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格致课堂
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
一、选择题
1．在 中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵B角最小，∴最短边是b，由 ，得b＝ ．故选A．
2．在 中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a＝ ，b＝3，B＝60°，则A=
A．45° B．45°或135° C．135° D．60°或120°
【答案】A
【解析】
∵a＝ ，b＝3，B＝60°，∴由正弦定理可得 ，∴sinA＝ ．又a<b，∴A
＝45°．故选A．
3． 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝ ，b＝ sinB，则a =
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】
由 ，得 ．故选D．格致课堂
4．在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则角 为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，那么结合 ，
所以cosA= = ，所以A= ，故答案为A
5.（多选题）以下关于正弦定理或其变形正确的有( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A ＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立
D．在△ABC中，＝
【答案】A，C，D
【解析】由正弦定理易知A，C，D正确．对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B，或2A＋2B＝π，即A＝
B，或A＋B＝，∴a＝b，或a2＋b2＝c2，故B错误.
6.（多选题）.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）
A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝3 ，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°
【解析】B，C
【解析】对于A，∵b＝7，c＝3，C＝30°，
∴由正弦定理可得：sinB＝ ＝ ＝ ＞1，无解；
对于B，b＝5，c＝4，B＝45°，
∴由正弦定理可得sinC＝ ＝ ＝ ＜1，且c＜b，有一解；
对于C，∵a＝6，b＝3 ，B＝60°，格致课堂
∴由正弦定理可得：sinA＝ ＝ ＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；
对于D，∵a＝20，b＝30，A＝30°，
∴由正弦定理可得：sinB＝ ＝ ＝ ＜1，且b＞a，
∴B有两个可能值，本选项符合题意．故选B，C
二、填空题
7．在 中，若B＝30°，AB＝2 ，AC＝2，则 的周长为______________．
【答案】6＋2 或4＋2
【解析】
由正弦定理，得sinC ．∵AB>AC，∴C>B，C＝60°或120°．
①当C＝60°时，A＝90°，BC＝4， 的周长为6＋2 ；
②当C＝120°时，A＝30°，A＝B，BC＝AC＝2， 的周长为4＋2 ．
综上， 的周长为6＋2 或4＋2 ．
8．在三角形ABC中，若C=3B，则 的取值范围是
【答案】（1，3）
【解析】根据正弦定理， ，
得 = =
=4cos2B-1格致课堂
由∠C=3∠B，4∠B＜180°，故0°＜∠B＜45°，cosB∈（ ，1）
故4cos2B-1∈（1，3）．答案为（1，3）．
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，B＝2A，cos A＝，则b＝________．
【答案】2
【解析】因为cos A＝，所以sin A＝，因为B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝，又＝，所以b＝
2.
10．在△ABC中，若B＝，b＝a，则A= ，C＝________．
【答案】 π
【解析】在△ABC中，由正弦定理＝，得＝＝＝2a，所以sin A＝，所以A＝或π.
因为b＝a＞a，所以B＞A，即A＜，
所以A＝，所以C＝π－A－B＝π－－＝π.
三、解答题
11.(2019·浙江温州月考)在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝，求a，b及cos B.
【答案】a＝1.， b＝， cos B＝，
【解析】因为A＝30°，C＝45°，c＝，
所以由正弦定理，得a＝＝＝1.
又B＝180°－(30°＋45°)＝105°，
所以cos B＝cos 105°＝cos(45°＋60°)＝，
b＝＝＝2sin 105°＝2sin(45°＋60°)
＝.
12.如图所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的长．
【答案】11.
【解析】在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，＝，
可得BC＝11，
在Rt ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝11×tan 30°＝11.
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