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专题突破卷 08 三角形中的“四心”问题
题型一：三角形的心的向量表示
1．已知点 在 所在平面内，且 ， ，
，则点 依次是 的（ ）
A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心
C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心
【答案】A
【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可.
【详解】因为|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|，即O到 各顶点距离相等，所以O为 的外心；
取 的中点分别为 ，连接 ，
则有 ，
所以 三点共线， 三点共线， 三点共线，
即N为 的重心；由 ，即 ，同理 ，
所以 为 垂线的交点，故 为 的垂心.
故选：A
2．已知O是 所在平面上的一点，若
，则点O是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】根据向量数量积的运算律，即可得 ，结合外心定义即可求解.
【详解】由已知得 ，
所以 ，所以 ，
所以点O是 的外心，
故选:A．
3．已知平面上四个点 ，其中任意三个不共线．若 ，则直线
一定经过三角形 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】由题意得 ，即 边上的高所在直线为 ，由此即可得解.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，即直线 一定经过三角形 的 边上的高，即直线 一定经过三
角形 的垂心.
故选：D.
4．在 中， 为 的重心， .则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形重心的性质，结合向量线性运算的性质，即可求解.
【详解】根据三角重心的性质，有 ，
所以 ， ，故 .
故选：B
5．已知 ，若点P满足 ，其中 ，则点P的轨迹一定通过
的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】B
【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可.
【详解】 指向角A的平分线方向，
而 与 是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向，
所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上，
所以点P的轨迹会经过内心.
故选：B.
6．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发
表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知 ，为 所在平面上的点，满足
，
，则欧拉线一定过（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量等式的含义以及向量的运算，分别说明 为 的外心、垂心、
重心、内心，继而根据欧拉线定理可得结论．
【详解】由题意知 ，即 为 的外心；
，则 为 的重心；
，
即有 ，
即 ，同理 ，即 为 的垂心；
由解析题中向量式中有 两共起点的向量，
于是 ， ，
令 ，
则 是以 为起点，向量 与 所在线段为邻边的菱形对角线对应的向量，
即 在 的平分线上,
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！共线,
所以点 的轨迹一定通过 的内心,
由欧拉线定理知，欧拉线一定过 .
故选：C.
7．在 ABC中，O为BC的中点，若 ，则动点M的轨迹必通过 ABC的
△ △
（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】本题根据O是BC的中点，结合给定的向量条件式，即可判断动点M的轨迹.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为O是BC的中点，所以直线MO是BC的中垂线，
故动点M的轨迹必通过 的外心.
故选：B.
8．已知O，P，N在 所在平面内，满足 ，且
，则点P，O，N依次是 的（ ）
A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心
C．垂心，外心，重心 D．外心，重心，内心
【答案】C
【分析】根据 到三角形三个顶点的距离相等，得到 为外心；根据中线的性质，可得
为重心；根据向量垂直，即得到 是垂心.
【详解】 ， 到三个顶点的距离相等，所以为外心；
， ， 所在直线经过 中点 ，与中
线共线，同理可得 ， 分别与 ， 边的中线共线， 是三角形中三条中线的
交点， 是重心；
， ， ，同理得到另外两个向量都与边垂直，得到 是三角形的垂心.
故选：C.
9．已知G是 的重心，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用正弦定理得 ，再由三角形重心性质
得出 ，再结合三边一角用余弦定理即可求出结果.
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，
由三角形重心性质知 ，得 ，
即 ，
故由余弦定理得 .
故选：D
10．已知 ，向量 ， ， 满足条件 ，|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|．
则 是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
【答案】C
【分析】首先由条件判断点 是 的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状.
【详解】如图，点 是 的中点，所以 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为 ，即 ，即 ，
则点 三点共线，且 ，所以点 是 的重心，
又 ，所以点 是 的外心，则 ，即 ，
所以 ，同理 ，则 ，
所以 是等边三角形.
故选：C
题型二：根据向量关系判断三角形的心
11．下列说法正确的是（ ）
A．已知P在 所在平面内，满足 ，则点P是 的外心
B．长方体是平行六面体
C．已知 ， 是夹角为 的单位向量，且 ， ，则
D．在复平面内，已知平行四边形ABCD的顶点A，B，C，D对应的复数分别是 ，
， ，z，则
【答案】BCD
【分析】结合外心、平行六面体的定义，判断AB，结合向量的数量积运算，判断C，结合
复数的几何意义，以及平行四边形的性质，判断D.
【详解】对于A，记BC的中点为D，因为 ，所以
，
所以P，A，D三点共线，故点P在中线AD上，同理点P也在 的另外两条中线上，
则点P是 的重心，故A错误；对于B，底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，则长方体是平行六面体，故B正确；
对于C， ， 是夹角为 的单位向量，则 ，
， ，则 ，
故 ，故C正确；
对于D，由复数的几何意义得 ，则 ，
设 ，则 ，
由四边形ABCD为平行四边形，得 ，即 ，解得 ，
故点D对应的复数为 ，故D正确.
故选：BCD.
12．点 在 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若 ，则点 为 的外心（外接圆圆心）
B．若 ，则动点 的轨迹一定通过 的重心
C．若 ， ， 分别表示 ， 的面积，则
D．若 ，则点 是 的
内心
【答案】BCD
【分析】A选项，计算出 ， ⊥ ，同理可得 ⊥ ， ⊥ ，则点
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！为 的垂心；B选项，作出辅助线，得到 ，故点 在中线 上，故
向量一定经过 的重心；C选项，作出辅助线，得到 ，从而得到所以
，故 ；D选项，作出辅助线，得到 ，
故 ⊥ ，并得到 在 的平分线上，同理可得， 在 的平分线上.
【详解】A选项， ，即 ，故 ⊥ ，
同理可得 ⊥ ， ⊥ ，则点 为 的垂心，A错误；
B选项，过点 作 ⊥ 于点 ，取 的中点 ，连接 ，
则 ， ，
则 ，
故点 在中线 上，故向量一定经过 的重心，B正确；
C选项，如图， 分别为 的中点，
，
则 ，故 ，
所以 ，
故 ，C正确；D选项， 分别表示 方向上的单位向量 ，
故 ，
，故 ⊥ ，
由三线合一可得， 在 的平分线上，同理可得， 在 的平分线上，
则点 是 的内心，D正确.
故选：BCD
13．已知点 在 所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若 为 的垂心，且 ，则
B．若 ，则 的面积与 的面积之比为
C．若 ，则动点 的轨迹经过 的外
心
D．若E，F，G分别为 ， ， 的中点，且 ， ，则
的最大值为
【答案】ACD
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】A将 转化为 ，然后求数量积；B将 拆成 ，然后根据线
性运算得到 ，然后求面积比即可；C由题意得 ，然
后根据 得到 ，即可得到动点 的轨迹经过 的外心；D根据
得到点 的轨迹，将 转化为 ，然后求数量积，根
据点 的轨迹求最值.
【详解】A选项， ，故A正确；
B选项，设 中点为 ， 中点为 ，
，即
，
所以点 为中位线 靠近点 的三等分点，所以 ，故B错；
C选项，设 中点为 ，则 ，
结合题设
所以 ，所以 ，
又 的中点为 ，所以 在 的中垂线上，
所以动点 的轨迹经过 的外心，故C正确；
D选项，设 中点为 ，因为 ，所以点 的轨迹为以 为直径的圆，
结合上图，
,
当 为直径时 最大，最大为 ，故D正确.
故选：ACD.
14．设点O是 所在平面内任意一点， 的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，已知点O不在 的边上，则下列结论正确的是（ ）
A．若点O是 的重心，则
B．若点O是 的垂心，则
C．若 ，则点O是 的外心
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！D．若O为 的外心，H为 的垂心，则
【答案】ACD
【分析】根据重心分中线长度为 ，结合向量的线性运算可判断A，根据垂心的性质及
向量的线性运算判断B，根据向量的线性运算及数量积运算可得O到顶点距离相等即可判
断C，根据垂心的性质利用数量积运算，化简可得 垂直两个不共线向量，
即可得解判断D.
【详解】取 中点 ，如图，
因为点O是 的重心，所以 ，故A正确；
因为点O是 的垂心，所以 ，
故 ，故B错误；
因为 ，所以 ，
同理可得 ，所以 ，即 为外心，故C正确；
如图，
因为 ，
所以 ，两式相减可得 ，
同理可得 ，若 ，该平面向量同时垂直
于 ， ，显然不可能，所以 ，
即 ，故D正确.
故选：ACD
15．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．
奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：
已知M是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
．以下命题正确的是（ ）
A．若 ，则M为 的重心
B．若M为 的内心，则
C．若 ， ，M为 的外心，则
D．若M为 的垂心， ，则
【答案】ABD
【分析】A选项，作出辅助线，得到 ，故 ，同理得到
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！， ，所以M为 的重心，故A项正确；B选项，设内切圆半
径为r，得到 ， ， ，代入公式得到
；C选项，设 的外接圆半径为R，表达出 ，
， ，从而得到答案；D选项，求出 ，设 ，
，由面积比得到 ， ，由三角函数值得到方程，得到
，同理得到 ，利用 求出
答案.
【详解】对于A，取BC的中点Q，连接MQ，
由 ，则 ，
所以 ，
所以A，M，Q三点共线，且 ，
设R，T分别为AB，AC的中点，同理可得 ， ，
所以M为 的重心，故A项正确；
对于B，由M为 的内心，设内切圆半径为r，则有 ， ， ，
所以 ，
即 ，故B项正确；
对于C，由M为 的外心，设 的外接圆半径为R，
又因为 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
，
，
所以 ，故C错误；
对于D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E，
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由M为 的垂心， ，则 ，
又 ，则 ， ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，同理 ，
故 ， ，
∴
，故D正确．
故选：ABD．
16．在 中，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若 ，则 为锐角三角形
B． 内一点 满足 ，则 是 的重心
C．若 ，则 的形状为等腰三角形D．若 ，则 必为 的垂心
【答案】BD
【分析】对于A，由 可得角 为锐角，对于B，由向量加法和共线及三角形重
心概念判断，对于C，对 转化为 ，再两边同平方即可
判断，对于D，由向量运算性质和三角形垂心概念可判断
【详解】对A，由 可得 ，所以 ，由此仅可得 为锐
角，但 可能为钝角三角形，A错；
对B，设 的中点为 ，由 可得 ，
所以 ，所以G是 的重心,B对；
对C，由 可得 ，
两边同平方化简得 ，由此可得 的形状为直角三角形，C错；
对D，由 可得 ，即 ，故 ，所以
，
所以点 在边 的高上，同理可得点 也在其它两边的高上，所以点 为 的垂心，
D对.
故选：BD.
17．下列结论正确的是（ ）
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A．已知 是非零向量， ，若 ，则
B．向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为60°，则 在 上的投影向量为
C．点P在△ABC所在平面内，满足 ，则点P是△ABC的外心
D．以 为顶点的四边形是一个矩形
【答案】AD
【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，
即可容易判断选择.
【详解】对于A：因为 ，所以 ，即 ，
又 是非零向量， ，所以 ，故A正确；
对于B：因为向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为60°，
故可得 ，故 在 上的投影向量为 ，故B错误；
对于C：点P在△ABC所在平面内，满足 ，则点P为三角形的重心，故
选项C错误；
对于D：不妨设 ，
则 ，故四边形是平行四边形；
又 ，
又 ，则 ，故四边形是矩形.故选项D正确.
故选：AD.
18．在 中， 是边 中点，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是 在 上的投影向量B．若点Q是线段AD上的动点，且满足 ，则 的最大值为
C．若O为 的外心，点P满足 ，则P为 的内心
D．若单位向量 满足 ，且 ，则
【答案】AD
【分析】根据条件得到 为 的平分线，则 ，从而判断A；利用向量三点
共线的推论，将 转化为关于 的函数，从而判断B；利用向量的线性运算可得 的几何
性质，故可判断C；利用向量数量积的运算法则与转化法判断D.
【详解】对于A，如图所示， ， ， 分别表示平行于 ， ， 的单位向
量，
由平面向量加法可知： 为 的平分线表示的向量，
又 ，所以 为 的平分线，
又因为 为 的中线，所以 ，
所以 向量 在向量 的投影向量，故A正确；
对于B，因为 在 上，即 ， ， 三点共线，
设 ， ，
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！又因为 ，所以 ，
因为 ，则 ， ，
则 ，
所以当 时， 取最大值为 ，故B错误；
对于C，因为 是边 中点，所以 ，
由 ，得 ，则 ，即 ，
因为O为 的外心，所以 ，则 ，
同理可得 ，故P为 的垂心，故C错误；
对于D，因为 ， ，
所以 ，
因为 是边 中点，所以 ， ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 ，故D正确.
故选：AD.
19．下列说法中，正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．在平行四边形 中，
C．在 中，若 ，则 是钝角三角形．
D． 内有一点 ，满足 ，则点 是三角形的重心【答案】CD
【分析】A选项，举出反例；B选项，利用向量减法法则得到答案；C选项，根据条件得
到 为钝角，C正确；D选项，作出辅助线，利用向量基本定理得到 ，故点
是三角形的重心.
【详解】A选项，若 ，满足 ，但不满足 或 ，A错误；
B选项，在平行四边形 中， ，故B错误；
C选项，在 中，若 ，则 为钝角，故 是钝角三角形，C正确；
D选项，取 的中点 ，连接 ，
则 ，又 ，故 ，
则点 是三角形的重心，D正确..
故选：CD
20．如图，已知直线 ，点 是 ， 之间的一个定点，点 到 ， 的距离分别为1和
2，点 是直线 上的点，点 是直线 上的点，且 ，平面内一点 满足：
，则（ ）
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． 为直角三角形 B．
C． 面积的最小值是 D．
【答案】ABD
【分析】
利用数量积的运算法则与三角形重心的向量表示判断AB；设 ，利用三角形面积
公式结合正弦函数性质判断C；利用数量积的运算法则，结合基本不等式判断D.
【详解】
对于A，因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，则 ，
所以 为直角三角形，故A正确；
对于B，取 中点 ，连接 ，如图，
由 ，得 ，因此点 是 的重心，
则 ，故B正确；
对于C，过 点作 ，则 共线， ，设 ，而 ，则 ，
所以 ，又点 为 的重心，
所以 的面积 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故C错误；
对于D，与选项B同理可得 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，则 ，故D正确；
故选：ABD
题型三：垂直关系的向量表示
21．下列关于平面向量的说法中错误的是（ ）
A．设 ， 为非零向量，若 ，则
B．设 ， 为非零向量，若 ，则 ， 的夹角为锐角
C．设 ， ， 为非零向量，则
D．若点 为 的外心，则
【答案】BCD
【分析】利用向量的运算结合数量积公式即可判断选项ABC，结合向量的线性运算即可判
断D.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】对于A，若 ，
则 ，可得 ，
又 ， 为非零向量，所以 ，A正确；
对于B，若 ，且 ， 为非零向量，
所以 ， 夹角为锐角或者同向，B错；
对于C， 与 共线， 与 共线，C错；
对于D，若点 为 的重心，
延长 交 于 ，可得 为 中点，
即有 ，
即有 ，
而 为 的外心，与重心性质不符，D错.
故选：BCD
22．已知点 在 所在的平面内，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为 的垂心
C．若 且 （ ， ），则D．若 ， ， ，且 ，则 的值为
【答案】BCD
【分析】根据平面向量数量积的几何意义可判断；易知点 是 的中点，从而得
，再根据垂心的含义即可判断；由平面向量基本定理知 ， ， 三点共线，
再利用三角形的面积公式；将 两边分别同时乘以 和 ，可得关于
和 的方程组，解之即可判断．
【详解】解：因为 ，所以点 是 外接圆的圆心，
A． ，即选项错误，不符合题意；
B．若 ，则点 是 的中点，所以 是圆 的直径，即 ，
所以点 是 的垂心，即选项正确，符合题意；
C．由 知， ， ， 三点共线，设 的以 为底边的高
为 ，则 ，即 ，故选项正确，符合题意；
D．由 知， ，
所以 ，
即 ，
整理得 ，
由 知， ，
同理可得 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！联立解得 ， ，
所以 ，即选项正确，符合题意．
故选：BCD．
23．下列有关平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知 ， 均为非零向量，若 ，则
B．若 且 ，则
C．在 中，若 ，则点 为BC边上靠近 的三等分点
D．在平面四边形 中，若 ，则四边形 为矩形
【答案】AC
【分析】利用数量运算律结合垂直关系的向量表示判断AB；利用向量共线判断CD.
【详解】对于A，由 ，得 ，则 ，
而 ， 均为非零向量，因此 ，A正确；
对于B，由 ，得 ，当 时， ，B错误；
对于C，由 ，得 ，即 ，
则点 为BC边上靠近 的三等分点，C正确；
对于D，由 ，得 ，即 ，
在平面四边形 中， ，四边形 为平行四边形，
没有条件可确保该四边形为矩形，D错误.
故选：AC
24．下列有关向量的命题正确的是（ ）
A．若 均为非零向量，且 ，则
B．已知单位向量 满足 ，则C．在 中，若 ，且 ，则 为等边三角形
D．若点 在 所在平面内，且 ，
则点 的轨迹经过 的外心．
【答案】BCD
【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据模长关系结合数量积的运算律分析判断；
对于C：根据单位向量结合三角形几何性质分析判断；对于D：利用平面向量数量积的运
算性质分析判断.
【详解】对于选项A：例如 ，则 ，但 ，故A错误；
对于选项B：由题意可知： ，
因为 ，即 ，
可得 ，则 ，
即 ，解得 ，故B正确；
对于选项C：因为 分别表示与 共线的单位向量，
则 表示 的角平分线上的向量，
若 ，可知|⃗AB|=|⃗AC|；
又因为 ，即 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！且 ，可得 ；
综上所述： 为等边三角形，故C正确；
对于选项D：设线段 的中点为 ，连接 ，则 ，
因为 ，
可得 ，
则
，
即 ，可知点 在 的中垂线上，
所以，点 的轨迹经过 的外心，故D正确.
故选：BCD.
25．下列说法正确的是（ ）
A．
B． ，将 绕原点旋转 到 位置，则点 的坐标为
C．已知 ， ，则D．点 在 所在平面内，且满足 ，则 是 的垂
心
【答案】AD
【分析】对A：借助三角恒等变换公式化简即可得；对B：借助三角函数定义计算可得 ，
即可得 的坐标；对C：借助同角三角函数基本关系与两角差的余弦公式计算即可得；对
D：借助向量的线性运算与垂直定义计算即可得.
【详解】对A：
，故A正确；
对B：设 ， ，则 ， ，
则 ，
由 ，
，
则 ，故 ，故B错误；
对C： ，
，
则
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故 ，故C错误；
对D：由 ，
则有 ，即 ，
即 ，同理可得 、 ，
故 在 的垂心，故D正确.
故选：AD.
26．下列叙述正确的是（ ）
A．在等边三角形 中， 与 的夹角为
B．若二非零向量 ， 满足 ，则
C．已知向量 ， ， ，若 ， ，则
D．若 为 所在平面内一点，且 ，则 为 的垂
心
【答案】BD
【分析】利用向量夹角的意义判断A；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断
BD；利用共线向量的意义判断C.
【详解】对于A，在等边三角形 中， 与 的夹角为 ，A错误；
对于B，由 ，得 ，而 ， 均为非零向量，则 ，B正确；
对于C，当 时， ， 不共线，也满足 ， ，C错误；
对于D，由 ，得 ，即 ，同理 ，又 为 所在平面内一点，则 最多一个为零
向量，
若 均为非零向量，则 ， 为 的垂心，
若 中只有一个零向量，不妨令 ，则 是直角， 即 为 的
垂心，D正确.
故选：BD
27．已知 为 所在平面内的一点，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 且 ，则
B．
C． 与 的面积之比为
D． 与 的面积之比为
【答案】ABD
【分析】对于A，由条件，求出 ，再开方可得 ，即可判断；对于B，由
，通过向量的线性运算可得 ，即可判断；对于C，由
，可得 ，即可判断；对于D，由 ，
可得 ， ，则得 ，即可
判断.
【详解】若 且 ，则 ，
则 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，故A正确；
因为 ，
所以 ，故B正确；
因为 ，所以 ，故C错误；
因为 ，所以 ， ，所以
，故D正确．
故选：ABD．
28．欧拉线定理指出三角形的外心､垂心､重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距
离是重心与垂心之间的距离的一半.设 分别是 的外心､垂心和重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用向量的线性运算，结合三角形外心、垂心、重心的意义及欧拉定理，逐项计
算判断即得.
【详解】对于A，连接 并延长，交 于点 ，则 是 的中点， ，
于是 ，当 时， 不共线，即 ， A错
误；
对于B，由欧拉线定理得 ，有 ，则 ，B
正确；
对于C， 是 的垂心，即 ，则 ，
于是 ，即 ，C正确；对于D，由欧拉线定理知 ，则 ，即 ，D
正确.
故选：BCD
29．已知 ， 分别为该三角形的垂心、外心，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 在 上的投影向量为
B．若 且 ，则
C．若 的内角 所对的边分别 ，则“ ”是“ 为
等腰三角形”的充分不必要条件
D．若 ，则
【答案】AB
【分析】求出 在 上的投影向量可判断A；由 可判断B；由
正弦定理充分条件的定义可判断C；设 ，由
， ， ，化简解得
， ， ，求出 ，可得 可判断D.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】对于A，若 ， ， ， ， ，
则 在 上的投影向量为
，故A正确；
对于B，若 ，因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故B正确；
对于C，若 ，则正弦定理得 ， ，
，可得 或 ，
所以 或 ，可得 不一定为等腰三角形，故C错误；
对于D，因为 分别为该三角形的垂心，所以
， ，
， ，
设 ，
若 ，则 ，
， ，
所以 ,
， ，
, ，
，解得 ， ， ，
则 ， ，
所以 ，故D错误.
故选：AB.
30．下列说法正确的（ ）
A．非零向量 ，若 与 共线，则
B．非零向量 满足 ，则
C．在 中，若 ，且 ，则 为等边三角
形
D．已知单位向量 满足 ，则
【答案】BC
【分析】根据共线即可判断A，根据垂直可得数量积为0，即可判断B，根据单位向量的性
质，结合数量积的运算即可求解C，利用模长公式即可求解D.
【详解】对于选项A，当 与 反向时， 故A错误;
36
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于选项B 故 ，B正确;
对于选项C, 表示与 同向的单位向量， 表示与 同向的单位向量，
，所以 与 夹角为 表起点相同的两个单位向量的和向
量，为 角平分线同向的向量，与 垂直，所以 ，所以 为等边三角
形，C正确;
对于选项D，因为 ，所以 ，两边平方得， ，
即 D错误.
故选：BC
1．已知△ABC的重心为O，则向量 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】△ABC的重心O为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点，根据向量线性运
算的几何表示结合条件即得.
【详解】设 分别是 的中点，
由于 是三角形 的重心，所以 .
故选：C.
2．O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足 ，
，则P的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
【答案】D
【分析】根据向量线性关系可得 ，结合 的几何意义判断所过的
点，即可得答案.
【详解】由题设 ，
而 所在直线过 中点，即与 边上的中线重合，且 ，
所以P的轨迹一定通过 的重心.
故选：D
3．在 中，设 ， ， 为 的重心，则用向量 和 为基底表示向量
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出图形，根据平面向量的线性运算即可求解.
【详解】如图， 为 的重心，延长 交 于点 ，
38
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由题意可知 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
4．设 为 的重心，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.
【详解】因为 为 重心，
所以 ，
所以 ，
故选：B.
5．边长为2的正 中，G为重心，P为线段BC上一动点，则 （ ）
A．1 B．2
C． D．
【答案】B
【分析】建立适当的直角坐标系，根据题意求出点 和点 的坐标，利用平面向量数量积
的坐标运算即可求解.
【详解】如图：以 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线所在直线为 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意可知： ，
因为G为 的重心，所以 ，
因为点 为线段 上一动点，设点 ，
所以 ， ，则 ，
故选： ．
6．在平行四边形 中， 为 的重心， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】设 与 相交于点 ，根据 为 的重心，化简得到 ，
结合 ，求得 和 的值，即可求解.
【详解】如图所示，设 与 相交于点 ，由 为 的重心，
可得 为 的中点，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ，故 .
故选：A.
40
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7．在三棱锥P-ABC中，点O为 ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中
△
点，若 ， ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解.
【详解】取 中点为 ，
三个式子相加可得 ,
又
,
故选：D
8．已知 ， ， 是不在同一直线上的三个点， 是平面 内一动点，若
， ，则点 的轨迹一定过 的（ ）A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】B
【分析】设出 的中点 ，利用向量的运算法则化简 ； 据向量共线的
充要条件得到 在三角形的中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ，
则 ．又 ，
，即 ．
又 ，
点在射线 上．
故 的轨迹过 的重心．
故选：B．
9．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N
两点，设x ＝ ，y ＝ ，则 的值为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】A
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】由向量共线的推论知 且 ，结合已知有
，再由重心的性质有 ，根据平面向量基本定理列
方程组即可求值.
【详解】由题意 且 ，而x ＝ ，y ＝ ，
所以 ，
又G是△ABC的重心，故 ，
所以 ，可得 ，即 .
故选：A
10．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足： ＝
，则直线AP一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【分析】取线段BC的中点E，则 ．动点P满足： ，
，则 ．即可判断出结论．
【详解】取线段BC的中点E，则 ．
动点P满足： ， ，
则
则 .则直线AP一定通过△ABC的重心．
故选：C．
11．在 中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设 ，
，（ ， ），则 的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【分析】先利用平面向量基本定理及三点共线得到 ，利用基本不等式“1的妙
用”求出最小值.
【详解】在 中，E为重心，所以 ，
设 ， ，（ ， ）
所以 ， ，所以 .
因为M、E、N三点共线，所以 ，
所以 （当且仅当 ，即 ，
时取等号）．
44
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故 的最小值是3．
故选：C．
12．在 中， ，G为 的重心，若 ，则 外接圆
的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先由条件判定△ABC为等边三角形，再求得△ABC的边长，利用正弦定理求
△ABC外接圆的半径即可解决.
【详解】由 ，可得 ，则有 ，
又在 中， ，G为 的重心，则 为等边三角形，
∵ ，
则 ，
∴ 外接圆的半径为
故选：C．
13．记 内角 的对边分别为 ，点 是 的重心，若
则 的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平向向量的线性运算得到 ，再由直角三角形斜边中线是斜
边的一半与三角形重心的性质求得 ，从而利用平面向量的数量积运算得到，结合余弦定理整理得 ，从而求得
.
【详解】依题意，作出图形，
因为点 是 的重心，所以 是 的中点，故 ，
由已知得 ，
因为 ，所以 ，
又因为点 是 的重心，所以 ，则 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
又由余弦定理得 ，所以 ，整
理得 ，
因为 ，令 ，则 ，
所以 ，
则 .
故选：D.
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14．点 是 的重心， ，则 （ ）
A．32 B．30 C．16 D．14
【答案】A
【分析】利用勾股定理和向量垂直数量积为0，列向量方程求解即可.
【详解】记 ，
因为 是 的重心，
所以 ， ，
因为
所以
整理得
所以 ，解得 ，即
故选：A15．已知点G为三角形ABC的重心，且 ，当 取最大值时，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设可得 ，结合 ， 及余弦定理
可得 ，根据基本不等式即可求解.
【详解】由题意 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
又 ， ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则 ，
所以 ，即 ，
由 ， ， ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
又 在 上单调递减， ，
所以当 取最大值时， .
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合
三角形重心的性质和余弦定理可得 ，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，
属于较难题.
16．已知 为 的重心， ， ，则 的可能取值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】CD
【分析】利用重心性质把 用 表示后平方求模，得出其取值范围后可得正确选项．
【详解】如图， 是 的重心，记 ，
则 ，
，
又 ，即 ，所以 ，当且仅当 时等
号成立，所以 ．即 ．只有CD满足．
故选：CD．
17．如图， 是 所在平面内任意一点， 是 的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用平面向量的线性运算可判断ABC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判
断D选项.
【详解】对于A选项，由题意可知， 、 、 分别为 、 、 的中点，
所以， ，
同理可得 ， ，
所以， ，A错；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于B选项，由重心的性质可知 ， ， ，
由A选项可知， ，
所以，
，B
对；
对于C选项，由重心的性质可知 ， ， ，
所以，
，C对；
对于D选项， ，
同理可得 ， ，
因此， ，D对.
故选：BCD.
18．已知 的重心为 ，过 点的直线与边 ， 的交点分别为 ， ，若
，且 与 的面积之比为 ，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】BD
【分析】设 ，利用重心的性质，把 用 、 表示，再由 ， ， 三点
共线得关于 ， 的方程，再由三角形面积比得关于 ， 的另一方程，联立即可求得实数
的值．
【详解】解：如图， ， ，即 ，设 ，则 ，
三点共线， ， ，
所以 ， 与 的面积之比为 ，
， 即 ，化简得
，解得 或3.
故选：BD
19．在 中， 为重心， ， ，则 = .
【答案】
【分析】设 中点为 ，根据向量线性表示可得 ， ，然后根
据向量数量积的运算律结合条件即得.
【详解】设 中点为 ，
为 的重心且 ，
， ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为 ， ，
所以 .
故答案为： .
20．已知等边 的重心为O，边长为3，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正三角形的性质结合数量积的定义求解作答.
【详解】在等边 中，延长 交 于 ，如图，
因为 为重心，则 ， ，
所以 .
故答案为：
21．已知 的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若 ，
，则 .
【答案】3
【分析】先由向量的线性运算求得 ，再由G，D，E三点共线得
，即可求得 .【详解】
如图，设F为BC的中点，则 ，又 ， ，
则 ，又G，D，E三点共线，∴ ，即 .
故答案为：3.
22．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为 的重心， ，
，则 .
【答案】
【分析】根据 及余弦定理建立方程得出 ，再由余弦定理求
解即可．
【详解】连接AO，延长AO交BC于D，
由题意得D为BC的中点， ，所以 ，
因为 ，
所以 ，得 .
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故答案为：
23．在 中， ， ， ， 为 的重心， 在边 上，且
，则 ．
【答案】
【分析】根据 为 的重心，得到 ，再由 和 ，
利用等面积法求得 ，进而得到 ，方法一：利用基底法求解；方法二：以 坐标原
点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【详解】解：因为 为 的重心，
所以 ，
因为 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
在 中， ．
方法一：因为 ，
，所以 ，
．
方法二：以 坐标原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ，
由方法一可知 ， ，
所以 ．
24．设 为 的重心，若 ，则
．
【答案】
【分析】注意到结论“ 为 重心，则 ”，不妨创设条件：
，则可得直角三角形，从而可得 .
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又因为 ，
不妨设 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以
故答案为： .
25．若点 为 的重心，且 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】设 中点为 ，连接 ，可得 ， ，利用平面向量的加法和减
法运算得出 ， ，由此可得 ，化简
得出 ，利用余弦定理结合基本不等式可求得 的最小值，进而可求得
的最大值.
【详解】设 中点为 ，连接 ，角 、 、 的对边为 、 、 ，
， 为 的中点，所以 ， ，
，即 ，
， ，可得 ， ，
由余弦定理得
，当且仅当 时，等号成立，
所以， .
因此， 的最大值为 .
故答案为： .
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