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第六章 计数原理--复习与小结 -A基础练
一、选择题
1．（2021·重庆一中高二月考）某中学食堂获得学生好评，其食物样品丰富．某天中午，1号窗口
提供了6种不同的荤菜和4种不同的素菜菜品，某同学到该窗口准备选其中2种荤菜和一种素菜作
为午餐，那么该同学共有（ ）种不同选择午餐的情况．
A．120 B．72 C．60 D．30
【答案】C
【详解】该同学选择午餐的这件事必须分两步完成：先从6种不同的荤菜中选两种有 种，再从4
种不同的素菜中选一种有 种，根据分步计数乘法得所求不同方法种数是 .
2．使得 的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】二项式展开式的通项公式为 ，若展开式中有常数项，则 ，
解得 ，当r取2时，n的最小值为5，故选B
3．（2021·四川石室中学高二月考）某城市的汽车牌照号码由 个英文字母后接 个数字组成，其
中 个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为 ，后接4个数字组成的方法数
为 ，所以由分步计数原理可得不相同的牌照号码共有 个.故选：D．
4．（2021·安徽六安高二期末） 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．-40 B．-20 C．20 D．40
【答案】D
【解析】令x=1得a=1.故原式= ． 的通项
，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得
r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提
出x，选3个提出 ；若第1个括号提出 ，从余下的括号中选2个提出 ，选3个提出x.
故常数项= =-40+80=40
5. （多选题）（2021·全国高二专题练）下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，
则“礼智”互不相邻的排法总数为72
【答案】ABCD
【详解】对于A， ，故A正确；
对于B， ， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；对于D，采用插空法，将“礼智”插入“仁义信”的4个空中，
则一共有 种，故D正确.故选：ABCD.6. （多选题）（2021·东平高级中学高二月考）关于 的说法，正确的是（ ）
A．展开式中的二项式系数之和为512 B．展开式中只有第5项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第6项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小
【答案】ACD
【详解】解：二项式 展开式的通项为
对于 ：二项式系数之和为 ，故 正确；
对于 、 ：展开式共10项，中间第5、6项的二项式系数最大，故 错误， 正确；
对于 ：展开式中各项的系数为 ， ，1， ，9
当 时，该项的系数最小．故 正确．故选：ACD．
二、填空题
7．（2021·江苏南通市高二月考）4位优秀党务工作者到3个基层单位进行百年党史宣讲，每人宣
讲1场，每个基层单位至少安排1人宣讲，则不同的安排方法数为____________．
【答案】36
【详解】根据题意，必有两人去同一个基层单位进行宣讲，故先从4位优秀党务工作者中选两人，
有 种，再将其看成整体，和另外两人分配到三个基层单位，有 种分配方案,
所以共有 种不同的安排方案.
8．（2021·四川南充高二月考） 展开式中 的系数为_______________．
【答案】-6
【解析】：∵ 展开式中 的系数为 .
9．若将函数 表示为 其中 ， ，
，…， 为实数，则 ＝______________．
【答案】10【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即： ．
法二：对等式： 两边连续对x求导三次得：
，再运用赋值法，令 得： ，即
10.（2021·河南洛阳高二期末）2021年，北京冬奥组委会召开记者招待会，组委会要从6个国内媒
体团和3个国外媒体团中选出4个媒体团进行现场提问，要求这四个媒体团中既有国内媒体团又有
国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为______.（用数字作答）
【答案】
【详解】选出{国内，国外}媒体团的可能组合有 、 、 ，而 组合国内媒体团中
必会有两个团连续提问，
当 组合时，选取方式有 种，提问方式 种，
当 组合时，选取方式有 种，提问方式：安排国内两个媒体团的提问的先后顺序
种，再将2个国外媒体团插入三个空有 ，确定国外媒体团提问顺序 ；或将2个国外媒体
团捆绑只能插入国内两个团中间提问，则有1种情况，确定国外媒体团提问顺序 ；故共有
种，∴不同提问方式共有： .
三、解答题
11．（2021·全国高二专题练）书架的第一层放有6本不同的哲学书，第2层放有5本不同的文学书，
第3层放有4本不同的数学书.
（1）从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？
（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？
（3）从书架中的不同层任取2本书，共有多少种不同的取法？
【详解】
（1）书架中总共15本书，从书架中任取1本书，共有 种不同的取法；（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有 种不同的取法；
（3）从书架中的不同层任取2本书，相当于从书架中任取2中不同学科的书，分三类：
第一，选择哲学书和文学书，有 种取法；第二，选择哲学书和数学书，有
种取法；第三，选择文学书和数学书，有 种取法；因此，共有
30+24+20=74种不同的取法.
12．（2019·江苏高考真题）设 .已知 .
（1）求n的值；
（2）设 ，其中 ，求 的值.
【详解】
（1）因为 ，
所以 ，
．
因为 ，
所以 ，
解得 ．
（2）由（1）知， ．
．
解法一：因为 ，所以 ，
从而 ．
解法二：
．
因为 ，所以 ．
因此 ．
