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数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5 分,共计70 分.
1．
2．3
3．2
4．
5．
6．
7．
8．
9．
10．
11．4
12．
13．
或0
14．
二、解答题
15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和
推理论证能力.满分14 分.
证明：因为
分别是
的中点，所以
.
又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）因为
平面
，
平面
,
所以
.
又
,
平面
,
平面
,
所以
平面
.
又因为
平面
,所以平面
平面
.
16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考
查运算求解能力.满分14 分.
解：（1）在
中，因为
，
由余弦定理
，得
，
所以
.
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在
中，由正弦定理
，
得
，
所以
（2）在
中，因为
,所以
为钝角，
而
,所以
为锐角.
故
则
.
因为
，所以
，
.
从
而
.
17．本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用
数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14 分.
解：（1）设
都与
垂直，
是相应垂足.
由条件知，当
时，
则
.
由
得
所以
（米）.
（2）以
为原点，
为
轴建立平面直角坐标系
（如图所示）.
设
则
.
因为
所以
.
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设
则
所以
记桥墩
和
的总造价为
，
则
，
令
得
所以当
时，
取得最小值.
答：（1）桥
的长度为120 米；
（2）当
为20 米时，桥墩
和
的总造价最低.
18．本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基
础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分16 分.
解：（1）椭圆
的长轴长为
，短轴长为
，焦距为
，
则
.
所以
的周长为
.
（2）椭圆
的右准线为
.
设
，
则
，
在
时取等号.
所以
的最小值为
.
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（3）因为椭圆
的左、右焦点分别为
，点
在椭圆
上且在第一象限内，
，
则
.
所以直线
设
，因为
，所以点
到直线
距离等于点
到直线
距离的3 倍.
由此得
，
则
或
.
由
得
，此方程无解；
由
得
，所以
或
.
代入直线
，对应分别得
或
.
因此点
的坐标为
或
.
19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推
理能力.满分16 分.
解:（1）由条件
，得
，
取
，得
，所以
．
由
，得
，此式对一切
恒成立，
所以
，则
，此时
恒成立，
所以
．
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（2）
.
令
，则
令
，得
.
所以
.则
恒成立，
所以当且仅当
时，
恒成立．
另一方面，
恒成立，即
恒成立，
也即
恒成立．
因为
，对称轴为
，
所以
，解得
．
因此，k 的取值范围是
（3）①当
时，
由
，得
，整理得
令
则
．
记
则
恒成立，
所以
在
上是减函数，则
，即
．
所以不等式
有解，设解为
，
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因此
．
②当
时，
．
设
，
令
，得
．
当
时，
，
是减函数；
当
时，
，
是增函数．
，
，则当
时，
．
（或证：
．）
则
，因此
．
因为
，所以
．
③当
时，因为
，
均为偶函数，因此
也成立．
综上所述，
．
20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归
及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．
解：（1）因为等差数列
是“λ～1”数列，则
，即
，
也即
，此式对一切正整数n均成立．
若
，则
恒成立，故
，而
，
这与
是等差数列矛盾．
所以
．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）
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（2）因为数列
是“
”数列，
所以
，即
．
因为
，所以
，则
．
令
，则
，即
．
解得
，即
，也即
，
所以数列
是公比为4的等比数列．
因为
，所以
．则
（3）设各项非负的数列
为“
”数列，
则
，即
．
因为
，而
，所以
，则
．
令
，则
，即
．（*）
①若
或
，则（*）只有一解为
，即符合条件的数列
只有一个．
（此数列为1，0，0，0，…）
②若
，则（*）化为
，
因为
，所以
，则（*）只有一解为
，
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即符合条件的数列
只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）
③若
，则
的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内，
则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t）．
所以
或
．
由于数列
从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列
有无数多个，则对应
的
有无数多个．
综上所述，能存在三个各项非负的数列
为“
”数列，
的取值范围是
．
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，
则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10 分）
平面上点
在矩阵
对应的变换作用下得到点
．
（1）求实数
，
的值；
（2）求矩阵
的逆矩阵
．
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10 分）
在极坐标系中，已知点
在直线
上，点
在圆
上（其中
，
）．
（1）求
，
的值；
（2）求出直线与圆
的公共点的极坐标．
C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10 分）
设
，解不等式
．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
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明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10 分）
在三棱锥A—BCD 中，已知CB=CD=
,BD=2，O 为BD 的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E 为AC 的中
点．
（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；
（2）若点F 在BC 上，满足BF=
BC，设二面角F—DE—C 的大小为θ，求sinθ 的值．
23．（本小题满分10 分）
甲口袋中装有2 个黑球和1 个白球，乙口袋中装有3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换
放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2 个黑球的概率为pn，恰有1
个黑球的概率为qn．
（1）求p1，q1和p2，q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n 表示) ．
数学Ⅱ(附加题)参考答案
21．【选做题】
A．[选修4-2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：（1）因为
，所以
解得
，所以
．
（2）因为
，
，所以
可逆，
从而
．
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
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解：（1）由
，得
；
，又（0，0）（即（0，
））也在圆C上，
因此
或0．
（2）由
得
，所以
．
因为
，
，所以
，
．
所以公共点的极坐标为
．
C．[选修4-5：不等式选讲]
本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．
解：当x>0时，原不等式可化为
，解得
；
当
时，原不等式可化为
，解得
；
当
时，原不等式可化为
，解得
．
综上，原不等式的解集为
．
22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和
运算求解能力．满分10分．
解：（1）连结OC，因为CB =CD，O为BD中点，所以CO⊥BD．
又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC．
以
为基底，建立空间直角坐标系O–xyz．
因为BD=2，
，AO=2，
所以B（1，0，0），D（–1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2）．
因为E为AC的中点，所以E（0，1，1）．
则
=（1，0，–2），
=（1，1，1），
所以
．
因此，直线AB与DE所成角的余弦值为
．
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（2）因为点F在BC上，
，
=（–1，2，0）．
所以
．
又
，
故
．
设
为平面DEF的一个法向量，
则
即
取
，得
，
，所以
．
设
为平面DEC的一个法向量，又
=（1，2，0），
则
即
取
，得
，
，
所以
．
故
．
所以
．
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23．【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．
满分10分．
解：（1）
，
，
，
．
（2）当
时，
，①
，②
，得
．
从而
，又
，
所以
，
．③
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由②，有
，又
，
所以
，
．
由③，有
，
．
故
，
．
的概率分布
0
1
2
则
．
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