6.8 余弦定理
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：余弦定理......................................................................2
考点二：解三角形......................................................................2
考点三：判断三角形形状时常用到的结论.........................................2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：已知两边及夹角解三角形..................................................3
题型二：两边和其中一边的对角.................................................... 3
题型三：已知三边解三角形.......................................................... 4
考点四：利用余弦定理进行边角转化...............................................4
题型五：判断三角形的形状.......................................................... 4
题型六：余弦定理的实际应用....................................................... 6
题型七：余弦定理与平面图形结合..................................................7
题型八：求三角形中边长（周长）取值范围......................................7
模块三：综合巩固.........................................................................9
6.8 余弦定理
模块一：基础知识
考点一：余弦定理
1、公式表达：a
2＝b
2＋c
2－2bccos A，b
2＝a
2＋c
2－2accosB，c
2＝a
2＋b
2－2abcosC
2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的
两倍
【注意】余弦定理的特点
（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
（2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不
同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
3、推论：cos A＝b
2＋c
2－a
2
2bc
，cos B＝a
2＋c
2－b
2
2ac
，cos C＝a
2＋b
2－c
2
2ab
4、余弦定理的推导示例：在∆ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c
如图，因为ACԦ
ሬሬሬ= ABԦ
ሬሬሬ+ BCԦ
ሬሬሬ，
∴ACԦ
ሬሬሬ2 = ABԦ
ሬሬሬ+ BCԦ
ሬሬሬ
2，
即ACԦ
ሬሬሬ2 = ABԦ
ሬሬሬ2 + BCԦ
ሬሬሬ2 + 2ABԦ
ሬሬሬ∙BCԦ
ሬሬሬ= ABԦ
ሬሬሬ2 + BCԦ
ሬሬሬ2 + 2 ABԦ
ሬሬሬ
∙BCԦ
ሬሬሬ
cos180° −B
从而b2 = a2 + c2 −2accosB
同理，根据ABԦ
ሬሬሬ= ACԦ
ሬሬሬ+ CBԦ
ሬሬሬ，BCԦ
ሬሬሬ= BAԦ
ሬሬሬ+ ACԦ
ሬሬሬ，
可以得到c2 = a2 + b2 −2abcosC，a2 = b2 + c2 −2bccosA
考点二：解三角形
1、解三角形：一般地，三角形的三个角A，B，C 和她们的对边a，b，c 叫做三角形的元素.
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
2、余弦定理在解三角形中的应用
（1）类型1：已知两边及一角，解三角形
方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：
一是利用余弦定理的推论求出其余角；
二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；
（2）类型2：已知三边解三角形
法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为
负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一
法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已
知三边求解
考点三：判断三角形形状时常用到的结论
1、ABC
为直角三角形
2
2
2
a
b
c
或
2
2
2
b
a
c
或
2
2
2
c
a
b
2、ABC
为锐角三角形
2
2
2
a
b
c
，且
2
2
2
b
c
a
，且
2
2
2
c
a
b
3、ABC
为钝角三角形
2
2
2
a
b
c
，且
2
2
2
b
c
a
，且
2
2
2
c
a
b
4、若sin 2
sin 2
A
B
，则A
B
或
2
A
B
模块二：题型分类
题型一：已知两边及夹角解三角形
1.在ABC
中，角
, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，已知
3
a
，
2
b
，
120
C
，则c （
）
A．7
B．19
C．7
D．19
2.在ABC
中，若
2
a
，
3
c
，
1
cos
4
B
，则b （
）
A．6
B．5
C．4
D．3
3.在ABC
中，内角
,
,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
2
b
a
，
4
c
a
，
120
C
，则
a
．
4.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
π
3 3,
2,
6
a
c
B
，则b
.
5.在ABC
中，角
, ,
A B C 对应的边分别为, , ,
60 ,
4 ,
13
a b c C
a
b c
，则b
6.在ABC
中，已知
2,
3,
60
AB
AC
A
.
(1)求BC 的长
(2)求sin 2C 的值
题型二：两边和其中一边的对角
1.在△ABC 中，
1
AB ，
5
BC
，
5
cos
6
A
，则AC （
）
A．2
B．7
3
C．3
D．5
2
2.在ABC
中，
5
AC
，
10
BC
，
2 5
cos
5
A
，则AB （
）
A．5
2
B．5
C．10
D．10
2
3.在△ABC 中，a＝2 3，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．
4.在ABC
中，角
, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，已知
π
3
A
，
3
a
，
1
b ，则c 等于（
）
A．1
B．2
C．3 1
D．
3
5. ABC
的内角A，B，C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
π
3
A
，
7
a
，
1
b
c
，则cos B （
）
A．1
3
B．
7
7
C．2 7
7
D．
7
14
题型三：已知三边解三角形
1.在ABC
，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1，b =2，c =2,则cos B （
）
A．1
6
B．1
3
C．1
4
D．1
2.已知ABC
的角A、B、C 对应边长分别为a、b、c，
4
a
，
5
b
，
6
c
，则sin A
3.在ABC
中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
3
a
、
1
b 、
2
c
，则A （
）
A．30
B．45
C．60
D．75
4.在△ABC 中，BD 为AC 边上的中线，AB＝3，BC＝2，AC＝7 ，则cos ∠ABD＝________．
5.已知ABC
中角A、B、C 对边分别为a、b、c，若
:
:
3: 2 :
3
a b c
，则ABC
中最大角的余弦值为
．
6.已知
3
2
m
，在钝角ABC
中，
3
AB
m
，
5
BC
m
，
6
AC
m
，则m 的取值范围是（
）
A．3 ,6
2
B．
2,6
C．3 ,2
2
D．
2,
考点四：利用余弦定理进行边角转化
1.在ABC
中，已知
3
a
b
c
b
c
a
bc
，则角A 等于（
）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
2.在ABC
中，若
2
2
2
3
a
b
c
ab
，则角C 等于（
）
A．30
B．60
C．150
D．120
3.在ABC
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
2
2
2
2
b
c
a
，
1
cos
4
B
，则c
a （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.在△ABC 中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，若b
2＝ac，且a
2－c
2＝ac－bc，则角A 的大小为
题型五：判断三角形的形状
1.若在
,2
cos
ABC
a
B
c
△
中
，则三角形的形状一定是（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
2.在ABC
中，其内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若cos
cos
a
B
b
A
a
，则ABC
的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
3.在ABC
中，角A
B
C
，，
所对的边分别为a
b
c
，，．若
cos
cos
a
c
A
b
c
B
，则ABC
为（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
4.在ABC
中，若
60
C
，
2c
ab
，则ABC
的形状是（
）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
5.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边为a，b，c
(1)若sin 2
3sin
B
B
=
，求∠B；
(2)若
2 cos
a
b
C
，试判断△ABC 的形状．
6.若
3
a
b
c
b
c
a
bc
，且cos
cos
c
B
b
C
，那么ABC
是（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
7.在ABC
中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
7
a
，
10
b
，
6
c
，则ABC
是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上答案都不对
8.在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
1
b
a
，
2
c
a
．是否存在正整数a ，使得ABC
为钝角三角形？若存在，求a ；若不存在，说明理由．
9.在ABC
中，内角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c .若
2
2
cos
cos
b
c
b
C
c
B
a
，则ABC
的形状为（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
10.在△ABC 中，
cos
cos
a
b
c
B
A
，则这个三角形一定是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
题型六：余弦定理的实际应用
1.九章算术》是中国古代一部数学专著，其中的“邪田”为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正
广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为4 3 ，东畔长为2 7 ，在A 处测得C，D 两点处的俯角分别
为49°和19°，则正广长约为（注：sin 41
0.66
）（
）
A．6.6
B．3.3
C．4
D．7
2.《墨经·经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，
故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在远近有端，与于光，故景库内也.”这是中国古代对小孔成像现象
的第一次描述.如图为一次小孔成像实验，若物距：像距
23
6:1,
12,cos
32
OA
OB
A OB
，则像高
为
.
3.宜昌奥林匹克体育中心为了迎接4 月12 日湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形
ABCD区域设计灯带．已知灯带
=CD
10
AB
米，
20
BC
米，
10 2
AD
米，且
3π
4
A
C
，则
cos
BCD
（
）
A．3
5
B．0
C．4
5
D．
2
10
4.如图，某公园有一个半径为2 公里的半圆形湖面，其圆心为O，现规划在半圆弧岸边取点C、D、E，且
2
2
DOE
AOC
COD
，在扇形AOC 区域内种植芦苇，在扇形COD 区域内修建水上项目，在四边形
ODEB 区域内种植荷花，并在湖面修建栈道DE 和EB 作为观光线路.当DE
EB
最大时，游客有更美好的
观赏感受，则DE
EB
的最大值为（
）
A．9
4
B．4
C．9
2
D．6
题型七：余弦定理与平面图形结合
1.如图，在平行四边形ABCD中，
2
AB
，
1
BC ，
π
3
DAB
，将三角形ABC 沿AC 翻折得三角形AB C
，
使得AB交CD 于E ，则DE （
）
A．2
3
B．3
5
C．3
4
D．4
5
2.已知ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
8
a
，
6
b
，
4
c
，则中线AD 的长为
.
3.如图所示，点A 是等边
BCD
△
外一点，且
2π
3
BAD
，
2
AD
，
2 3
BD
，则ABC
的周长为
．
4.在ABC
中，内角
,
,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，
cos
tan
tan
2sin
B
C
B
A
．
（1）求C ；
（2）若
4
BC
AC
，且
ACB
的平分线上的点D 满足BD
AD
，求
BDA
．
题型八：求三角形中边长（周长）取值范围
1.在锐角三角形ABC 中，
1
a ，
2
b
，则边c 的取值范围是（
）
A．1
3
c
B．1
5
c
C．
3
5
c
D．
3
3
c
2.已知ABC
中，
1
a ，
2
b
，若ABC
为钝角三角形，则c 的取值范围是
．
3.设,
1,
2
l l
l
是钝角三角形的三边长，则l 的取值范围是（
）
A．0
1
l
B．1
3
l
C．3
4
l
D．4
6
l
4.已知钝角ABC
的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
2
b
，
3
c
，则最大边a 的取值范围为（
）
A．(1,5)
B．
1, 5
C．
13,5
D．
1, 5
13,5
5.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满足
2
2
2
b
c
a
bc
，
3
a
，则b＋c 的取值范围
是（
）
A．
1, 3
B．( 3,2 3ùúû
C．
3,3 3
D．
3 3
( 3,
)
2
6.已知△ABC 是钝角三角形，角A，B，C 的对边依次是a，b，c，且
3
a
，
4
b
，则边c 的取值范围
是
．
7.在ABC
中，
5
AB
，D 在边AB 上，且2
3
,
2
BD
AD BC
CD
.
(1)若
2
CD
，求ABC
的周长;
(2)求ACD
周长的最大值.
8.在钝角ABC
中，角A B C
､､
所对的边分别为a b c
､､，若
1,
2
a
b
，则最大边c 的取值范围是（
）
A．
5,
B．
2, 5
C．
5,2 2
D．
5,3
9.已知锐角三角形边长分别为1，2，x，则x 的取值范围是（
）
A．
1,3
B．
1,5
C．
3, 5
D．不确定
10.（多选）已知ABC
是钝角三角形，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
3
a
，
4
b
，则最大
的边c 的取值可能是（
）
A．4.5
B．5
C．6
D．6.5
11.在①
4
a
，②D 是边BC 的中点且
2
AD
，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在ABC
中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且sin
sin
(
)sin
a
A
c
C
b
c
B
．
(1)求A；
(2)若__________，求b
c
的最大值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
模块三：综合巩固
1.在ABC
中，已知
3,
4,
13
a
b
c
，则角C 为（
）
A．90
B．60
C．45
D．30
2.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
2
2
2
b
a
c
ac
，则角B （
）
A．π
6
B．π
3
C．3π
4
D．2π
3
3.在ABC
中，
6
a
，
6 3
b
，
30
A
，则最长边c （
）
A．6
B．12
C．6或12
D．6 3
4.在ABC
中，已知
3
a
b
c
b
c
a
bc
，则角A 等于（
）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
5.密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000 份，每一份叫作1 密位的角．在角的密位制中，单
位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如1 周角等于6000 密
位，写成“60
00
”，578 密位写成“5
78
”．若在ABC
中，, ,
a b c 分别是角
, ,
A B C 所对的边，且有
2
2
2
a
c
b
ab
．则角C 用密位制表示正确的是（
）
A．2
50
B．5
00
C．10
00
D．20
00
6.已知ABC
的内角
,
,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，面积为S，且
2
2
2
4
a
S
c
b
，则角A 的值为（
）
A．π
4
B．π
3
C．2π
3
D．3π
4
7.在公元前500 年左右的毕达哥拉斯学派的数学家们坚信，“万物皆（整）数与（整）数之比”，但后来
的数学家发现了无理数，引发了数学史上的第一次数学危机.下图是公元前400 年古希腊数学家泰特拖斯
用来构造无理数
2 、
3 、5 ，……的图形，此图形中
BAD
的余弦值是（
）
A．4
3
6
B．4
3
6
C．2 3
6
6
D．2 3
6
6
8.三角形ABC 中，
2
AB
，
3
AC
，
4
BC
，则AB
AC
（
）
A．10
B．2 2
C．
6
D．2
9.《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久､源远流
长，音域宽广､音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，
在圆弧的两个端点A，B 处分别作切线相交于点C，测得切线
50cm,
50cm,
90cm
AC
BC
AB
，根据测量
数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（
）
A．0.62
B．0.56
C．-0.56
D．-0.62
10.我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条
伞骨所成的角
BAC
，且AB
AC
，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞
圈D 已滑动到D¢ 的位置，且A 、B 、D¢ 三点共线，
40cm
AD
，B 为AD的中点，当伞从完全张开到完
全收拢，伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为24cm ，则当伞完全张开时，
BAC
的余弦值是（
）
A．
17
25
B．
4 21
25
C．
3
5
-
D．
8
25
11.曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA 在水平位置OB 时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB
按顺时针方向旋转角时，P 和Q 之间的距离是x cm，若
3cm
OA
，
7cm
AP
，
5
x
，则点A 运动路径
AB
的长度是（
）
A．9 π
4
cm
B．2π cm
C．6cm
D．5cm
12.(多选)已知ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2
a
，
6
b
，
30
A
，则c （
）
A．
2
B．2 2
C．3
D．3 2
13.在ABC
中，
π
6
ABC
，
2 3
BC
，
2
AC
，则AB 可能的取值有（
）
A．
3
B．2
C．3
D．4
14.古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆
心角的弦长表），这张表本质上相当于正弦三角函数表．托勒密把圆的半径60 等分，用圆的半径长的1
60
作为单位来度量弦长．将圆心角所对的弦长记为crd．如图，在圆O中，60的圆心角所对的弦长恰好
等于圆O的半径，因此60的圆心角所对的弦长为60 个单位，即crd60
60
．若为圆心角，
1
cos
0
180
4
，则crd
15.在ABC
中，角A，B ，C 所对的分别为a ，b ，c ．若角A 为锐角，
3
b
，
4
c
，则ABC
的周长可
能为
．（写出一个符合题意的答案即可）
16.在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
3
a
，且
1
cos
3
A
，
9
4
bc
，则b
c
的值
为
.
17.已知ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2
2
4
cos
3
ab
C
a
c
.
(1)若
2π
3
A
，求C ；
(2)若
1
bc ，当B 最大时，求ABC
的周长.
18.在锐角ABC
中，角
,
,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
2
2
2
π
sin
sin
3
bc
C
c
b
a
B
．
(1)求A ；
(2)若
6
a
，求ABC
周长的最大值．
19. ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为
sin
, , ,
sin
sin
c
b
A
a b c a
b
C
B
．
(1)求C ；
(2)若
6
a
b
，求ABC
的周长最小值．
20.已知ABC
的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
c c
a
b
a
b
a
.
(1)求角B ；
(2)若
2
CD
DA
，
6
BC
，
2 3
BD
，求AC 的长.
21.在梯形ABCD中，
//
AB CD ，E 是AB 上一点，满足EB 2
2
AE
，F 是CD 上一动点，
6
CD
.
(1)如图1，若
3
AF
，
2
BF
，求EF 的长；
(2)如图2，
2
AD
，
3
BC ，且AD ，EF ，BC 三条直线交于同一点，求EF 的长.
