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格致课堂
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
一、选择题
1．以２ｉ－ 的虚部为实部，以 ｉ－２的实部为虚部的新复数是（ ）
A．２＋ｉ B．２－２ｉ C．－ ＋ ｉ D． ＋ ｉ
【答案】B
【解析】因为２ｉ－ 的虚部为2， ｉ－２的实部－２，所以新复数是２－２ｉ，选B.
2． 中是虚数的有（ ）个
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】 中是虚数的有 三个，选C.
3．设 ，“ ”是“复数 是纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当a=0时，如果b=0，此时 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果 已
经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B
4．若复数 为纯虚数（ 为虚数单位），则实数 的值是（ ）
A． B． 或1 C．2或 D．2
【答案】D
【解析】由题意得 ，解得 ．选D．
5.（多选题）下列命题正确的个数是( )
A.1＋i2＝0； B.若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
C.若x2＋y2＝0，则x＝y＝0； D.两个虚数不能比较大小．格致课堂
【答案】AD
【解析】对于A，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故A正确．对于B，两个虚数不能比较大小，故B错．对
于C，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，故C错．D正确．故选AD。
6.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A.，1 B.，5
C.—，5 D.±，1
【答案】BC
【解析】 令得a＝±，b＝5.
二、填空题
7．设x，y∈R，且满足(x＋y)＋(x－2y)i＝(－x－3)＋(y－19)i，则x＋y＝______.
【答案】1
【解析】因为x，y∈R，所以利用两复数相等的条件有 解得 所以x＋y＝1.
8．若复数 是纯虚数，则实数 的值为_______.
【答案】2
【解析】复数 是纯虚数所以 ，解得
9.下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是 ．
【答案】③
【解析】当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i
是纯虚数，则即x＝1，故②错．
10.已知z＝－3－4i，z＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z＝z，则实数m＝ ，n＝ .
1 2 1 2
【答案】2 ±2
【解析】由复数相等的充要条件有⇒
三、解答题
11．若x，y∈R，且(x－1)＋yi＞2x，求x，y的取值范围．格致课堂
【解析】 ∵(x－1)＋yi＞2x，∴y＝0且x－1＞2x，
∴x＜－1，
∴x，y的取值范围分别为x＜－1，y＝0.
12.已知复数z＝ ＋(a2－5a－6)i(a∈R)．实数a取什么值时，z是
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
【答案】(1)a＝6 (2)a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞) (3)不存在
【解析】
（1）当z为实数时，有a2－5a－6＝0， ①
且 有意义， ②
解①得a＝－1或a＝6，解②得a≠±1，
∴a＝6，即a＝6时，z为实数.
（2）当z为虚数时，有a2－5a－6≠0， ③
且 有意义， ④
解③得a≠－1且a≠6，解④得a≠±1，
∴a≠±1且a≠6，
∴当a∈（－∞，－1）∪（－1,1）∪（1,6）∪（6，＋∞）时，z为虚数.
（3）当z为纯虚数时，
无解，
∴不存在实数a使z为纯虚数.
