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格致课堂
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第3课时 余弦定理、正弦定理的应用举例
一、选择题
1．某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 km，那么x的
值是（ ）
A． B． C．3 D． 或
【答案】D
【解析】
由题作出示意图，如图所示，易知 ，由正弦定理得
，
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 有两解，即 或 .
当 时， ；
当 时， .
本题选择D选项.
2．蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离 的军事基地 和 ，测得红军的两支精锐部队分别在格致课堂
处和 处，且 ， ， ， ，如图所示，则红军这两支
精锐部队间的距离是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以△ADC是等边三角形，所
以 ．
在△BDC中，根据正弦定理得， ，所以 ．
在△ABC中，根据余弦定理得，
，
所以 ．
3．如图，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离(此障碍物阻挡了A，B之间的视线)，给定下列四组数据，
测量时应当用数据格致课堂
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由余弦定理 知，需要测量数据 ．故选C．
4．如图所示，长为 的木棒 斜靠在石堤旁，木棒的一端 在离堤足 处 的地面上，另一端
在离堤足 处 的石堤上，石堤的倾斜角为 ，则坡度值 等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，在△ABC中，AB=4m，AC=2m，BC=3m，且 +∠ACB=π．
由余弦定理可得， ，即
，解得 ，所以 ，所以 ．
5.（多选题）某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 km，
那么x的值是（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】AB
【解析】由题作出示意图，如图所示，易知 ，由正弦定理得格致课堂
，
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 有两解，即 或 .
当 时， ；
当 时， .
本题选择AB选项.
6．（多选题）一艘轮船从A出发，沿南偏东 的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北
偏东35°的方向航行了 海里到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程
（海里）分别为（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C． D．
【答案】BC
【解析】依题意可得在 中 ．
．
由余弦定理可得格致课堂
．
，
由正弦定理可得 ，
由题意可知在 中 为锐角，所以 ．
所以如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向为北偏东 ，路程为
海里．故BC正确．
二、填空题
7．某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为300，塔底B的俯角为
150，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高
为 米．
【答案】120+40
【解析】
如图,用AD表示楼高,AE与水平面平行,E在线段BC上,
因为∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60,
则AE= = =120+60 ,格致课堂
在Rt AEC中,
△
CE=AE·tan30°=(120+60 )× =60+40 ,
∴BC=CE+BE=60+40 +60=(120+40 )米,
所以塔高为(120+40 )米.
8．在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，
且 ，再过一分钟，该物体位于R点，且 ，则 的值是_____________.
【答案】
【解析】由于物体均速直线运动，根据题意， ，不妨设其长度为1.
在 中， , .
在 中，由正弦定理得 ，在 中， ，
两式两边同时相除，得 .
又在 中， ，所以 .
9．如图，海中有一小岛B，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏
东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°．若此舰不改变航行的方向继续前进，则此舰
____________触礁的危险．（填“有”或“没有”）
【答案】没有
【解析】
过点B作BD⊥AE交AE于D，由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60°，格致课堂
在Rt 中，AD=BD·tan∠ABD="BD·tan" 75°，
在Rt 中，CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60°，
所以AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8，
所以 ，所以该军舰没有触礁的危险．
10．甲船在岛B的正南A处，AB="10" km，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发
以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是
_______h，最近距离是 km．
15√21
【答案】 7
【解析】
根据题意画出示意图，如图，假设t h后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，此时两船相距最近，则
∠DBC=120°，BC=6t，BD=10－4t．在 中，由余弦定理，得CD2=BD2+BC2－
2BD·BCcos∠DBC=(10－4t)2+36t2－2(10－4t)6tcos120°=28t2－20t+100，所以当t= ，即航行时间为 h
√ 5 5 15√21
28×( ) 2 −20× +100=
时，CD2最小，即甲、乙两船相距最近，最近距离为 14 14 7格致课堂
三、解答题
11.如图，在平面直角坐标系 中，已知点A(－3，1)，直线OB的倾斜角为45°，且|OB|＝.
(1)求点B的坐标及线段AB的长度；
(2)在平面直角坐标系 中，取1厘米为单位长度．现有一质点P以1厘米/秒的速度从点B出发，沿
倾斜角为60°的射线BC运动，另一质点Q同时以厘米/秒的速度从点A出发作直线运动，如果要使得质点
Q与P会合于点C，那么需要经过多少时间？
【解析】：(1)设点B(x，y)，
0 0
依题意x＝cos 45°＝1，y＝sin 45°＝1，
0 0
从而B(1，1)，又A(－3，1)，所以AB∥x轴，则|AB|＝|1－(－3)|＝4.
(2)设质点Q与P经过t秒会合于点C，则AC＝t，BC＝t.
由AB∥x轴及BC的倾斜角为60°，得∠ABC＝120°.
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 120°，
所以2t2＝16＋t2＋8t·，
化简得t2－4t－16＝0，解得t＝2－2(舍去)或t＝2＋2.
即若要使得质点Q与P会合于点C，则需要经过(2＋2)秒．
12．如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P(观察站高度忽略不计)，上午11时，
测得一轮船在岛北偏东30°方向，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°方向，俯角
为60°的C处．格致课堂
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
【解析】：(1)在Rt PAB中，∠APB＝60°，AP＝1，
所以AB＝APtan 60°△＝.
在Rt PAC中，∠APC＝30°，
所以△AC＝APtan 30°＝.
在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，
所以BC＝＝＝.
则船的航行速度为÷＝2(千米/时)．
(2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，sin∠DCA
＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝＝＝，sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)
＝sin∠ACB·cos 30°－cos∠ACB·sin 30°
＝×－ ＝.
由正弦定理得＝，
所以AD＝＝＝.
故此时船距岛A有千米．
