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格致课堂
8.6.3 平面与平面垂直
第 2 课时 平面与平面垂直的性质
一、选择题
1．设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，且 ， （ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【解析】
试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得 ，
可得
2．如图所示，在平行四边形 中， ，沿 将 折起，使平面 平面 ，
连接 ，则在四面体 的四个面中，互相垂直的平面的对数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
∵面ABD⊥面BCD，AB⊥BD，∴AB⊥面BCD，又AB 面ABC，
∴面ABC⊥面BCD，同理，面ACD⊥面ABD. ⊂
故四面体ABCD中互相垂直的平面有3对．格致课堂
3．如图所示，三棱锥 的底面在平面 内，且 ，平面 平面 ，点
是定点，则动点 的轨迹是（ ）
A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点
【答案】D
【解析】
因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC，
AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC.
又因⊂为BC 平面PBC，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.
所以动点C⊂的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.
选D.
4．已知平面 平面 ， ，点 ， ，直线 ，直线 ，直线 ，
，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：
由于 ， ， ，所以 ，又因为 ，所以 ，故A正确，
由于 ， ，所以 ，故B正确，格致课堂
由于 ， ， 在 外，所以 ，故C正确；
对于D，虽然 ，当 不一定在平面 内，故它可以与平面 相交、平行，不一定垂直，所以D
不正确；
故答案选D
5．（多选题）给定下列四个命题：
A.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；
B.若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；
C.垂直于同一直线的两条直线相互平行；
D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
【答案】BD
【解析】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故A错误；由平面与平面
垂直的判定可知B正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故C错误；若两个平
面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故D正确．综上，真命题是
BD.
故选：BD
6．（多选题）如图所示，在直角梯形 中， ， 分别是 上的点，
，且 (①).将四边形 沿 折起，连接 (②).在折起
的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A． 平面格致课堂
B． 四点不可能共面
C．若 ，则平面 平面
D．平面 与平面 可能垂直
【答案】ABC
【解析】选项A中，连接 ，取 的中点 ， 的中点 ，
连接 ， 且 ，
而 且 ，
所以 且
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以A正确；
选项B中，设 四点共面，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
而 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
所以 ，这与已知相矛盾，
故 四点不可能共面，
所以B正确；
选项C中，连接 ，格致课堂
在梯形 中，易得 ，
又 ， 平面 ， ，
所以 平面
而 平面 ，所以 ，
而 ， 平面 ，且 与 必有交点，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ，
所以C正确；
选项D中，延长 至 ，使得 ，连接 ，
， ， 平面 ， ，
所以 平面 ，
而 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
过 作 于 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
若平面 平面 ，
则过 作直线与平面 垂直，其垂足在 上，
故前后矛盾，
所以D错误.
故选：ABC.
二、填空题格致课堂
7．如图，四面体 中， ，平面 平面 ， ，
，则 _______.
【答案】13
【解析】
取 的中点 ，连接 .
因为 ， ，所以 ，所以 .
因为 ， 是 的中点，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
在 中， .
8．如图所示， 为空间四点，在 中， ，等边三角形
以 为轴运动，当平面 平面 时， ________.格致课堂
【答案】2.
【解析】取 的中点 ，连接 .因为 是等边三角形，所以 .当平面 平
面 时，因为平面 平面 ，且 ，所以 平面 ，故 .由已
知可得 ，在 中， .
9．平面 平面 ， ， ， ，直线 （ ， 是两条不同的直线），则直线
与 的位置关系是______.
【答案】
【解析】解：因为平面 平面 ， ， ， ，
由面面垂直的性质可得 ，又 ，所以 .
故答案为：
10．已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连接PB，PC，PD，则平面PAB，平面PAD，平面
PCD，平面PBC，平面ABCD中，互相垂直的平面有 对.格致课堂
【答案】5
【解析】 ，又
， 同
理，平面 平面 ，平面 平面 ，所以互相垂直的平面共有5对.
三、解答题
11．已知 是 所在平面外的一点，且 平面 ，平面 平面 .求证: .
【答案】证明见解析
【解析】如图，在平面 内作 于点 ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，且 ，
平面 ，
又 平面 ，
.
平面 ， 平面 ，
，
， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
.格致课堂
12．如图，三棱锥 中，已知 是等腰直角三角形， ， 是直角三角形，
，平面 平面 .求证：平面 平面 .
【答案】证明见解析
【解析】证明 ∵平面 平面 ，平面 平面 ，
又 是直角三角形，
所以 ，
平面 .
又 平面 ， .
， ， 平面 ， 平面 ，
平面 .又 平面 ，
故平面 平面 .
