文档内容
2023-2024 学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．两个直角三角形一定相似
B．两个等腰三角形一定相似
C．两个钝角三角形一定相似
D．两个等边三角形一定相似
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项进行分析即可．
【解答】解：A，不正确，不符合三角形相似的判定方法，是假命题，不符合题意；
B，不正确，没有指明相等的角或边的比例，是假命题，不符合题意；
C，不正确，没有指明另一个锐角或边的比例，是假命题，不符合题意；
D，正确，等边三角形的三个角均相等，能通过有两个角相等的三角形相似来判定，是真命
题，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查命题和定理，三角形相似的判定，正确记忆相关内容是解题关键．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，那么cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据直角三角形中余弦的定义cosA＝ 计算即可．
【解答】解：根据题意，得cosA＝ ＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中计算锐角三角函数的方法是
本题的关键．
3．（4分）下列说法错误的是（ ）
A．如果 与 都是单位向量，那么
B．如果 ，那么k＝0或 ＝
C．如果 （ 为非零向量），那么
第1页（共21页）D．如果 ， （ 为非零向量），那么 与 平行
【分析】根据平面向量的运算法则逐一判断即可．
【解答】解：如果 与 都是单位向量，那么 ，
故A选项正确，不符合题意；
如果 ，那么k＝0或 ＝ ，
故B选项正确，不符合题意；
如果 （ 为非零向量），那么 ＝ ，
故C选项不正确，符合题意；
∵ ， （ 为非零向量），
∴3（ ）＝2 ，
即 ，
∴ ，
∴ 与 平行．
故D选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解答本题的关键．
4．（4分）如图，已知l ∥l ∥l ，直线l ，l ，l 分别交直线l 于点A、B、C，交直线l 于点D、E、
1 2 3 1 2 3 4 5
F，那么下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可判断．
【解答】解：∵l ∥l ∥l ，
1 2 3
∴ ＝ ，A选项符合题意；
＝ ，B选项不符合题意；
第2页（共21页）＝ ，C选项不符合题意；
＝ ，D选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的
关键．
5．（4分）已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x，下列关于函数图象的说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线x＝﹣1 B．图象经过原点
C．开口向上 D．图象有最低点
【分析】依据题意，将二次函数解析式化为顶点式求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，1），函数图象有最高点（1，1），当
x＝0时，y＝0，即图象过原点．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），
（﹣3，0），如果实数P表示9a﹣3b+c的值，实数Q表示﹣a﹣b的值，那么P、Q的大小关
系为（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），（﹣3，0），得P＝9a﹣3b+c＝
0，对称轴为直线x＝﹣1，根据抛物线开口向下，得a＜0，b＜0，所以Q＝﹣a﹣b＞0，即可
得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），（﹣3，0），
∴P＝9a﹣3b+c＝0，对称轴为直线x＝ ＝﹣1，
∵抛物线开口向下，
第3页（共21页）∴a＜0，
∵﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴Q＝﹣a﹣b＞0，
∴P＜Q．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数
图象与系数是解题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置
上】
7．（4分）计算：10×2﹣1＝ ．
【分析】根据零指数和负整数指数幂公式可解答．
【解答】解：10×2﹣1＝1× ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了零指数和负整数指数幂，掌握a0＝1（a≠0），a﹣p＝（a≠0，p为正整数）
是解本题的关键．
8．（4分）已知 ，那么 ＝ ．
【分析】根据比例的性质“如果 ＝ ，那么 ＝ ”计算即可．
【解答】解：∵ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ．
故答案为：
【点评】本题考查比例的性质，理解并灵活运用它是本题的关键．
第4页（共21页）9．（4分）计算： ＝ + ．
【分析】根据平面向量的运算法则计算即可．
【解答】解：
＝
＝ +
＝ + ．
故答案为： + ．
【点评】本题考查平面向量，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
10．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tanB＝2，BC＝2，那么AC＝ 4 ．
【分析】利用正切的定义计算即可．
【解答】解：∵tanB＝ ＝2，
∴AC＝2BC，
∵BC＝2，
∴AC＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握并灵活运用各锐角三角函数的定义是解
题的关键．
11．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，点E在边BC上，DE∥AB，AD：AC＝2：3，那
么 的值为 ．
【分析】根据平行线可推出△ADE∽△ABC，依据面积比等于相似比的平方进行解答即可．
第5页（共21页）【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：AC＝2：3，
∴CD：AC＝1：3，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟记面积比等于相似比的平方是解题的关
键．
12．（4分）将抛物线y＝x2+4x向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是 （﹣ 2 ，﹣
2 ） ．
【分析】依据题意，直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析
式，即可得出顶点坐标．
【解答】解：∵将抛物线y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y＝（x+2）2﹣4+2＝（x+2）2﹣2．
∴平移后的抛物线的顶点坐标为：（﹣2，﹣2）．
故答案为：（﹣2，﹣2）．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，解题时要熟练掌握并能正确理解平移
规律是关键．
13．（4分）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣4，如果点A（0，y ）、B（1，y ）在此抛物线
1 2
上，那么y ＜ y ．（填“＞”、“＝”或“＜”）
1 2
【分析】依据题意，首先利用对称轴和二次项系数的符号确定增减性，然后写出答案即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣4，a＝1＞0，
∴当x＞﹣4时，y随着x的增大而增大．
∵﹣4＜0＜1，
∴y ＜y ．
1 2
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能理解函数的增减性是关
第6页（共21页）键．
14．（4分）小明沿斜坡坡面向上前进了5米，垂直高度上升了1米，那么这个斜坡的坡比是
1 ： 2 ．
【分析】由勾股定理求出小明行走的水平距离，由坡比的定义即可计算．
【解答】解：由勾股定理得：小明行走的水平距离是 ＝2 （米），
∴这个斜坡的坡比i＝1：2 ．
故答案为：1：2 ．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角，关键是掌握斜坡的坡比的定义．
15．（4分）已知反比例函数 ，如果x ＜x ＜0，0＜y ＜y ，那么k ＜ 0．（填
1 2 1 2
“＞”或“＜”）
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可确定k的符号．
【解答】解：∵x ＜x ＜0，0＜y ＜y ，
1 2 1 2
∴点（x ，y ）和点（x ，y ）在第二象限，
1 1 2 2
∴k＜0．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和图象与k的关系，先根据题意判断
出函数的图象所在的象限是解题的关键．
16．（4分）“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟
从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面
内，求两塔之间的距离．”如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，M是AB上一点，CM＝DM，在C
处测得点M的俯角为60°，AC＝30，BD＝20，那么AB＝ ．
【分析】先解Rt△AMC，求出AM和CM，再由DM＝CM，利用勾股定理求出BM即可解决
问题．
【解答】解：由题知，
∵在点C处测得点M的俯角为60°，
第7页（共21页）∴∠C＝90°﹣60°＝30°．
在Rt△ACM中，
cosC＝ ，
又∵AC＝30，
∴MC＝ ．
同理可得，AM＝ ．
又∵CM＝DM，
∴DM＝ ．
在Rt△BMD中，
BM＝ ．
∴AB＝AM+BM＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查解直角三角形，熟知特殊角的三角函数值及勾股定理的巧妙运用是解题
的关键．
17．（4分）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），那么称
这个等腰三角形为“精准三角形”．如图，△ABC是“精准三角形”，AB＝AC＝2，
CD⊥AB，垂足为点D，那么BD的长度为 ．
【分析】作△ABC的中线CM，由精准三角形的定义得到 ＝ ，求出CM的长，由线
段中点定义得到AM＝MB＝ AB＝1，令DM＝x，由勾股定理得到 ﹣x2＝22﹣
（x+1）2，求出x＝ ，得到DM＝ 即可求出BD的长．
【解答】解：作△ABC的中线CM，
第8页（共21页）∵△ABC是“精准三角形”，
∴ ＝ ，
∵AB＝2，
∴CM＝ ﹣1，
∵M是AB中点，
∴AM＝MB＝ AB＝1，
令DM＝x，则AD＝x+1，
∵CD2＝CM2﹣MD2＝AC2﹣AD2，
∴ ﹣x2＝22﹣（x+1）2，
∴x＝ ，
∴DM＝ ，
∴BD＝MB﹣DM＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查勾股定理，黄金分割，等腰三角形的性质，关键是由精准三角形的定义求
出CM的长，由勾股定理列出关于x方程．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC， ，点D为边BC上的点，联结AD，将△ABD
沿AD翻折，点B落在平面内点E处，边AE交边BC于点F，联结CE，如果AF＝3FE，那
么tan∠BCE的值为 ．
第9页（共21页）【分析】先过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，再根据相似三角形的性质及解直
角三角形求解．
【解答】解：如图所示：过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
∴AM∥EN，
∴△AMF∽△ENF，
∴ ，
设AM＝3x，
∵ ，
∴MC＝4x，AC＝5x，
∴EN＝x，
∵将△ABD沿AD翻折，点B落在平面内点E处，
∴AE＝AB＝AC＝5x，
∵AF＝3FE，
∴AF＝ ×5x＝ ，
∴FM＝ ＝ x，
∴NF＝ ＝ x，
∴NC＝NF+FM+MC＝7x，
∴tan∠BCE＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
第10页（共21页）【点评】本题考查了翻折的性质，掌握等腰三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：sin30°﹣cot60°+8 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值、分数指数幂和二次根式的分母有理化计算即可．
【解答】解：原式＝ ﹣ +2﹣（2+ ）
＝ ﹣ ．
【点评】本题考查分数指数幂、实数的运算和特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函
数值是本题的关键．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别是边DC、BC的中点，设 ，
．
（1） ＝ ﹣ + ， ＝ ﹣ + ；（用含有向量 、 的式子表示）
（2）在图中画出 在向量 和 方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并
写明结论）
【分析】（1）利用三角形法则求解；
（2）利用平行四边形法则求解．
【解答】解：（1） ＝ + ＝﹣ + ，
∵CM＝DM，CN＝NB，
∴MN∥DB，MN＝ DB，
第11页（共21页）∴ ＝﹣ + ．
故答案为：﹣ + ，﹣ + ；
（2）如图， ， 即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形中位线定理，平行四边形的性质，三角形法则等
知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则．
21．（10分）如图，在坐标平面xOy中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数 的
图象交于点A（a，3），与x轴交于点B．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，将一次函数图象向右平移，且经过点C，求平移后的
一次函数的解析式．
【分析】（1）把点A（a，3）代入y＝x+2得到a＝1，把A（1，3）代入y＝ ，求得k＝3，于是
得到结论；
（2）根据平移前后的一次函数的解析式k相等，设平移后的一次函数的解析式为：y＝x+b，
将点C的坐标代入可得结论．
【解答】解：（1）∵点A（a，3）在y＝x+2上，
∴a+2＝3，
∴a＝1，
∴A（1，3），
第12页（共21页）∵A（1，3）在y＝ 上，
∴k＝3，
∴反比例函数的解析式为：y＝ ；
（2）设平移后的一次函数的解析式为：y＝x+b，
∵AC⊥x轴，且A（1，3），
∴C（1，0），
把点C（1，0）代入y＝x+b中，得：0＝1+b，
∴b＝﹣1，
∴平移后的一次函数的解析式为：y＝x﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
22．（10分）诱发高速公路夜间行车安全事故的一个重要原因是眩光现象．夜间会车时，对向
车辆车灯的强光射向驾驶员，存在安全隐患．目前主要措施是设置防眩装置遮挡车辆灯光，
避免强光射向对向车道的驾驶员．
如图所示，一条东西方向的双向笔直道路，中央隔离带中轴线l垂直平分每块遮光板，遮
光板宽度是0.2米，即PQ＝MN＝0.2米．一辆摩托车自西向东行驶，车灯位于点A时，车
灯发出的光线AC经过相邻2个遮光板外侧的点Q和点M，光线AD经过遮光板外侧的点
P，点D和点C在对向车道驾驶员行驶路线上．AB⊥DC于点B，两侧驾驶员行驶路线之间
的距离AB＝4米，光线和行驶路线的夹角∠BDA＝11.4°，点A，B，C，D，P，Q，M，N在同一
平面内．（参考数据：tan11.4°≈ ）
（1）BD的长度是多少米？
（2）相邻遮光板的距离PM是多少米？
第13页（共21页）【分析】（1）根据锐角三角函数的定义求解即可；
（2）过P作PE⊥AB于E，过Q作QF⊥AB于F，中轴线l与AB交于点O，然后根据平行线
的性质求出PE的长，再根据矩形的判定与性质求出AF以及QF的长，最后根据平行线的
性质，求出tan∠PMQ，从而可以求出PM．
【解答】解：（1）tan∠BDA＝ ≈ ，
∴BD＝5AD＝20（米）；
（2）过P作PE⊥AB于E，过Q作QF⊥AB于F，中轴线l与AB交于点O，如图：
第14页（共21页）∵AB⊥BC，
∴BD∥PE∥QF，
∴∠EPA＝∠BDA，
∵EF∥PQ，
∴四边形EFQP为矩形，
∴EF＝PQ，PE＝QF，
∵O是AB中点，也是EF的中点，
∴AE＝AO+OE＝2+0.1＝2.1米，AF＝AO﹣OF＝2﹣0.1＝1.9（米），
∴PE＝5AE＝10.5米，
∴tan∠FQA＝ ＝ ＝ ，
∵PM∥QF，
∴∠PMQ＝∠FQA，
∴PM＝ ＝0.2× ＝ （米）．
答：相邻遮光板的距离PM是 米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，正确理解锐角三角形正切的定义是本题解题的关
键．
23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，AC2＝AD•AB，AC＝AE，过点D作
DF∥CE交边AC于点F．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）求证：AE•EB＝AB•FC．
【分析】（1）根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得解；
（2）根据平行线分线段成比例定理求出DE＝FC，根据比例性质及等量代换求解即可．
第15页（共21页）【解答】证明：（1）∵AC2＝AD•AB，
∴ ＝ ，
又∵∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC；
（2）∵DF∥CE，
∴ ＝ ，
∵AC＝AE，
∴DE＝FC，
∴AC＝AE＝AB﹣DE，AD＝AE﹣DE＝AE﹣FC，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AB•AE﹣BE•AE＝AB•AE﹣AB•FC，
∴AE•EB＝AB•FC．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关
键．
24．（12分）
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等；
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反
数．
已知，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6）．抛物线C ：y
1
＝﹣ax2+2x上有一点P，以点P为顶点的抛物线C 经过点B（点P与点B不重合），抛物
2
线C 和C 形状相同，开口方向相反．
1 2
（1）当抛物线C 经过点A时，求抛物线C 的表达式；
1 1
（2）求抛物线C 的对称轴；
2
（3）当a＜0时，设抛物线C 的顶点为Q，抛物线C 的对称轴与x轴的交点为F，联结PQ、
1 2
QO、FQ，求证：QO平分∠PQF．
第16页（共21页）【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线C 的解析式，求出a的值；
1
（2）通过题意求出抛物线C 的解析式，假设点P的坐标，代入抛物线C 求出m的值，从而
2 2
得到抛物线C 的对称轴；
2
（3）过点Q作QN⊥x轴，QM⊥y轴，垂足分别为点N，M，PQ交y轴于点E，利用a表示点
P、点Q的坐标，得到各边的数量关系，通过证明△QOE≌△QOF，得到QO平分∠PQF．
【解答】解：（1）将点A（8，0）代入抛物线 ，
得﹣a•82+2×8＝0，解得 ，
得抛物线C 得表达式为 ；
1
（2）由抛物线C 和C 形状相同，开口方向相反，设抛物线C 得表达式为y＝ax2+bx+c，
1 2 2
把B（0，6）代入抛物线C ：y＝ax2+bx+c，得c＝6，
2
则抛物线C 得表达式为y＝ax2+bx+6，
2
由点P在抛物线C 上，设点P的坐标为（m，﹣am2+2m），
1
由点P是抛物线C 的顶点，得 ，解得 ，
2
得点P的坐标为（3，﹣9a+6），
即抛物线C 的对称轴为直线x＝3；
2
（3）由点Q是抛物线C 的顶点，得Q ，
1
过点Q作QN⊥x轴，QM⊥y轴，垂足分别为点N，M，PQ交y轴于点E，如下图所示，
第17页（共21页）∵Q ，
∴OM＝ON＝ ，
∴△OQM是等腰直角三角形，
∴∠QON＝∠QOM＝45°，
∴∠QON+∠NOE＝∠QOM+∠MOF，即∠QOE＝∠QOF，
设直线PQ表达式为y＝kx+b，
代入Q ，P（3，﹣9a+6），得 ，
∴直线PQ表达式为y＝（1﹣3a）x+3，
把x＝0代入y＝（1﹣3a）x+3，得y＝3，
得点E的坐标为（0，3），
∴OE＝OF，
∵OQ＝OQ，∠QOE＝∠QOF，
∴△QOE≌△QOF，
∴∠OQE＝∠OQF，
∴QO平分∠PQF．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数顶点的坐标，全等三角形的性质与
判定等知识点．
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC为边在△ABC外部作等边三角形
ACE和等边三角形BCF，且联结EF．
（1）如图1，联结AF，EB，求证：△ECB≌△ACF；
（2）如图2，延长AC交线段EF于点M．
第18页（共21页）①当点M为线段EF中点时，求 的值；
②请用直尺和圆规在直线AB上方作等边三角形ABD（不要求写作法，保留作图痕迹，并
写明结论），当点M在△ABD的内部时，求 的取值范围．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出相等的边和相等的角，再利用角的和得出∠BCE＝
∠FCA，从而得出全等．
（2）①根据已知条件得出△MDF≌△MCE，再根据得出的结论证明△BCD≌△BFD，从
而得出△ABD是等边三角形，求出即可．
②作等边三角形，由作法可以证明是等边三角形，分类讨论当M在AD边上时，当M在
BD边上时，分别求出 的值，即可得出 的取值范围．
【解答】（1）证明：∵等边三角形ACE和等边三角形BCF，
∴AC＝EC，BC＝FC，∠ACE＝∠BCF＝60°，
∴∠BCE＝∠FCA，
∴△ECB≌△ACF（SAS）；
（2）解：①如图2，延长CM到点D，使DM＝CM，连接FD、BD，
∵M是EF的中点，
∴MF＝ME，
第19页（共21页）∵∠DMF＝∠CME，
∴△MDF≌△MCE（SAS），
∴DF＝CE，∠MDF＝∠MCE，
∵△ACE，△BCF都是等边三角形，
∴AC＝CE，∠ACE＝∠BCF＝∠CBF＝∠BFC＝60°，BC＝BF，
∴∠MDF＝∠MCE＝180°﹣60°＝120°，DF＝AC，
∴∠CDF+∠CBF＝180°，
∴∠BCD+∠BFD＝180°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠BFD＝90°，
∵BD＝BD，BC＝BF，
∴Rt△BCD≌Rt△BFD（HL），
∴∠BDC＝∠BDF＝60°，CD＝FD＝AC，
∴BC垂直平分AD，
∴AB＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AC＝ AD＝ AB，
∴BC＝ AC，
∴ ＝ ＝ ．
②如图3，分别以A、B为圆心，AB长为半径在AB上方画弧，两弧交于点D，连接AD、
BD，
则△ABD为所求作的等边三角形，
由作图可知AB＝BD＝AD，所以△ABD为等边三角形，
第20页（共21页）当M在AD边上且为EF中点时，由①知：
可得 ，
当M在BD边上时，假设AC＝BC，如图4，
∵∠ACB＝90°，△ACE和△BCF为等边三角形，AC＝BC，
∴∠ACE＝∠BCF＝60°，EC＝FC，
∴∠FCM＝30°，∠ECM＝120°，∠ECF＝150°，
∴∠CEF＝∠CFE＝15°，
∴∠EMC＝45°，∠CMF＝135°，
∴∠EMC+∠CMF＝180°，
∴点M在线段EF上．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠MAD＝∠CBD＝15°，
∴∠DMC＝105°，∠CMB＝75°，
∴∠DMC+∠CMB＝180°，
∴AC＝BC时，M在BD边上，
∴此时 ＝1，
∴ 的取值范围是 ＜t＜1．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，
尺规作图，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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