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2015年江苏省高考数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的
个数为 ．
2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为
．
3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为
．
4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ．
5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2
只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．
6．（5分）（2015•江苏）已知向量 =（2，1）， =（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）
（m，n R），则m﹣n的值为 ．
∈
7．（5分）（2015•江苏）不等式2 ＜4的解集为 ．
8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）= ，则tanβ的值为 ．
9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为
2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的
新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ．
10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx
﹣y﹣2m﹣1=0（m R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．
∈
11．（5分）（2015•江苏）设数列{a }满足a =1，且a ﹣a =n+1（n N*），则数列{ }
n 1 n+1 n
的前10项的和为 ． ∈
第1页 | 共5页12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个
动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为 ．
13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）= ，则方
程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为 ．
14．（5分）（2015•江苏）设向量 =（cos ，sin +cos ）（k=0，1，2，…，
12），则 （a •a ）的值为 ．
k k+1
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，已知AC⊥BC，
BC=CC ，设AB 的中点为D，B C∩BC =E．
1 1 1 1
求证：
（1）DE∥平面AA
1
C
1
C；
（2）BC 1⊥AB
1
．
17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区
的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公
路为l ，l ，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，
1 2
测得点M到l ，l 的距离分别为5千米和40千米，点N到l ，l 的距离分别为20千米和
1 2 1 2
2.5千米，以l ，l 在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函
2 1
数y= （其中a，b为常数）模型．
第2页 | 共5页（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．
①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 + =1（a＞b
＞0）的离心率为 ，且右焦点F到左准线l的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点
P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．
19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b R）．
（1）试讨论f（x）的单调性；
∈
（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取
值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1， ）∪（ ，+∞），求c的值．
20．（16分）（2015•江苏）设a ，a ，a ．a 是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．
1 2 3 4
（1）证明： 依次构成等比数列；
（2）是否存在 ，使得 依次构成等比数列？并说明理由；
（3）是否存在 及正整数 ，使得 依次构成等比数列？并说
明理由。
第3页 | 共5页三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定
其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】
21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交
BC于点D．
求证：△ABD∽△AEB ．
【选修4-2：矩阵与变换】
22．（10分）（2015•江苏）已知x，y R，向量 = 是矩阵 的属于特征值﹣2
的一个特征向量，求矩阵A以及它的另∈一个特征值．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2 ρsin（θ﹣ ）﹣4=0，求圆C的半径．
[选修4-5：不等式选讲】
24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．
【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤
25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边
形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD= ，PA=AD=2，AB=BC=1．
（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
第4页 | 共5页26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y ={1，2，3，…，n）（n N*），
n
设S ={（a，b）|a整除b或整除a，a X，B Y }，令f（n）表示集合S 所含元素的个数．
n n n
∈
（1）写出f（6）的值；
∈ ∈
（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．
第5页 | 共5页
