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格致课堂
6.4.1 平面几何中的向量方法
一、选择题
1．在四边形ABCD中,若 ,且| |=| |,则这个四边形是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
【答案】C
【解析】
由 知DC∥AB,且|DC|= |AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为| |=| |,所以四边
形ABCD是等腰梯形.故选C
2．（2020·全国高一课时练习）已知 是 所在平面内一点，且满足
，则 为
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
因为 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由此可得以 为邻边的平行四边形为矩形，所以 ，得 的形状是直角三角
形．故选B。
3．（2020·全国高一课时练习）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，格致课堂
，则 （ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ,又因为 是 的中点，
所以 ,
故选C.
4．（2020·全国高一课时练习） 为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若
，则 是（ ）
A．以AB为底面的等腰三角形
B．以BC为底面的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形
D．以BC为斜边的直角三角形
【答案】B
【解析】根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算．
因此可知
，所以 可知为
故有 ，因此可知b=c，说明了是一个以BC为底边的等腰三角形，故选B.
⃗a,⃗b,⃗c ⃗a与⃗b
5.（多选题）设 为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量。且满足 不共线，
⃗a⊥⃗c |⃗a|=|⃗c|
， ，则 的值一定等于（ ）格致课堂
⃗a与⃗b
A.以 为邻边的平行四边形的面积
⃗b，⃗c
B.以 为邻边的平行四边形的面积
⃗a与⃗b
C.以 为两边的三角形的面积的2倍；
⃗b，⃗c
D.以 为两边的三角形面积。
【答案】AC
【解析】设
⃗b，⃗c
的夹角为α ，
⃗a与⃗b
的夹角为 θ ，则
| ⃗b⋅⃗c|=| ⃗b||⃗c||cosα|=| ⃗b||⃗a||cos(90° ±θ)|=| ⃗b||⃗a|sinθ
，故选AC。
ΔABC
6.（多选题）点O在 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
O⃗A+O⃗B+O⃗C=0⃗ ΔABC
A.若 ，则点O是 的重心。
⃗AC ⃗AB ⃗BC ⃗BA
O⃗A⋅( − )=O⃗B⋅( − )=0
|
⃗AC|
|
⃗AB|
|
⃗BC|
|
⃗BA|
ΔABC
B.若 ，则点O是 的垂心。
(O⃗A+O⃗B)⋅ ⃗AB=(O⃗B+O⃗C)⋅ ⃗BC=0
ΔABC
C.若 ，则点O是 的外心。
O⃗A⋅O⃗B=O⃗B⋅O⃗C=O⃗C⋅O⃗A ΔABC
D.若 ，则点O是 的内心。
【答案】AC
O⃗A=−(O⃗B+O⃗C)=−2O⃗D
【解析】选项A，设D为BC的中点，由于 ，所以O为BC边上中线
⃗AC ⃗AB
，
ΔABC |
⃗AC|
|
⃗AB|
的三等分点（靠近点D），所以点O是 的重心。选项B，向量 分别表示在边
⃗AC ⃗AB
O⃗A⋅( − )=0
⃗ AC'和 ⃗ AB' ⃗ B'C' | ⃗AC| | ⃗AB|
AC和AB上去单位向量 ，记它们的差为向量 ，则当 ，即
⃗BC ⃗BA
O⃗B⋅( − )=0
OA⊥B'C'
时，点O在
∠BAC
的平分线上，同理由
|
⃗BC|
|
⃗BA|
，知O在
∠ABC
的平格致课堂
ΔABC O⃗A+O⃗B O⃗A，O⃗B
分线上，所以点O是 的内心。选项C， 是以 为邻边的平行四边形的一条对
|
⃗AB| (O⃗A+O⃗B)⋅ ⃗AB=0
角线，而 是该平行四边形的另一条对角线， 表示这个平行四边形是菱形，
|O⃗A|=|O⃗B| |O⃗C|=|O⃗B|
ΔABC
即 ， 同 理 由 ， 于 是 点 O 是 的 外 心 。 选 项 D ， 由
O⃗A⋅O⃗B=O⃗B⋅O⃗C O⃗A⋅O⃗B−O⃗B⋅O⃗C=0 O⃗B⋅C⃗A=0 O⃗B⊥C⃗A
得 ，所以 ，所以 ，同理可证
O⃗A⊥C⃗B,O⃗C⊥ ⃗AB
，所以
OB⊥CA
，
OA⊥BC,OC⊥AB
，即点 O 是
ΔABC
的垂心。故选
AC。
二、填空题
7.（2019·全国高一课时练习）已知 是 内一点， ，记 的面积为
， 的面积为 ，则 __________．
【答案】
【解析】
设BC中点为M,则 ,所以P到BC的距离为点A到BC距离的 ，故
8．（2019·全国高一课时练习）若点 是 所在平面内的一点，且满足 ，
则 与 的面积比为__．
【答案】
【解析】格致课堂
是 所在平面内的一点，连接 ，
延长 至 使 ，延长 至 使 ，
如图示： ，
连接 ，则四边形 是平行四边形（向量 和向量 平行且模相等）
由于 ，所以 ，所以
在平行四边形中，三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半
故 与 的面积比
故答案为
9．已知 为△ 的外心，若 + − =0，则 =_____．
【答案】
【解析】
∵ + − =0，∴ ，
∴ ，
∵ 在圆 上，∴ ，∴ ∙ =0.
所以 .格致课堂
10．在四边形ABCD中， ＝(1，2)， ＝(－4，2)，则 与 的夹角为 ，该四
边形的面积为___________.
90°
【答案】
【解析】
试题分析：假设对角线的交点为 ， 的夹角为为 ，
则四边形面积为
，
， ， ，所以，两向量夹角为
90°
，四边形面积 .
三．解答题
11.（2020·全国高一课时练习）如图，在正方形 中， 分别为 的中点，求证：
（利用向量证明）.
【答案】详见解析.
【解析】证明：设 ， ，则 ， .
.
又 ，且 ， ， .格致课堂
， .
.
12．（2020·全国高一课时练习）如图，已知直角梯形 中， ，
过点 作 于点 ， 为 的中点，用向量的方法证明：
（1） ；
（2） 三点共线.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图.令
，
则 ， .∵ ，∴四边形 为正方形.∴各点坐标分别为
， .格致课堂
（1）∵ ， ，
∴ ，∴ ，即 .
（2）∵ 为 的中点，∴ ，∴ ，
.∵ ，
∴ .又∵ 与 有公共点，∴ 三点共线.
