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格致课堂
6.4.1 平面几何中的向量方法
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
向量在平面几何中的应用 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
基础巩固
1．已知 是坐标平面上的三点，其坐标分别为 ，则 的形状
为（ ）
A．直角（非等腰）三角形 B．等腰（非等边）三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
【答案】C
【解析】∵ ，且 ，
∴ 为等腰直角三角形.
答案选C
2．在△ABC中，若 ，则 的形状为（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不确定
【答案】B
【解析】由题意可得 ，
即 ，整理可得 ，则向量 与 的夹角
为钝角，即 ，据此可知△ABC的形状为钝角三角形.格致课堂
3．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， ，则 （ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ,又因为 是 的中点，
所以 ,故选C.
4．若 ,且 ,则四边形 是( )
A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是等腰梯形，
故选：C．
5．在平行四边形 中， ， ， 为 的中点，若 ，则 的长为
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图．格致课堂
．
∴ ，即 ．
故选：D．
6．设点O是三角形ABC所在平面上一点，若 ，则点O是三角形ABC的________心．
【答案】外心
【解析】由 可得 点到三角形各顶点的距离相等，所以点 是三角形 的外心,故答
案为外心.
7．设 是△ABC内部一点，且 ，则△AOB与 的面积之比为
________________.
【答案】
【解析】设 为 的中点，如图所示，连接 ，则 .又 ，所以
，即 为 的中点，且 ，即△AOB与 的面积之比为 .格致课堂
8．求证：以 为顶点的四边形是一个矩形.
【答案】证明见解析
【解析】因为 ，
， 不为零向量，且不与 平行，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边
形.
， 所以以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形.
能力提升
9．平行四边形 中， , 点P在边CD上，则 的取值范围是（
）
A．[-1,8] B． C．[0,8] D．[-1,0]
【答案】A
【解析】∵ , ，∴ ，∴ ，A=60°，
以A为原点，以AB所在的直线为 轴，以AB的垂线为 轴，建立如图所示的坐标系，
∴A(0,0),B(4,0), ，
设 ，∴ ，
∴ ，
设 ，∴ 在 上单调递减,在 上单调递增，格致课堂
结合二次函数的性质可知：函数的最小值为： ，函数的最大值为 ，
则 的取值范围是[−1,8]，
本题选择A选项.
10．已知 为△ 的外心，若 + − =0，则 =_____．
【答案】
【解析】∵ + − =0，∴ ，
∴ ，
∵ 在圆 上，∴ ，∴ ∙ =0.
所以 .
11．如图，在梯形ABCD中， ， ， ， ，E是边BC上一动点，
求 的最小值.格致课堂
【答案】
【解析】过点 作 ，垂足为 ，
因为 ， ， ，
所以 ， ， .
又因为 ，所以四边形 为矩形.以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ， ， .
设 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 .
因为 ， ，
所以格致课堂
，
当 时， 取得最小值 .
素养达成
12．已知 三个顶点的坐标分别为 .
(1)若 是 边上的高,求向量 的坐标;
(2)若点E在x轴上,使 为钝角三角形,且 为钝角,求点E的横坐标的取值范围.
【答案】(1) .(2) .
【解析】（1）设 ,则 , ,
由题意知 ,则 ,又 ,
则有 ,即 ,①
由 ,得 ,
即 ,②
联立①②解得 .则 .
（2）设 ,则 ,
由 为钝角,得 ,解得 ,
由 与 不能共线,得 ,解得 .格致课堂
故点E的横坐标的取值范围是 .
