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专题 6.3 平面向量的应用
练基础
1．（2021·重庆九龙坡区·高三二模）已知等边 的边长为 为它所在平面内一点，且
，则 的最大值为（ ）
A． B．7 C．5 D．
【答案】B
【解析】
取 的中点 ，连接 ，并延长到 ，则有 ，从而将 转
化为 ，而 ，所以结合图形可得答案
【详解】
解：取 的中点 ，连接 ，并延长到 ，使 ，
因为 为等边三角形，所以 ，
所以 ,
因为 ，
所以 ,
因为等边 的边长为 ，
所以 ，
要使 取得最大值，则 与 共线且同向，所以 的最大值为 ，
故选：B
2．（2021·浙江高一期末）在 中， ，则 （
）
A．5∶3∶4 B．5∶4∶3 C． D．
【答案】D
【解析】
利用两个向量的数量积的定义可得 ，由此求得
的值，利用正弦定理可得 的值.
【详解】
由题意，在 中， ，
利用向量的数量积的定义可知 ，即即 ，
即 ，
设 ，
解得 ，所以 ，
所以由正弦定理可得 .
故选:D.
3．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知 中，角 的对边分别为 为 边上的
高，以下结论：其中正确的选项是（ ）
A． B． 为锐角三角形
C． D．
【答案】ACD
【解析】
画出图形，利用向量的数量积公式，三角形中余弦定理及向量的运算法则对各命题进行判断，看出每一个
命题的正误
【详解】
解：
，所以 ，故A正确；
若 ，则 为锐角，无法得到其他角的关系，故无法判断 的形状，故B错误；
而 ，故C正确由余弦定理有
故有 ，故D正确
故选：ACD．
4．【多选题】（2021·麻城市实验高级中学高三其他模拟）已知点 为 外接圆的圆心， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
根据垂径定理先求出 ，再求 即可.
【详解】
令 ，则 ，所以 （舍）或 ，
所以 ，所以 .
故选：BD.
5．（2021·河北高一期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称
其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边 ，若 的边长
为 ﹐且 ，则 的面积为___________.
【答案】
【解析】
先根据图形的构成判断出 ，利用余弦定理解出AF，利用面积公式即可求出 的面
积.
【详解】
因为 ，所以 .
设 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .6．（2021·苏州市第三中学校高一期中）在 中， ， ， ，点 是
内（包括边界）的一动点，且 ，则 的最大值是_________．
【答案】
【解析】
取 ， ，作 ，由平行四边形法则可得 点轨迹，确定所求最大值为 ；
利用平面向量数量积的定义和余弦定理可求得所需边长，利用勾股定理可求得结果.
【详解】
取 ， ，作 ，
为 内（包含边界）的一动点且 ，
根据平行四边形法则可知：点 的轨迹为线段 ， .
在 中， ，
， ，
， ，即 的最大值为 .
故答案为： .
7．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐标系 中，非零向量 ，在圆
上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
由条件得 ，代入坐标形式进行运算，得到 ，从而求得范
围.
【详解】
设点 ，由条件可知 ， ，设向量 与 的夹角为 ，由 得
，即 ，
因为 是非零向量，所以 ，于是 ，
因为 ，所以 ，所以 的取值范围是 ．
故答案为：
8．（2021·浙江高三月考）已知平面向量 夹角为 ，且平面向量 满足
记 为 （ ）的最小值，则 的最大值是__________．【答案】
【解析】
将条件转化，然后用数形结合求解.
【详解】
设 ， ， ，则 ， ，
依题意可知， ， ， ，故点 在△ 的外接圆 上.
其半径 ， 为点 到直线 的距离 ，
显然，当 运动到点 处时， 有最大值 .
故答案为： .
9．（2021·江苏苏州市·高一月考）我们知道，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明
某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的己知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证
明“三角形的三条高交于一点”.已知 ， ， 是 的三条高，求证： ， ， 相交
于一点.
【答案】证明见解析.
【解析】结合向量的数量积即可证明.
【详解】
如图，设 ，则 ，
①-②得： ，即
故 ，即 ，又
所以 ， ， 三点共线，
所以 ， ， 相较于一点.
10．（2021·浙江高一期末）甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅
在其南偏东 方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东 方向，
（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．
（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走
最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．
【答案】（1）点B与点P之间的距离为 海里，（2） .
【解析】
（1）画出图形，利用余弦定理求解即可；
（2）利用向量的加法的平行四边形法则画出图形，然后利用正弦定理求解即可.
【详解】（1）两船的位置图如下：
由图可得， ，所以
所以由余弦定理可得
所以点B与点P之间的距离为 海里
（2）如图， 的方向为水流的方向， 的方向为船头的方向， 的方向为实际行进的方向，
其中
在 中，由正弦定理可得
所以
即甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值为练提升
TIDHNE
1．（2020·江苏高考真题）在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得
AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是________．
【答案】 或0
【解析】
根据题设条件可设 ，结合 与 三点共线，可求得 ，再根据
勾股定理求出 ，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】
∵ 三点共线，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，∵ , , ，
∴ ，
设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
故答案为：0或 .
2．（2021·宁夏石嘴山市·高三二模（理））△ABC内角A，B，C的对边分別为a，b，c，
，则角B的值为________；若a＋c＝6，则AC边的中线的最小值
为________．
【答案】
【解析】
结合诱导公式及二倍角公式对已知式子进行化简，然后结合辅助角公式可得B；利用余弦定理及基本不等
式即可直接求解AC边的中线的最小值
【详解】∵ ，∴ ，
而 ，
∴ ，
∵ ，∴
即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，故 ；
延长中线 到点 ，使得 ，
不妨设中线长为 ，如图所示，即 ，
由平面几何知识易得四边形 是平行四边形，而 ，
∴ ， ， ，
∴在 中，由余弦定理得，
∴ ，当且仅当 时等号成立.故答案为： ； .
3．（2021·全国高三专题练习（理）） 中，内角 所对的边分别是 ，且
，则角 =__________；设点 是 的中点，若 ，则线段 的
取值范围是__________.
【答案】
【解析】
先由正弦定理，然后再化简、变形得 ，就可以求出角 .求 的取值范
围时，先将图形补成平形四边形，然后运用余弦定及基本不等式求范围.
【详解】
由正弦定理及 得，
.因为 所以 所以 ，又
所以 ；
把 补成平行四边形 （如图所示），在 中， ，
由余弦定理得 等号成立 ，
所以 .又 ，所以 .综上得 .
故线段 的取值范围是 .
故答案为： ； .4．（2021·浙江高一期末）在 中， ，G为其重心，直线 经过点G，且与射线 、
分别交于D、E两点，记 和 的面积分别为 ，则当 取得最小值时， 的
值为______．
【答案】
【解析】
设 ， ，根据重心位置及共线定理求得 ，根据面积公式分别表示出
分别与 ， 的关系，代入求得 取最小值时的参数 的值，根据 与 间的
关系求得结果.
【详解】
设 ， ， ，且G为三角形ABC的重心，延长AG交BC于H，延长CG交
AB于M，则 ，则 ，又D，G，E三点共线，
则 ，即 ，
，
同理得 ，
则 ，又 ，
则
当且仅当 即 时，等号成立，此时 ，
故答案为：
5．（2021·上海普陀区·高三二模）如图，在△ 中， ， ， ．若 为△ 内部的点且满足 ，则 ________．
【答案】
【解析】
根据已知的向量关系先分析出 ，然后通过设 ，根据相似三
角形以及正弦定理找到 的关系，从而可求解出 的结果.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，同理可知： ，
不妨设 ，所以 ，
又因为 ， ， ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ；
在 中， ，
所以 ，所以 ，
又在 中， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .6．（2021·浙江高三其他模拟）已知单位向量 ， 与非零向量 满足 ， ，
则 的最大值是______.
【答案】
【解析】
根据题意设 ， ， ，由 得出
的范围，由 得出关系 ，则
，根据得出的关系以及取等的条件可得出答案.
【详解】
设 ， ，
所以
由 ，可得 ，即
由 ，可得
所以
又 ，所以
则
当 时，等号成立.此时 ，或
即 ，或 （这与 矛盾，故舍去），
由 ，则 ，即
所以 ，解得
此时
所以
故答案为：
7．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高三三模）已知边长为2的正方形 边上有两点P､Q，满足
，设O是正方形的中心，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
先建立平面直角坐标系，再分类讨论求出各种情况下的 的范围即可得到答案.
【详解】
建立如下图所示的平面直角坐标系.①当 两点在正方形的同一边上时（含正方形的顶点）.
根据对称性，不妨设 ，由于 ，所以 满足 ，
可得 ，
所以 ；
②当 两点在正方形的相邻边上时（含正方形的顶点）.
根据对称性，不妨设 ，
所以 ，由于 ，所以 满足 ，
其表示的平面区域如下图所示：
令 ，当过 时， 有最小值 ，
当 与圆 相切时， 有最大值 ，
所以这种情况下 ；
③当 两点在正方形的对边上时（含正方形的顶点）.
根据对称性，不妨设 ，
所以 ，由图可知， ，
所以 .综上可知： .
故答案为： .
8．（2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟）已知平面内不同的三点O，A，B满足 ，若
时， 的最小值为 ，则 ___________.
【答案】
【解析】
由题设，将平面向量转化为平面几何图形，B在以A为圆心5为半径的圆上，利用向量加减、数乘的几何
意义分别确定D、E使 、 ，进而可知 表示
，若 是 关于 的对称点，可知 共线时 最小，△ 中应用余弦定理
求 ，即可求 .
【详解】
由题设，如下图示，若 ， ，则 ， ， ，即 ，
∴ ，即 ，
若 是 关于 的对称点，
∴ ，即 ，如下图示，
当且仅当 共线时，即 最小，
∵ ，即 ， ，
∴此时，△ 中， ，而 且 为锐角，∴ ，而 .
故答案为： .
9．（2021·江西南昌市·高一期末）已知 ， ， 分别是 内角 ， ， 所对的边，且满足
，若角 的角平分线交边 于点 ，且 ， ，求：
（1）求 的值；
（2）求边 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
（1）根据条件 先用正弦定理，再由两角和的公式化简即可求解；
（2）由题意得 ，再两边平方及角平分线定理求得 ，再运用余弦定理
可求解.
【详解】
（1）因为 ， 由正弦定理得 ，
，
即 ，
因为 、 为 的内角，所以 ，所以 ，因此 ．
（2）由题意得 ，两边平方得 ，
整理得 ，
又因为角 的角平分线交边 于点 ，可得 ，即得
代入上式得 ，
整理得 ，
再由余弦定理得： ，
解得边 .
10．（2021·山东泰安市·高一月考）三角形ABC中， ，点E是边BC上的动点，当E为BC中点
时，
（1）求 和 ;
（2） 是 延长线上的点， ，当 在 上运动时，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）在 中利用余弦定理求解出 的值，在 中利用余弦定理求解出 的值，然后利用余弦值求解出 ；
（2）将 分别表示为 ， ，然后根据数量积运算确定出何时取最大值并求解出最
大值.
【详解】
解：（1）当 为中点时，设 ，则由余弦定理得
，解得 ，
此时 ，由余弦定理得
，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）由 得 ， ，
所以
，
所以，当 取最小即 时上式最大，此时 ，
所以 ，所以 的最大值为 .
练真题
TIDHNE1．（2020·全国高考真题（理））在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据已知条件结合余弦定理求得 ，再根据 ，即可求得答案.
【详解】
在 中， ， ，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故 .
故选：A.
2．（2020·全国高考真题（文））在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】
先根据余弦定理求 ，再根据余弦定理求 ，最后根据同角三角函数关系求【详解】
设
故选：C
3.（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86
（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有
A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 满足 ， ．由C
点测得B点的仰角为 ， 与 的差为100；由B点测得A点的仰角为 ，则A，C两点到水平
面 的高度差 约为（ ）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【解析】
通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得 ，进而得到答案．
【详解】过 作 ，过 作 ，
故 ，
由题，易知 为等腰直角三角形，所以 ．
所以 ．
因为 ，所以
在 中，由正弦定理得：
，
而 ，
所以 ，
所以 ．
故选：B．
4．（2021·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测
海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的
差”则海岛的高 （ ）
A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距
【答案】A
【解析】
利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】
如图所示：
由平面相似可知， ，而 ，所以
，而 ，
即 ＝ ．
故选：A.
5.（2021·全国高考真题（理））已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】
因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ，即 .
故选：A
6．（2021·全国高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在
边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
（1）根据正弦定理的边角关系有 ，结合已知即可证结论.（2）由题设 ，应用余弦定理求 、 ，又
，可得 ，结合已知及余弦定理即可求 .
【详解】
（1）由题设， ，由正弦定理知： ，即 ，
∴ ，又 ，
∴ ，得证.
（2）由题意知： ，
∴ ，同理 ，
∵ ，∴ ，整理得 ，又 ，
∴ ，整理得 ，解得 或 ，
由余弦定理知： ，
当 时， 不合题意；当 时， ；
综上， .
