文档内容
格致课堂
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第 3 课时 余弦定理、正弦定理应用举例
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
余弦定理、正弦定理应用举例 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
基础巩固
1．若点 在点 的北偏东 方向上，则点 在点 的（ ）
A．东偏北 方向上 B．北偏东 方向上
C．南偏西 方向上 D．西偏南 方向上
【答案】C
【解析】如图所示,点 在点 的南偏西 方向上.
故选：C
2．若点 在点 的北偏东 方向上，点 在点 的南偏东 方向上，且 ，则点 在点
的（ ）
A．北偏东 方向上 B．北偏西 方向上
C．北偏东 方向上 D．北偏西 方向上
【答案】B格致课堂
【解析】如图所示, .又∵ ,∴ .
∵ ,∴ .∴点 在点 的北偏西 方向上.
故选：B
3．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离 已知山高 ，
，在水平面上E处测得山顶A的仰角为 ，山顶C的仰角为 ， ，则两山
顶A，C之间的距离为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】 ， ，格致课堂
， ， ，
， ；
ACE中，由余弦定理得
△
，
；
即两山顶A，C之间的距离为 ．
故选A．
4．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C
处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么
B，C两点间的距离是( )
A．10 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里
【答案】B
【解析】根据已知条件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，
由正弦定理，有 ，所以 10 .
故选B.
5．如图，为测塔 的高度，某人在与塔底 同一水平线上的 点测得 ，再沿 方向前行
米到达 点，测得 ，则塔高为（ ）格致课堂
A． 米 B． 米 C．40米 D．20米
【答案】D
【解析】Rt ABC中,设 ,则由 可知 ,在 中,
△
,所以 ,解得 .则
塔高为20米.
故选：D.
6．已知甲船位于小岛 的南偏西 的 处，乙船位于小岛 处， 千米，甲船沿 的方向以
每小时6千米的速度行驶，同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行驶，当甲、乙两船相距最近
时，他们行驶的时间为_____小时．
【答案】
【解析】如图，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为 小时，
此时甲船位于 处，乙船位于 处，则 ， ，
由余弦定理可得： =
，故当 时 取最小值，故答案为 ．格致课堂
7．如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 ，现测得
， ， 米，并在点 测得塔顶 的仰角为 ，则塔高
______米
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以 ，
在△BCD中，根据正弦定理可知 ，
即 ，解得 ，
在直角△ABC中， ，
，
所以塔高 米 ．故答案为 .
8．已知海岛 在海岛 北偏东 ， ， 相距 海里，物体甲从海岛 以 海里/小时的速度沿直线格致课堂
向海岛 移动，同时物体乙从海岛 沿着海岛 北偏西 方向以 海里/小时的速度移动．
（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；
（2）求甲从海岛 到达海岛 的过程中，甲、乙两物体的最短距离．
【答案】（1） 小时；（2） 海里．
【解析】
（1）设经过 小时，物体甲在物体乙的正东方向．如图所示，物体甲与海岛 的距离为
海里，物体乙与海岛 距离为 海里， ，
中，由正弦定理得： ，即 ，
则 ．
（2）由（1）题设， ， ，
由余弦定理得：格致课堂
∵ ，
∴当 时， 海里．
能力提升
9．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得
∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间
的距离为( )km.
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】由已知， 中， ， ，
由正弦定理， ，
所以 ，
在 中， ，
由正弦定理， ，
所以 ，
在 中，由余弦定理， ，解得： ．格致课堂
所以 与 的距离 .
故选B
10．如图，为了测量河对岸 、 两点之间的距离，观察者找到一个点 ，从点 可以观察到点 、 ；
找到一个点 ，从点可以观察到点 、 ；找到一个点 ，从点可以观察到点 、 ；并测量得到一些
数据： ， ， ， ， ， ，
，则 、 两点之间的距离为__________．（其中 取近似值 ）
【答案】
【解析】由题意知,在△ACD中, .
由正弦定理得 .
在△BCE中, ,由正弦定理得
在△ABC中,由余弦定理得 ，∴
11．如图，已知在东西走向上有 两座发射塔，且 ， ，一辆测量车在塔
底 的正南方向的点 处测得发射塔顶 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了 后到格致课堂
达点 ，在点 处测得发射塔顶 的仰角为 ，且 ，经计算， ，求两发射塔顶
之间的距离.
【答案】 .
【解析】在Rt AMP中， ， ，∴ ，
△
连接 ，
在△PQM中， ，
又 ，∴△PQM为等边三角形，∴ ，
在Rt AMQ中，由 ，得 ，
△
在Rt BNQ中，∵ ， ，
△
∴ ， ， ，
在△BQA中，由余弦定理得 ，格致课堂
∴ ，
∴两发射塔顶 之间的距离是 ．
素养达成
12．国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于 海里时，就会被警告.如图，设 ，
是海岸线上距离 海里的两个观察站，满足 ，一艘外轮在 点满足 ， .
（1） ， 满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？
（2）当 时，间 处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设外轮到我国海岸线的距离 为 海里，
在 中， ，
由正弦定理得 ，所以 ，
在 中， ，
当 ，即 时，就该向外轮发出警告，令其退出我国海域.格致课堂
（2）当 时，
，
要使不被警告，则 ，即 ，
解得 ，所以 ，
即 ，又因为 ，所以 .
当 时可以避免使外轮进入被警告区域.
