文档内容
2015 年高考天津市理科数学真题
一、选择题
1．已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合A C B=（ ）
I U
A．2,5 B．3,6 C．2,5,6 D．2,3,5,6,8
ìx+2³0.
ï
2．设变量x,y满足约束条件íx- y+3³0. 则目标函数z = x+6y的最大值为（ ）
ï
2x+ y-3£0.
î
A．3 B．4 C．18 D．40
3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）
A．-10 B．6 C．14 D．18
4．设xÎR，则“|x-2|＜1”是“x2 +x-2＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图，在圆O中， M，N是弦 AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点
M，N，若CM =2，MD=4，CN =3，则线段NE的长为（ ）
8 10 5
A． B．3 C． D．
3 3 2
x2 y2
6．已知双曲线 - =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，3），且双曲线的一个焦点在抛物线
a2 b2
y2 =4 7x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A． - =1 B． - =1 C． - =1 D． - =1
21 28 28 21 3 4 4 3
7．已知定义在R上的函数 f(x)=2x-m -1（m为实数）为偶函数，记a = f(log 3)，b= f(log 5)，
0.5 2
c= f(2m)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
第1页 | 共4页ì2-|x|，x£2，
8．已知函数 f(x)=í 函数g(x)=b- f(2-x)，其中bÎR，若函数y = f(x)-g(x)恰有
（
î
x-2）2，x＞2，
4个零点，则b的取值范围是（ ）
7 7 7 7
A．( ，+¥) B．(-¥，) C．(0，) D．( ，2)
4 4 4 4
二、填空题
(1-2i)(a+i)
9．i是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数a的
值为 ．
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的
体积为 m3．
11．曲线 y = x2与直线 y = x所围成的封闭图形的面积
为 ．
1
12．在(x- )6的展开式中，x2的系数为 ．
4x
13 ． 在 DABC中 ， 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c. 已 知 DABC的 面 积 为 3 15，
1
b-c=2,cosA=- ，则a的值为 ．
4
14．在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC,AB=2,BC =1,ÐABC =60°。动点E和F 分别在线段BC和
uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur
DC 上，且BE =lBC,DF = DC，则AE×AF 的最小值为 ．
9l
三、解答题
p
15．已知函数 f(x)=sin2 x-sin2(x- )，xÎR．
6
（Ⅰ）求 f(x)的最小正周期；
é p pù
（Ⅱ）求 f(x)在区间 - ， 内的最大值和最小值．
ê ú
ë 3 4û
第2页 | 共4页16．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员3
名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名。从这8名运动员中随机选择4人参
加比赛。
（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A
发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．如图，在四棱柱 ABCD-ABC D 中，侧棱 AA^底面
1 1 1 1 1
ABCD，AB^ AC，AB =1，AC = AA =2，AD=CD= 5，
1
且点M 和N 分别为BC和DD的中点．
1 1
（Ⅰ）求证：MN 平面ABCD；
P
（Ⅱ）求二面角D -AC-B 的正弦值；
1 1
1
（Ⅲ）设E 为棱AB 上的点。若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为 ，求线段AE的长。
1 1 3 1
18．已知数列a 满足a =qa （q为实数，且q ¹1），nÎN*，a =1，a =2，且a +a ，a +a ，
n n+2 n 1 2 2 1 3 4
a +a 成等差数列。
4 5
（Ⅰ）求q的值和 a 的通项公式；
n
log a
（Ⅱ）设b = 2 2n ，nÎN*，求数列b 的前n项和．
n a n
2n-1
第3页 | 共4页x2 y2 3
19．已知椭圆 + =1(a＞b＞0)的左焦点为F(-c,0)，离心率为 ，点M 在椭圆上且位于第一象限，
a2 b2 3
b2 4 3
直线FM 被圆x2 + y2 = 截得的线段的长为c，|FM |= ．
4 3
（Ⅰ）求直线FM 的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于 2 ，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围。
20．已知函数 f(x)=nx-xn,xÎR,其中nÎN*，且n³2.
（Ⅰ）讨论 f(x)的单调性；
（Ⅱ）设曲线y = f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y = g(x)，
求证：对于任意的正实数x，都有 f(x)£ g(x)；
a
（Ⅲ）若关于x的方程 f(x)=a（a为实数）有两个正实数根x，x ，求证： x -x < +2．
1 2 2 1 1-n
第4页 | 共4页
