan
: tan
: tan
cos
cos
cos
A
B
C
BAC
ABC
BCA
S
S
S
BAC
ABC
BCA
BAC
ABC
BCA
，
根据奔驰定理得tan
tan
tan
0
BAC OA
ABC OB
ACB OC
，即D 正确.
故选：C
2.已知O是ABC
内的一点，若
,
,
BOC
AOC
AOB
的面积分别记为
1
2
3
,
,
S S
S ，则
1
2
3
0
S OA
S
OB
S
OC
.
这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是ABC
的垂
心，且
2
3
0
OA
OB
OC
，则tan
: tan
: tan
BAC
ABC
ACB
（
）
A．1: 2:3
B．1: 2 : 4
C．2:3: 4
D．2 :3: 6
【答案】A
【解析】O是ABC
的垂心，延长CO，BO，AO 分别交边AB，AC，BC 于点P，M，N，如图，
则
,
,
CP
AB BM
AC AN
BC
，
,
BOP
BAC
AOP
ABC
，
因此，
1
2
tan
tan
tan
tan
S
BP
OP
BOP
BAC
S
AP
OP
AOP
ABC
，同理
1
3
tan
tan
S
BAC
S
ACB
，
于是得
1
2
3
tan
: tan
: tan
:
:
BAC
ABC
ACB
S
S
S
，
又
2
3
0
OA
OB
OC
，即
1
2
3
3
OC
OA
OB
，由“奔驰定理”有
1
2
3
0
S OA
S
OB
S
OC
，
则
1
2
3
3
S
S
OC
OA
OB
S
S
，而OA
与OB
不共线，有
1
3
1
3
S
S
，
2
3
2
3
S
S
，即
1
2
3
:
:
1: 2:3
S
S
S
，
所以tan
: tan
: tan
1: 2:3
BAC
ABC
ACB
.
故选：A
3.平面上有ABC
及其内一点O，构成如图所示图形，若将OAB
，OBC
△
，
OCA
的面积分别记作
cS ，aS ，
bS ，则有关系式
0
a
b
c
S
OA
S
OB
S
OC
uur
uuur
uuur
r
．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定
理”．已知ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若满足
0
a OA
b OB
c OC
，则O 为ABC
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】B
【解析】由
0
a
b
c
S
OA
S
OB
S
OC
uur
uuur
uuur
r
得
b
c
a
a
S
S
OA
OB
OC
S
S
，
由
0
a OA
b OB
c OC
得
b
c
OA
OB
OC
a
a
，
根据平面向量基本定理可得
b
a
S
b
S
a
，
c
a
S
c
S
a
，
所以
b
a
S
b
S
a
，
c
a
S
c
S
a
，
延长CO交AB 于E ，延长BO 交AC 于F ，
则
|
|
|
|
b
a
S
AE
S
BE
，又
b
a
S
b
S
a
，所以|
|
|
|
AE
b
BE
a
|
|
|
|
AC
BC
，
所以CE 为
ACB
的平分线，
同理可得BF 是
ABC
的平分线，
所以O为ABC
的内心.
故选：B
4.在平面上有ABC
及内一点O 满足关系式：
0
OBC
OAC
OAB
S
OA
S
OB
S
OC
△
△
△
即称为经典的“奔驰定
理”，若ABC
的三边为a，b，c，现有
0
a OA
b OB
c OC
则O 为ABC
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】B
【解析】记点O 到AB、BC、CA 的距离分别为
1
2
3
h
h
h
，，
，
2
1
2
OBC
S
a h
，
3
1
2
OAC
S
b h
，
1
1
2
OAB
S
c h
，
因为
0
OBC
OAC
OAB
S
OA
S
OB
S
OC
△
△
△
，则
2
3
3
1
1
1
=0
2
2
2
a h
OA
b h
OB
c h
OC
，即
2
3
1
0
a h
OA
b h
OB
c h OC
，又因为
0
a OA
b OB
c OC
，所以
1
2
3
h
h
h
，所以点P 是△ABC 的
内心.
故选：B
5.奔驰定理：已知O是ABC
内的一点，BOC
，AOC
，AOB
的面积分别为
A
S ，
B
S ，
C
S ，则
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与
“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三角形ABC 内一点，且满足：
2
3
3
2
OA
OB
OC
AB
BC
CA
，则
AOB
ABC
S
S
△
△
（
）
A．2
5
B．1
2
C．1
6
D．1
3
【答案】D
【解析】
O
为三角形ABC 内一点，且满足
2
3
3
2
OA
OB
OC
AB
BC
CA
，
2
3
3(
)
2(
)
(
)
3
2
0
OA
OB
OC
OB
OA
OC
OB
OA
OC
OA
OB
OC
，
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
．
1
3
AOB
AOB
C
ABC
AOB
BOC
AOC
A
B
C
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
△
△
△
△
△
△
，
故选：D．
题型七：爪子定理应用
1.设D 为ABC
所在平面内一点，且
3
BC
CD
，则（
）
A.
1
4
3
3
AD
AB
AC
B.
1
4
3
3
AD
AB
AC
C.
4
1
3
3
AD
AB
AC
D.
4
1
3
3
AD
AB
AC
解析：由图可想到“爪字形图得：
1
3
4
4
AC
AB
AD
，解得：
1
4
3
3
AD
AB
AC
答案：A
2.如图，在ABC
中，
1
3
AN
NC
，P 是BN 上的一点，若
2
11
AP
mAB
AC
，则实数m 的值为（
）
A.
9
11
B.
5
11
C.
3
11
D.
2
11
解：观察到
, ,
B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得
AP
mAB
nAN
，且
1
m
n
，由
1
3
AN
NC
可得
1
4
AN
AC
，
所以
1
4
AP
mAB
nAC
，由已知
2
11
AP
mAB
AC
可得：1
2
8
4
11
11
n
n
，所以
3
11
m
答案：C
3.在ABC
中，点D 在边AB 上，
2
BD
DA
．记CA
m CD
n
，
，则CB
（
）
A．3
2
m
n
B．2
3
m
n
C．3
2
m
n
D．2
3
m
n
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D 在边AB 上，
2
BD
DA
，所以
2
BD
DA
，即
2
CD CB
CA CD
，
所以CB
3
2
3
2
CD
CA
n
m
2
3
m
n
．
故选：B．
4.在ABC
中，AB
c
，AC
b
．若点D 满足
2
BD
DC
，则AD
（）
A．2
1
3
3
b
c
B．5
2
3
3
c
b
C．2
1
3
3
b
c
D．1
2
3
3
b
c
【答案】A
【详解】试题分析：
，故选A．
5.已知平行四边形ABCD，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB
a
，AD
b
，则EF
等于
（
）
A．
1
2 a
b
B．
1
2 a
b
C．
1
2 b
a
D．1
2 a
b
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结AC ，则AC 为ABC
的中位线，
1
1
1
2
2
2
EF
AC
a
b
，
故选：A
6.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB
A．3
1
4
4
AB
AC
B．1
3
4
4
AB
AC
C．3
1
4
4
AB
AC
D．1
3
4
4
AB
AC
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得
1
1
2
2
BE
BA
BD
，之后应用向
量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC
BA
AC
，之后将其合并，得到
3
1
4
4
BE
BA
AC
，下一步
应用相反向量，求得
3
1
4
4
EB
AB
AC
，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
1
1
1
1
1
1
2
2
2
4
2
4
BE
BA
BD
BA
BC
BA
BA
AC
1
1
1
3
1
2
4
4
4
4
BA
BA
AC
BA
AC
，
所以
3
1
4
4
EB
AB
AC
，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加
法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
7.设D 、E 分别是ABC
的边AB ，BC 上的点，
1
2
AD
AB
，
2
3
BE
BC
. 若
1
2
DE
AB
AC
（
1
2
,
为
实数），则
1
2
的值是
【答案】1
2
【详解】依题意，
1
2
1
2
1
2
(
)
2
3
2
3
6
3
DE
DB
BE
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
，
∴
1
2
1
2
6
3
AB
AC
AB
AC
，∴
1
1
6
，
2
2
3
，故
1
2
1
2
1
6
3
2
.
【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.
题型八：系数和（等和线）的应用
1.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP
=
AB
+ AD
，则
+ 的最大值为
A．3
B．2
2
C．5
D．2
【系数和】
分析：如图，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 与圆相切时，
最大，此时
3
3,
AF
AB
BE
EF
AB
AB
AB
AB
故选A .
2.边长为2 的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含短点)上运动，P 是圆Q 上
及其内部的动点，设向量
( ,
)
AP
mAB
nAF m n
R
，则m
n
的取值范围是（
）
5,3
.
5,2
.
6,5
.
2,1
.
D
C
B
A
分析:如图，设AP
mAB
nAF
，由等和线结论，
2
2
AG
AB
m
n
AB
AB
.此为m
n
的最小值；
同理，设AP
mAB
nAF
，由等和线结论，
5
AH
m
n
AB
.此为m
n
的最大值.
综上可知
[2,5]
m
n
.
3.已知ABC
为边长为2 的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上.若AP
AB
AC
，则
2
的取值范围是__________
【解析】如图,取AB 中点为D ,
2
AP
AB
AC
AD
AC
显然,当P 与C 重合时, 2
取最小值1.
将CD 平行移动至与
O
相切处,
P 为切点时,2
取最大值.
延长PO 交CD 于G ,易知
1
2
OG
OF
FP
.
由等和线及平行截割定理,
5
2,
2
EF
AP
FP
AE
.
所以2
的最大值为5
2
.
故2
的取值范围是
5
1, 2
.
4.在矩形ABCD 中，
1,
2
AB
AD
，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，
若AP
AB
AD
，则+
的最大值为(
)
A 3
B 2 2
C 5
D 2
解：如图所示：
过A 作BD 的垂线，垂足为H ，则AH
CE
CF
r
，当
,
P
E C，
三点共线时，高线最长，即
max
3
( + )
3
r
r
5.如图，正六边形ABCDEF ，P 是CDE
内（包括边界）的动点，设
( ,
)
AP
AB
AF
R
，
则
的取值范围是____________
解：连接
,
BF AD 因为正六边形ABCDEF ，由对称性知道
BF
AD
AD
EC
，
，设BF 与AD 交于点G ，CE 与AD 交于点H ，
当P 在CE 上时，AP 在AD 上射影最小为AH ；
当P 与D 重合时，AP 在AD 上射影最大为AD ；
则|
|
|
|
|
|
|
|
AH
AD
AG
AG
设|
|
AB
x
，则|
| |
|
2
x
AG
HD
，|
| |
|
GH
BC
x
，|
| 2
AD
x
，
则3
4
6.如图在直角梯形ABCD 中，
/ /
AB
CD ，AB
AD
，
1
3
AD
DC
AB
，
，动点P 在以C 为圆心，
且与直线BD 相切的圆内运动，设
( ,
)
AP
AD
AB
R
则
的取值范围是____________
解：设圆C 与直线BD 相切于点E ，过A 作AG
BD
于G ，作直线/ /
l
DB ，且直线l 与圆C 相切与F ，
连EF ，则EF 过圆心，且EF
BD
，由图可知，对圆C 内任意一点P
AP 在直线AG 上的射影长度d 满足：|
|
|
|
|
|
AG
d
AG
EF
，
又
|
| |
|
3
|
| =
|
|
10
AD
AB
AG
DB
，
2
|
|=2|EC|=2|CD|sin
10
EF
ABD
所以
3
5
10
10
d
而
d
AG
，所以
5
1
3
7.若点C 在以P 为圆心,6 为半径的弧
AB 上,且PC
xPA
yPB
,则2
3
x
y
的取值范围为______
【解析】令
(2
3 )
PC
x
y PD
,
则
2
3
2
3
x
y
PD
PA
PB
x
y
x
y
,
即
1
1
2
3
2
3
2
3
x
y
PD
PA
PB
x
y
x
y
,
其中
1
1
1
1
,
2
3
PA
PA PB
PB
.
由
2
3
1
2
3
2
3
x
y
x
y
x
y
知点D 在线段
1
1
A B 上,如下图:
由于在
1
1
PA B
中,
1
1
1
1
3,
2,
120
PA
PB
A PB
,
且点D 在线段
1
1
A B 上(含端点
1
1
,
A B
,
因此
1
|
|
|
|
PH
PD
PA
-
-
,其中PH 是边
1
1
A B 上的高.
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
19
A B
PB
PA
PB
PA
PB
PA
可得
1
1
19
A B
.
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
sin
|
|
2
2
PA B
S
PA
PB
A PB
A B
PH
可得
3 57
|
|
19
PH
.
所以, 3 57
|
|
3
19
PD
-
- .
再由
(2
3 )
PC
x
y PD
可知
|
|
6
2 57
2
3
2,
3
|
|
|
|
PC
x
y
PD
PD
.
8.如图，在直角梯形ABCD中，
AB
AD
，AB ∥DC ，
2
AB
，
1
AD
DC
，图中圆弧所在圆的圆
心为点C，半径为1
2 ，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP
xAB
yAC
，其中x
y
R
，
，则4x
y
的取值范围是（
）
A．
3 2
2 3
4
，
B．
5
2 3
2
，
C．
2
5
3
3
4
2
，
D．
17
17
3
3
2
2
，
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，将4x
y
由P 点坐标转化后数形结合求解
【详解】以A 点为坐标原点，
,
AB AD
方向为x,y 轴正方向建立直角坐标系，则
(0,0), (2,0), (1,1),
(0,1)
A
B
C
D
，
(2,0),
( 1,1)
AB
BC
，设
( , )
P m n ，则
2
m
x
y
n
y
，解得
2
m
n
x
y
n
，
故
4
2
z
x
y
m
n
，即
2
n
m
z
，
数形结合可得当
1 ,1
2
P
时，z 取最小值2，
当直线与圆
2
2
1
(
1)
(
1)
4
x
y
相切时，| 3
|
1
2
5
z
，z 取得最大值
5
3
2
.
故选：B
题型九：极化恒等式的应用及解题技巧
1.设向量
满足
，
，则
A．1
B．2
C．3
D．5
由极化恒等式可得：
2
2
2
2
(
)
(
)
1
4
4
a
b
a
b
a
b
a
b
a b
，故选A．
2.正方形ABCD的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED
（
）
A．5
B．3
C．2 5
D．5
设CD 中点为O 点，由极化恒等式可得：
2
2
1
3
4
EC ED
EO
DC
故选：B.
3.如图，在ABC
中，D 是BC 的中点，,
E F 是,
A D上的两个三等分点，
4
BA CA
，
1
BF CF
，则BE CE
uur uur
的值是
.
【答案】7
8
极化恒等式
2
2
2
2
2
2
4,
1
BA CA
AB AC
AD
BD
BF CF
FB FC
FD
BD
BE CE
EB EC
ED
BD
因为、
E
F 是AD 上的两个三等分点,所以
3
1
|
|
|
|,|
|
|
|
2
2
AD
ED
FD
ED
联立解得:
2
2
5
13
|
|
,|
|
2
8
ED
BD
所以
7
8
BE CE
4.如图,在ABC
中,已知
4,
6,
60
AB
AC
BAC
,点
,
D E 分別在边
,
AB AC 上,
且
2
,
3
AB
AD AC
AE
,若F 为DE 的中点,则BF DE
的值为________
解：取BD 的中点N ,连接
,
NF EB ,则
2 3
BE
AE
BE
,
在DEB
中,
1
/ /
3
2
FN
EB
FN
,
2
2
2
1
2
2
2
1
4
4
BF DE
FB FD
FN
DB
FN
BF DE
5.在ABC
中，
3,
4,
90
AC
BC
C
．P 为ABC
所在平面内的动点，且
1
PC
，则PA PB
的取值范
围是（
）
A．[ 5,3]
B．[ 3,5]
C．[ 6,4]
D．[ 4,6]
【答案】D
记AB 的中点为M，连接CM，则
2
5
CM
由极化恒等式可得：
4
4
25
,
2
3
1
6
4
25
,
2
7
1
4
25
4
1
2
max
2
max
2
2
2
PM
PB
PA
CM
PM
PM
PB
PA
CM
PM
PM
AB
PM
PB
PA
即
4,6
PA PB
故选：D
模块三：综合巩固
1.平面上点P 与不共线三点A、B、C 满足关系式：PA
PB
PC
AB
，则下列结论正确的是（
）
A．P 在CA 上，且
2
CP
PA
B．P 在AB 上，且
2
AP
PB
C．P 在BC 上，且
2
BP
PC
D．P 点为ABC
的重心
【答案】A
【解析】依题意，PA
PB
PC
AB
，PA
PC
AB
PB
AB
BP
AP
，
,
2
PA
AP
PC CP
PA
，所以
, ,
C P A 三点共线，所以A 选项正确.
故选：A
2.已知点O 是ABC
的内心，
4,
3
AB
AC
，CB
CA
CO
，则
（
）
A．4
3
B．5
3
C．2
D．7
3
【答案】D
【解析】连接AO 并延长交BC 于点D ，连接CO，
因为O 是ABC
的内心，所以AD 为
BAC
的平分线，
所以根据角平分线定理可得
4
3
BD
AB
CD
AC
，
所以
7
3
CB
CD
,
因为
,
,
A O D 三点共线，所以设
(1
)
CD
tCA
t CO
，
则
7
7
7(1
)
3
3
3
t
t
CB
CD
CA
CO
，
因为CB
CA
CO
，
所以
7
7(1
)
7
3
3
3
t
t
，
故选：D
3.(多选)点O 在ABC
所在的平面内，则下列结论正确的是（
）
A．若OA OB
OB OC
OC OA
，则点O 为ABC
的垂心
B．若
0
OA
OB
OC
，则点O 为ABC
的外心
C．若2
3
0
OA
OB
OC
，则
:
:
3: 2:
AOB
BOC
AOC
S
S
S
1
D．若
AO AB
AO AC
AB
AC
且
CO CA
CO CB
CA
CB
，则点O 是ABC
的内心
【答案】ACD
【解析】对A：如图所示，OA OB
OB OC
OC OA
，
则(
)
0
OA
OC
OB
CA OB
，(
)
0
OB
OC
OA
CB OA
，(
)
0
OB
OA
OC
AB OC
，
,
,
OB
CA OA
CB OC
AB
，
O
为ABC
的垂心，A 正确；
对B：如图，取AB 的中点D ，连接OD ，由
0
OA
OB
OC
，则
2
OA
OB
OD
OC
，
O
，D ，C 三点共线，又CD 是ABC
的中线，且|
| 2|
|
OC
OD
，
O
为ABC
的重心，B 错误；
对C：如图：D ，E 分别是AC ，BC 的中点，
由2
3
0
OA
OB
OC
，2(
)
(
)
0
OA
OC
OB
OC
，4
2
0
OD
OE
，
2
OE
OD
，
1
1
3
6
OD
DE
AB
，
1
3
3
2
OE
DE
AB
，
则
1
6
AOC
ABC
S
S
，
1
3
BOC
ABC
S
S
△
△
，
1
2
AOB
ABC
S
S
△
△
，
则
:
:
3: 2:1
AOB
BOC
AOC
S
S
S
，C 正确；
对D：如图，
|
|
|
|
AO AB
AO AC
AB
AC
，|
||
| cos
|
||
| cos
|
|
|
|
AO
AB
BAO
AO
AC
CAO
AB
AC
，
cos
cos
BAO
CAO
，
BAO
CAO
，即AO 为
BAC
的平分线，
同理由|
|
|
|
CO CA
CO CB
CA
CB
得
ACO
BCO
，即CO为
ACB
的平分线，
O
为ABC
的内心，D 正确．
故选：ACD
4.设点O在ABC
内部，且4
0
OA
OB
OC
，则ABC
的面积与
OBC
△
的面积之比是（
）
A．3：2
B．3：1
C．4：3
D．2：1
【答案】A
【解析】设线段BC 的中点为点D ，
2
OB
OC
OD
，
即4
2
0
OA
OD
，即
2
OD
OA
，即点O是中线AD 上靠近点A 的三等分点，
即
2
3
OD
AD
，那么点D 到BC 的距离和点A 到BC 的距离比是2
3 ，
那么
3
2
ABC
OBC
S
S
，
故选：A
5.在ABC
所在的平面内有一点P ，如果2PA
PC
AB
PB
，那么PBC
的面积与ABC
的面积之比是（
）
A．3
4
B．1
2
C．1
3
D．2
3
【答案】A
【解析】
2PA
PC
AB
PB
AB
BP
AP
，
2
3
0
PA
PC
AP
PA
PC
，
∴点P 在边AC 上，且
|
|
3
3|
| |
|,
|
|
4
PC
PA
PC
AC
，如下图
设ABC
的AC 边上的高为h ，
1 |
|
|
|
3
2
1
|
|
4
|
|
2
PBC
ABC
PC
h
S
PC
S
AC
AC
h
△
△
.
6.如图所示，设P 为ABC
所在平面内的一点，并且
1
2
5
5
AP
AB
AC
，则ABP
与ABC
的面积之比等于
（
）
A．1
5
B．1
2
C．2
5
D．1
【答案】C
【解析】
连接CP 并延长交AB 于D，
∵P、C. D 三点共线,∴AP
AD
AC
，且
1
，
设AB
k AD
，结合
1
2
5
5
AP
AB
AC
，得
2
5
5
k
AP
AD
AC
，
由平面向量基本定理，解之得
3
5
，
3
k 且
2
5
，
∴
3
2
5
5
AP
AD
AC
，
可得
2
5
PD
CD
，
∵ABP
与ABC
有相同的底边AB，高的比等于PD
与CD
之比，
∴ABP
的面积与ABC
面积之比为2
5 .
故选：C.
7.如图所示，设P 为ABC
所在平面内的一点，并且
1
1
4
2
AP
AB
AC
，则BPC
与ABC
的面积之比等于
A．2
5
B．3
5
C．3
4
D．1
4
【答案】D
【解析】由题，延长AP 交BC 于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量
,
,
CP CA CD
的关系，可
得DP
与AD
的比值，再利用面积中底面相同可得结果.延长AP 交BC 于点D，因为A、P、D 三点共线，
所以
(
1)
CP
mCA
nCD m
n
，设CD
kCB
代入可得CP
mCA
nkCB
即
(
)
(1
)
AP
AC
mAC
nk AB
AC
AP
m
nk AC
nk AB
又因为
1
1
4
2
AP
AB
AC
，即
1
1
,1
4
2
nk
m
nk
，且
1
m
n
解得
1
3
,
4
4
m
n
所以
1
3
4
4
CP
CA
CD
可得
4
AD
PD
因为BPC
与ABC
有相同的底边，所以面积之比就等于DP
与AD
之比
所以BPC
与ABC
的面积之比为1
4
故选D
8.已知在ABC
中，O是ABC
的垂心，点P 满足：
1
1
3
2
2
2
OP
OA
OB
OC
，则ABP
的面积与ABC
的
面积之比是
A．2
3
B．3
4
C．3
5
D．1
2
【答案】A
【解析】
如图，设AB 的中点为M ，则1
1
2
2
OA
OB
OM
，故由
1
1
3
2
2
2
OP
OA
OB
OC
可得2
2
OP
OM
OP
OC
，
即2
2
OP
OC
OM
OP
，也即
2
PM
CP
，由向量的共线定理可得
,
,
C P M 共线，且
2
3
MP
MC
，所以结
合图形可得
2
3
ABP
ABC
S
MP
S
MC
,
故选:A
9.设
1
3
AG
AB
AC
，过G 作直线l 分别交
,
AB AC（不与端点重合）于
,
P Q ，若AP
AB
，AQ
AC
uuuv
uuuv
，
若PAG
与QAG
的面积之比为2
3 ，则
A．1
3
B．2
3
C．3
4
D．5
6
【答案】D
【解析】连接AG 并延长，则通过BC 的中点M ，过P ，Q 分别向AG 所在直线作垂线，垂足分别为D ，E ，
如图所示
PAG
与
QAG
△
的面积之比为2
3
2
3
PD
QE
根据三角形相似可知
2
3
PG
GQ
，则
2
5
PG
PQ
2
5
AG
AP
PG
AP
AQ
AP
即
3
2
3
2
5
5
5
5
AG
AP
AQ
AB
AC
由平行四边形法则得
2
1
3
3
AG
AM
AB
AC
根据待定系数法有2
1
5
3
，则
5
6
故选D
10.(多选)O 是锐角三角形ABC 内的一点，A，B，C 是ABC
的三个内角，且点O 满足
OA OB
OB OC
OA OC
.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（
）
A．O 为ABC
的外心
B．
π
BOC
A
C．
:
:
cos
:cos
:cos
OA
OB
OC
A
B
C
D．tan
tan
tan
0
A OA
B OB
C OC
【答案】BCD
【解析】因为
0
0
OA OB
OB OC
OB
OA
OC
OB CA
OB
CA
，
同理OA
CB
，OC
AB
，故O 为ABC
的垂心，故A 错误；
根据垂心可得
π
2
OBC
C
，
π
2
OCB
B
，所以
π
OBC
C
OCB
B
，
又
π
OBC
OCB
BOC
，所以
BOC
C
B
，又
π
A
B
C
，
所以
π
BOC
A
，故B 正确；
π
A
BOC
，同理
π
B
AOC
，延长CO 交AB 于点P(如图)，则
cos
:cos
cos π
:cos π
cos
:cos
:
:
OP OP
A
B
BOC
AOC
BOP
AOP
OA OB
OB OA
，同理可得
cos
: cos
:
A
C
OA OC
，所以cos
: cos
: cos
:
:
A
B
C
OA OB OC
，故C 正确；
设BOC
，AOC
，AOB
的面积分别为
A
S ，
B
S ，
C
S ，则
1
1
:
:
:
tan
:
tan
2
2
A
B
S
S
OC BP
OC AP
BP AP
OP
POB OP
AOP
tan
: tan
tan π
: tan π
tan
: tan
BOC
AOC
A
B
A
B
，
同理可得
:
tan
: tan
A
C
S
S
A
C
，所以
:
:
tan
: tan
: tan
A
B
C
S
S
S
A
B
C
，又
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
，所以
tan
tan
tan
0
A OA
B OB
C OC
，
故D 正确.
故选:BCD.
11.(多选)如图，P 为ABC
内任意一点，角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，则总有优美等式
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
△
△
△
成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的
有（
）
A．若ABC
是等边三角形，P 为ABC
内任意一点，且点P 到三边BC,CA,AB的距离分别是
1
2
3
,
,
h h h ，
则有
1
2
3
0
h PA
h
PB
h
PC
B．若P 为ABC
内一点，且
0
PA
PB
PC
，则P 是ABC
的内心
C．若P 为ABC
内一点，且
1
2
5
5
AP
AB
AC
，则
:
:
2:1: 2
PBC
PAC
PAB
S
S
S
D．若ABC
的垂心P 在ABC
内，
,
,
AD BE CF 是ABC
的三条高，则
0
PD
PE
PF
PA
PB
PC
AD
BE
CF
【答案】ACD
【解析】因为P 为ABC
内任意一点，所以
,
,
PA PB PC
两两不共线；
对A：ABC
是等边三角形，设其高为h ，
则
1
PBC
ABC
h
S
S
h
，
2
PCA
ABC
h
S
S
h
，
3
PAB
ABC
h
S
S
h
，
代入奔驰定理得，
3
1
2
0
ABC
ABC
ABC
h
h
h
S
PA
S
PB
S
PC
h
h
h
，
即
1
2
3
0
h PA
h
PB
h
PC
，故A 正确；
对B：由
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
且
0
PA
PB
PC
uur
uur
uuur
r ，根据平面向量基本定理得
PBC
PAC
PAB
S
S
S
，则P 是ABC
的重心，故B 不正确；
对C：
1
2
1
2
5
5
5
5
AP
AB
AC
PB
PA
PC
PA
，即2
2
0
PA
PB
PC
，
又
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
，
由平面向量基本定理得
:
:
2:1: 2
PBC
PAC
PAB
S
S
S
，故C 正确；
对D：由点P 是ABC
的垂心，则
PBC
ABC
S
PD
S
AD
，
所以
PBC
ABC
PD
S
S
AD
，同理可得，
PCA
ABC
PE
S
S
BE
，
PAB
ABC
PF
S
S
CF
，
代入
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
，
得
0
ABC
ABC
ABC
PD
PE
PF
S
PA
S
PB
S
PC
AD
BE
CF
，
即
0
PD
PE
PF
PA
PB
PC
AD
BE
CF
，故D 正确；
故选：ACD．
12.(多选)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车
(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC
内一点，BOC
，
AOC
，AOB
的面积分别为
,
,
A
B
C
S
S
S ，则
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
，O是ABC
内的一点，∠BAC ，
∠ABC ，∠ACB 分别是ABC
的三个内角，以下命题正确
．．的有（
）
A．若2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
4
:
:
:3: 2
A
B
C
S
S
S
B．若
2
OA
OB
，
2
3
AOB
，且2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
9 3
4
ABC
S
△
C．若OA OB
OB OC
OC OA
，则O为ABC
的垂心
D．若O为ABC
的内心，且5
12
13
0
OA
OB
OC
，则
π
2
ACB
【答案】BCD
【解析】对选项A：2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
:
:
2:3: 4
A
B
C
S
S
S
，错误；
对选项B：
1
2
2 sin120
3
2
AOB
S
△
，2
3
4
0
OA
OB
OC
，
故
:
:
2:3: 4
A
B
C
S
S
S
，
9
9 3
4
4
ABC
A
S
S
△
，正确；
对选项C：OA OB
OB OC
，即
0
OA
OC
OB
CA OB
，故CA
OB
，
同理可得CB
OA
，AB
OC
，故O为ABC
的垂心，正确；
对选项D：5
12
13
0
OA
OB
OC
，故
5:12:
:
:
13
A
B
C
S
S
S
，设内接圆半径为r ，
1
2
A
S
r BC
，
1
2
B
S
r AC
，
1
2
C
S
r AB
，即
5
:
:
:12:13
B
AB
C AC
，
即
2
2
2
AB
AC
BC
，
π
2
ACB
，正确.
故选：BCD
13.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)
的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC
内一点，BOC
、AOC
、AOB
的面积分别为
A
S 、
B
S 、C
S ，则
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
.设O是锐角ABC
内的一点，
BAC
、
ABC
、
ACB
分别是ABC
的三个内角，以下命题正确的有（
）
A．若
2
3
0
OA
OB
OC
，则
:
:
1: 2:3
A
B
C
S
S
S
B．
2
OA
OB
，
5π
6
AOB
，2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
9
2
ABC
S
C．若O为ABC
的内心，3
4
5
0
OA
OB
OC
，则
π
2
C
D．若O为ABC
的重心，则
0
OA
OB
OC
【答案】ACD
【解析】对于A 选项，因为
2
3
0
OA
OB
OC
，由“奔驰定理”可知
:
:
1: 2:3
A
B
C
S
S
S
，A 对；
对于B 选项，由
2
OA
OB
，
5π
6
AOB
，可知
1
2 2
5π
6
in
1
s
2
C
S
，
又2
3
4
0
OA
OB
OC
，所以
:
:
2:3: 4
A
B
C
S
S
S
，
由
1
C
S 可得，
1
2
A
S
，
3
4
B
S
，
所以
1
3
9
1
2
4
4
C
ABC
A
B
S
S
S
S
，B 错；
对于C 选项，若O为ABC
的内心，3
4
5
0
OA
OB
OC
，则
:
:
3: 4:5
A
B
C
S
S
S
，
又
1
1
1
:
:
:
:
:
:
2
2
2
A
B
C
ar
br
cr
a b c
S
S
S
（r 为ABC
内切圆半径），
所以，
2
2
2
a
b
c
，故
π
2
C
，C 对；
对于D 选项，如下图所示，
因为O为ABC
的重心，延长CO交AB 于点D ，则D 为AB 的中点，
所以，
2
OC
OD
，
1
2
AOD
BOD
C
S
S
S
△
△
，且
1
2
AOD
B
S
S
△
，
1
2
BOD
A
S
S
△
，
所以，
A
B
C
S
S
S
，由“奔驰定理”可得
0
OA
OB
OC
，D 对.
故选：ACD.
14.如图. P 为ABC
内任意一点，角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，总有优美等式
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命
题的有（
）
A．若P 是ABC
的重心，则有
0
PA
PB
PC
B．若
0
aPA
bPB
cPC
成立，则P 是ABC
的内心
C．若
2
1
5
5
AP
AB
AC
，则
:
2:5
ABP
ABC
S
S
△
△
D．若P 是ABC
的外心，
π
4
A
，PA
mPB
nPC
，则
2,1
m
n
【答案】AB
【解析】对于A：如图所示：因为D
E
F
、、分别为CA
AB
BC
、
、
的中点，
所以
2
CP
PE
，
1
2
1
,
2
3
3
AEC
ABC
APC
AEC
ABC
S
S
S
S
S
，
同理可得
1
3
APB
ABC
S
S
、
1
3
BPC
ABC
S
S
，
所以
=
PBC
S△
=
PAC
PAB
S
S
△
△
，
又因为
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
，
所以
0
PA
PB
PC
uur
uur
uuur
r .正确；
对于B：记点P 到AB
BC
CA
、
、
的距离分别为
1
2
3
h
h
h
、、
，
2
3
1
1
1
1
=
,
,
2
2
2
PBC
PAC
PAB
a h
b h
h
S
c
S
S
△
△
△
，
因为
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
，
则
2
3
1
1
1
1
0
2
2
2
a h
PA
b h
PB
c h PC
，
即
2
3
1
0
a h PA
b h PB
c h PC
，
又因为
0
aPA
bPB
cPC
，所以
1
2
3
=
=
h h
h ，所以点P 是ABC
的内心，正确；
对于C：因为
2
1
5
5
AP
AB
AC
，
所以
2
1
5
5
PA
AB
AC
，所以
3
1
5
5
PB
PA
AB
AB
AC
，
所以
2
4
5
5
PC
PA
AC
AB
AC
，
所以
2
1
3
1
2
4
0
5
5
5
5
5
5
PBC
PAC
PAB
S
AB
AC
S
AB
AC
S
AB
AC
，
化简得：
2
3
2
1
1
4
+
0
5
5
5
5
5
5
PBC
PAC
PAB
PBC
PAC
PAB
S
S
S
AB
S
S
S
AC
，
又因为AB AC
、
不共线，
所以
2
3
2
+
=0
5
5
5
1
1
4
=0
5
5
5
PBC
PAC
PAB
PBC
PAC
PAB
S
S
S
S
S
S
，所以
=2
=2
PBC
PAB
PAC
PAB
S
S
S
S
，
所以
1
5
ABP
PAB
PBC
PAC
PAB
ABC
S
S
S
S
S
S
△
△
，错误；
对于D：因为P 是ABC
的外心，
π
4
A
，所以
π
2
BPC
, PA
PB
PC
，
所以
=
cos
0
PB PC
PB
PC
BPC
，
因为PA
mPB
nPC
，则
2
2
2
2
2
2
PA
m PB
mnPB PC
n PC
，
化简得：
2
2
+
1
m
n ，由题意知m
n
、同时为负，
记
cos
sin
m
n
，
3π
π
2
，则
π
cos
sin
2 sin
+ 4
m
n
，
因为5π
π
7π
4
4
4
，所以
π
2
1
sin
4
2
，
所以
π
2
2 sin
+
1
4
，
所以
2, 1
m
n
，错误.
故答案为：AB.
15.(多选)如图，P 为ABC
内任意一点，角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，则总有优美等式
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
△
△
△
成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的
有（
）
A．若P 是ABC
的重心，则有
0
PA
PB
PC
B．若
0
a PA b PB
c PC
，则P 是ABC
的内心
C．若
1
2
5
5
AP
AB
AC
，则
:
:
2: 2:1
PBC
PAC
PAB
S
S
S
D．若P 是ABC
的外心，且
π
4
A
，则
3π
sin
sin
0
2
PA
APC PB
APC
PC
【答案】ABD
【解析】对于A，P 是ABC
的重心，则
PBC
PAC
PAB
S
S
S
,
代入
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
△
△
△
就得到
0
PA
PB
PC
,正确；
对于B，设点P 到边
,
,
BC AC AB 的距离分别为
1
2
3
,
,
h h h ，
由
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
得，
1
2
3
1
1
1
0
2
2
2
ah PA
bh
PB
ch
PC
，即
1
2
3
0
ah PA
bh
PB
ch
PC
，与已知条件
0
a PA
b PB
c PC
比较知，
1
2
3
h
h
h
，则P 是ABC
的内
心，正确；
对于
1
2
1
2
C,
5
5
5
5
AP
AB
AC
PB
PA
PC
PA
，即2
2
0
PA
PB
PC
，
与
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
△
△
△
比较得到，
:
:
2:1: 2
PBC
PAC
PABC
S
S
S
，错误；
对于D，P 是ABC
的外心，且
π
4
A
，则
π
2
BPC
，设三角形外接圆半径为R，
所以
2
2
2
1
1
1
3π
,
sin
,
sin
2
2
2
2
PBC
PAC
PAB
S
R
S
R
APC S
R
APC
，
代入奔驰定理即可得到
3π
sin
sin
0
2
PA
APC PB
APC
PC
，正确，
故选：ABD.
16.已知O 是ABC
所在平面内一点，2
3
0
OA
OB
OC
，则AOC
与ABC
的面积比
AOC
ABC
S
S
△
△
．
【答案】1
4 / 0.25
【解析】
因为2
3
0
OA
OB
OC
，2
3
OA
OC
OB
，
根据向量平行四边形法则画出草图（如图所示），
1
sin
1
2
1
1
1
4
2
3
sin
sin
3
sin π-
2
2
sin π-
2
2
2
AOC
ABC
OA OC
O
S
S
OA
OC
O
OA OC
O
OA
OC
O
OA
OC
O
△
△
故答案为：1
4
17.我校高一同学发现：若O是ABC
内的一点，BOC
、AOC
、AOB
的面积分别为
A
S 、
B
S 、
C
S ，则
存在结论
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
，这位同学利用这个结论开始研究：若O为ABC
内的一点且为内心，
ABC
的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且
5
cos
6
B
，若BO
xBA
yBC
，则x
y
的最大值
为
.
【答案】12
2 3
11
【解析】因为ABC
的内心O到该三角形三边的距离相等，则
:
:
: :
A
B
C
S
S
S
a b c
，
由
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
可得
0
a OA
b OB
c OC
，所以，
a
c
BO
OA
OC
b
b
，
因为
x
B
A
BO
OA
y
O
O
xB
B
OC
yBC
，
则
1
1
x
y
BO
OA
OC
x
y
x
y
，所以，
1
1
x
a
x
y
b
y
c
x
y
b
，
所以，
1
x
y
a
c
x
y
b
，可得
a
c
x
y
a
b
c
，
因为
5
cos
6
B
，由余弦定理可得
2
2
2
2
2
5
2
cos
3
b
a
c
ac
B
a
c
ac
，
由基本不等式可得
2
2
2
2
2
11
11
3
3
4
12
a
c
a
c
b
a
c
ac
a
c
，
所以，
2 3
a
c
b
，当且仅当a
c
时，等号成立，
所以，
1
1
6
12
2 3
11
3
6
3
1
1
6
a
c
x
y
b
a
b
c
a
c
.
故答案为：12
2 3
11
.
18.三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点O在ABC
内部，用
A
B
C
S
S
S
、
、
分别代表
OBC
△
、OCA
、OAB
的面积，则有
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
．现在假设锐角三角形顶点
, ,
A B C 所对的边长分别为, , ,
a b c
H
为其垂心，
,
,
HA HB HC
的单位向量分别为
1
2
3
,
,
e e e
，则
1
2
3
ae
be
ce
．
【答案】0
【解析】由
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
可得
1
2
3
1
1
1
0
2
2
2
a HD HA e
b HE HB e
c HF HC e
根据BHD
AHE
∽
可得HD HA
HE HB
，同理可得HF HC
HE HB
，
所以HD HA
HE HB
HF HC
，
所以
1
2
3
0
ae
be
ce
故答案为：0
19.点P 为ABC
内一点，
3
4
0
PA
PB
PC
，则
,
,
APB
APC
BPC
的面积之比是
.
【答案】4:3:1
【解析】因为
3
4
0
PA
PB
PC
，所以
3(
)
PA PC
PB
PC
，
设F 为AC 中点，G 为BC 中点，GF 为三角形ABC 的中位线，则
2
GF
AB
1
=
，
因为
2
,
2
PA PC
PF PB
PC
PG
，
可得
3
PF
PG
，所以F
P
G
、、
三点共线，且
3
PF
PG
，
则
3
3
4
8
PF
GF
AB
，
1
1
4
8
PG
GF
AB
，
分别设
1
2
3
4
,
,
,
,
ABP
APF
CPF
CPG
BPG
S
S S
S S
S
S
S S
S
△
△
△
△
△
，
由图可知，
1
2
S
S
=
，
3
4
S
S
，
则
1
3
8
S
PF
S
AB
，所以
1
3
8
S
S
，而
4
1
8
S
PG
S
AB
，所以
4
1
8
S
S
，
所以
1
2
1
3
2
4
APC
S
S
S
S
S
△
，
3
4
4
1
2
4
BPC
S
S
S
S
S
△
，
所以
3
1
:
:
:
:
4 :3:1
4
4
APB
APC
BPC
S
S
S
S
S
S
△
△
△
，
即
,
,
APB
APC
BPC
的面积之比等于4:3:1.
故答案为：4:3:1.
20.请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P 是ABC
的重心，则有
0
PA
PB
PC
；
②若
0
aPA
bPB
cPC
成立，则P 是ABC
的内心；
③若
2
1
5
5
AP
AB
AC
，则
:
2:5
ABP
ABC
S
S
△
△
；
④若P 是ABC
的外心，
π
4
A
，PA
mPB
nPC
，则
2,1
m
n
；
⑤若ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
7
cos
8
A
，O 为ABC
内的一点且为内心.若
AO
xAB
yAC
，则x
y
的最大值为4
5 .
则正确的命题有
.（填序号）
【答案】①②④⑤
【解析】对于①：如图所示，因为D，E，F 分别为CA，AB，BC 的中点，
所以
2
CP
PE
，
1
2
AEC
ABC
S
S
，
2
1
3
3
APC
AEC
ABC
S
S
S
△
△
△
，
同理可得
1
3
APB
ABC
S
S
，
1
3
BPC
ABC
S
S
，
所以
PBC
PAC
PAB
S
S
S
，
又因为
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
，
所以
0
PA
PB
PC
，故①正确；
对于②：记点P 到AB，BC，CA 的距离分别为
1h ，
2h ，
3h ，
则
2
1
2
PBC
S
a h
△
，
3
1
2
PAC
S
b h
△
，
1
1
2
PAB
S
c h
△
，
因为
0
PBC
PAC
PAB
S
PA
S
PB
S
PC
，则
2
3
1
1
1
1
0
2
2
2
a h
PA
b h
PB
c h PC
，
即
2
3
1
0
a h PA
b h
PB
c h PC
.
又因为
0
aPA
bPB
cPC
，
所以
1
2
3
h
h
h
，所以点P 是ABC
的内心，故②正确；
对于③：因为
2
1
5
5
AP
AB
AC
，
所以
2
1
5
5
PA
AB
AC
，
3
1
5
5
PB
PA
AB
AB
AC
，
2
4
5
5
PC
PA
AC
AB
AC
，
所以
2
1
3
1
2
4
0
5
5
5
5
5
5
PBC
PAC
PAB
S
AB
AC
S
AB
AC
S
AB
AC
△
△
△
，
化简得
2
3
2
1
1
4
0
5
5
5
5
5
5
PBC
PAC
PAB
PBC
PAC
PAB
S
S
S
AB
S
S
S
AC
△
△
△
△
△
△
，
又因为AB
，AC
不共线，
所以
2
3
2
0
5
5
5
1
1
4
0
5
5
5
PBC
PAC
PAB
PBC
PAC
PAB
S
S
S
S
S
S
，即
2
2
PBC
PAB
PAC
PAB
S
S
S
S
，
所以，
1
5
ABP
PAB
PBC
PAC
PAB
ABC
S
S
S
S
S
S
△
△
，故③错误；
对于④：因为P 是ABC
的外心，
π
4
A
，
所以
π
2
BPC
，PA
PB
PC
，|
cos
0
PB PC
PB
PC
BPC
.
因为PA
mPB
nPC
，
则
2
2
2
2
2
2
PA
m PB
mnPB PC
n PC
，
化简得
2
2
1
m
n
.
由题意知m，n 不同时为正.记
cos
sin
m
n
，π
2π
2
，
则
π
cos
sin
2 sin
4
m
n
，
因为3π
π
9π
4
4
4
，
所以
π
2
1
sin
4
2
，即
π
2
2 sin
1
4
，
所以
2,1
m
n
，故④正确；
对于⑤：∵O 为ABC
的内心，
∴
:
:
: :
BOC
AOC
AOB
S
S
S
a b c
，
∴
0
aOA
bOB
cOC
，
∴
aAO
bOB
cOC
b AB
AO
c AC
AO
bAB
cAC
b
c AO
，
∴
a
b
c AO
bAB
cAC
，
∴
b
c
AO
AB
AC
a
b
c
a
b
c
，
即
b
x
a
b
c
，
c
y
a
b
c
，
∴
1
1
b
c
x
y
a
a
b
c
b
c
.
∵
2
2
2
2
2
2
7
15
2
cos
4
4
a
b
c
bc
A
b
c
bc
b
c
bc
2
2
2
15
1
4
2
16
b
c
b
c
b
c
(当且仅当
b
c
时取等号)，
∴
2
2
1
16
a
b
c
，∴
1
4
a
b
c
，
∴
1
4
1
5
1
4
x
y
(当且仅当b
c
时取等号)，
∴x
y
的最大值为4
5 ，故⑤正确.
故答案为：①②④⑤.
21.已知ABC
所在平面内的动点M 满足AM
xAC
yAB
，且实数x，y 形成的向量
1
(
, )
2
a
x
y
与
( 1,2)
b
向量共线，则动点M 的轨迹必经过ABC
的
心.（在重心、内心、外心、垂心中选择）
【答案】重心
【解析】
1
(
, )
2
a
x
y
与
( 1,2)
b
向量共线，故
1
2
0
2
x
y
，即2
1
x
y
，
则AM
xAC
yAB
变形为
1 2
AM
xAC
x AB
，
即
2
AM
AB
x AC
AB
，
所以
BM
x BC
AB
x BC
BA
，
取AC 的中点E ，则
2
BM
xBE
，
所以动点M 的轨迹必经过ABC
的重心.
故答案为：重心
22.已知点O 是△ABC 的外心，
6
8
AB
BC
，
，
2π
3
B
，若BO
xBA
yBC
，则3
4
x
y
．
【答案】7
【解析】如图，
=6
AB
，
8
BC ，
2π
3
B
，且BO
xBA
yBC
，
2
1
|
| |
| cos
|
|
18
2
BO BA
BO
BA
ABO
BA
，
2
1
|
||
| cos
|
|
32
2
BO BC
BO
BC
CBO
BC
，
1
6
8
(
)
24
2
BA BC
，
2
2
BO BA
xBA
yBA BC
BO BC
xBA BC
yBC
，
18
36
24
32
24
64
x
y
x
y
，整理得，
6
4
3
8
3
4
x
y
y
x
，
(6
4 )
(8
3 )
3
4
7
x
y
y
x
x
y
．
故答案为：7
23.已知O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
2
cos
cos
OA
OB
CA
CB
OP
CA
A
CB
B
，
R
，则P 的轨迹一定经过ABC
的
．(从“重心”，
“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）
【答案】外心
【解析】如图所示：D 为AB 中点，连接CD ，
0
cos
cos
cos
cos
CA
CB
CA BA
CB BA
BA
BA
BA
CA
A
CB
B
CA
A
CB
B
，
2
OA
OB
OP
OP
OD
DP
，故
0
cos
cos
CA
CB
DP BA
BA
CA
A
CB
B
，
即DP
BA
，故P 的轨迹一定经过ABC
的外心.
故答案为：外心
24.已知O是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足
(
)
OP = OA+
AB+ AC
，
(0,
)
，则点P 的轨迹一定通过ABC
的
（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” )．
（2）已知O是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足
(
)
|
|
|
|
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，
(0,
)
，则点P 的轨迹一定通过ABC
的
．（填“内心”“外心”“重心”或“垂
心” )
【答案】
重心
内心
【解析】空1：由已知，
(
)
AP
AB
AC
，
根据平行四边形法则，设ABC
中BC 边的中点为D ，知
2
AB
AC
AD
，
2
AP
AD
，
/ /
AP
AD
，则A ，P ，D 三点共线，
点P 的轨迹必过ABC
的重心；
空2：由已知，
(
)
|
|
|
|
AB
AC
AP
AB
AC
，而|
|
AB
AB
表示与AB
同向的单位向量，|
|
AC
AC
表示与AC
同向的单位
向量，
AP
在
BAC
的角平分线上，
点P 的轨迹一定通过ABC
的内心．
故答案为：重心；内心．
25.点O是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上ABC
的三个顶点，
B
、
C
分别是边AC 、AB 的对角，
以下命题正确的是
（把你认为正确的序号全部写上）．
①动点P 满足OP
OA
PB
PC
，则ABC
的重心一定在满足条件的P 点集合中；
②动点P 满足
(
)(
0)
|
|
|
|
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，则ABC
的内心一定在满足条件的P 点集合中；
③动点P 满足
(
)(
0)
|
| sin
|
| sin
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，则ABC
的重心一定在满足条件的P 点集合中；
④动点P 满足
(
)(
0)
|
| cos
|
| cos
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，则ABC
的垂心一定在满足条件的P 点集合中；
⑤动点P 满足
(
)(
0)
2
|
| cos
|
| cos
OB
OC
AB
AC
OP
AB
B
AC
C
，则ABC
的外心一定在满足条件的P 点集合中．
【答案】①②③④⑤
【解析】对于①，因为动点P 满足OP
OA
PB
PC
，
AP
PB
PC
，
则点P 是ABC
的重心，故①正确；
对于②，因为动点P 满足
(
)(
0)
|
|
|
|
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，
(
)(
0)
|
|
|
|
AB
AC
AP
AB
AC
，
又|
|
|
|
AB
AC
AB
AC
在
BAC
的平分线上，
AP
与
BAC
的平分线所在向量共线，
所以ABC
的内心在满足条件的P 点集合中，②正确；
对于③，动点P 满足
(
)(
0)
|
| sin
|
| sin
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，
(
)
|
| sin
|
| sin
AB
AC
AP
AB
B
AC
C
，(
0)
，
过点A 作AD
BC
，垂足为D ，则|
| sin
|
| sin
AB
B
AC
C
AD
，
(
)
AP
AB
AC
AD
，向量AB
AC
与BC 边的中线共线，
因此ABC
的重心一定在满足条件的P 点集合中，③正确；
对于④，动点P 满足
(
)(
0)
|
| cos
|
| cos
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
，
(
)(
0)
|
| cos
|
| cos
AB
AC
AP
AB
B
AC
C
，
(
)
(|
|
|
|)
0
|
| cos
|
| cos
AB
AC
AP BC
BC
BC
BC
AB
B
AC
C
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
AP
BC
，
所以ABC
的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；
对于⑤，动点P 满足
(
)(
0)
2
|
| cos
|
| cos
OB
OC
AB
AC
OP
AB
B
AC
C
，
设
2
OB
OC
OE
，
则
(
)
|
| cos
|
| cos
AB
AC
EP
AB
B
AC
C
，
由④知(
)
0
|
| cos
|
| cos
AB
AC
BC
AB
B
AC
C
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
0
EP BC
，
EP
BC
，
P
点的轨迹为过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线；
所以ABC
的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确．
故正确的命题是①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．
